Sistem Persamaan Linier (SPL)

(1)

Sistem Persamaan Linier (SPL)

Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016

MZI

Fakultas Informatika Telkom University

FIF Tel-U

Agustus 2015

(2)

Acknowledgements

Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:

1 Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014,olehAdiwijaya.

2 Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010,olehH. Anton dan C. Rorres.

3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom UniversityolehJondri.

Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke<pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.

(3)

Bahasan

1 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)?

2 Solusi dari Persamaan Linier (PL)

3 Sistem Persamaan Linier (SPL)

4 Solusi dari SPL

5 Jenis-jenis Solusi SPL

(4)

Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)?

Bahasan

4 Solusi dari SPL

(5)

Persamaan Linier di Sekolah Dasar

Di sekolah dasar, mungkin Anda pernah melihat ekspresi matematika berikut 2 ( ) + 5 = 11, atau mungkin

2x + 5 = 11. (1)

Ekspresi (1) merupakan contohpersamaan linier satu peubah (variabel). Peubah yang ditinjau dalam hal ini adalah x. Secara umum, persamaan linier satu peubah berbentuk

ax + b = c,

dengan a; b; c 2 R dana 6= 0. Simbol x menyatakan peubah pada persamaan linier (PL) tersebut. Suatubilangan real t merupakan solusi dari PL ax + b = c apabila

at + b = c.

Sebagai contoh,3 merupakan solusi dari PL (1) karena 2 (3) + 5 = 11.

(6)

Persamaan Linier di Sekolah Dasar

2x + 5 = 11. (1)

ax + b = c,

at + b = c.

(7)

Persamaan Linier di Sekolah Dasar

2x + 5 = 11. (1)

ax + b = c,

at + b = c.

(8)

Persamaan Linier di Sekolah Dasar

2x + 5 = 11. (1)

ax + b = c, dengan a; b; c 2 R dana 6= 0.

Simbol x menyatakan peubah pada persamaan linier (PL) tersebut. Suatubilangan real t merupakan solusi dari PL ax + b = c apabila

at + b = c.

(9)

Persamaan Linier di Sekolah Dasar

2x + 5 = 11. (1)

ax + b = c,

at + b = c.

(10)

Persamaan Linier di Sekolah Dasar

2x + 5 = 11. (1)

ax + b = c,

at + b = c.

(11)

Persamaan Linier di Sekolah Menengah

Di sekolah menengah, Anda mulai diperkenalkan dengan bentuk ekspresi matematika berikut

2x + 3y = 11. (2)

Ekspresi (2) merupakan contoh PL dua peubah, yaitu x dan y. Sebelum Anda berkuliah, tentulah Anda pernah melihat bentuk ekspresi matematika berikut

2x + 3y + 4z = 31. (3)

Ekspresi (3) merupakan contoh PL tiga peubah, yaitu x, y, dan z. Pada kuliah ini kita akan meninjau PL dengan n peubah untuk suatu n 2 N.

PL n Peubah

Persamaan linier n peubah x₁; : : : ; x_n adalah persamaan matematika berbentuk a₁x₁+ a₂x₂+ + a_nx_n= c,

dengan a1; : : : ; an2 R, c 2 R, dan tidak semua a1; : : : ; an bernilai nol.

Syarat tidak semua a1; : : : ; an bernilai nol perlu ditulis, karena jika tidak, kita bisa mendapatkan ekspresi matematika0 = c,ini tidak menarik untuk dikaji.

(12)

Persamaan Linier di Sekolah Menengah

2x + 3y = 11. (2)

Ekspresi (2) merupakan contoh PL dua peubah, yaitu x dan y.

Sebelum Anda berkuliah, tentulah Anda pernah melihat bentuk ekspresi matematika berikut

2x + 3y + 4z = 31. (3)

PL n Peubah

(13)

Persamaan Linier di Sekolah Menengah

2x + 3y = 11. (2)

2x + 3y + 4z = 31. (3)

PL n Peubah

(14)

Persamaan Linier di Sekolah Menengah

2x + 3y = 11. (2)

2x + 3y + 4z = 31. (3)

Ekspresi (3) merupakan contoh PL tiga peubah, yaitu x, y, dan z.

Pada kuliah ini kita akan meninjau PL dengan n peubah untuk suatu n 2 N.

PL n Peubah

(15)

Persamaan Linier di Sekolah Menengah

2x + 3y = 11. (2)

2x + 3y + 4z = 31. (3)

PL n Peubah

(16)

Persamaan Linier di Sekolah Menengah

2x + 3y = 11. (2)

2x + 3y + 4z = 31. (3)

PL n Peubah

(17)

Solusi dari Persamaan Linier (PL)

Bahasan

4 Solusi dari SPL

(18)

Solusi dari PL (1)

Solusi dari PL n Peubah

Diberikan persamaan linier n peubah x₁; : : : ; x_n berikut a₁x₁+ a₂x₂+ + a_nx_n= c,

suatu n-tupel (t₁; t₂; : : : ; t_n) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila

a1t1+ a2t2+ + antn = c.

Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1; 3) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4; 1) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) = 11.

Diberikan PL 2x + 3y + 4z = 31, kita melihat bahwa (1; 3; 5) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) + 4 (5) = 31. Selain itu, (4; 1; 5) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) + 4 (5) = 31.

(19)

Solusi dari PL (1)

Solusi dari PL n Peubah

suatu n-tupel (t₁; t₂; : : : ; t_n) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila a1t1+ a2t2+ + antn = c.

(20)

Solusi dari PL (1)

Solusi dari PL n Peubah

Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1; 3) adalah

solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4; 1) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) = 11.

(21)

Solusi dari PL (1)

Solusi dari PL n Peubah

Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1; 3) adalah solusi dari PL ini karena

2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4; 1) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) = 11.

(22)

Solusi dari PL (1)

Solusi dari PL n Peubah

Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1; 3) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4; 1)

juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) = 11.

(23)

Solusi dari PL (1)

Solusi dari PL n Peubah

(24)

Solusi dari PL (1)

Solusi dari PL n Peubah

Diberikan PL 2x + 3y + 4z = 31, kita melihat bahwa (1; 3; 5) adalah

solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) + 4 (5) = 31. Selain itu, (4; 1; 5) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) + 4 (5) = 31.

(25)

Solusi dari PL (1)

Solusi dari PL n Peubah

Diberikan PL 2x + 3y + 4z = 31, kita melihat bahwa (1; 3; 5) adalah solusi dari PL ini karena

2 (1) + 3 (3) + 4 (5) = 31. Selain itu, (4; 1; 5) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) + 4 (5) = 31.

(26)

Solusi dari PL (1)

Solusi dari PL n Peubah

Diberikan PL 2x + 3y + 4z = 31, kita melihat bahwa (1; 3; 5) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) + 4 (5) = 31. Selain itu, (4; 1; 5)

juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) + 4 (5) = 31.

(27)

Solusi dari PL (1)

Solusi dari PL n Peubah

(28)

Solusi dari PL (2)

Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi.

Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk (t; 5 2t)dengan t 2 R merupakan solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. Kita juga dapat mengatakan bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk

5 t

2 ; t karena 2 ^{5 t}₂ + t = 5.

Latihan

Tentukan semua tupel bilangan real yang merupakan solusi dari PL

1 x + 2y = 8

2 x + y + z = 8 Solusi:

1 Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 2t; t), dengan t 2 R, karena 8 2t + 2t = 8. Jawaban lain adalah tupel t;^{8 t}₂ .

2 Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 s t; s; t), dengan s; t 2 R, karena (8 s t) + s + t = 8. Jawaban lain adalah tupel (s; 8 s t; t) atau (s; t; 8 s t).

(29)

Solusi dari PL (2)

Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk

(t; 5 2t)dengan t 2 R merupakan solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. Kita juga dapat mengatakan bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk

5 t

2 ; t karena 2 ^{5 t}₂ + t = 5.

Latihan

1 x + 2y = 8

2 x + y + z = 8 Solusi:

(30)

Solusi dari PL (2)

Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk (t; 5 2t)dengan t 2 R merupakan solusi dari PL tersebut karena

kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. Kita juga dapat mengatakan bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk

5 t

2 ; t karena 2 ^{5 t}₂ + t = 5.

Latihan

1 x + 2y = 8

2 x + y + z = 8 Solusi:

(31)

Solusi dari PL (2)

Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk (t; 5 2t)dengan t 2 R merupakan solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5.

Kita juga dapat mengatakan bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk

5 t

2 ; t karena 2 ^{5 t}₂ + t = 5.

Latihan

1 x + 2y = 8

2 x + y + z = 8 Solusi:

(32)

Solusi dari PL (2)

Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk (t; 5 2t)dengan t 2 R merupakan solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. Kita juga dapat mengatakan bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk

5 t

2 ; t karena 2 ^{5 t}₂ + t = 5.

Latihan

1 x + 2y = 8

2 x + y + z = 8 Solusi:

(33)

Solusi dari PL (2)

5 t

2 ; t karena 2 ^{5 t}₂ + t = 5.

Latihan

1 x + 2y = 8

2 x + y + z = 8 Solusi:

(34)

Solusi dari PL (2)

5 t

2 ; t karena 2 ^{5 t}₂ + t = 5.

Latihan

1 x + 2y = 8

2 x + y + z = 8 Solusi:

1 Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 2t; t), dengan t 2 R,

karena 8 2t + 2t = 8. Jawaban lain adalah tupel t;^{8 t}₂ .

(35)

Solusi dari PL (2)

5 t

2 ; t karena 2 ^{5 t}₂ + t = 5.

Latihan

1 x + 2y = 8

2 x + y + z = 8 Solusi:

(36)

Solusi dari PL (2)

5 t

2 ; t karena 2 ^{5 t}₂ + t = 5.

Latihan

1 x + 2y = 8

2 x + y + z = 8 Solusi:

2 Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 s t; s; t), dengan s; t 2 R,

karena (8 s t) + s + t = 8. Jawaban lain adalah tupel (s; 8 s t; t) atau (s; t; 8 s t).

(37)

Solusi dari PL (2)

5 t

2 ; t karena 2 ^{5 t}₂ + t = 5.

Latihan

1 x + 2y = 8

2 x + y + z = 8 Solusi:

2 Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 s t; s; t), dengan s; t 2 R, karena (8 s t) + s + t = 8. Jawaban lain adalah tupel (s; 8 s t; t) atau

(38)

Sistem Persamaan Linier (SPL)

Bahasan

4 Solusi dari SPL

(39)

Sistem Persamaan Linier (SPL)

Sistem persamaan linier (SPL) adalahkoleksi berhingga banyak persamaan-persamaan linier. Contoh

x + y + z = 12 x + 2y + 3z = 24

a + b = 3 2a + 3b = 4 a + 8b = 12

x1 +x2 +x4 = 3

+x2 +x3 = 4

x₁ +x₄ = 5

Sistem Persamaan Linier

Sistem persamaan linier dengan m persamaan dan n peubah (variabel/ unknown) x₁; : : : ; x_n dapat ditulis sebagai

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a_1nx_n = c₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a_2nx_n = c₂

... ... ... ...

am1x1 + am2x2 + amnxn = cm

Dalam SPL di atas, aij merupakan koe…sien untuk xj pada persamaan ke-i. Nilai dari aij dan ci adalah bilangan real untuk setiap 1 i mdan 1 j n. Catatan: Peubah juga disebut sebagai unknown karena “tidak diketahui nilainya”.

(40)

Sistem Persamaan Linier (SPL)

x + y + z = 12 x + 2y + 3z = 24

a + b = 3 2a + 3b = 4 a + 8b = 12

x1 +x2 +x4 = 3

+x2 +x3 = 4

x₁ +x₄ = 5

Sistem Persamaan Linier

... ... ... ...

Dalam SPL di atas, aij merupakan koe…sien untuk xj pada persamaan ke-i. Nilai dari aij dan ci adalah bilangan real untuk setiap 1 i mdan 1 j n. Catatan: Peubah juga disebut sebagai unknown karena “tidak diketahui nilainya”.

(41)

Sistem Persamaan Linier (SPL)

x + y + z = 12 x + 2y + 3z = 24

a + b = 3 2a + 3b = 4 a + 8b = 12

x1 +x2 +x4 = 3

+x2 +x3 = 4

x₁ +x₄ = 5

Sistem Persamaan Linier

... ... ... ...

Dalam SPL di atas, aij merupakan koe…sien untuk xj pada persamaan ke-i. Nilai dari aij dan ci adalah bilangan real untuk setiap 1 i mdan 1 j n.

(42)

Solusi dari SPL

Bahasan

4 Solusi dari SPL

(43)

Solusi dari SPL

Solusi dari SPL (1)

Kita telah melihat pengertian solusi dari suatu PL. Solusi dari SPL analog dengan solusi dari PL.

Solusi SPL

Diberikan SPL

a11x1 + a12x2 + a1nxn = c1

a21x1 + a22x2 + a2nxn = c2

... ... ... ...

a_m1x₁ + a_m2x₂ + a_mnx_n = c_m

(4)

Suatu n-tupel (t₁; t₂; : : : ; t_n) dikatakan solusi dari SPL (4) apabila (t₁; t₂; : : : ; t_n) merupakansolusi dari semua PL yang ada pada SPL tersebut.

(44)

Solusi dari SPL

Solusi dari SPL (2)

Dengan demikian, jika suatu n-tupel (t₁; : : : ; t_n) adalah solusi dari SPL (4) maka kita memiliki bahwa semua ekspresi matematika berikut:

a11t1 + a12t2 + a1ntn = c1

a21t1 + a22t2 + a2ntn = c2

... ... ... ...

a_m1t₁ + a_m2t₂ + a_mnt_n = c_m bernilai benar.

(45)

Solusi dari SPL

Solusi SPL: Contoh

Pandang SPL berikut

x + y + z = 10 (5)

x + z = 5 (6)

2x + y + 3z = 15 (7)

Apakah (5; 0; 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak,karena kita memperoleh ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah.

Apakah (5; 5; 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak,karena kita memperoleh ekspresi 5 + 5 = 5 pada PL (6) yang bernilai salah.

Apakah (5; 5; 0) merupakan solusi SPL di atas? Ya,tinjau bahwa Kita memiliki 5 + 5 + 0 = 10 pada PL (5), ekspresi ini benar. Kita memiliki 5 + 0 = 5 pada PL (6), ekspresi ini benar.

Kita memiliki 2 (5) + 5 + 3 (0) = 15 pada PL (7), ekspresi ini benar.

(46)

Solusi dari SPL

Solusi SPL: Contoh

Pandang SPL berikut

x + y + z = 10 (5)

x + z = 5 (6)

2x + y + 3z = 15 (7)

Apakah (5; 0; 0) merupakan solusi SPL di atas?

Tidak,karena kita memperoleh ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah.

(47)

Solusi dari SPL

Solusi SPL: Contoh

Pandang SPL berikut

x + y + z = 10 (5)

x + z = 5 (6)

2x + y + 3z = 15 (7)

(48)

Solusi dari SPL

Solusi SPL: Contoh

Pandang SPL berikut

x + y + z = 10 (5)

x + z = 5 (6)

2x + y + 3z = 15 (7)

Tidak,karena kita memperoleh ekspresi 5 + 5 = 5 pada PL (6) yang bernilai salah.

(49)

Solusi dari SPL

Solusi SPL: Contoh

Pandang SPL berikut

x + y + z = 10 (5)

x + z = 5 (6)

2x + y + 3z = 15 (7)

(50)

Solusi dari SPL

Solusi SPL: Contoh

Pandang SPL berikut

x + y + z = 10 (5)

x + z = 5 (6)

2x + y + 3z = 15 (7)

Ya,tinjau bahwa Kita memiliki 5 + 5 + 0 = 10 pada PL (5), ekspresi ini benar. Kita memiliki 5 + 0 = 5 pada PL (6), ekspresi ini benar.

(51)

Solusi dari SPL

Solusi SPL: Contoh

Pandang SPL berikut

x + y + z = 10 (5)

x + z = 5 (6)

2x + y + 3z = 15 (7)

Apakah (5; 5; 0) merupakan solusi SPL di atas? Ya,tinjau bahwa Kita memiliki

5 + 5 + 0 = 10 pada PL (5), ekspresi ini benar. Kita memiliki 5 + 0 = 5 pada PL (6), ekspresi ini benar.

(52)

Solusi dari SPL

Solusi SPL: Contoh

Pandang SPL berikut

x + y + z = 10 (5)

x + z = 5 (6)

2x + y + 3z = 15 (7)

Apakah (5; 5; 0) merupakan solusi SPL di atas? Ya,tinjau bahwa Kita memiliki 5 + 5 + 0 = 10 pada PL (5), ekspresi ini benar.

Kita memiliki

5 + 0 = 5 pada PL (6), ekspresi ini benar.

(53)

Solusi dari SPL

Solusi SPL: Contoh

Pandang SPL berikut

x + y + z = 10 (5)

x + z = 5 (6)

2x + y + 3z = 15 (7)

Kita memiliki 5 + 0 = 5 pada PL (6), ekspresi ini benar.

Kita memiliki

2 (5) + 5 + 3 (0) = 15 pada PL (7), ekspresi ini benar.

(54)

Solusi dari SPL

Solusi SPL: Contoh

Pandang SPL berikut

x + y + z = 10 (5)

x + z = 5 (6)

2x + y + 3z = 15 (7)

Kita memiliki 5 + 0 = 5 pada PL (6), ekspresi ini benar.

(55)

Jenis-jenis Solusi SPL

Bahasan

4 Solusi dari SPL

(56)

Jenis-jenis Solusi SPL

Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, “Apakah SPL tersebut memiliki solusi?

Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi?”

Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti metode geometris (menggambar gra…k), substitusi, eliminasi, eliminasi-substitusi, atau metode lain (jika sudah pernah belajar).

(57)

Jenis-jenis Solusi SPL

Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, “Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)?

Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi?”

(58)

Jenis-jenis Solusi SPL

Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, “Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda?

Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi?”

(59)

Jenis-jenis Solusi SPL

Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, “Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi?”

Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti

metode geometris (menggambar gra…k), substitusi, eliminasi, eliminasi-substitusi, atau metode lain (jika sudah pernah belajar).

(60)

Jenis-jenis Solusi SPL

Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti metode geometris (menggambar gra…k),

substitusi, eliminasi, eliminasi-substitusi, atau metode lain (jika sudah pernah belajar).

(61)

Jenis-jenis Solusi SPL

Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti metode geometris (menggambar gra…k), substitusi,

eliminasi, eliminasi-substitusi, atau metode lain (jika sudah pernah belajar).

(62)

Jenis-jenis Solusi SPL

Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti metode geometris (menggambar gra…k), substitusi, eliminasi,

eliminasi-substitusi, atau metode lain (jika sudah pernah belajar).

(63)

Jenis-jenis Solusi SPL

Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti metode geometris (menggambar gra…k), substitusi, eliminasi, eliminasi-substitusi, atau

metode lain (jika sudah pernah belajar).

(64)

Jenis-jenis Solusi SPL

(65)

Contoh SPL dengan Solusi Unik (Tunggal)

Latihan

Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut

x y = 6 (8)

2x + y = 6 (9)

Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (8) dengan 2 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (9), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu

x y = 6 (10)

3y = 6 (11)

Dari persamaan (11), didapatkan y = 2. Kemudian dengan mensubstitusikan hasil ini ke persamaan (10) diperoleh x = 6 + y = 6 + ( 2) = 4. Jadi solusi dari SPL di atas adalah tupel (4; 2).

Lebih jauh, tidak ada tupel lain yang merupakan solusi dari SPL di atas.

(66)

Contoh SPL dengan Solusi Unik (Tunggal)

Latihan

x y = 6 (8)

2x + y = 6 (9)

Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa).

Jika kita kalikan persamaan (8) dengan 2 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (9), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu

x y = 6 (10)

3y = 6 (11)

(67)

Contoh SPL dengan Solusi Unik (Tunggal)

Latihan

x y = 6 (8)

2x + y = 6 (9)

x y = 6 (10)

3y = 6 (11)

(68)

Contoh SPL dengan Solusi Unik (Tunggal)

Latihan

x y = 6 (8)

2x + y = 6 (9)

x y = 6 (10)

3y = 6 (11)

(69)

Contoh SPL dengan Solusi Unik (Tunggal)

Latihan

x y = 6 (8)

2x + y = 6 (9)

x y = 6 (10)

3y = 6 (11)

(70)

Representasinya secara Geometris. . .

Solusi SPL x y = 6 dan 2x + y = 6 dapat direpresentasikan secara geometris.

Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R²) yang merupakan perpotongan garis `1: x y = 6 dan `2: 2x + y = 6, yaitu (4; 2).

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4 -2 2 4

x

y

(71)

Representasinya secara Geometris. . .

Solusi SPL x y = 6 dan 2x + y = 6 dapat direpresentasikan secara geometris.

Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R²) yang merupakan perpotongan garis `1: x y = 6 dan `2: 2x + y = 6, yaitu (4; 2).

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4 -2 2 4

x

y

(72)

Contoh SPL Tanpa Solusi

Latihan

x + y = 4 (12)

3x + 3y = 6 (13)

Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi.

x + y = 4 (14)

0 = 6 (15)

Persamaan (15) merupakan sebuah kontradiksi. Jadi SPL di atas tidak punya solusi. Kita juga dapat memeriksa hal ini dengan mengalikan persamaan (12) dengan 3, sehingga didapatkan 3x + 3y = 4. Akibatnya, dari persamaan (13), diperoleh ekspresi 4 = 3x + 3y = 6, atau 4 = 6, suatu kontradiksi.

(73)

Contoh SPL Tanpa Solusi

Latihan

x + y = 4 (12)

3x + 3y = 6 (13)

Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa).

Jika kita kalikan persamaan (12) dengan 3 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (13), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu

x + y = 4 (14)

0 = 6 (15)

(74)

Contoh SPL Tanpa Solusi

Latihan

x + y = 4 (12)

3x + 3y = 6 (13)

x + y = 4 (14)

0 = 6 (15)

(75)

Contoh SPL Tanpa Solusi

Latihan

x + y = 4 (12)

3x + 3y = 6 (13)

x + y = 4 (14)

0 = 6 (15)

(76)

Contoh SPL Tanpa Solusi

Latihan

x + y = 4 (12)

3x + 3y = 6 (13)

x + y = 4 (14)

0 = 6 (15)

Persamaan (15) merupakan sebuah kontradiksi. Jadi SPL di atas tidak punya solusi.

Kita juga dapat memeriksa hal ini dengan mengalikan persamaan (12) dengan 3, sehingga didapatkan 3x + 3y = 4. Akibatnya, dari persamaan (13), diperoleh ekspresi 4 = 3x + 3y = 6, atau 4 = 6, suatu kontradiksi.

(77)

Contoh SPL Tanpa Solusi

Latihan

x + y = 4 (12)

3x + 3y = 6 (13)

x + y = 4 (14)

0 = 6 (15)

Persamaan (15) merupakan sebuah kontradiksi. Jadi SPL di atas tidak punya solusi. Kita juga dapat memeriksa hal ini dengan mengalikan persamaan (12) dengan 3, sehingga didapatkan 3x + 3y = 4. Akibatnya, dari persamaan (13),

(78)

Representasinya secara Geometris. . .

Solusi SPL x + y = 4 dan 3x + 3y = 6 dapat direpresentasikan secara geometris.

Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R²) yang merupakan perpotongan garis `₁: x + y = 4 dan `₂: 3x + 3y = 6. Karena kedua garis tersebut tidak memiliki titik potong, maka SPL yang bersesuaian tidak punya solusi.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4 -2 2 4

x

y

(79)

Representasinya secara Geometris. . .

Solusi SPL x + y = 4 dan 3x + 3y = 6 dapat direpresentasikan secara geometris.

Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R²) yang merupakan perpotongan garis `₁: x + y = 4 dan `₂: 3x + 3y = 6. Karena kedua garis tersebut tidak memiliki titik potong, maka SPL yang bersesuaian tidak punya solusi.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4 -2 2 4

x

y

(80)

Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi

Latihan

4x 2y = 1 (16)

16x 8y = 4 (17)

4x 2y = 1 (18)

0 = 0 (19)

Persamaan (19) tidak memberikan restriksi apapun pada x dan y. Akibatnya solusi SPL sama dengan solusi dari persamaan (18), yaitu solusi PL 4x 2y = 1. Dengan menyelesaikan persamaan ini dalam x, diperoleh x = ^1+2y₄ . Jadi solusi SPL adalah semua pasang ^1+2t₄ ; t dengan t 2 R, atau dapat pula semua pasang

t;^{4t 1}₂ , dengan t 2 R. Persamaan berbentuk x = ^1+2t₄ dan y = t, dengan t 2 R disebutpersamaan parametrik dari garis 4x 2y = 1.