S MAT 1100459 Chapter3

(1)

BAB III

PERMASALAHAN TRANSPORTASI FUZZYMENGGUNAKAN METODE THORANI

3.1 MetodePerangkinganThorani

Padatahun 2012, Thorani, et al.dalamjurnalnya yang berjudul “Ordering

Generalized Trapezoidal Numbers“ memperkenalkansuatu

metodeperangkinganuntukmengurutkanbilanganfuzzytrapesium. Padaprinsipnya,

Thoranimembagitrapesiumtersebutmenjaditigabuahbidang.Bidangpertamaberupas

egitiga,

bidangkeduaberupapersegipanjangdanbidangketigaberupasegitiga.Selanjutnyadila

kukanpenghitunganterhadaptitikberat(centroid)untuksetiapbidang.

Titikberat(centroid) sebuah segitiga merupakan titik perpotongan antara ketiga

garis berat. Sedangkan garis berat sebuah segitiga adalah garis yang ditarik dari

suatu titik sudut sehingga membagi sisi di depannya menjadi dua bagian yang

sama panjang. Setelah titik berat setiap bidang diperoleh, langkah selanjutnya

adalah menentukan incenter yang

merepresentasikantitikberatsecarakeseluruhandaribidangtrapesium.

Denganmenggunakannilaiincenter,yaitu dengan mengalikan koordinat incenter

tersebut, selanjutnya dapatmenentukan

nilaihimpunanbilanganfuzzytrapesiumdalambentukhimpunantegasnya,

sehinggadapatdilakukanperangkinganterhadapbeberapabilanganfuzzytrapesium.

Diantarabeberapametodeperangkinganuntukmengurutkanbilanganfuzzytrapesi

um,

metodeperangkinganThoranimemilikibeberapakeunggulandiantaranyabentuknya

yang sederhana, dan dapatmerangkingbeberapa bilanganfuzzytrapesiumdalam

bentukbilangantegas(Thorani, et al.2012, hlm. 555). Thorani memberikan contoh

empat buah bilangan fuzzy yaitu

1 = (0.1 , 0.2, 0.3 ; 1), 2 = (0.2 , 0.5, 0.8 ; 1), 3 = (0.3 , 0.4, 0.9 ; 1) dan

(2)

45

Tika Kartikasari, 2015

APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ

menggunakan beberapa metode perangkingan seperti metode perangkingan

Yager, metode perangkingan Fortemps dan Roubens, metode perangkingan Liou

dan Wang,metode perangkingan Chen dan metode perangkingan Thorani. Hasil

pengurutan keempat bilangan fuzzy menggunakan beberapa metode perangkingan

dapat dilihat pada Tabel 3.1.

Tabel 3.1 Hasil Perbandingan Beberapa Metode Perangkingan

Metode � � � � Urutan

Rangking

Yager 0,20 0,50 0,50 0,70 4 > 2 = 3

> 1 Fortemps

dan Roubens

0,20 0,50 0,50 0,70 4

> 2 = 3

> ₁

Liou dan Wang

= 1 0,25 0,65 0,65 0,75 ₄ _> ₂ ₌ ₃

> 1

= 0,5 0,20 0,50 0,50 0,70 ₄ _> ₂ ₌ ₃

> 1

= 0 0,15 0,35 0,35 0,65 ₄ > ₂ = ₃

> ₁

Chen

= 1 -0,20 0,00 0,00 -0,20 ₂ ₌ ₃ _> ₁

= 4

= 0,5 -0,20 0,00 0,00 -0,20 ₂ ₌ ₃ _> ₁

= 4

= 0 -0,20 0,00 0,00 -0,20 ₂ ₌ ₃ _> ₁

= ₄

Thorani 0,0720 0,1948 0,1683 0,2552 4 > 2 > 3

> 1

Berdasarkan Tabel 3.1 dapat dilihat bahwa metode perangkingan Yager,

metode perangkingan Fortemps dan Roubens, dan metode perangkingan Liou dan

Wang tidak dapat mengurutkan bilangan fuzzy ₂ dan ₃. Begitupun dengan

metode perangkingan Chen, akan tetapi metode perangkingan Thorani berhasil

mengurutkan bilangan fuzzy ₁, ₂, ₃, ₄.

Thorani, et al.(2012, hlm. 561-562) memberikan prosedur untuk

memperolehrumusperangkingan Thorani, yaitu sebagai berikut :

(3)

46

Perhatikan Gambar 3.1, pada langkah pertama ini yang dilakukan yaitu

membagitrapesiummenjaditigabuah bidangyang terdiri dari

sebuahbidangpersegipanjang (BPQC) danduabuahbidangsegitiga (APB dan

CQD).

Gambar 3.1 KurvaBilanganFuzzyTrapesium

Langkah 2

Pada langkah kedua ini akan menentukantitikberatsetiapbidang.Misalkan �

merupakan titik berat untuk bidang ke i = 1, 2, 3 , dinotasikan sebagai berikut:

� = ( , ) (3.1)

dimana dan diperoleh dengan menggunakan konsep integral sebagai berikut:

= −

− (3.2)

=

1

2 2

− ( ) 2

− ( ) (3.3)

Selanjutnya akan menentukan titik berat dari setiap bidang dengan

menggunakan persamaan (3.2) dan persamaan (3.3).

a) Titikberatbidang APB.

Misalkan titikberatbidang APB adalah�₁. Selanjutnya akan menentukan nilai

�1= ( 1, 1).

Misalkan ₁ adalah garis yang menghubungkan titik , 0 dan ,

dan misalkan pula ( 1, 1) = , 0 dan 2, 2 = ( , ), maka:

− 1

2− 1

= − 1

2− 1 w

A(a,0) B(b,0) C(c,0) D(d,0) Q(c,w)

)) P(b,w)

(4)

47

−0

Diketahui ₁ = 0merupakan garis yang menghubungkan titik , 0 dan

, 0 . Selanjutnya dengan mensubstitusikan ₁ dan ₁ pada

persamaan (3.2) dan persamaan (3.3), akan diperoleh:

(5)

48

b) Titikberatbidang BPQC.

Misalkan titikberatbidang BPQCadalah�₂. Selanjutnya akan menentukan

�2 = ( 2, 2).

Misalkan diketahui ₂ = dan ₂ = 0, selanjutnya dengan

mensubstitusikan ₂ dan ₂ pada persamaan (3.2) dan persamaan

(3.3), akan diperoleh:

(6)

49

=1

Berdasarkan penurunan rumus tersebut di atas, diketahui bahwa titik berat

bidang BPQC adalah pada titik �₂ = +

2 ,2 .

█

c) Titikberatbidang CQD.

Misalkan titikberatbidang CQDadalah�₃. Selanjutnya akan menentukan

(7)

50

Diketahui ₃ = 0merupakan garis yang menghubungkan titik ( , 0)

dan ( , 0). Selanjutnya dengan mensubstitusikan ₃ dan ₃ pada

persamaan (3.2) dan persamaan (3.3), maka akan diperoleh:

(8)

51

=2( − )

Berdasarkan penurunan rumus tersebut di atas, diketahui bahwa titik berat

bidang BPQC adalah pada titik �₃ = 2 +

3 ,3 .

█

Berdasarkan langkah 2 diperoleh Gambar 3.2, dengan �₁ merupakan

titikberatbidang APB, �₂ merupakan titikberatbidangBPQC, dan �₃ merupakan

(9)

52

Gambar 3.2 KurvaBilanganFuzzyTrapesium (Centroid � ,� ,� ) Langkah 3

Berdasarkan langkah 2, telah diketahui titik berat dari masing-masing bidang

yaitu �₁,�2, dan�3. Pada langkah ini yang dilakukan yaitu menarik garis yang

menghubungkanketigatitikberattersebutsehinggaterbentuksebuahsegitiga�₁�₂�₃.

Dengan kata lain, �₁,�2,�3non-collinear danmembentuksuatu segitiga.

Gambar 3.3 KurvaBilanganFuzzyTrapesium

Langkah 4

Pada langkah 4 ini yang dilakukan yaitu akan menentukan

titikberatdarisegitiga�₁�₂�₃. Misalkan G adalah titikberatdarisegitiga�₁�₂�₃. G

disebutjuga sebagai incenteratautitikpusatlingkarandalamsegitiga�₁�₂�₃.

Dengan mengunakan rumus untuk memperoleh koordinat-koordinat

( ₀, ₀)dari pusat massa yaitu

0 =

�

= =1

=1

(3.4)

0 =

�

= =1

=1

(3.5)

akan dicari titik berat dari segitiga �₁�₂�₃.

Sebelumnya telah diketahui �₁ = +2

3 ,3 ,�2 = +

2 ,2 dan�3=

2 +

3 ,3 .Sehingga, 1 = +2

3 , 2 = +

2 , 3= 2 +

3 , 1 = 3, 2 = 2dan 3 =

3.

�3

w

�3

A(a,0) B(b,0) C(c,0) D(d,0) Q(c,w)

)) P(b,w)

�1

�2

(10)

53

(11)

54

Berdasarkan langkah-langkah diatas diperoleh definisi 3.1 yang merupakan

definisi perangkingan Thorani.

Definisi 3.1

Fungsirangkingdaribilanganfuzzy trapesium umum = , , , ; yang

memetakan semua bilangan fuzzy ke himpunan bilangan real adalah:

= 0. 0 =

Arti geometris dari perangkingan Thorani pada persamaan (3.10) dapat

digambarkan sebagai berikut:

Gambar 3.5Rangking Thorani Secara Geometris

Perangkingan menggunakan metode Thorani merupakan perkalian antara

(12)

55

seperti terlihat pada Gambar 3.5, dengan ( 0 , 0) merupakan koordinat dari

incenter segitiga �₁�₂�₃.

PadaperangkinganbilanganfuzzydenganmenggunakanmetodeThorani,langkah

yang dilakukanadalahmenentukan

centroidatautitikberatdaritigabagianbidangtrapesium.Selanjutnya menentukan

incenter (titikpusatlingkarandalamsegitiga) segitiga yang

terbentukdengancaramenghubungkantitik-titikcentroid.

Denganmenggunakanincentersebagaititikberatuntukbilanganfuzzytrapesium,

perangkingandenganmetodeThoranimampumerangkingberbagaibilanganfuzzy,

danmampu mengurutkanbilanganfuzzy (Thorani, et al.2012, hlm. 570).

Thoranitidakmemberikanperumusansecarakhususterkaitbilanganfuzzysegitiga,

tetapiThoranimemperolehbilanganfuzzysegitigadenganmereduksibilanganfuzzytrap

esiumketikanilai = pada bilangan fuzzy = , , , ; . Bilangan fuzzy

segitiga = , , ; dinyatakan dalambentukkurvasebagaiberikut :

Gambar 3.6KurvaBilanganFuzzySegitiga

Incenteruntukbilanganfuzzysegitigadirumuskansebagai:

� ( ₀, ₀) =

+2

3 + + 2 +

3 + + ,

3 + 2 + 3

+ + (3.11)

dengan

=

(2 −2 )

2₊ 2

6

=

( − )2

3

=

(2 −2 )2₊ 2

6

Definisi 3.2

w

(13)

56

Fungsi ranking dari bilangan fuzzysegitiga = , , ; yang memetakan

semua bilangan fuzzysegitigake himpunan bilangan real adalah

( ) = ₀. 0 =

+2

3 + +

2 + 3

+ +

.

3 + 2 + 3

+ + (3.12)

Metode perangkingan Thorani pada persamaan (3.10) dan (3.12) memenuhi

sifat linieritas. Konsep sifat linieritas pada bilangan fuzzy pada dasarnya sama

dengan konsep linieritas pada fungsi, seperti halnya kelinieran sebuah fungsi

terhadap perkalian dengan skalar juga berlaku pada bilangan fuzzy. Untuk lebih

lengkapnya dapat dilihat pada Proposisi 3.1.

Proposisi 3.1

Fungsi rangking merupakan fungsi linear dari bilangan fuzzy trapesium

= , , , ; . Misalkan, ₁= ₁, ₁, ₁, ₁; ₁ dan ₂ =

2, 2, 2, 2; 2 yang merupakan bilangan fuzzy trapesium, dan 1, 2 berupa skalar maka berlaku :

(i). ₁ ₁⨁ ₂ ₂ = ₁ ₁ + ₂ ( ₂), jika ₁ = ₂ = 1

1 1⨁ 2 2 1 1 + 2 ( 2), jika 1 ≠ 2

(ii). − =− ( )

(iii). ⨁ − = 0

Pembuktian Preposisi 3.1 dapat dilihat pada Lampiran 1 halaman 89-101.

Selain definisi 3.1, terdapat beberapadefinisilainnya yang

dapatdigunakanuntukmelakukanperangkinganterhadapduabuahbilanganfuzzy

(Thorani,et al.2012, hlm.563):

Definisi 3.3

Mode ( ) dari bilangan fuzzy trapesium umum = , , , ;

didefinisikan dalam perumusan sebagai berikut:

= 1

2 ₀ + = 2 + (3.13)

(14)

57

Spread ( ) atau sebaran dari bilangan fuzzy trapesium umum =

, , , ; didefinisikan dalam perumusan sebagai berikut:

= − = ( − )

0

(3.14)

Definisi 3.5

Left spread ( ) atau sebaran kiri dari bilangan fuzzy trapesium umum =

= − = −

0

(3.15)

Definisi 3.6

Right spread ( ) atau sebaran kanan dari bilangan fuzzy trapesium umum =

= − = −

0

(3.16)

Dengan menggunakan definisi-definisi yang telah disebutkan diatas, apabila

diberikanduabuahbilanganfuzzytrapesiumumum,

misalkan = 1, 1, 1, 1; 1 dan = 2, 2, 2, 2; 2 , dan dapat

diurutkandengan terlebih dahulu mengkonversi dan menjadi bentuk crisp

melalui serangkaian langkah-langkah yang dikenal sebagai algoritma urutan

sebagai berikut(Thorani,et al.2012, hlm.564):

 Langkah 1 :

Menentukan nilai ( ) dan ( )

Kasus (i) : Apabila ( ) > ( ),maka >

Kasus (ii) : Apabila ( ) < ( ),maka <

Kasus (iii) : Apabila = ( )maka perbandingan tidak mungkin,

maka harus berlanjut pada langkah 2.

 Langkah 2 :

Menentukan nilai m ( ) dan m ( )

(15)

58

Kasus (iii) : Apabila = ( ),maka perbandingan tidak

mungkin, maka berlanjut pada langkah 3.

 Langkah 3 :

Kasus (i) : Apabila ( ) > ( ), maka >

Kasus (ii) : Apabila ( ) < ( ), maka <

Kasus (iii) : Apabila ( ) = ( ),maka perbandingan tidak mungkin,

maka berlanjut pada langkah 4.

 Langkah 4 :

Kasus (i) : Apabila ( ) > ( ), maka >

Kasus (iii) : Apabila ( ) = ( ),maka perbandingan tidak

mungkin, berlanjut pada langkah 5.

 Langkah 5 :

Melakukan uji nilai ₁dan ₂

Kasus (i) : Apabila ₁ > 2, maka >

Kasus (ii) : Apabila ₁ < ₂, maka <

Kasus (iii) : Apabila ₁ = 2, maka ≈

3.2 Prosedur Penyelesaian Masalah Transportasi F uzzy

Padatahun 2013, Thoranidan Shankar dalamjurnalnya yang berjudul “Fuzzy

Transportation Linear Programming Models based on L–R Fuzzy Numbers“

memperkenalkanmetodeuntukmencarisolusi optimal

daripermasalahantransportasifuzzy. Metode tersebut kemudian dikenal sebagai

Metode Thorani.Metode Thorani dapat digunakan untuk menyelesaikan

permasalahan program linier. Permasalahantransportasi merupakan bagian dari

permasalahan program linier,

(16)

59

APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ resentasikanbiayapendistribusian,

nilaipenawarandannilaipermintaansebagaibilanganfuzzytrapesium.Thoranimempu

nyaifungsi perangkingan tersendiri yang dapat digunakan untuk mengubah

bilangan fuzzytrapesium menjadi bentuk crisp, yaitu menggunakan metode

perangkingan Thorani. Selanjutnya, untuk mencari solusi optimal dari

permasalahantransportasifuzzy, Thorani menggunakanmetode yang

biasadigunakanuntukmenyelesaikan permasalahantransportasiklasik.

MisalkanpermasalahantransportasifuzzysepertidisajikandalamTabel

2.13,berikutadalahprosedurdarimetodeThoranidenganmenggunakanmetodeperang

kinganThoraniuntukmenyelesaikanpermasalahantransportasifuzzy (Thorani, et

al.,2012; Thoranidan Shankar, 2013) :

1. Periksakeseimbangan model transportasi fuzzy.

Keseimbangan model dapat diketahui dengancara menghitung total

penawaranfuzzy ₌₁ dan total permintaanfuzzy ₌₁ . Misalkan =

( , , , ) dan = ( ′, ′, ′, ′), banyaknyasumberdan mewakili

banyaknya tujuan.

Kasus (i)

Jika ₌₁ = ₌₁ , maka permasalahan transportasi fuzzysudahseimbang,

lanjutkankelangkahkedua.

Kasus (ii)

Jika ₌₁ , ₌₁ , maka permasalahan

transportasifuzzybelumseimbang.Konversi model tersebutsehinggamenjadi

model transportasifuzzyseimbang.Langkah yang perludilakukanuntuk

menjadikan model transportasifuzzyyang seimbangsebagaiberikut:

i. Jika ′, − ′ − ′, − ′ − ′, dan − ′ − ′, maka

tambahkan sebuah sumber dummy +1 dengan penawaran fuzzy ′ −

, ′ − , ′ − , ′ − .Asumsikanbahwabiayadistribusi per unit

komoditidarisumberdummy +1ke

(17)

60

ii. Jika ′, − ′ − ′, − ′ − ′, dan − ′ − ′, maka

tambahkan sebuah tujuan dummy ₊₁ dengan permintaanfuzzy −

′, − ′, − ′, − ′ . Asumsikanbahwabiayadistribusi per unit komoditidarisetiap

sumberketujuandummy ₊₁sebagaibilanganfuzzytrapesium nol.

iii.Jikatidakmemenuhi (i) atau (ii)

makatambahkansumberdummy +1dantujuandummy +1.

Penawaranfuzzysebesar ( � 0, ′− , � 0, −

′ ₊ _� _{{0, (} ′₋ ′₎_{− −}_},

� {0, − ′} + � 0, ′− ′ − − +

� 0, ′− ′ − − , � {0, − ′} +

� 0, ′− ′ − − + � 0, ′− ′ −

− + � 0, ′− ′ − − )padasumberdummy ₊₁

dan tidak ada permintaan pada tujuandummy +1.

Permintaanfuzzysebesar( � 0, − ′ , � 0, −

′ ₊ _� _0,_{− −} ′ ₋ ′_, _� _0, ₋ ′ ₊

� 0, − − ′ − ′ + � 0, − −

′ ₋ ′_, _� _0, ₋ ′ ₊ _� _0,_{− −}

′ ₋ ′₊ _� _0,_{− −} ′ ₋ ′₊ _�

0, − − ′ − ′ )ditujuandummy ₊₁ dan tidak ada penawaran di

sumberdummy ₊₁.

Asumsikan biayadistribusi per unit komoditidarisumberdummyke

setiaptujuan (termasuk tujuan dummy), dandari setiapsumber (termasuk

sumber dummy)ketujuandummysebagaibilanganfuzzytrapesium nol.

2. Gunakan algoritma urutanpada metode perangkingan Thorani untuk

mengkonversi permasalahan transportasi fuzzy pada langkah pertama.

Permasalahan transportasi fuzzy pada langkah pertama dapat ditulis sebagai:

Minimumkan = ₌₁ ₌₁ ( )

(18)

61

APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ =1

= ( )

=1

0, ∀ = 1,2,…, dan = 1,2,…,

Gunakanrumus perangkingan Thorani pada persamaan 3.8

untukmenghitung ( ), ( ) dan . Sehingga permasalahan

transportasicrisppadalangkahpertamamenjadi:

Minimumkan ( ₁₁) ₁₁ + ( ₁₂) ₁₂+ + ( ₁ ) ₁₁+ ( ₂₁) ₂₁

+ ( 22) 22+ + ( 2 ) 2 + + ( 1) 1

+ ( 2) 2+ + ( )

Denganpembatas :

11 + 12+ …+ 1 = ( 1)

21+ 22+ …+ 2 = ( 2)

1+ 2+ …+ = ( )

11+ 21 + …+ 1 = ( 1)

12+ 22+ …+ 2= ( 2)

1 + 2 + …+ = ( )

0, ∀ = 1,2,…, dan = 1,2,…,

Apabila terdapat bilangan fuzzy yang memiliki rangking atau nilai crisp

yang sama, maka berdasarkan algoritma urutan, bilangan fuzzy tersebut tidak

dapat dibandingkan sehingga harus dilakukan tahap selanjutnya pada algoritma

urutan yaitu menghitung modedari bilangan fuzzy yang memiliki nilai crisp

yang sama. Pada langkah kedua inilah algoritma urutan digunakan.

3. Selesaikanpermasalahantransportasicrisp yang

(19)

62

4. Hitung total biayafuzzy minimum denganmensubstitusikansolusi optimal yang

diperolehdarilangkahketigakefungsitujuan = ₌₁ ₌₁ .

Prosedur yang diuraikan di atas merupakan prosedur untuk mencari solusi

optimal dari permasalahan transportasi fuzzy (Thoranidan Shankar, 2013) dengan

menggunakan metode Thorani. Perangkingan Thorani digunakan pada langkah

kedua yaitu dengan menerapkan algoritma urutan untuk mengkonversi setiap

bilanganfuzzy ke dalam bentuk bilangan crisp, sehingga diperoleh

permasalahantransportasidalam bentuk crisp. Secara umum, apabiladalam

penyelesaian permasalahan transportasi fuzzyakan digunakan metode

perangkingan yang lain, maka prosedur yang dilakukan tetap sama mengikuti

prosedur dalam mencari solusi optimal dengan metode Thorani, hanya saja,

prosedur pada langkah kedua tidak lagi menggunakan algoritma urutan tetapi

menggunakan persamaan perangkingan yang diinginkan.Dengan kata lain,