BAGIAN III PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

BAGIAN III

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

Kompetensi:

Mahasiswa mampu menyelesaikan sistem persamaan linier serentak dengan metode numerik

Banyak model matematika membutuhkan penyelesaian dari dua atau tiga persamaan, bahkan lebih. Penyelesaian harus sesuai dengan semua persamaan dalam model.

Sejumlah persamaan yang saling berkaitan seperti ini disebut sebuah sistem persamaan atau persamaan serentak. Penerapan persamaan serentak meliputi banyak bidang, diantaranya akan dijelaskan dalam beberapa contoh kasus di bawah ini.

Contoh pertama adalah tentang penentuan ukuran komposisi sebuah makanan hewan (Lial dkk, 2005). Sebuah produk makanan hewan terdiri atas tiga bahan, yaitu corn, soybean, dan cottonseed. Setiap gram bahan menghasilkan sejumlah gram protein, lemak, dan serat seperti tabel di bawah ini. Permasalahannya adalah berapa gram yang dibutuhkan setiap bahan supaya menghasilkan 22 g protein, 28 g lemak, dan 18 g fiber.

3.1 Menyelesaikan Beberapa Persamaan Linier Serentak ( 𝒏 ≤ 𝟑) Berikut ini adalah contoh tiga persamaan linier

𝑎₁₁𝑥₁+ 𝑎₁₂𝑥₂+ 𝑎₁₃𝑥₃= 𝑏₁ 𝑎₂₁𝑥₁+ 𝑎₂₂𝑥₂+ 𝑎₂₃𝑥₃= 𝑏₂ 𝑎₃₁𝑥₁+ 𝑎₃₂𝑥₂+ 𝑎₃₃𝑥₃= 𝑏₃ yang dapat dinyatakan sebagai berikut

𝐴 𝑥 = 𝑏 dimana 𝐴 adalah matriks koefisien

𝐴 =

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃ dan 𝑏 adalah vektor kolom yang berisi konstanta

𝑏 ^𝑇 = [𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃]^T

Penyelesaian sistem persamaan ini adalah 𝑥 = [𝐴]⁻¹ 𝑏

Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan mencari penyelesaian sistem persamaan linier. Misalkan x1 , x2 , dan x3 menyatakan jumlah gram dibutuhkan oleh corn, soybean, dan cottonseed, maka didapatkan persamaan linier serentak sebagai berikut

:

Himpunan penyelesaian untuk persamaan serentak di atas adalah 40,15,30

PENYELESAIAN SPL DENGAN MATLAB Contoh:

150 −100 0

−100 150 −50

0 −50 50

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ =

588.6 686.7 784.8

Penyelesaian:

>> A=[150 -100 0;-100 150 -50;0 -50 50]

A =

150 -100 0 -100 150 -50 0 -50 50

>> b=[588.6; 686.7; 784.8]

b =

588.6000 686.7000 784.8000

>> x=A\b  left-division

x =

41.2020 55.9170 71.6130

>> x1=inv(A)*b  invers

x1 = 41.2020 55.9170 71.6130

Sebuah persamaan linier serentak bisa jadi tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai penyelesaian tunggal, atau mempunyai penyelesaian yang tidak terbatas jumlahnya. Pada kasus persamaan serentak dengan dua variabel bebas, kemungkinan penyelesaiannya dapat dilihat dari grafik dua persamaan‐persamaan tersebut. Berikut ini petunjuk tentang penyelesaian persamaan linier serentak dengan dua variabel bebas.

a. Apabila dua garis dari persamaan linier adalah sejajar (mempunyai kemiringan yang sama) maka persamaan serentak tersebut disebut inkonsisten dan tidak mempunyai penyelesaian

b. Apabila dua garis persamaan linier berpotongan di satu titik potong, maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian tunggal di titik potong kedua garis tersebut

c. Apabila dua garis dari persamaan linier berhimpit maka persamaan serentak tersebut disebut dependent dan mempunyai penyelesaian yang tidak terbatas jumlahnya. Hal ini dikarenakan sebuah persamaan linier merupakan penyelesaian untuk persamaan yang lain.

Penyelesaian untuk persamaan serentak yang lebih besar dapat diperoleh secara analog dengan sifat‐sifat di atas. Apabila jumlah persamaan sedikit ( n ≤ 3 ) biasanya penyelesaiannya digunakan metode grafik, aturan cramer, dan metode eliminasi. Berikut adalah metode numerik untuk penyelesaian persamaan linier serentak.

A. Metode Grafik

Metode grafik dilakukan dengan membuat plot dari masing‐masing persamaan pada koordinat kartesius. Misalkan dua pesamaan yang digunakan maka akan ada dua sumbu dalam koordinat cartesius yaitu sumbu x1 dan sumbu x2. Perpotongan antara dua garis lurus pada dua persamaan yang diketahui merupakan solusi dari metode ini.

Contoh. Selesaikan dua persamaan berikut dengan menggunakan metode grafik.

Langkah:

Langkah pertama, mengubah kedua persamaan menjadi persamaan garis lurus untuk x2 (karena x1 sebagai absis) menjadi :

Membuat plot dari kedua persamaan tersebut kedalam diagram kartesius dengan slope masing masing persamaan adalah 0,5 dan -1/6. Adapun data yang akan diplotkan seperti pada Tabel 1.

Berdasarkan data pada tabel 1, penyelesaian dua persamaan serentak adalah x1 = 4 dan x2 = 5 . Untuk memastikan bahwa jawaban tersebut benar, maka dilakukan subtitusi jawaban kedalam persamaan semula. Hasilnya adalah sebagai berikut:

4(4) −8(5) = −24 (4) + 6(5) = 34

Subsitusi nilai penyelesaian ke dalam persamaan semula, menghasilkan jawaban yang benar, sehingga hasil penyelesaian tersebut benar.

Metode grafik hanya mungkin digunakan sampai tiga variabel tidak diketahui, karena koordinat untuk dimensi empat tidak bisa digambarkan. Metode ini paling sering digunakan jika persamaan yang diketahui hanya dua, sedangkan untuk tiga dimensi masih bisa digambarkan akan tetapi butuh ketelitian yang lebih untuk melihat hasil pada titik potong.

Sehingga harus menggunakan metode lain untuk mempermudah menyelesaikan persamaan serentak

B. Aturan Cramer

Metode ini dilakukan dengan menghitung nilai determinan dari matrik

A

sebagai penyebut. Nilai pembilang adalah nilai determinan dari matrik

A

yang elemen‐elemen pada koefisien yang dicari diganti dengan nilai

b. Apabila ukuran

matrik A 3x3, maka nilai x1 , x2 , dan

x3 bisa diperoleh dengan:

Determinan untuk matriks A berukuran 3x3 dapat dihitung menggunakan:

Jawab:

Nilai solusi:

Nilai penyelesaian disubstitusikan ke persamaan semula untuk mengecek kebenaran nilai tersebut. Semakin besar ukuran persamaan serentak, maka aturan Cramer semakin tidak praktis karena penghitungan determinan semakin sulit.

3.1.2 Eliminasi

Misalkan untuk dua persamaan

𝑎₁₁𝑥₁+ 𝑎₁₂𝑥₂= 𝑏₁ (1) 𝑎₂₁𝑥₁+ 𝑎₂₂𝑥₂= 𝑏₂ (2)

Langkah dasar dari eliminasi adalah dengan mengalikan persamaan tersebut dengan konstanta sedemikian hingga salah satu dari yang akan dicari solusinya akan dieliminasi ketika kedua persamaan digabungkan. Hasilnya adalah persamaan tunggal yang dapat digunakan untuk memperoleh solusi yang lainnya kemudian nilai tersebut disubstitusikan untuk memperoleh variabel (solusi) lain.

Contoh, kalikan persamaan (1) dengan 𝑎₂₁ dan persamaan (2) dengan 𝑎₁₁. Hasil:

𝑎₂₁𝑎₁₁𝑥₁+ 𝑎₂₁𝑎₁₂𝑥₂= 𝑎₂₁𝑏₁ (3) 𝑎₁₁𝑎₂₁𝑥₁+ 𝑎₁₁𝑎₂₂𝑥₂= 𝑎₁₁𝑏₂ (4)

Persamaan (4) dikurangi persamaan (3), akan mengeliminasi 𝑥₁ dari persamaan 𝑎₁₁𝑎₂₂𝑥₂ − 𝑎₂₁𝑎₁₂𝑥₂= 𝑎₁₁𝑏₂− 𝑎₂₁𝑏₁

Sehingga

𝑥

₂

=

^{𝑎11𝑏2−𝑎21𝑏1}

𝑎₁₁𝑎₂₂ − 𝑎₂₁𝑎₁₂ (5)

Kemudian disubstitusikan ke persamaan (1) dan diperoleh

𝑥

₁

=

^{𝑎22𝑏1−𝑎12𝑏2}

𝑎₁₁𝑎₂₂ − 𝑎₂₁𝑎₁₂ (6)

Perhatikan bahwa persamaan (5) dan (6) mengikuti aturan Cramer:

𝑥

₁

=

𝑏

₁

𝑎

₁₂

𝑏

₂

𝑎

₂₂

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₂₂

= 𝑎

₂₂

𝑏

₁

− 𝑎

₁₂

𝑏

₂

𝑎

₁₁

𝑎

₂₂

− 𝑎

₂₁

𝑎

₁₂

dan

𝑥

₂

=

𝑎

₁₁

𝑏

₁

𝑎

₂₁

𝑏

₂

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₂₂

= 𝑎

₁₁

𝑏

₂

− 𝑎

₂₁

𝑏

₁

𝑎

₁₁

𝑎

₂₂

− 𝑎

₂₁

𝑎

₁₂

Hal ini dapat digeneralisir untuk sistem dengan lebih dari dua atau tiga persamaan.