Pertemuan Ke 2
SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)
By
Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan
dari sejumlah unsur yang tak diketahui.
Bentuk umum:
Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x1 ….xn.
Bilangan a11 …..amn disebut koefsien dari sistem itu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.
Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilangan-bilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun
bernilai nol
Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan homogen
Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi
yaitu satu set nilai dari x1 …xn yang memenuhi sistem persamaan tersebut.
Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial
(solusi tak penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0.
Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah:
a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?
b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi?
c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi, bagaimanakah himpunan solusi tersebut?
d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai
satu solusi?
SISTEM PERSAMAAN LINIER
(SPL)
Bentuk umum :
dimana x
1, x
2, . . . , x
nvariabel tak diketahui,
a
ij,
b
i,
i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui.
Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.
SPL
Mempunyai penyelesaian
disebut
KONSISTEN
Tidak mempunyai penyelesaian
disebut
TIDAK KONSISTEN
TUNGGAL
ILUSTRASI GRAFIK
SPL 2 persamaan 2 variabel:
Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya
adalah titik potong kedua garis ini.
PENYAJIAN SPL DALAM MATRIKS
SPL
BENTUK MATRIKS
STRATEGI MENYELESAIKAN SPL:
Metode Subtitusi
Metode Eliminasi
Contoh Penyelesaian SPL menggunakan Metode
subtitusi
Tentukan penyelesaian 3 persamaan linear berikut :
2
2 2
JAWAB
= 2 5y+4z =1
= 1 5(1) +4z
=1 4z =- 4
Z=- 1
=2 -1 =2
2
y
2
Metode Eliminasi
2
Kalikan 3
3 2
Lanjutan
2
10
-
maka y =1
Selesaikan SPL dibawah ini dengan metode subtitusi
a+b+c = 2
a+b+2c = 0
2a+b+3c = 1
Selesaikan SPL dibawah ini dengan metode Eliminasi
4a+3b+5c = 18
2a-6b+4c = -42
a-b+c = - 5
TIGA OPERASI YANG
MEMPERTAHANKAN PENYELESAIAN SPL
SPL
1. Mengalikan suatu persamaan dengan konstanta tak nol. 2. Menukar posisi dua
persamaan sebarang.
3. Menambahkan kelipatan suatu persamaan ke persamaan
lainnya.
MATRIKS
1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol. 2. Menukar posisi dua baris sebarang.
3. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.
Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)
Sistem Persamaan Linier
Operasi Baris
Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut operasi baris sebagai berikut:
a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa
mempengaruhi himpunan sistem persamaan tersebut.
c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan sistem persamaan.
b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut.
CONTOH
DIKETAHUI
kalikan pers (i) dengan (-2), kemu-dian tambahkan ke pers (ii).
kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (ii).
…………(i) …………(ii) …………(iii)
kalikan pers (i) dengan (-3), kemu-dian tambahkan ke pers (iii).
kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii).
kalikan pers (ii) dengan (1/2).
kalikan pers (iii)
dengan (-2). kalikan brs (iii) dengan (-2).
LANJUTAN CONTOH
kalikan pers (ii) dengan (1/2).
kalikan baris (ii) dengan (1/2).
kalikan pers (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke pers (iii).
kalikan brs (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke brs (iii).
kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i).
Lanjutan CONTOH
kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i).
kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i).
kalikan pers (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke pers (i) dan kalikan pers (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke pers (ii)
kalikan brs (iii)
dengan (-11/2), lalu tambahkan ke brs (i) dan kalikan brs (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke brs (ii)
Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat
kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasi
matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis
untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan
pada matriks gandengan ini.
Suatu sistem persamaan linier:
Contoh:
Kita tuliskan persamaan ini dalam bentuk matriks:
Matriks gandengnya adalah:
Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil baris ke-1 sebagai pivot) dan membuat suku pertama baris-baris berikutnya menjadi bernilai nol.
Pada matriks yang diberikan ini, langkah pertama ini
dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah
Langkah-2: Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks gandeng yang baru saja kita peroleh sebagai pivot, dan membuat suku kedua baris-baris berikutnya
Kalikan baris ke 3 dengan 3 agar
Langkah-3: Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot dan membuat suku ke-3 dari baris ke-4
menjadi nol. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:
Matriks gandeng terakhir ini menyatakan bentuk matriks:
yang dengan substitusi mundur akan
memberikan: Hasil terakhir
langkah ketiga adalah:
Matriks terakhir ini menyatakan sistem persamaan linier:
16
16
16
6
11
8
2
3
8
D D C C B B Ax
x
x
x
x
x
x
12
;
4
;
2
;
1
C B AD
x
x
x
