Sistem Persamaan Linier Dan Non Linier

A.

A. SISTSISTEM PEM PERSERSAMAAMAAN LAN LINIINIER ER  Si

Siststem em pepersrsamamaan aan lilininier er adaadalalah h susuatatu u hihimpmpununan an yayang ng ananggoggotatanynya a teterdrdiriri i dadariri  persamaan-persamaan

 persamaan-persamaan linier. linier. Pandang Pandang sistem sistem m m persamaan persamaan linier linier dalam dalam n n bilangan bilangan tak tak  diketahui x diketahui x11, x, x22, x, x33, … , x, … , xnn : : aa1111xx11 +  + aa1212xx22 +  + … + … + aa1n1nxxnn  h h11 aa2121xx11 +  + aa2222xx22 +  + … + … + aa2n2nxxnn  h h22 aa3131xx11+ + aa3232xx22 + …  + … + a+ a3n3nxxnn  h h33 …………. …………. !1"!1" . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. aam1m1xx11 +  + aam2m2xx22 + … + a + … + amnmnxxnn  h hmm dengan ai# dengan ai# $% i $% i  1,  1, 2, …, 2, …, m% m% #  #  1, 2, 1, 2, … , … , nn Penyelesaiaan sistem

Penyelesaiaan sistem tersebut adalah tersebut adalah diperolehnya harga-harga diperolehnya harga-harga xx11, … , x, … , xnn dengan dengan xxii $ % i  $ % i 

1,

1, 2, 2, … … , , n n yang yang memenuhi memenuhi m m persamaan persamaan linier linier diatas.diatas. &pabil

&pabila sistem persama sistem persamaan !1" aan !1" di atas mempunyai penyedi atas mempunyai penyelesailesaiaan maka disebut sistemaan maka disebut sistem konsisten. Sedangkan apabila tidak mempunyai penyelesaian disebut sistem inkonsisten. konsisten. Sedangkan apabila tidak mempunyai penyelesaian disebut sistem inkonsisten. Suatu s

Suatu sistem istem konsikonsisten sten kadang-kadang-kadang kadang mempunymempunyai penyeai penyelesailesaian tunggan tunggal atau kaal atau kadang- dang-kadang mempunyai penyelesaiaan sebanyak tak berhingga.

kadang mempunyai penyelesaiaan sebanyak tak berhingga. &pabil

&pabila dalam a dalam sissistem petem persamaarsamaan !1" n !1" di atadi atas, s, setiasetiap hi p hi  ' ma ' maka perska persamaan amaan tersetersebutbut dinamakan sist

dinamakan sistem persamaan em persamaan linier linier homogen% sedangkan homogen% sedangkan bila bila terdapat hi terdapat hi ', maka ', maka sistemsistem  persamaan !1" disebut sistem persamaan linier non-homogen.

 persamaan !1" disebut sistem persamaan linier non-homogen. Suatu si

Suatu sistem perstem persamaasamaan linier n linier seperseperti yang ti yang dinyatdinyatakan dalaakan dalam persam persamaan !1" di maan !1" di atas,atas, dapat dibentuk men#adi sistem persamaan linier lain yang ekui(alen bila sistem tersebut dapat dibentuk men#adi sistem persamaan linier lain yang ekui(alen bila sistem tersebut diubah)ditrans*ormasikan dengan ara :

diubah)ditrans*ormasikan dengan ara : a"

a" enenukar ukar letletak ak dua dua perpersamsamaan.aan.  b"

 b" engadakan satu persamaan linier dengan konstanta engadakan satu persamaan linier dengan konstanta k k '.'. "

" enambenambah suatu peah suatu persamrsamaan liniaan linier dengan k kaer dengan k kali persli persamaan liamaan linier yannier yang lain.g lain.

B.

B. METOMETODE PEDE PENYELENYELESAIAN SAIAN SISTEM SISTEM PERSAMPERSAMAAN LAAN LINIER INIER  1.

1. AAtuturaran n CrCraamemerr ari si

ari sistem persamaan stem persamaan linier linier !1" yang !1" yang telah ditulitelah dituliskan dalam skan dalam bentuk matriks bentuk matriks lengkap,lengkap, yaitu &/  0. ntuk menyelesaiakan sistem persamaan tersebut dalam aturan ramer  yaitu &/  0. ntuk menyelesaiakan sistem persamaan tersebut dalam aturan ramer  dipakai persamaan sebagai berikut :

▸ Baca selengkapnya: trend non linier adalah

¿ _A∨¿ ¿ _A i∨ ¿ ¿  X _i= ¿ engan:

/i  bilangan yang tidak diketahui ke-i

&i  nilai determinan dari & !matriks koe*isien" yang kolom ke-i sudah diganti dengan matriks 0 atau matriks konstanta.

&  nilai determinan matriks &.

Sebagai akibatnya suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan apabila nilai determinan atau & ' !tidak sama dengan nol".

ontoh :

iketahui suatu sistem persamaan sebagi berikut : 2x + y + 45  2'

6x + 2y 7 25  -2 3x 7 y + 5  11

tentukan harga x, y, dan 5 Penyelesaian :

Sistem persamaan dalam bentuk matriks :

[

2 8 6 4 2

₋

2 3

−

1 1

][

 x  y  z

]

=

[

20

−

2 11

]

ihitung dengan nilai determinan dari matriks &

& 

[

2 8 6 4 2 ₋2 3 ₋1 1

]

=−140

8er%ihat bah9a & ≠ ', sehingga dapat di gunakan aturan ramer untuk menetukan x,y, dan 5 &1

[

20 8 6 −2 −2 −2 11 −1 1

]

=−280 &2

[

2 20 6 4 ₋2 ₋2 3 11 1

]

=140 &2

[

2 8 20 4 2

₋

2 3

−

1 11

]

=−

560

ari hasil-hasil tersebut maka diperoleh harga-harga sebagai berikut:  X 1

=

 x

=

|

 A1

|

|

 A

|

=

−

280

−

140

=

2

¿ _A∨¿= 140 −140=1 ¿ _A2∨¿ ¿  X 2= y=¿  X 3= x=

|

 A3

|

|

 A

|

=−560 −140=4

2. Metode Invers Matris

ila &;' maka &-1 ada, dari bentuk matriks lengkap suatu sistem persamaan: &/  0

maka / dapat diari dengan langkah-langkah berikut, kedua ruas dikalikan dengan in(ers & !&-1" sehingga diperoleh bentuk berikut:

&-1_{&/  &}-1_{0 sehingga diperoleh < /  &}-1_{0 atau /  &}-1₀

=adi /&-1_{0 merupakan penyelesaian system persamaan tersebut.}

ontoh :

iketahui suatu sistem persamaan sebagai berikut : 2x + 3y + 5  >

x + 2y + 35  4 3x + y + 25  

tentukan harga x, y, dan 5. Penyelesaian :

eterminan matriks koe*isien adalah :

hal ini berarti sistem persamaan tersebut dapat diari penyelesaiannya. engan menggunakan ad#oint, in(ers matriks & adalah :

!. Metode E"iminasi #aus

!1", dipakai langkah-langkah sebagai berikut :

1. ari sistem persamaan !1" yang telah dituliskan dalam bentuk matriks, & /  0, dibentuk matriks gabungan dari matriks koe*isien !&" dan matriks konstanta !0". Sehingga diperoleh matriks A&0B

2. agian matriks & dibentuk men#adi matriks segitiga atas dengan menggunakan trans*ormasi elementer.

3. ari hasil langkah ke-2 dihitung harga-harga (ariabel yang diinginkan. ontoh :

iketahui sistem persamaan sebagai berikut : 2x + 3y + 65 C

6x + 3y + 5  11 x + 2y + 65  6

tentukan nilai x, y, dan 5 Penyelesaian :

ibentuk suatu matriks gabungan dari matriks koe*isien dan matriks konstanta, diperoleh:

engan trans*ormasi elementer bagian & di#adikan matriks segitiga atas

8elah diperoleh matriks segitiga atas untuk bagian & dari matriks A&0B.

ari bentuk terahkir !matriks 1" di atas, dapat diinterpretasikan sebagai berikut, mulai dari baris yang terakhir kemudian naik baris demi baris sampai baris pertama diperoleh:

!i" 'x + 'y 7 5  ' D nilai 5  ' !ii" 'x + y 7 35  1 D y 7 3!'"  1 D nilai y  1 !iii" x + 2y + 65  6 D x + 2!1" + 6!'"  6 D nilai x  2 =adi nilai x, y, dan 5 masing-masing adalah 2, 1, dan '.

$. Metode E"iminasi #auss%&ordan

etode ?liminasi @auss-=ordan ini hamper sama dengan ?liminasi @auss, hanya sa#a  pada langkah ke-2 matriks & dibentuk men#adi matriks identitas !<".

ontoh :

iketahui sistem persamaan sebagai berikut : r + 2s 7t  2

-r + s + 2t  C 2r 7 s + t  3

tentukan nilai r, s, dan t Penyelesaian :

8elah diperoleh bentuk matris identitas untuk bagian & dari matriks A&0B. Sehingga  bentuk terakhir ini dapat diartikan sebagai berikut:

Ealau ruas kiri dikalikan dan mengingat si*at kesamaan dua buah matriks maka akan diperoleh nilai-nilai x, y, dan 5 masing-masing adalah 1, 2, dan 3 .

C. PERSAMAAN NONLINIER 

mumnya persamaan dalam bentuk non linier melibatkan bentuk sinus, osinus, eksponensial, logaritma, dan *ungsi transenden lain. isal: >,36 7 21,>Cx + 14,3x2 ₇ 

Penyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar-akar persamaan non linier. &kar sebuah persamaan *!x" ' adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai *!x" sama dengan nol. &kar persamaan *!x" adalah titik potong antara kur(a *!x" dan sumbu /.

F Pen'e"esaian (ersamaan "inier mx + c = 0 _dimana m  _dan c _{adalah konstanta, dapat}

dihitung dengan :

m c

mx + c = 0

x 

-F Pen'e"esaian (ersamaan uadrat ax2 _{+ bx +   ' dapat dihitung dengan}

menggunakan rumus &.

a

ac

b

b

 x

2

6

2 12 − ± − =

• Penyelesaian Persamaan Gonlinier  • etode 8ertutup

o enari akar pada range Aa,bB tertentu

o alam rangeAa,bB dipastikan terdapat satu akar 

o 0asil selalu kon(ergen disebut #uga metode kon(ergen

• etode 8erbuka

o iperlukan tebakan a9al

o x_n dipakai untuk menghitung x_n+1 o 0asil dapat kon(ergen atau di(ergen

FISIKA KOPMUTASI

Sistem Persamaan Linier dan Non Linier

OLEH

Sartika Yulianti (3215130850)

UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA

2016