ANALISA SOLUSI PERSAMAAN BEDA LINIER
SKRIPSI
VARIAN LUTHFAN
PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012
▸ Baca selengkapnya: menentukan solusi adalah
(2)ANALISA SOLUSI PERSAMAAN BEDA LINIER
SKRIPSI
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika
Pada Fakultas Sains Dan Teknologi Universitas Airlangga
Disetujui oleh Pembimbing I
Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si. NIP. 19640103 198810 1 001
Pembimbing II
Cicik Alfiniyah, S.Si., M.Si. NIP. 19860412 200812 2 003
LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI
Judul : Analisa Solusi Persamaan Beda Linier Penyusun : Varian Luthfan
Nomor Induk : 080810567
Tanggal Ujian : 22 September 2012
Disetujui oleh: Pembimbing I,
Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si. NIP. 19640103 198810 1 001
Pembimbing II,
Cicik Alfiniyah, S.Si., M.Si. NIP. 19860412 200812 2 003 Mengetahui:
Ketua Program Studi S-1 Matematika Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Airlangga
Dr. Miswanto, M.Si. NIP. 19680204 199303 1 002
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI
Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penyusun dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan milik Universitas Airlangga.
KATA PENGANTAR
Alhamdulillaahirabbil’aalamiin. Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah mengaruniakan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini yang berjudul “Analisa Solusi Persamaan Beda Linier”.
Materi di dalam skripsi ini bukanlah sesuatu yang baru, tetapi penulis hanya mengkaji (bedah buku) tentang solusi persamaan beda linier pada buku Difference Equations (Kelley dan Peterson, 2001), yang belum diperoleh mahasiswa S-1 Matematika. Penulis kemudian memaparkan kembali bukti dari teorema-teorema yang dikaji secara lebih detail dengan bahasa sendiri dan melengkapinya dengan contoh yang memenuhi agar lebih mudah dipahami oleh pembaca. Adanya contoh kasus sistem penggajian pegawai adalah bukti penerapan persamaan beda linier dalam kehidupan sehari-hari.
Penulis bukanlah orang yang cukup hebat sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini seorang diri. Penulis mendapatkan banyak bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini, penulis ingin menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Allah SWT, Tuhan yang telah mengaruniakan ilmu yang bermanfaat dan selalu membimbing penulis dalam setiap langkah penulis.
2. Almarhum ayah, Fatchoer Rozy, ibu tercinta, Setianing, dan adik-adikku tersayang, Edwin dan Noval, yang telah memberikan kasih sayang, semangat yang begitu besar, dukungan dan doa yang terus-menerus agar penulis dapat menyelesaikan studi S-1 dengan baik.
3. Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si. selaku pembimbing I dan Cicik Alfiniyah, S.Si., M.Si. selaku pembimbing II, yang telah memberikan pengetahuan, bimbingan, dan perhatian dengan baik dan penuh kesabaran, serta senantiasa memberikan nasehat dan arahan kepada penulis yang telah banyak melakukan kesalahan dalam penulisan skripsi ini.
4. Dr. Eridani, M.Si. dan Nenik Estuningsih, M.Si. selaku dosen dan penguji skripsi ini yang telah memberikan banyak koreksi penting dan masukan yang sangat berarti.
5. Dr. Miswanto, M.Si. selaku Kepala Departemen Matematika yang telah memberikan banyak masukan, pikiran, dan semangat.
6. Untuk Jatu Herlina yang telah setia menjadi seorang teman, sahabat, pemberi motivasi serta semangat yang tak pernah henti. Terima kasih atas segala do’a dan perhatiannya selama ini.
7. Teman-teman Matematika UNAIR angkatan 2008, Putu, Abi, Harun, Safik, Rizal, Lefko, Zuda, Adis, Annas, Yani, Andri, Bambang, Athok, Kiky, Hadi, dan teman-teman lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu, terima kasih atas setiap kritik, saran, masukan, dan motivasi yang kalian berikan kepada penulis.
Semoga melalui tulisan ini, pembaca dapat memperoleh manfaat serta perlindungan dari Allah SWT, Amiin Yaa Rabbal’aalamiin.
Surabaya, Juli 2012 Penulis
Varian Luthfan. 2012. Analisa Solusi Persamaan Beda Linier. Skripsi ini di bawah bimbingan Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si dan Cicik Alfiniyah, S.Si., M.Si. Departemen Matematika. Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.
ABSTRAK
Menyelesaikan sebuah persamaan beda linier berarti menemukan semua fungsi yang jika disubstitusikan ke persamaan beda tersebut akan bernilai benar. Fungsi tersebut disebut sebagai solusi dari persamaan beda. Namun, tidak semua persamaan beda mempunyai solusi. Persamaan beda linier orde mempunyai solusi tunggal jika terdapat nilai awal yang ditentukan. Pada skripsi ini persamaan beda linier dibatasi hanya untuk persamaan beda linier dengan koefisien konstan. Beberapa metode dapat digunakan untuk menentukan solusi umum dari persamaan beda linier dengan koefisien konstan, diantaranya adalah metode akar dari persamaan karakteristik untuk persamaan beda linier homogen, metode annihilator untuk persamaan beda linier tak homogen, dan metode variasi parameter untuk persamaan beda linier homogen dan tak homogen. Dalam penerapan persamaan beda, tidak hanya solusi yang menjadi kebutuhan utama dari persamaan beda, tetapi juga perilaku dari solusi tersebut di sekitar titik kesetimbangan. Menentukan kestabilan solusi persamaan beda linier orde satu diperoleh dengan mencari titik kesetimbangan dari persamaan beda linier orde satu, kemudian menentukan solusinya dan limit dari solusi tersebut terhadap titik kesetimbangannya. Untuk persamaan beda linier orde lebih dari satu, kestabilan solusinya dilakukan dengan mencari nilai eigen, kemudian mencari jari-jari spektral, dan jika jari-jari spektralnya kurang dari satu, maka solusi persamaan beda linier orde lebih dari satu dikatakan stabil asimtotik. Adanya contoh kasus sistem penggajian pegawai adalah bukti penerapan persamaan beda linier dalam kehidupan sehari-hari.
Kata Kunci: Persamaan Beda Linier, Metode Akar Persamaan Karakteristik, Metode Annihilator, Metode Variasi Parameter, Kestabilan Solusi.
Varian Luthfan. . Analisa Solusi Persamaan Beda Linier. This skripsi in under the guidance by Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si. and Cicik Alfiniyah, S.Si., M.Si. Mathematics Department of Science and Technology Faculty. Airlangga University.
ABSTRACT
Solving a linear difference equation means finding all the functions which, if substituted into that difference equation has true value. The function is called a solution of difference equation. But, not all difference equation has solution. The -order linear difference equation has unique solution if there are prescribed initial values. In this skripsi linear difference equation is limited for linear difference equation with constant coefficients. Several methods can be used to determine the general solution of linear difference equations with constant coefficients, including the roots of the characteristic equation method for homogeneous linear difference equations, annihilator method for nonhomogeneous linear difference equations, and variation of parameters method for homogeneous and nonhomogeneous linear difference equations. In application of difference equation, not only the solution that becomes central parts of difference equation, but also behavior of the solution around the equilibrium point. Determine the stability of solutions of first-order linear difference equation is obtained by finding the equilibrium point of first-order linear difference equation, and then define the solution and the limit of such solutions to the equilibrium point. For the higher-order linear difference equation, the stability of the solutions is done by finding the eigenvalues, then find the spectral radius and if the spectral radius less than one, then the solutions of higher-order linear difference equation is said to be asymptotically stable. Existence of employee payroll system is evidence of linear difference equations application in daily life. Keywords: Linear Difference Equation, Roots of Characteristic Equation Method,
Annihilator Method, Variation of Parameters Method, Stability of Solutions.
DAFTAR ISI
Halaman
LEMBAR JUDUL ... i
LEMBAR PERNYATAAN ... ii
LEMBAR PENGESAHAN ... iii
LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ... iv
KATA PENGANTAR ... v
ABSTRAK ... vii
ABSTRACT ... viii
DAFTAR ISI ... ix
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1. Latar Belakang Masalah ... 1
1.2. Rumusan Masalah ... 3
1.3. Tujuan ... 4
1.4. Manfaat ... 4
1.5. Batasan Masalah ... 5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 6
2.1. Kalkulus Beda ... 6
2.2. Persamaan Beda Linier ... 12
2.3. Kestabilan Solusi ... 13
BAB III METODE PENULISAN ... 17
BAB IV PEMBAHASAN ... 18
4.1. Penentuan Syarat Suatu Persamaan Beda Memiliki Solusi ... 18
4.2. Penentuan Solusi Persamaan Beda Linier ... 24
4.2.1. Metode Akar Persamaan Karakteristik ... 31
4.2.2. Metode Annihilator ... 35
4.2.3. Metode Variasi Parameter ... 38
4.3. Kestabilan Solusi Persamaan Beda Linier ... 42
4.3.1. Kestabilan Solusi Orde Satu ... 43
4.4. Contoh Kasus Persamaan Beda Linier ... 54
BAB V KESIMPULAN ... 58
5.1. Kesimpulan ... 58
5.2. Saran ... 59
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Persamaan beda muncul sebagai gambaran alami dari fenomena perubahan yang teramati dengan variabel waktu diskrit. Penerapan teori persamaan beda berkembang pesat dalam berbagai bidang, seperti analisis numerik, teori kontrol, matematika hingga, dan ilmu komputer (Lakshmikantham dan Trigiante, 2002). Persamaan beda seringkali digunakan sebagai alternatif penyelesaian persamaan diferensial, karena tidak semua persamaan diferensial dapat diselesaikan secara analitik (Penna, 2005).
Secara umum, persamaan beda dengan orde didefinisikan sebagai [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) dengan ( ) dan ( ) berturut-turut didefinisikan sebagai ( ) ( ) ( ) dan ( ) [ ( )], serta ( ) dan ( ) adalah fungsi
yang belum diketahui sedangkan adalah variabel bebasnya. Dalam kasus tertentu seperti penerapannya pada bilangan Fibonacci dan masalah menara Hanoi, pada skripsi ini, nilai interval beda yang digunakan adalah . Jika fungsi linier, maka persamaan ( ) disebut persamaan beda linier. Jika fungsi tak linier, yang berarti dalam fungsi tersebut terdapat variabel yang berderajat lebih/kurang dari satu, maka persamaan ( ) disebut persamaan beda tak linier (Lakshmikantham dan Trigiante, 2002).
Konsep persamaan beda linier dinilai penting untuk sejumlah alasan. Penerapan matematika dalam kehidupan seringkali menggunakan konsep persamaan beda linier, seperti pada bilangan Fibonacci dan masalah menara Hanoi (Kelley dan Peterson, 2001). Selain itu, linierisasi digunakan pada persamaan beda tak linier untuk menganalisis kestabilan dari solusinya. Oleh karena itu, persamaan beda linier merupakan salah satu bahasan yang penting.
Persamaan beda linear adalah persamaan beda yang memiliki bentuk ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dengan definisi awal bahwa ( ) ( ) ( ), maka persamaan ( ) dapat dibentuk menjadi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Persamaan ( ) disebut juga persamaan beda linear tak homogen orde . Jika ( ) , maka persamaan ( ) adalah persamaan beda linier homogen orde (Kelley dan Peterson, 2001). Selain homogen dan tak homogen, adanya solusi persamaan beda menunjukkan persamaan tersebut adalah pernyataan yang benar.
Menyelesaikan persamaan beda berarti menemukan semua fungsi yang apabila disubstitusikan ke persamaan beda akan bernilai benar. Fungsi tersebut disebut sebagai solusi dari persamaan beda. Namun, tidak semua persamaan beda mempunyai solusi, sebagai contoh, persamaan beda yang didefinisikan sebagai
[ ( ) ( )] [ ( )]
tidak punya solusi, sebab tidak ada fungsi bernilai real yang memenuhi persamaan tersebut. Oleh karena itu, perlu dilakukan pengkajian terhadap syarat suatu persamaan beda mempunyai solusi.
Solusi persamaan beda dapat dicari dengan berbagai cara. Persamaan beda dapat diselesaikan dengan proses yang sederhana, tetapi seringkali diperlukan substitusi-substitusi tertentu pada persamaan tersebut sedemikian hingga persamaan dapat berubah menjadi suatu bentuk yang lebih sederhana. Disamping itu, dalam penerapan persamaan beda, tidak hanya solusi yang menjadi kebutuhan utama dari persamaan beda, tetapi juga perilaku dari solusi tersebut di sekitar titik kesetimbangan.
Berdasarkan uraian di atas dalam penulisan ini penulis tertarik untuk membahas bagaimana syarat agar persamaan beda mempunyai solusi. Apabila persamaan tersebut mempunyai solusi, bagaimana menentukan solusi dari persamaan beda tersebut. Selain itu, penentuan perilaku dari solusi yang dihasilkan dengan/tanpa mencari solusinya juga menjadi bagian penting dari penulisan ini.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka penulis merumuskan permasalahan sebagai berikut:
1. Apakah syarat yang diperlukan agar suatu persamaan beda memiliki solusi?
2. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan beda pada kasus homogen dan tak homogen?
3. Apakah syarat yang diperlukan untuk menentukan kestabilan solusi persamaan beda?
4. Bagaimana cara menentukan kestabilan solusi persamaan beda tanpa mencari solusinya terlebih dahulu?
5. Bagaimana mengkonstruksi dan menyelesaikan persamaan beda linier dalam permasalahan sehari-hari?
1.3 Tujuan
Tujuan dari skripsi ini adalah:
1. Mengetahui syarat yang diperlukan agar suatu persamaan beda memiliki solusi.
2. Mengetahui cara menyelesaikan persamaan beda pada kasus homogen dan tak homogen.
3. Mengetahui syarat yang diperlukan untuk menentukan kestabilan solusi persamaan beda.
4. Mengetahui cara menentukan kestabilan solusi persamaan beda tanpa mencari solusinya terlebih dahulu.
5. Mengetahui cara mengkonstruksi dan menyelesaikan persamaan beda linier dalam permasalahan sehari-hari.
1.4 Manfaat
Manfaat yang diharapkan dari penulisan ini adalah sebagai berikut:
1. Sebagai salah satu referensi yang terkait dengan solusi dari persamaan beda linier.
2. Menerapkan dan mengembangkan konsep persamaan beda dalam kehidupan sehari-hari.
1.5 Batasan Masalah
Mengacu pada rumusan masalah yang telah disebutkan, maka yang dimaksud dengan persamaan beda dalam penulisan skripsi ini adalah persamaan beda linier orde dan mempunyai solusi tunggal.
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Dalam bab ini, akan diberikan definisi maupun teorema yang akan digunakan dalam pembahasan, diantaranya adalah kalkulus beda, yang berguna untuk mempermudah dan mengkaji syarat-syarat yang diperlukan dalam penyelesaian persamaan beda, dan persamaan beda linier, konsep yang mendukung penulisan ini, serta kestabilan solusi, yang menjadi bagian penting dalam penentuan kestabilan solusi.
2.1 Kalkulus Beda
Bagian dari kalkulus beda yang digunakan dalam penulisan ini antara lain operator beda beserta sifat-sifatnya yang merupakan komponen dasar dari perhitungan yang melibatkan beda hingga, operator geser yang merupakan bentuk sederhana dari operator beda, jumlah tak tentu yang merupakan operator kebalikan dari operator beda, serta fungsi faktorial yang merupakan konsep yang mendukung dalam penyelesaian persamaan beda.
Definisi (Operator Beda) Misalkan sebuah fungsi dengan variabel bilangan real atau bilangan kompleks. Sebuah operator beda , didefinisikan sebagai
Sebagian besar, domain dari adalah himpunan bilangan bulat berurutan, seperti bilangan asli
Operator beda orde kedua ditulis sebagai [ ]
[ ]
[ ] [ ] Secara umum, operator beda orde ke- didefinisikan sebagai
∑ ( )
Operator dasar yang sering digunakan bersama dengan operator beda adalah operator geser.
Definisi (Operator Geser) Diberikan sebuah fungsi . Operator geser didefinisikan sebagai
(Kelley dan Peterson, hal 14, 2001) Dengan menerapkan operator geser dua kali akan didapatkan
[ ] [ ] Jika diartikan sebagai operator identitas, yaitu maka
hal ini berarti bahwa
Jika sebarang bilangan asli , maka operator geser memiliki bentuk umum yang didefinisikan sebagai
[ ]
∑ ( )
Pada operator beda berlaku sifat-sifat dasar operator beda. Teorema berikut ini adalah sifat-sifat dasar dari operator beda.
Teorema (Sifat Operator Beda) Misalkan konstanta, sehingga 1.
2. ( ) ( )
3. ( ) ( )
4. ( ) 5.
6. [ ] untuk semua bilangan bulat positif dan .
7. [ ] .
8. [ ] , dengan konstanta.
9. [ ]
10. * + .
Bukti: 1. 2. ( ) ( ) 3. ( ) ( ) 4. ( ) 5. 6. [ ] [ ] 7. [ ] [ ] [ ] [ ] 8. [ ] [ ] 9. [ ] , . 10. * + [ ] [ ]
Definisi Jumlah tak tentu (atau anti beda) dari , dinotasikan ∑ , adalah sebarang fungsi sedemikian hingga
*∑ + untuk setiap dalam domain dari .
(Kelley dan Peterson, hal 20, 2001)
Pada jumlah tak tentu berlaku pula sifat-sifat dasar jumlah tak tentu. Teorema berikut ini adalah sifat-sifat dasar dari jumlah tak tentu.
Teorema Diberikan sebuah konstanta. 1. Untuk , 2. ∑ 3. ∑ ( ) 4. ∑ ( ) 5. ∑ 6. ∑[ ] ∑ ∑ 7. ∑ ∑ , dengan konstanta. 8. ∑[ ] ∑ 9. ∑[ ] ∑
(Kelley dan Peterson, hal 22, 2001) Bukti:
1. 2. ∑ ∑ * + 3. ∑ ∑ [ ( )] ( ) 4. ∑ ∑ [ ( )] ( ) 5. ∑ ∑[ ] 6. ∑[ ] ∑ ∑ 7. ∑ ∑ . 8. ∑[ ] ∑[ ] ∑ 9. ∑[ ] ∑[ ] ∑
Definisi (Fungsi Faktorial) Fungsi faktorial adalah fungsi yang didefinisikan sebagai
yang berisi faktor.
(Spiegel, hal 5-6, 1971) Nama faktorial muncul karena dalam sebuah kasus khusus saat menyebabkan , yaitu faktorial. Jika
maka
Untuk bilangan bulat negatif, persamaan menjadi
kemudian untuk selain bilangan bulat, didefinisikan sebagai
dengan ∫ . Selain itu, dengan menggunakan operator beda
untuk semua bilangan bulat , berlaku
[ ]
sehingga dapat dituliskan sebagai
2.2 Persamaan Beda Linier
Persamaan beda linier terbentuk dari beberapa fungsi yang membentuk sebuah persamaan linier yang memiliki bentuk khusus dan dapat memiliki penyelesaian yang memenuhi persamaan tersebut.
Definisi (Persamaan Beda Linier Orde Pertama) Diberikan dan adalah fungsi dengan untuk setiap . Persamaan beda linier orde pertama didefinisikan sebagai
(Kelley dan Peterson, hal 43, 2001) Persamaan dikatakan orde pertama karena terdapat yang hanya bernilai saat dan , seperti pada yang merupakan operator beda orde pertama. Jika untuk setiap , maka persamaan dapat ditulis sebagai .
Definisi (Persamaan Beda Linier) Persamaan beda linier orde adalah persamaan beda yang memiliki bentuk
dengan , dan fungsi dari dan untuk setiap .
(Kelley dan Peterson, hal 50, 2001) Persamaan disebut juga persamaan beda linier tak homogen dengan orde . Jika , maka persamaan merupakan persamaan yang homogen. Dan jika konstanta, maka persamaan dapat dikatakan sebagai persamaan beda linier tak homogen berorde dengan koefisien konstanta. Persamaan ini dapat juga dituliskan sebagai
[ ]
dengan .
2.3 Kestabilan Solusi
Pengujian kestabilan solusi yang dihasilkan dari sebuah persamaan akan menentukan perilaku dari sebuah solusi. Titik kesetimbangan, matriks sekawan serta definisi nilai eigen menjadi bagian penting dalam penentuan kestabilan. Definisi (Titik Kesetimbangan) Diberikan persamaan beda orde satu
[ ] dengan adalah fungsi dalam . Sebuah titik di dalam domain dari dikatakan titik kesetimbangan dari persamaan jika titik tersebut adalah titik tetap dari , yaitu titik yang memenuhi [ ] .
Sebagai contoh, diberikan persamaan beda , dengan [ ] Untuk mencari titik kesetimbangannya, dimisalkan [ ] atau . Sehingga dihasilkan titik kesetimbangan .
Definisi (Matriks Sekawan) Pandang persamaan . Persamaan tersebut akan dibentuk menjadi sebuah sistem persamaan orde satu. Misalkan
Dengan [ ], maka Dalam notasi vektor, sistem ini dapat dituliskan sebagai
dengan
( ) ( )
dengan adalah matriks sekawan dari persamaan .
(Kelley dan Peterson, hal 125-126, 2001)
Teorema (Syarat Awal) Untuk setiap dan setiap -vektor , persamaan mempunyai solusi tunggal yang didefinisikan untuk , sedemikian hingga .
(Kelley dan Peterson, hal 126, 2001) Bukti: Pandang persamaan Misalkan , akan dilakukan iterasi dari .
Secara induksi, dapat ditentukan bahwa
∏ dengan ∏ {
Andaikan bebas terhadap (yaitu semua koefisien dari sistem adalah konstanta) dan . Solusi dari
yang memenuhi syarat awal , adalah .
Definisi (Nilai Eigen dan Vektor Eigen) Misalkan adalah matriks sekawan yang dibentuk dari koefisien pada persamaan . Jika mempunyai solusi tak trivial untuk beberapa , maka dinamakan nilai eigen dari dan dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan . Nilai eigen dari
memenuhi persamaan karakteristik
dengan adalah matriks identitas .
(Kelley dan Peterson, hal 127, 2001)
Definisi (Spectrum) Spectrum dari , dinotasikan , adalah himpunan nilai eigen dari .
(Kelley dan Peterson, hal 127, 2001)
Definisi (Jari-jari Spektral) Jari-jari spektral dari , yaitu , didefinisikan sebagai
| |
BAB III
METODE PENULISAN
Langkah-langkah yang digunakan dalam menyelesaikan permasalahan dalam penulisan ini adalah:
1. Mengkaji dan menunjukkan syarat-syarat yang diperlukan agar persamaan beda memiliki solusi beserta contoh.
2. Mendefinisikan persamaan beda linier dan merumuskan penyelesaian pada kasus homogen dan tak homogen.
i. Mendefinisikan konsep bebas linier dan matriks casorati. ii. Mengkaji metode akar persamaan karakteristik beserta contoh. iii. Mengkaji metode annihilator beserta contoh.
iv. Mengkaji metode variasi parameter beserta contoh.
3. Mengkaji dan menunjukkan syarat-syarat yang diperlukan untuk menentukan kestabilan solusi persamaan beda orde satu beserta contoh. 4. Mengkaji kestabilan solusi dari persamaan beda tanpa mencari solusi dari
persamaan beda linier orde lebih dari satu beserta contoh. 5. Mengkaji contoh kasus persamaan beda linier.
BAB IV PEMBAHASAN
Pada bab ini memuat pembahasan tentang analisa solusi persamaan beda linier, yaitu bagaimana syarat agar persamaan beda memiliki solusi, bagaimana menentukan solusinya, serta bagaimana menentukan kestabilan solusinya. Subbab pertama membahas syarat yang diperlukan agar suatu persamaan beda memiliki solusi. Kemudian subbab kedua membahas tentang penentuan solusi persamaan beda linier. Pada subbab ketiga membahas tentang kestabilan solusi persamaan beda.
4.1 Penentuan Syarat Suatu Persamaan Beda Memiliki Solusi
Berdasarkan bentuk solusi yang dihasilkan dari suatu persamaan beda, solusi persamaan beda terdiri atas dua macam, yaitu solusi umum dan solusi khusus. Solusi khusus adalah solusi yang diperoleh dengan mensubstitusikan nilai awal yang telah ditentukan sebelumnya, sedangkan solusi umum adalah solusi yang didalamnya terdapat sebarang konstanta, misalkan .
Pada skripsi ini, terlebih dahulu dibahas tentang syarat adanya solusi, terutama solusi khusus. Tidak semua persamaan beda memiliki solusi umum maupun khusus, sehingga pemeriksaan syarat perlu ditinjau sebelumnya untuk mengetahui adanya solusi dari persamaan beda.
Menyelesaikan persamaan beda linier berarti menemukan semua fungsi yang jika disubstitusikan ke persamaan beda tersebut akan bernilai benar. Fungsi tersebut disebut sebagai solusi dari persamaan beda. Namun karena beberapa
persamaan beda mempunyai banyak solusi dan terkadang tidak mempunyai solusi, sangat penting untuk mengetahui bahwa untuk persamaan beda linier, selalu dapat ditemukan paling sedikit satu solusi dan dalam kondisi tertentu, hanya satu solusi. Kondisi tertentu yang dimaksud adalah kondisi saat persamaan beda memiliki nilai awal yang telah ditentukan sebelumnya (Goldberg, 1958).
Sebelum membuktikan teorema ketunggalan dan eksistensi solusi khusus untuk persamaan beda linier dengan orde , pertama akan dibahas untuk kasus khusus orde dua. Persamaan beda linier orde dua mempunyai bentuk
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dengan ( ) ( ) untuk setiap . Untuk , persamaan ( ) menjadi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Dengan hanya mengetahui satu nilai dari ( ), ( ), atau ( ), tidak dapat digunakan untuk menemukan dua solusi lainnya. Namun jika diketahui dua nilai berurutan dari tiga solusi di atas, misalkan ( ) dan ( ), maka dapat ditemukan nilai yang lainnya, yaitu ( ). Sehingga
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dan karena ( ) , maka kedua ruas pada persamaan ( ) dapat dibagi oleh
( ), sehingga diperoleh ( ) Selanjutnya digunakan pasangan ( ) dan ( ) untuk menemukan ( ). Dengan , persamaan ( ) menjadi
( ) ( )
Seperti sebelumnya, dengan pembagian oleh ( ) maka didapatkan ( ) yang tunggal. Dengan nilai ( ) yang telah didapatkan sebelumnya, maka ( ) juga akan memuat ( ) dan ( ). Sehingga solusi dari persamaan orde dua ( ) memuat dua nilai ( ) dan ( ).
Setiap pasangan lain dari nilai-nilai ( ) yang berurutan penggunaannya serupa dengan yang dijelaskan sebelumnya untuk menentukan sebuah solusi yang tunggal. Sehingga, jika ( ) dan ( ) ditentukan, sebagai contoh, maka dapat digunakan persamaan beda secara berturut-turut untuk mendapatkan ( ), ( ), ( ), ( ), dan ( ) begitu juga dengan ( ), ( ), .
Eksistensi dan ketunggalan solusi khusus orde ke diberikan dalam Teorema berikut ini.
Teorema Diberikan persamaan beda linier orde sebagai berikut
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Jika ( ) ( ) dan ( ) merupakan fungsi yang terdefinisi untuk dan untuk setiap , ( ) dan ( ) , maka untuk sebarang * + dan sebarang bilangan terdapat hanya satu ( ) yang memenuhi persamaan ( ) untuk dan ( )
untuk
(Kelley dan Peterson, hal 50, 2001) Bukti: Diketahui nilai awal ( ) ( ) ( ), dengan * +. Diketahui pula ( ) ( ) dan ( ) merupakan fungsi yang
terdefinisi untuk dan untuk setiap , ( ) . Berdasarkan persamaan ( ) diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ada dengan tunggal. Kemudian akan dibuktikan bahwa terdapat dengan tunggal nilai ( ) untuk dan .
Pembuktian untuk dilakukan dengan induksi matematik, yaitu untuk setiap , terdapat dengan tunggal ( ). Untuk , misalkan , maka
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Karena terdapat nilai awal ( ) , dan ( ) , maka ( ) ada dengan tunggal.
Misalkan untuk , nilai ( ) ada dengan tunggal. Akan dibuktikan bahwa untuk nilainya ada. Misalkan , maka
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Karena terdapat nilai awal ( ) , dan ( ) , maka ( ) ada dengan tunggal.
Kemudian, untuk , dengan dengan bilangan bulat non negatif. Pembuktian dilakukan dengan menentukan nilai dari ( ) ( ) ( ). Untuk , maka
Karena terdapat nilai awal ( ) , dan ( ) , maka ( ) ada dengan tunggal. Untuk , maka
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Karena terdapat nilai awal ( ) , dan ( ) , maka ( ) ada dengan tunggal.
Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan dengan tunggal untuk ( ), yaitu
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Karena terdapat nilai awal ( ) , dan ( ) , maka ( ) ada dengan tunggal. Dengan demikian, penyelesaian ( ) saat dapat
ditentukan.
Contoh Diberikan persamaan beda
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dengan
Misalkan , dengan ( ) dan ( ) untuk Berdasarkan persamaan ( ) diperoleh
( ) ( ) ( ) ( )
Penyelesaian untuk dilakukan dengan iterasi, yaitu untuk mendapatkan nilai dari ( ) ( ) dan seterusnya, serta akan dibuktikan nilai untuk yaitu ( ) ( ) ( ). Untuk , dengan ( ) dan ( ) ada dengan tunggal, diperoleh nilai
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ada dengan tunggal. Kemudian untuk , dengan ( ) dan ( ) ada dengan tunggal, diperoleh nilai
( ) ( ) ( ) ( )
( ),( )( ) - ( )
ada dengan tunggal. Untuk nilai ( ) ( ) diperoleh dengan tunggal menggunakan cara yang sama seperti yang telah dijelaskan sebelumnya. Selanjutnya nilai untuk , yaitu dan , akan dibuktikan ada dengan tunggal. Saat , dengan ( ) dan ( ) ada dengan tunggal, diperoleh nilai
( ) ( ) ( ) ( )
ada dengan tunggal. Saat , dengan ( ) dan ( ) ada dengan tunggal, diperoleh nilai
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ada dengan tunggal. Saat , dengan ( ) dan ( ) ada dengan tunggal, diperoleh nilai
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ),( )( ) -
4.2 Penentuan Solusi Persamaan Beda Linier
Sebelumnya, pada subbab pertama telah dibahas syarat suatu persamaan beda memiliki solusi yang tunggal. Kemudian dari hasil yang didapatkan akan digunakan untuk menentukan solusinya. Namun, pola/formula solusi khususnya tidak dapat ditentukan melalui Teorema . Oleh karena itu, diperlukan metode khusus untuk menentukan solusi umum dari persamaan beda tersebut. Beberapa metode dapat digunakan untuk menentukan solusi umum dari persamaan ( ), diantaranya adalah metode akar dari persamaan karakteristik, metode annihilator, serta metode variasi parameter.
Sebelum membahas masing-masing metode dalam menentukan solusi, terlebih dahulu dikaji beberapa definisi dan teorema yang digunakan untuk menunjang metode-metode tersebut. Misalkan persamaan beda linier homogen orde didefinisikan sebagai berikut.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Teorema (Sifat Dasar Solusi)
a. Jika ( ) dan ( ) solusi dari persamaan ( ), maka ( ) ( ) juga solusi dengan sebarang konstanta dan .
b. Jika ( ) solusi dari persamaan ( ) dan ( ) solusi dari persamaan ( ), maka ( ) ( ) solusi dari persamaan ( ).
c. Jika ( ) dan ( ) solusi dari persamaan ( ), maka ( ) ( ) solusi dari persamaan ( ).
(Kelley dan Peterson, hal 51, 2001) Bukti:
a. Misalkan ( ) dan ( ) solusi dari persamaan ( ), yaitu memenuhi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dan
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Berdasarkan dua persamaan tersebut, diperoleh
( ), ( ) ( )- ( ), ( ) ( ( ), ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-
Hal ini berarti bahwa ( ) ( ) juga solusi dari persamaan ( ) dengan
sebarang konstanta dan
b. Misalkan ( ) dan ( ) berturut-turut solusi dari persamaan ( ) dan ( ), yaitu memenuhi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dan
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ), ( ) ( )- ( ), ( ) ( )- ( ), ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Hal ini berarti bahwa ( ) ( ) solusi dari persamaan ( ).
c. Misalkan ( ) dan ( ) solusi dari persamaan ( ), yaitu memenuhi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dan
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Berdasarkan dua persamaan tersebut, diperoleh
( ), ( ) ( )- ( ), ( ) ( )- ( ), ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-
( ) ( )
Hal ini berarti bahwa ( ) ( ) solusi dari persamaan ( ).
Akibat Jika ( ) adalah solusi dari persamaan ( ), maka setiap solusi ( ) dari persamaan ( ) membentuk
( ) ( ) ( )
dengan ( ) merupakan beberapa solusi dari persamaan ( ).
(Kelley dan Peterson, hal 51, 2001) Bukti: Misalkan ( ) dan ( ) berturut-turut adalah solusi dari persamaan ( ) dan ( ), yaitu memenuhi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dan
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Berdasarkan dua persamaan tersebut, diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( )- ( ), ( ) ( )- ( ), ( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Hal ini berarti bahwa ( ) ( ) ( ) solusi dari persamaan ( ).
Berdasarkan Akibat permasalahan untuk menemukan semua solusi dari persamaan ( ) dapat disederhanakan menjadi dua masalah.
a. Menemukan semua solusi dari persamaan ( ). b. Menemukan sebuah solusi dari persamaan ( ).
Definisi-definisi berikut ini dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah pertama.
Definisi (Bergantung Linier) Himpunan fungsi { ( ) ( )} disebut bergantung linier pada himpunan jika terdapat konstanta
tidak semuanya nol, sedemikian hingga
( ) ( ) ( ) ( ) untuk Jika tidak, maka himpunan tersebut bebas linier.
(Kelley dan Peterson, hal 51, 2001)
Kemudian didefinisikan sebuah matriks yang sangat berguna dalam persamaan linier.
Definisi (Matriks Casorati) Matriks casorati didefinisikan sebagai
( ) (
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
) ( )
dengan adalah fungsi yang telah diberikan. Determinan dari ( ) ( ) ( )
(Kelley dan Peterson, hal 52, 2001)
Teorema Diketahui ( ) ( ) solusi dari persamaan ( ) untuk Himpunan { ( ) ( )} bergantung linier untuk jika dan hanya jika ( ) untuk beberapa .
(Kelley dan Peterson, hal 52, 2001) Bukti: Misalkan ( ) ( ) bergantung linier. Maka terdapat konstanta
, tidak semua nol, sedemikian hingga
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
untuk Karena sistem persamaan beda linier homogen ini mempunyai suatu solusi nontrivial , determinan dari matriks koefisien ( ) adalah nol untuk
Sebaliknya, misalkan diambil sebarang * +, dengan ( ) , dan ( ) ( ) ( ) ( ). Berdasarkan Teorema , maka adalah solusi dari persamaan ( ), sehingga berlaku
( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) Karena ( ) maka ( ) ( ) ( )
Berdasarkan Teorema , maka ( ) untuk setiap . Akibatnya terdapat konstanta , tidak semua nol, sedemikian hingga himpunan * + bergantung linier.
Pentingnya himpunan solusi yang bebas linier dari persamaan ( ) adalah konsekuensi dari teorema berikutnya.
Teorema Misalkan ( ) ( ) adalah solusi dari persamaan ( ). Jika * + bebas linier, maka setiap solusi ( ) dari persamaan ( ) dapat dituliskan dalam bentuk
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dengan beberapa konstanta .
(Kelley dan Peterson, hal 53, 2001) Bukti: Misalkan solusi dari persamaan ( ) dan * + bebas linier. Berdasarkan Teorema , diperoleh ( ) untuk semua . Akibatnya, ( ) untuk Sehingga sistem dari persamaan
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
mempunyai solusi tunggal . Karena tunggal, maka ( ) tunggal. Berdasarkan Teorema , solusi dari persamaan ( ) secara tunggal ditentukan oleh nilai-nilai pada , sehingga didapatkan
untuk setiap .
4.2.1 Metode Akar Persamaan Karakteristik
Metode akar persamaan karakteristik digunakan untuk menyelesaikan persamaan beda linier homogen dengan koefisien konstan. Karena , maka dapat digunakan untuk membagi kedua ruas dari persamaan ( ) dengan dan menuliskan kembali persamaan ( ) menjadi
( ) ( ) ( ) ( ) dengan konstanta dan .
Definisi (Akar Persamaan Karakteristik)
a. Polinomial dinamakan polinomial karakteristik
dari persamaan ( ).
b. Persamaan adalah persamaan karakteristik
dari persamaan ( ).
c. Solusi dari persamaan karakteristik adalah akar-akar karakteristik.
d. Solusi mempunyai kelipatan , dengan , jika terdapat faktor ( ) pada persamaan karakteristik dari persamaan ( ).
(Kelley dan Peterson, hal 54, 2001)
Contoh Diberikan persamaan beda orde tiga
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pertama akan dibentuk menjadi persamaan ( ) dan diubah menjadi bentuk operator geser, sehingga
( * ( )
( * ( ) ( ) Persamaan karakteristiknya adalah
( * ( )
dengan dan √ . Fungsi ( ) . / , ( ) ( √ ) , dan
( ) ( √ ) adalah solusi dari persamaan ( ) sebab jika disubstitusikan
ke persamaan ( ), yaitu untuk ( ) . / , maka ( ) ( ) ( ) ( ) ( * ( * ( * ( * ( * ( *
dan untuk ( ) ( √ ) , maka
( ) ( ) ( ) ( )
( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ )
( √ ) ( √ √ )
memenuhi persamaan ( ). Kemudian untuk ( ) ( √ ) , maka ( ) ( ) ( ) ( )
( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ √ )
juga memenuhi persamaan ( ). Karena ( ) ( ( * ( √ ) ( √ ) ( * ( √ ) ( √ ) ( * ( √ ) ( √ ) ) ( * ( √ ) ( √ ) ( ( √ ) ( √ ) ) ( * ( √ ) ( √ ) ( √ √ √ √ ) ( * ( √ ) ( √ ) ( √ )
berdasarkan Teorema , * + bebas linier, sehingga berdasarkan Teorema solusi umum dari persamaan ( ) adalah
( ) ( ) ( ) ( ) ( * ( √ ) ( √ )
Diketahui bahwa ( ) | | ( ), dengan dan
| | √ . Maka ( ) dapat dituliskan sebagai
( ) ( * √ . / √ . / dengan dan sebarang konstanta.
Teorema Jika persamaan ( ) mempunyai akar karakteristik dengan kelipatan yang berurutan, maka persamaan ( )
mempunyai himpunan solusi yang bebas linier * +.
(Kelley dan Peterson, hal 55, 2001) Bukti: Persamaan ( ) dapat dituliskan dalam bentuk operator geser
( ) ( )
atau
( ) ( ) ( ) ( ) dengan dan orde dari faktornya diabaikan. Karena , maka setiap akar karakteristiknya tidak nol.
Misalkan didefinisikan
( ) ( ) ( ) Setiap solusi dari persamaan ( ) juga merupakan solusi dari persamaan ( ).
Jika , maka persamaan ( ) menjadi ( ) ( ), yang mempunyai solusi ( ) . Jika , misalkan ( ) ( ) merupakan solusi dari persamaan ( ), maka
( ) ( ) ∑ . / ( ) ( ) ∑ . / ( ) ( ) ∑ . / ( ) ( ) ( ) ( )
( )
Misalkan ( ) , akan dibuktikan bahwa tidak ada fungsi
yang memenuhi ( ) , kecuali ( ). Misalkan ( ) dengan . Jika dan , maka diperoleh
( ) ,( ) - ( )
, ( ) ( )-
Akibatnya persamaan ( ) mempunyai solusi dan
berdasarkan definisi , diperoleh himpunan solusi * + bebas
linier. Dengan menerapkan pada setiap faktor dari persamaan ( ), didapatkan solusi dari persamaan ( ) yang bebas linier.
4.2.2 Metode Annihilator
Pada subbab 4.2.1, metode akar persamaan karakteristik digunakan untuk memperoleh solusi dari persamaan ( ) yang homogen dengan koefisien konstan. Pada subbab ini, akan dibahas metode untuk memperoleh solusi dari persamaan ( ) yang tak homogen dengan koefisien konstan. Didefinisikan persamaan beda orde dengan koefisien konstan
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan metode annihilator jika ( ) adalah sebuah solusi persamaan beda homogen dengan koefisien konstan.
Teorema (Metode Annihilator) Jika ( ) solusi dari persamaan ( ), yaitu,
dan ( ) yang memenuhi
( ) ( )
maka ( ) memenuhi
( )(
) ( ) ( )
(Kelley dan Peterson, hal 57, 2001) Bukti: Misalkan ( ) solusi dari persamaan ( ). Persamaan ( ) dapat dituliskan dalam bentuk operator geser
( ) ( ) ( )
Pembuktian dilakukan dengan menerapkan operator geser
pada kedua ruas kepada persamaan ( ) yang telah diubah menjadi operator geser. Sehingga,
( )( ) ( )
( ) ( )
Karena ( ) ( ) , maka memenuhi persamaan
( ).
Contoh Diberikan persamaan beda orde tiga
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Persamaan ( ) dapat dituliskan dalam bentuk operator geser,
( * ( )
( * ( ) ( ) Karena memenuhi persamaan homogen
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
maka berdasarkan Teorema dan Teorema , ( ) memenuhi
( ) ( * ( ) ( )
(Disini ( ) adalah annihilator, yang mengeliminasi fungsi tak nol pada ruas kanan dari persamaan.)
Berdasarkan definisi , diperoleh
( ) ( * ( * ( )
Langkah selanjutnya adalah mensubstitusikan persamaan ( ) di atas ke
persamaan ( ) untuk menentukan koefisiennya. Diketahui bahwa . /
. / ( ) memenuhi bagian homogen dari persamaan ( ), sehingga cukup dengan mensubstitusikan ( ) ke persamaan ( ), yaitu
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Kemudian diperoleh sehingga dan . Oleh karena itu,
( )
( * ( * ( ) adalah solusi dari persamaan ( ).
4.2.3 Metode Variasi Parameter
Metode variasi parameter adalah metode umum yang digunakan untuk menentukan solusi dari persamaan ( ) dengan mengetahui semua solusi dari persamaan ( ) terlebih dahulu.
Teorema (Metode Variasi Parameter) Jika * ( ) ( )+ himpunan solusi yang bebas linier dari persamaan ( ), maka
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
adalah solusi dari persamaan ( ), dengan yang memenuhi sistem persamaan dari matriks
( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
(Kelley dan Peterson, hal 61, 2001) Bukti: Misalkan * ( ) ( )+ himpunan solusi yang bebas linier dari persamaan ( ). Pada subbab 4.2 telah dijelaskan bahwa setelah menemukan semua solusi dari persamaan ( ), akan dicari solusi yang memenuhi persamaan ( ). Misalkan ( ) memiliki bentuk,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dengan yang akan ditentukan. Pembuktian dilakukan dengan iterasi untuk .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Kemudian dieliminasi kondisi yang memiliki ( ) ( ) dari ekspresi terakhir dengan memilih sedemikian hingga
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Kemudian dilakukan iterasi menggunakan persamaan yang telah diketahui sebelumnya.
Untuk iterasi kedua, akan digunakan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Sama seperti sebelumnya, akan dieliminasi beberapa ekspresi terakhir, yaitu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Untuk iterasi ketiga diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Sama seperti sebelumnya, akan dieliminasi beberapa ekspresi terakhir, yaitu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Kemudian akan dibuktikan untuk , yaitu
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Sekarang akan disubstitusikan ekspresi-ekspresi ( ) ( ) ( ) yang telah ditentukan ke persamaan ( ) dan mengumpulkan kondisi yang meliputi
( ), kondisi ( ), hingga kondisi yang meliputi ( ) untuk mendapatkan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ) ( ) ( ) ( )- ( ), ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ) ( ) ( ) ( )- ( ), ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ) ( ) ( ) (
)-Karena memenuhi persamaan ( ), selain ekspresi terakhir akan bernilai nol. Sehingga diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ), ( ) ( ) ( ) ( )-Karena ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), maka
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Singkatnya, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) adalah solusi dari Persamaan ( ) jika ( ) ( ) ( ) memenuhi persamaan linier ( ) ( ) hingga ( ). Untuk mendapatkan ( ) ( ) ( ) yang tunggal, maka persamaan linier ( ) ( ) hingga ( ) dibentuk menjadi sistem persamaan linier ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
Sehingga ( ) ( ) ( ) memiliki solusi yang tunggal karena matriks ( ) memiliki determinan tak nol berdasarkan Teorema .
Contoh Diberikan persamaan beda orde dua tak homogen
( ) ( ) ( ) ( ) Dua solusi yang diperoleh dari bentuk homogen dari persamaan ( ) adalah
dan ( ) . Persamaan ( ) harus memenuhi sistem persamaan dari matriks ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dengan solusi ( ) ( * ( ) ( * Kemudian ( ) ∑ ( * ∑ ( *
* ( ) ( * ∑( ) ( * + ( * ( * *( ) ( * ( ) ( * + ( * ( * ( * ( ) ∑ ( * ∑ ( * * ( * ( * ∑ ( * ( * + ( * ( * *( * ( * ( * ( * + ( * ( * ( * Secara keseluruhan, ( ) ( ) ( )( ) * ( * ( * ( * + * ( * ( * ( * + ( ) ( * ( * ( ) ( )
4.3 Kestabilan Solusi Persamaan Beda Linier
Setelah mengetahui bagaimana menentukan solusi dari persamaan beda, pada subbab ini akan dibahas kestabilan solusi persamaan beda linier. Dalam
pembahasannya akan memanfaatkan definisi titik kesetimbangan, matriks sekawan serta definisi nilai eigen yang telah dibahas pada subbab .
Dalam penerapan persamaan beda, tidak hanya solusi yang menjadi kebutuhan utama dari persamaan beda, tetapi juga perilaku dari solusi tersebut di sekitar titik kesetimbangan. Solusi yang berada di sekitar titik kesetimbangan menunjukkan bahwa solusi tersebut tidak berubah-ubah seiring dengan waktu yang lama. Dalam aplikasinya, baik ilmu ekonomi maupun yang lain, perilaku dari solusi sangat diperlukan untuk mendapatkan informasi pada waktu yang akan datang.
4.3.1 Kestabilan Solusi Orde Satu
Untuk menentukan kestabilan solusi orde satu, digunakan definisi titik kesetimbangan pada subbab dan definisi kestabilan berikut ini.
Definisi (Kestabilan Solusi Orde Satu)
a. Titik kesetimbangan ( ) stabil jika diberikan terdapat sedemikian hingga | ( ) ( )| yang mengakibatkan | ( )
( )| . Jika tidak, maka dikatakan tidak stabil.
b. Titik ( ) dikatakan stabil asimtotik jika terdapat sedemikian hingga | ( ) ( )| yang mengakibatkan ( ) ( ).
(Elaydi, hal 11, 2005) Menentukan kestabilan orde satu dilakukan dengan mencari titik kesetimbangan dari persamaan beda orde satu dan memeriksa kestabilannya, apakah stabil atau tidak, dengan definisi yang telah diberikan.
( ) ( ) ( ) dengan ( ) terdefinisi untuk Dengan menggunakan definisi jumlah tak tentu, solusi dari persamaan ( ) adalah
( ) ∑ ( )
Untuk menentukan kestabilannya, maka akan ditunjukkan bahwa ( )
ada. Oleh karena,
( ) [∑ ( ) ] ∑ ( )
dan agar ( ) ada maka deret ∑ ( ) harus konvergen. Dengan
demikian harus diberikan syarat awal bahwa deret ∑ ( ) harus konvergen agar solusi dari persamaan ( ) stabil.
4.3.2 Kestabilan Solusi Orde Lebih Satu
Untuk kestabilan solusi dengan orde lebih dari satu, digunakan definisi matriks sekawan, nilai eigen dan vektor eigen, serta jari-jari spektral yang terdapat pada subbab . Selain itu juga digunakan teorema kestabilan orde lebih dari satu berikut ini.
Teorema (Kestabilan Solusi Orde Lebih Dari Satu) Pandang persamaan ( ). Jika sebuah matriks dengan ( ) maka memenuhi ( ) . Hal ini menyebabkan solusi dari persamaan tersebut stabil asimtotik.
Bukti: Pertama, akan dilakukan substitusi nilai pada persamaan ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Misalkan . /, maka | | | | ( ) ( ) ( ) √, ( )- ( )
Misalkan dan adalah eigen dari A dan (
* dan ( *
adalah vektor eigen dari A. Maka ( ) (
*. Kemudian akan
dicari invers dari .
( * ( )
Dengan .
/ adalah baris ke-1 dari
dan
.
/ adalah baris ke-2 dari .
Diketahui ( ) ∑ . Karena banyaknya nilai eigen dari
adalah 2, maka nilai .
( ) ∑ ( * ( * ( * ( *
Misalkan dan ( ), maka
( * ( ( ) ( )* ( * ( ( ) ( )* [ ( * ( ( ) ( )* ( * ( ( ) ( )*] [( * ( ( ) ( )* ( * ( ( ) ( )*] [( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) )] [( ( ) ( ) ( ) ( ) )]
[ ( * ( ( ) ( ) ( ) ( ))] [ ( * ( * ( ( ) ( ) ( ) ( ))] [ ( * ( * ( ( ) ( ) ( ) ( ))] ( * ( * ( )
Kemudian akan ditentukan apakah ( ) .
( ) | ( )| | | |∑ | |∑ | |∑ | ∑| | |∑ | Karena | | maka ( ) .
Adapun langkah yang harus dilakukan yaitu membentuk persamaan beda linier menjadi sistem persamaan beda linier terlebih dahulu dan mencari nilai eigen dari sistem persamaan beda tersebut. Selanjutnya diperiksa apakah nilai
eigennya memenuhi definisi jari-jari spektral. Setelah itu, berdasarkan Teorema yang menjelaskan bahwa jika jari-jari spektral kurang dari satu, maka solusi dari persamaan beda tersebut stabil asimtotik.
Contoh Diberikan persamaan beda orde tiga
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dari persamaan tersebut dapat dibentuk menjadi sistem persamaan beda sebagai berikut, misalkan ( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) ( ) Akibatnya, ( ) ( ) ( ) ( ) sehingga, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dari persamaan ( ),( ) dan ( ) diperoleh
( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) dengan ( ) ( ( ) ( ) ( )
) dan ( ). Sehingga dapat dituliskan
menjadi
Nilai eigen λ adalah nilai yang bersesuaian dengan matriks . Dengan kata lain,
nilai eigen dari diperoleh jika terdapat vektor tak nol ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) dengan ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) Jika ( ), maka ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) )
Matriks di atas dapat ditulis dalam bentuk sistem persamaan beda sebagai berikut:
{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) atau { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( * ( ) Dengan substitusi didapat
( ) ( )
(
* ( )
Berdasarkan definisi nilai eigen yang menyatakan bahwa vektor ( ) tak nol, maka nilai ( ) , sehingga . / . Sehingga didapat
( ) Misalkan dan adalah akar dari persamaaan ( ). Diketahui bahwa jika ( ) *| | * ++ , maka solusi dari persamaan beda ( ) stabil asimtotik. Dalam hal ini, penentuan nilai ( ) terbagi dalam dua kasus,yaitu a. Nilai eigen , yang di dalamnya terdapat nilai yang sama atau semua berbeda. Jika ( ) | | maka syarat yang diperlukan agar memenuhi ( ) adalah | | atau . Jika ( ) | |, maka syarat yang diperlukan adalah | | atau . Dengan cara yang sama, jika ( ) | |, maka syarat yang diperlukan adalah | | atau .
b. Nilai eigen , yang didalamnya juga terdapat nilai yang sama atau berbeda. Misalkan dengan . Diketahui | | √ . Jika ( ) | | √ maka syarat yang diperlukan agar memenuhi ( ) adalah √ atau . Jika ( ) | | maka syarat yang diperlukan adalah √ atau . Dengan cara yang sama, jika ( ) | |, maka syarat yang diperlukan adalah √ atau .
Dengan demikian, agar solusi persamaan ( ) stabil asimtotik, maka syarat yang diperlukan adalah
dan .
Contoh Diberikan sistem persamaan beda linier tak homogen ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) Sebelum menentukan kestabilan solusi dari sistem persamaan ( ), terlebih dahulu akan diselesaikan secara homogen. Misalkan , maka sistem tersebut menjadi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Kemudian akan dibentuk sebuah matriks yang didefinisikan sebagai ( ) ( )
dengan ( ) . ( )
( )/ ( ) . ( ) ( )/ dan . /. Selanjutnya akan
dicari nilai eigen dari . Jika . /, maka
. / ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dengan substitusi, didapat
( )
[
( ) ( )] ( ) ( )
[
( ) ( )] ( )
Karena ( ) , maka 0 ( ) ( )1 . Sehingga diperoleh
√( ) ( )
Jika ( ) | √( ) ( )|, maka syarat yang dipenuhi agar solusi yang dihasilkan stabil asimtotik adalah
| √( ) ( )|
√( ) ( )
√( ) ( )
Sedangkan untuk ( ) | √( ) ( )|, syaratnya adalah
| √( ) ( )|
√( ) ( )
√( ) ( )
Dengan demikian, agar solusi sistem persamaan ( ) stabil asimtotik,
maka syarat yang diperlukan adalah
√( ) ( ) dan √( ) ( ) .
Selanjutnya, untuk sistem persamaan beda linier tak homogen, tahap pengerjaannya adalah menghomogenkan terlebih dahulu kemudian menentukan kestabilan menggunakan cara yang telah dijelaskan sebelumnya.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sehingga menjadi
( ) ( ) ( ) ( ) Kemudian dicari solusinya menggunakan metode cramer.
( ) | | | | ( ) | | | | Misalkan ( ) ( ) ( * ( ) ( ) ( * dan ( ) ( ) ( * ( ) ( ) ( * maka,
[ ( ) ( *] [ ( ) ( *] dan [ ( ) ( *] [ ( ) ( *] Kemudian disederhanakan menjadi
( ) ( ) ( * ( * dan ( ) ( ) ( * ( * Setelah itu menggunakan cara yang telah dijelaskan sebelumnya. Dengan demikian, solusi sistem persamaan ( ) dapat ditentukan kestabilan asimtotiknya.
Solusi dikatakan stabil atau tidak stabil menunjukkan bagaimana solusi di sekitar titik kesetimbangan. Sehingga setelah solusi dikatakan stabil atau tidak stabil, secara tidak langsung, solusi yang dihasilkan dapat diprediksi apakah berada di sekitar atau menjauhi titik kesetimbangan pada waktu yang akan datang.
4.4 Contoh Kasus Persamaan Beda Linier
Saat ini, banyak perusahaan yang kurang transparan terhadap pegawainya dalam hal pemberian gaji bulanan. Walaupun ada yang acuh tak acuh terhadap jumlah gaji yang mereka terima, namun tidak sedikit yang ingin mengetahui rincian dari gaji yang mereka peroleh. Beberapa hal yang menjadi poin penting dalam menentukan jumlah gaji yang diterima yaitu gaji pokok yang sesuai dengan
jabatan mereka, tunjangan untuk keluarga, serta upah tambahan yang berasal dari kerja lembur.
Berdasarkan ketentuan tentang waktu kerja lembur dan upah kerja lembur diatur dalam Undang –Undang no.13 tahun 2003 tentang ketenagakerjaan pasal 78 ayat (2), (4), pasal 85 dan lebih lengkapnya diatur dalam kepmenakertrans no.102/MEN/VI/2004 mengenai waktu dan upah kerja lembur, diasumsikan seorang pegawai mempunyai sistem penggajian bulanan ( ) berdasarkan gaji pokok, upah kerja lembur, serta tunjangan keluarga, yang dapat ditulis sebagai
( ) ( ) ( ) ( )
dengan diukur dalam bulan dan dalam rupiah. Sedangkan dan didefinisikan sebagai
( ) Gaji pokok,
( ) Upah kerja lembur, ( ) Tunjangan keluarga.
Asumsi yang sesuai dengan model di atas adalah sebagai berikut
a. Gaji pokok ( ) sebanding dengan gaji yang diterima bulan lalu ( ) saat bulan sebelumnya, sehingga
( ) ( )
dengan adalah prosentase gaji pokok yang diterima.
b. Upah lembur ( ) sebanding dengan lama waktu lembur yang dikerjakan dan gaji yang diterima bulan lalu, sehingga
( )
c. Tunjangan keluarga ( ) sebanding dengan gaji yang diterima bulan lalu, sehingga
( ) ( )
dengan adalah prosentase tunjangan yang diterima.
Dari asumsi yang telah dijelaskan, dihasilkan persamaan beda linier orde satu
( ) ( )
( ) ( ) ( ) (
* ( ) ( ) Untuk mendapatkan solusi dari persamaan ( ), metode yang digunakan adalah metode akar persamaan karakteristik yang telah dijelaskan pada subbab . Persamaan ( ) diubah dalam bentuk operator geser menjadi
[ (
*] ( ) Persamaan karakteristik dari persamaan di atas adalah
(
* sehingga
(
*
adalah akar persamaan karakteristik dari persamaan ( ). Fungsi ( )
. / adalah solusi dari persamaan ( ), sebab jika disubstitusikan ke persamaan ( ), yaitu
( ) ( * ( ) ( * ( * ( * maka memenuhi persamaan ( ). Karena
( ) (
*
berdasarkan Teorema , * + bebas linier, sehingga berdasarkan Teorema solusi umum dari persamaan ( ) adalah
( ) ( ) (
* dengan sebarang konstanta.
