02-Pemecahan Persamaan Linier (1)

02-Pemecahan Persamaan Linier (1)

Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc

Gasal 2011-2012

Agenda

• Bagian 1: Vektor dan Persamaan Linier

• Bagian 2: Teori Dasar Eliminasi

• Bagian 3: Eliminasi Menggunakan Matriks

VEKTOR DAN PERSAMAAN LINIER

Bagian 1

Pendahuluan

• Permasalahan pokok pada aljabar linier adalah bagaimana memecahkan sistem persamaan linier

– Sistem persamaan linier (SPL)  variabel

yang dicari selalu dikalikan dengan angka,

bukan dengan variabel lainnya. Misalnya

dalam SPL tidak pernah ada perkalian dua

variabel seperti xy

Contoh SPL (1)

• Masing-masing persamaan direpresentasikan oleh sebuah garis.

• Titik temu dua garis adalah solusi dari SPL diatas, yaitu x = 3 dan y = 1.

PictureRow

Contoh SPL (1)

• SPL diatas jika diubah menjadi SPL menggunakan kombinasi linier seperti pada Pertemuan 1 menjadi:

Column Picture

Contoh SPL (1)

• Solusi SPL diatas tentu sama dengan model baris (row picture), yaitu x = 3, dan y = 1.

• Matriks koefisien untuk sisi kiri SPL diatas adalah matriks A :

• SPL diatas menjadi permasalahan matriks Ax = b.

Contoh SPL (2)

• SPL dengan 3 variabel  3 pers. linier

• Row Picture

– Setiap pers. direpresentasikan sebagai bidang datar di ruang 3D

Contoh SPL (2)

• SPL dengan 3 variabel  3 pers. linier

• Column Picture

– Kombinasi linier yang menghasilkan vektor (6, 4, 2) adalah 2 x vektor ke-3, sehingga solusinya x = 0, y = 0, z = 2.

Contoh SPL (2)

• SPL dengan 3 variabel  3 pers. linier

Row Column

Matrix

Matriks Identitas

Contoh:

Notasi Matriks

• Untuk matriks m x n , indeks baris mulai dari 1 sampai m . Indeks kolom mulai dari 1 sampai n .

• Matriks persegi orde n memiliki n

²

isian nilai.

SPL menggunakan matriks di Matlab

• Untuk matriks

A

: dan vektor x :

penulisannya di Matlab :

>> A = [1 2 3; 2 5 2; 6 -3 1]

>> x = [0 0 2]’

atau

>> x = [0; 0; 2]

• Perkalian

Ax

:

>> b = A * x

1 3 6

2 5 2

3 2 1

2 0 0

Mengakses per baris:

>> b = [A(1,:)*x; A(2,:)*x; A(3,:)*x]

Mengakses per kolom:

>> b = [A(:,1)*x(1) + A(:,2)*x(2) + A(:,3)*x(3)

TEORI DASAR ELIMINASI

Bagian 2

Metode Eliminasi

• Misal sebuah SPL dengan 2 variabel:

• Metode eliminasi akan menghasilkan sistem

upper triangular.

• Pada SPL diatas sistem upper triangular berupa:

11 2

3

1 2

y x

y x

• Persamaan yang baru 8

y

= 8 menghasilkan solusi

y

= 1.

• Jika

y

= 1 disubstitusi ke persamaan (1) menghasilkan solusi

x

= 3.

Metode Eliminasi (2)

• Cara eliminasi:

– Kurangi persamaan 2 dengan hasil perkalian

persamaan 1 dengan pengali l

Eliminasi yang Gagal

• Misal sebuah SPL dengan 2 variabel:

• Pada SPL diatas kalikan pers. 1 dengan 3, lalu kurangkan dari pers. 2:

• Tidak ada solusi untuk 0

y

= 8.

11 6

3

1 2

y x

y x

8 0

1 2

y y x

Eliminasi yang Gagal (2)

• Misal sebuah SPL dengan 2 variabel:

• Pada SPL diatas kalikan pers. 1 dengan 3, lalu kurangkan dari pers. 2:

• Solusi untuk 0

y

= 0 : tak terhingga (

infinity

).

3 6

3

1 2

y x

y x

0 0

1 2

y y x

Eliminasi yang Gagal tapi Bisa Diperbaiki

• Misal sebuah SPL dengan 2 variabel:

• Pada SPL diatas perlu dilakukan pertukaran: pers. 1 menjadi pers. 2, pers. 2 menjadi pers. 1:

• Dengan begitu sudah membentuk sistem triangular, tinggal disubstitusikan untuk menghasilkan solusi (3, 2).

• Contoh 1 dan 2 disebut singular – pada pers. 2 tidak ada pivot (pembagi = 0).

• Contoh 3 disebut nonsingular – pada pers. 2 nilai pembagi ≠ 0.

5 2

3

4 2

y x

y

4 2

5 2

3

y y x

Eliminasi untuk SPL dengan 3 Variabel

• Misal sebuah SPL dengan 3 variabel:

• Langkah-langkah eliminasi:

– Kalikan pers. 1 dengan 4/2 = 2, lalu kurangkan pers. 2 dari 2*pers.1, hasilnya pers. 2 menjadi:

– Kalikan pers. 1 dengan -2/2 = -1, lalu kurangkan pers. 3 dari -1*pers.1, hasilnya pers. 3 menjadi:

10 7

3 2

8 3 9 4

2 2 4 2

z y x

z y x

z y x

4 z y

12 5z

y

Eliminasi untuk SPL dengan 3 Variabel (2)

• SPL yang tadinya berbentuk

Ax

= b diubah menjadi SPL bentuk

upper triangular Ux

= c :

• Solusi SPL diperoleh dengan

back substitution

dari

Ux

= c :

4z = 8  z = 2

y + z = 4  y = 2

2x + 4y – 2z = 2  x = -1

• Jadi solusinya (x, y, z) = (-1, 2, 2).

Eliminasi untuk SPL dengan n

Variabel

• Cara mengubah A menjadi U :

– Kolom 1. Gunakan pers. 1 untuk menghasilkan angka-angka nol dibawah koefisien pertama.

– Kolom 2. Gunakan pers. 2 yang baru untuk menghasilkan angka-angka nol dibawah

koefisien kedua.

– Kolom 3 sampai n. Lanjutkan untuk

Contoh Soal

• Misal sebuah SPL dengan 3 variabel:

• Tentukan matriks A !

• Tentukan matriks U !

• Tentukan solusi SPL diatas!

– Solusinya (x, y, z) = (3, 2, 1).

10 3

2

9 2 2

6

z y x

z y x

z y x

3 2 1

2 2 1

1 1 1 A

1 3 6

z z y

z y x

1 0 0

1 1 0

1 1 1 U

ELIMINASI MENGGUNAKAN

Bagian 3

Bentuk Matriks dari Sebuah Tahap Eliminasi

• Pada contoh SPL sebelumnya, langkah pertama eliminasi adalah mengurangkan 2 kali pers. 1 dari pers. 2.

• Hasil yang sama diperoleh dengan mengalikan matriks eliminasi E:

• Cara menentukan matriks eliminasi E:

– Mulai dengan matriks identitas I

– Ganti salah satu nilai nol-nya dengan faktor pengali –l.

• E_ij yang mengurangkan l kali baris j dari baris i memiliki nilai –l pada posisi i,j.

10 7

3 2

8 3 9 4

2 2 4 2

z y x

z y x

z y x

10 8 2

7 3 2

3 9 4

2 4 2 : Bentuk

z y x b

Ax

1 0 0

0 1 2

0 0 1 E

Perkalian Matriks

• Berlaku hukum asosiatif

– A(BC) = (AB)C

• Tidak berlaku hukum komutatif

– AB ≠ BA

• Augmented Matrix

– Misal

8 2 ,

3 9

4

2 4

2

b A

Matriks Permutasi

• Pertukaran baris pada matriks dibutuhkan ketika terdapat nol pada posisi pivot. Contoh:

• Pada matriks diatas baris 2 harus ditukar dengan baris 3

• Untuk pertukaran baris pada matriks, dapat digunakan matriks permutasi P_ij. Contoh:

• Matriks P₂₃ diatas dapat dikalikan dengan matriks

M

yang menghasilkan matriks yang sama dengan

M

tetapi baris 2 sudah ditukar dengan baris 3.

• Contoh:

5 6 0

3 0 0

1 4 2

0 1 0

1 0 0

0 0 1 P23

3 0 0

5 6 0

1 4 2

5 6 0

3 0 0

1 4 2

0 1 0

1 0 0

0 0 1

Eliminasi dan Matriks

• Keseluruhan proses eliminasi dapat direpresentasikan dalam serangkaian perkalian matriks.

– A menjadi E

₂₁

A

– E

₂₁

A menjadi E

₃₁

E

₂₁

A

– E

₃₁

E

₂₁

A menjadi E

₃₂

E

₃₁

E

₂₁

A

– E E E A adalah matriks triangular yang

Contoh Soal

• Untuk SPL diatas, tuliskan isi matriks gabungan [ A b ]!

• Untuk menghasilkan sistem triangular, aplikasikan E

₂₁

dan P

₃₂

.

• Cari solusi SPL tsb dengan back substitution

1 2

3

3 9

8 4

1 2

2

z y

z y

x

z y

x

Contoh Soal

1 2

3

3 9

8 4

1 2

2

z y

z y

x

z y

x

ATURAN OPERASI MATRIKS

Bagian 4

Beberapa Aturan Operasi Matriks

• Aturan Penambahan Matriks

– Ukuran keduanya harus sama

– Berlaku hukum komutatif, distributif, dan asosiatif

• Aturan Perkalian Matriks

– Jika A memiliki

n

kolom, B harus memiliki

n

baris.

– Tidak berlaku hukum komutatif

Beberapa Aturan Operasi Matriks (2)

• Aturan Pemangkatan Matriks

– Mengikuti aturan pangkat pada bilangan

– Untuk pangkat -1, dihasilkan matriks invers A

^-1

.

– Untuk pangkat 0, dihasilkan matriks

identitas: A

⁰

= I.

Matriks Blok

• Matriks dapat dibagi dalam blok-blok.

• Kelebihan membagi matriks menjadi blok-blok adalah untuk memperjelas karakteristik sebuah matriks

– Matriks 4x6 diatas lebih jelas dilihat sebagai matriks blok dari matriks identitas I

• Perkalian blok memungkinkan jika ukurannya tidak

Contoh Perkalian Matriks Blok

• Misal matriks A dibagi menjadi blok-blok

berdasarkan kolomnya. Matriks B dibagi menjadi blok-blok berdasarkan barisnya.

• Perkalian matriks blok A dan matriks blok B

menghasilkan perkalian kolom dengan baris sebuah matriks:

• Bandingkan dengan perkalian baris dengan kolom

yang umum digunakan untuk mengalikan matriks.

Eliminasi Menggunakan Perkalian Matriks Blok

• Hitunglah perkalian matriks blok berikut:

• Hasilnya:

• D-CA

^-1

B disebut Schur complement

D C

B A I CA

I

1

0

B CA D

B A

0 1

Latihan Pertemuan 2

• Chapter 2.1

– Problem 26, 29, 30

• Chapter 2.2

– Problem 11, 12

• Chapter 2.3

– Problem 3, 4, 16

• Chapter 2.4

– Problem 29, 30