Modifikasi Baris Dari Matriks Sparse Faktorisasi Cholesky

(1)

MODIFIKASI BARIS DARI MATRIKS SPARSE

FAKTORISASI CHOLESKY

TESIS

Oleh

RAHAWARNI SRI RIZKI 117021028/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(2)

MODIFIKASI BARIS DARI MATRIKS SPARSE

FAKTORISASI CHOLESKY

T E S I S

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Oleh

RAHAWARNI SRI RIZKI 117021028/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(3)

Judul Tesis : MODIFIKASI BARIS DARI MATRIKS SPARSE FAKTORISASI CHOLESKY Nama Mahasiswa : Rahawarni Sri Rizki

Nomor Pokok : 117021028

Program Studi : Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc ) (Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)

Ketua Anggota

Ketua Program Studi, Dekan,

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)

(4)

Telah diuji pada Tanggal 5 Juni 2013

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc

(5)

PERNYATAAN

MODIFIKASI BARIS DARI MATRIKS SPARSE FAKTORISASI CHOLESKY

T E S I S

Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya

Medan, Juni 2013 Penulis,

Rahawarni Sri Rizki

(6)

ABSTRAK

Mengingat matriks jarang, matriks simetris definit positifCdan faktorisasi Choles-ky jarangLDLT _{sangat erat hubungannya, maka penyelesaian masalah faktorisasi}

Cholesky dapat dikembangkan dengan suatu teknik updating setelah memodifikasi baris dan kolom pada matriks simetris C. Dalam tesis ini, Peneliti menganalisis teknik modifikasi faktorisasi Cholesky pada C berhubungan dengan rank-2 yang dapat dikomputasi secara efisien menggunakan teknik rank-1 yang berkembang sebelumnya. Menghitung bagaimana solusi dari suatu persaman linier Lx = b setelah merubah baris dan kolom pada C atau setelah merubahrank-r pada C.

Kata kunci: Aljabar linear numerik, Metode langsung, Faktorisasi Cholesky, Matriks jarang, Update matriks.

(7)

ABSTRACT

Given the sparse matrix, symmetric positive definite matrixC_{and sparse Cholesky}

factorization LDLT _{are closely related, then the Cholesky factorization problem}

solving can be developed with a technique of updating after modifying rows and columns on a symmetric matrix C_{. In this thesis, researchers analyzed the}

Cho-lesky factorization technique modification on C _{associated with} _rank–2 _{which can}

be efficiently computed usingrank–1 technique developed previously. Calculate how a solution of a linear equation L_{x =} b _{after changing rows and columns on} C _or

after a rank–r change in C_.

Keyword: Numerical linear algebra, Direct method, Cholesky factorization sparse matrix, Update the matrix.

(8)

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Allah SWT yang selalu memberikan rahmat dan hidayat yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: MODI-FIKASI BARIS DARI MATRIKS SPARSE FAKTORISASI CHOLES-KY. Penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.

Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Penge-tahuan Alam Universitas Sumatera Utara sekaligus penguji I, yang telah membe-rikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.

Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.

Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara, yang juga sebagai pembimbing utama, dan banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam menyelesaikan tesis ini.

Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembimbing-II yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam menyelesaikan tesis ini.

Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, yang juga sebagai penguji II yang telah mem-berikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.

Bapak / Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan.

Ibu Misiani, S.Si, staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang banyak membantu proses administrasi.

(9)

Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada :

Ibunda dan ayahanda tercinta, Mary Untung Pohan, BA dan Alm. An-war Siregar,BA serta keluarga tercinta,suami : Ali Ahmad Ependi Nasu-tion, Adik : Mira Kurniati Siregar, Yudith Indra Malaon Siregar serta Wiyana Levi Santi Siregaryang telah memberikan kasih sayang dan dukungan baik moril maupun materiil selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini.

Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara khususnya angkatan reguler tahun 2011 Ganjil, dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Allah SWT membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan.

Medan, Juni 2013 Penulis,

Rahawarni Sri Rizki

(10)

RIWAYAT HIDUP

Rahawarni Sri Rizki, dilahirkan di Sipirok, Tapanuli Selatan pada tanggal 16 Maret 1968, merupakan anak tungga dari Mary Untung Pohan, BA dan Alm. Anwar Siregar,BA. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 2 Padang Sidempuan pada tahun 1981, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMPN 1 Padang Sidempuan pada tahun 1984, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Negeri 2 Padang Sidempuan pada tahun 1987.

Pada tahun 1988 penulis melanjutkan pendidikan Strata-1 pada Fakultas Pen-didikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan PenPen-didikan Kimia di IKIP Medan dan melanjut pada tingkatan Strata-1 pada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muslim Nusantara, dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada tahun 2000. Pada September 2011 penulis melanjutkan studi pada Program Studi Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara. Saat ini penulis, bertugas sebagai tenaga pengajar pada Sekolah SMPN 1 Percut Sei Tuan yang dimulai pada tahun 2003.

(11)

DAFTAR ISI

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Tujuan Penelitian 2

1.4 Manfaat Penelitian 2

1.5 Metode Penelitian 3

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 4

BAB 3 LANDASAN TEORI 6

3.1 Matriks Jarang (Sparse) 6

3.2 Rank Matriks 6

3.3 Faktorisasi Cholesky 7

3.4 Faktorisasi Cholesky Sparse 7

3.5 Modifikasi Faktorisasi Cholesky 8

(12)

3.6 Metode C1 9 BAB 4 MODIFIKASI BARIS DAN KOLOM MATRIKS SPARSE

FAK-TORISASI CHOLESKY 10

4.1 Penambahan Baris dan Kolom pada Matriks C 10

4.2 Penambahan Baris Sparse (Matriks Jarang) 13

4.3 Menghapus Baris 15

4.4 Menghapus Baris Sparse 17

4.5 Memodifikasi Sembarang Baris 18

4.6 Membuat Pertukaran Sparse ke Baris Sparse Lain 19

4.7 Memodifikasi Baris Rank-2 Outer-Product 21

4.8 Memodifikasi Sistem Segitiga Bawah 22

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 26

5.1 Kesimpulan 26

5.2 Saran 26

DAFTAR PUSTAKA 27