MAKALAH
MAKALAH
SISTEM PERSAMAAN DAN
SISTEM PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN LINIER
PERTIDAKSAMAAN LINIER
Sekolah Menengah Atas Negeri 3
Sekolah Menengah Atas Negeri 3 KotabumiKotabumi
Jl. Sersan Laba Gole no. 45
Jl. Sersan Laba Gole no. 45
Kotabumi, Lampung Utara
Kotabumi, Lampung Utara
2013
2013
LEMBAR PENGESAHAN
LEMBAR PENGESAHAN
JJuudduul l MMaatteerrii SSiisstteem m !!eerrssaammaaaan n ddaan n !!eerrttiiddaa""ssaammaaaan n LLiinniieer r #u
#u$u$uan an !!eemmbebelala$a$ararann %%apapaat t mmeneneentntuu"a"an n &i&immppununaan n pepenn''eelelesasaiaiann dari sistem persamaan mengguna"an metode dari sistem persamaan mengguna"an metode
eliminasi, substitusi, dan gabungan eliminasi ( eliminasi, substitusi, dan gabungan eliminasi ( substitusi, serta
substitusi, serta dapat dapat menentu"an pemenentu"an pen'elesaiann'elesaian,, dan nilai ) dari
dan nilai ) dari pertida"samapertida"samaan.an.
Lo"asi
Lo"asi !en'ampa!en'ampaian materi ian materi Kelas Kelas * M+ * M+ 5, SM- 5, SM- 3 Kotabu3 Kotabumimi #anggal !en'
#anggal !en'ampaian Materiampaian Materi 1 -o/embe 1 -o/ember 2013r 2013
G
Guurru u !!eemmbbiimmbbiinngg SSUUKKMM--++, , SS..!!dd
Kotabumi, 20 -o/ember 2013 Kotabumi, 20 -o/ember 2013 Guru !embimbing Guru !embimbing SUKM-+, S.!d. SUKM-+, S.!d. -+! -+! iiii
SISTEM PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN LINIER
Kelas
* M+ 5
Kelompo" 3
1. irin a&'ani S
2. -unung Kurnia Sari
3. %ea %esria
4. arida Koa
5. #ria -isrina
iii
KATA PENGANTAR
tas ber"at ra&mat dan "arunia #u&an 9ang Ma&a 7sa, "ami dapat men'elesai"an pembuatan ma"ala& materi :Sistem !ersamaan dan
!ertida"samaan Linier;. Ma"ala& ini "ami susun berdasar"an isi dari materi 'ang "ami ambil dari bu"u Kompetensi Matemati"a Kelas * penerbit 9ud&istira.
Materi<materi 'ang "ami tulis di ma"ala& ini dengan melibat"an sis8a untu" a"ti dalam beri"ir, 'a"ni suatu ma"ala& 'ang berisi pertan'aan<
perrtan'aan mengenai uraian materi 'ang a"an diba&as di ma"ala& ini maupun sebagai pendu"ung materi, se&ingga sis8a terbiasa beri"ir "ritis dan analitis, tida" &an'a pasi menerima materi tanpa bertan'a :mengapa=;. Kami $uga
meng&arap"an sis8a dapat mema&ami "eter"aitan matemati"a dalam "e&idupan se&ari<&ari 'ang ber&ubungan dengan matemati"a dalam materi ini.
Mung"in &an'a ini dari "ami sebagai pembu"aan dari ma"ala& ini. Se"ali lagi "ami u>ap"an terima "asi& dan mo&on maa bila ada "esala&an<"esala&an dari ma"ala& ini sendiri.
Kotabumi, 20 -o/ember 2013
i/
DAFTAR ISI
Judul i
Lembar !engesa&an ii
-ama Kelompo". iii
Kata !engantar ... i/
%atar +si.. /
!eta Konsep... /i
?? + !7-%@ULU- 1
1.1 Latar ?ela"ang Masala& 1
?? ++ L-%S- #7A+. 2
2.1 Sistem !ersamaan Linear %ua Barabel 2
2.1 Sistem !ersamaan Linear #iga Bariabel... 5
2.3 !7#+%KSM- 12
?? +++ S!7K !7-+L+-... 1C
?? +B !7-U#U!... 23
%# !US#K.
!7# KA-S7!
SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER
PERSAMAAN LINIER PERTIDAKSAMAAN
SPLDV SPLTV Metode: 1. Eliminasi 2. S!stitsi ". Ga!n#an 1. Notasi Ketida$samaan 2. Si%at&si%at Pe'tida$samaan ". Pe'tida$samaan Bent$ Pe(a)an *. Petida$samaan Bent$ A$a'
1
BAB I
PENDA!"!AN
#$# "atar Belakang Masalah?an'a" masala& dalam "e&idupan "ita se&ari<&ari dapat din'ata"an dalam sistem persamaan. Sebagai >onto& adala& masala& pada uraian pengantar materi 'ang merupa"an sistem persamaan linier. Ji"a seseorang pengusa&a tela&
mengeta&ui &arga "eseluru&an ba&an ba"u, ma"a ia a"an mampu meng&itung &arga satuan ba&an ba"u tersebut.
Sebelum men'elesai"an suatu permasala&an, terlebi& da&ulu permasala&an terebut diuba& men$adi model matemati"an 'ang memuat sistem persamaan linier.
?agi sis8a 'ang men'u"ai balapan mobil ormula 1 D1E tentula& as'i" meli&at adan'a persaingan antarpembalap dengan mengas'i""an a"si dan maneu/er<manu/er 'ang mengundang de>a" "agum. #er"esan ba&8a, mere"a DpembalapE dengan as'i"n'a mengendarai mobiln'a se>epat mung"in.
!ada&al tida". %alam perlombaan tersebut, tela& ditentu"an peraturan< peraturan. Sebagai >onto&, peraruran tentang batas "e>epatan mobil 'ang
diper"enan"an.
Misaln'a batas "e>epatan pada lintasan meni"ung, seorang pembalap
diper"enan"an mengendarai mobiln'a dengan "e>epatan antara 50 sampai dengan F0 "m$am.
%alam matemati"a, "eterbatasan di atas dapat dipandang sebagai inter/al atau selam dalam "onsep pertida"samaan. Selang atau inter/al ini merupa"an &al mendasar untu" dapat men'elesai"an permasala&an pertida"samaan.
BAB II
"ANDASAN TE%RI
&$# Sistem Persamaan "inier 'engan Dua (ariabel
?entu" umum sistem persamaan linier dengan dua /ariabel dalam ) dan ' adala&
!ada persamaan pertama a1 atau b1 bole& nol tetapi tida" bole& "edua< duan'a nol, demi"ian $uga pada persamaan "edua, a2 atau b2 sala& satun'a bole& nol dan tida" bole& "edua<duan'a nol.
&$#$# )ara Menentukan im*unan Pen+elesaian 'ari Sistem Persamaan linier 'enan Dua (ariabel
• Metode eliminasi • Metode substitusi
• Metode gabungan eliminasi dan substitusi
&$#$#$# Meto'e Eliminasi
Mengeliminasi artin'a menghilangkan sementara atau menyembunyikan sala& satu /ariabel se&iongga dua /ariabel men$adi &an'a satu /ariabel dan sistem persamaann'a dapat diselesai"an.
A1 x + b1 y , c1
A 2 x + b 2 y , c 2
Den#ana1, b1, a 2, b 2, c1 danc 2adala)
Lang"a&<lang"a& untu" men'elesai"an sistem persamaan linier dengan metode eliminasi adala& sebagai beri"ut.
3
a. Sama"an "oeisien dari /ariabel 'ang a"an di&ilang"an pada suatu sistem persamaan dengan >ara mengali"an suatu bilangan "e "edua persamaan
tersebut. Kemudian "edua persamaan tersebut di"urang"an.
b. Ji"a sala& satu /ariabel dari suatu sistem persamaan mempun'ai "oeisien 'ang sama, ma"a "urang"an "edua persamaan tersebut. Ji"a satu /ariabel mempun'ai "oeisien 'ang berlawanan, ma"a $umla&"an "edua
persamaan tersebut, se&ingga diperole& persamaan linier dengan satu /ariabel.
>. Selesai"an persamaan linier dengan satu /ariabel tersebut.
d. Ulangi langa"& a, b, dan c untu" mendapat"an nilai /ariabel lainn'a. onto& soal
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan metode eliminasi! a. 2x + 3y = 3 x – 2y = 5 $a8ab 2x + 3y = 3 H ) 1 H 2x + 3y = 3 x – 2y = 5 H ) 2 H 2x – y = " F' I <F 'I <1 2) 3' I 3 ) 2 4) 6' I 6 * 2' I 5 ) 3 3) 6' I 15 F) I 21 * I 3
&$#$#$& Meto'e subtitusi
Metode subtitusi dila"u"an dengan mengguna"an lang"a&<lang"a& beri"ut
1E. Menguba& sala& satu /ariabel men$adi ungsi ter&adap /ariabel lainn'a pada sala& satu persamaan dan
2E. Bariabel 'ang suda& men$adi ungsi disubtitusi"an "e persamaan lainn'a onto& soal
Tentuhkan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berik ut denggan menggunakan metode subtitusi!
2) ' I F 5) 3' I 1 Ja8ab
2) ' I F ' I F 2)
9 I F 2) disubstitusi"an pada 5) 3' I 1, ma"a 5) < 3DF<2)E I 1
5) 21 6)I 1 11)I 121 11)I 22
)I 2 disubstitusi"an "e ' I F 2), ma"a 'I F<2.2
'I 3
&$#$#$3 Meto'e gabungan eliminasi 'an substitususi
Metode gabungan eliminasi dan substitusi dila"u"an dengan >ara
mengeliminasi sala& satu /ariabel "emudian dilan$ut"an dengan mensubstitusi"an &asil dari eliminasi tersebut.
onto& soal
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut ini dengan metode gabungan dan substitusi!
3) 5' I 22 4) 3' I10 Ja8ab 3) 5' I 22 )4 12) 20' I CC 4) 3' I 10 )3 12) ' I 30 <2' I 5C 'I <2
nilai ' I <2 disubstitui"an "e 3) 5' I 22, diperole& 3) 5' I 22
3) 5D2E I 22 3) 10 I 22 3) I 12
*I 4
&$& Sistem Persamaan "inier 'engan Tiga (ariabel
?entu" umum dari persamaan linear tiga /ariabel dalam ), ', dan adala& sebagai beri"ut.
1) b1' >1 I d
2) b2' >2' I d
3) b3' >3 I d
%engan a1, a2,a3, b1, b2, b3, >1, >2, >3, d1, d2, dan d3 bilangan real.
&$&$# )ara Menentukan im*unan Pen+elesaian 'ari Sistem Persamaan linier 'enan tiga (ariabel
1. 7liminasi
2. Substitusi, atau
3. Gabungan eliminasi dan substitusi
&$&$#$# Meto'e Eliminasi
Untu" mema&ami pem"aian metode eliminasi dalam menentu"an &impunan pen'elesaian dari sistem persamaan linear dengan tiga /ariabel, per&ati"an >onto& beri"utN
onto&
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan metode eliminasi!
2) 3' I 1 * ' I 4
Ja8ab
2) 3' I 1 D1E * ' I 4 D2E 3) ' 2 I 14 D3E
Kita elimisasi"an /ariabel dari persamaan D1E dan D2E 2) 3' I 1
* ' I 4 3) 4' I5 D4E
Kita elimisasi"an /ariabel dari persamaan D1E dan D3E 2) 3' I 1 )2 4) 6' <2 I 2
3) < ' 2 I 14 )1 3) ' 2I 14
F) 5'I 16 .D5E
Kita elimisasi"an /ariabel ' dari persamaan D4E dan D5E 3) 4' I5 )5 15) 20' I 25
F) 5' I 16 )4 2C) 20' I 64 <13) I <3
* I 3
Kita elimisasi"an /ariabel ) dari persamaan D4E dan D5E 3) 4' I5 )F 21) 2C' I 35
F) 5' I 16 )3 21) 15' I 4C 13' I <13
Kita elimisasi"an /ariabel ) dari persamaan D1E dan D2E 2) 3' I 1 )1 2) 3' < I 1
) ' I 4 )2 2) 2' 2I C
' <3I <F .D5E
Kita elimisasi"an /ariabel ) dari persamaan D1E dan D3E 2) 3' I 1 )3 6) ' <3 I 3
3) < ' 2 I 14 )2 6) 2' 4I 14
11' <FI <25.DFE
Kita elimisasi"an /ariabel ) dari persamaan D6E dan DFE ' <3I <F )11 11' 33 I <FF
11' <FI <25 )1 11' F I <25 <26 I <52
O I2
&$&$#$& Meto'e Substitusi
Untu" mema&ami pem"aian metode Substitusi dalam menentu"an &impunan pen'elesaian dari sistem persamaan linear dengan tiga /ariabel, per&ati"an >onto& beri"utN
onto&
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan metode #ubstitusi! * 3' 2 I C 2) ' 2 I0 3) 5' I 1F Ja8ab * 3' 2 I C .D1E 2) ' <2 I 0 .D2E 3) 5' I 1F .D3E %ari persamaan D1E diperole& * 3' 2 I C
* I 3' <2 C .D4E
%ari persamaan D4E disubstitusi"an "e persamaan D2E 2) ' <2 I 0
2D3' 2 CE ' <2 I 0 6' 4 16 ' <2 I0
F' 6 I <16
F
%ari persamaan D4E disubstitusi"an "e persamaan D3E 3) 5' I 1F
2D3' 2 CE 5' I 1F ' 6 24 5' I 1F
14' F I <F ..D6E
%ari persamaan D5E disubstitusi"an "e persamaan D6E 14' F I <F 14 6 16 <F I <F F 12 32 F I <F 5 I 25 O I 5
-ilai I 5 disubstitusi"an "e persamaan D5E 9 I 6 16
F
9 I 6.5 16 I 30 16 I 2
F F
-nilai I 5 dan ' I 2 disubstritusi"an "e persamaan D4E * I 3' 2 C
* I 3.2 2.5 C * I 6< 10 C * I 4
Jadi, &impunan pen'elesaiann'a adala& D2,4,5E
&$&$#$3 Meto'e Gabungan Eliminasi 'an Substitusi
Untu" mema&ami pem"aian metode Metode Gabungan 7liminasi dan Substitusi dalam menentu"an &impunan pen'elesaian dari sistem persamaan linear dengan tiga /ariabel, per&ati"an >onto& beri"utN
onto&
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan metode $etode %abungan &liminasi dan #ubstitusi
3) 5' I 11 * 3' 4 I 12 4) 2' 5 I <1 Ja8ab 3) 5' I 11 ..D1E * 3' 4 I 12 ..D2E 4) 2' 5 I <1 ..D3E
Kita eliminasi"an /ariabel dari persamaan D1E dan D2E 3) 5' I 11 )4 12) 20' < 4 I 44
* 3' 4 I 12 )1 ) 3' 4 I 12
13) 1F' I 56 .D4E
Kita eliminasi"an /ariabel dari persamaan D2E dan D3E
* 3' 4 I 12 )5 5) 15' 20 I 60
4) 2' 5 I <1 )4 16) C' 20 I <4
21) F' I 56 ..D5E
13) 1F' I 56 )F 1) 11' I 32 21) F' I 56 )1F 35F) 11' I 52 44C) I 1344 * I 1344 44C * I 3 -ilai ) I 3 dusbstitusi"an "e persamaan D4E
13) 1F' I 56 13.3 1F' I 56 3 1F' I 56 1F' I 56 <3 1F' I 1F 9I1
nilai ) I 3 dan ' I 1 disubstitusi"an "e persamaan D1E 3) 5' I 11
3.3 5.1 I 11 5 I 11 O I 3
&$3 Perti'aksamaan
?entu" umum dari pertida"samaan adala& sebagai beri"ut
&$3$#$# notasi keti'aksamaan
Misaln'a a dan b bilangan real
a, a di"ata"an "urang dari b, ditulis a P b $i"a dan &an'a $i"a a b negati sebagai >onto&, FP12 "erena F 12 I <5 dan <5 negati
b, a di"ata"an lebi& dari b, ditulis a Qb $i"a dan &an'a $i"a a<b positi. Sebagai >ont&, 5Q2 "arena 5<2I 3 dan 3 positi
, a di"ata"an "urang dari atau sama dengan b, ditulis aP b $i"a dan &an'a $i"a P b atau a I b.
%engan "ata lain, a P b adala& ing"aran a Q b
Sebagai >onto&, 4 P F adala& benar "arena 4 Q F adala& sala&
%, a adala& di"ata"an lebi& dari atau sama dengan b, ditulis a Q b $i"a dan &an'a Ji"a a Q b atau a I b
%engan "ata lain, a Qb adala& ing"aran dari a P b
Sebagai >onto&, F Q 3 adala& benar "arena F P 3 adala& sala&
&$3$#$& De,inisi *erti'aksamaan
U(x) < v(x) u(x) < v(x) U(x) > v(x) u(x) > v(x)
!ada uraian diatas, diberi"an notasi dari "etida"samaan a P b, aQb, P b dan a Q b. pertidaksamaandideinisi"an sebagai "alimat terbu"a 'ang
di&ubung"an ole& notasi D lambang E "etida"samaan :P; , :Q; , :P; atau :Q;
&$3$#$3 selang atau inter-al
da C ma>am "emung"inan selang atau inter/al 'ang sering di$umpai dalam men'elesai"an suatu pertida"samaan, 'aitu
Selang 1<4 dinama"an selang hingga, sedang"an selang 5<C dinama"an selang tak hingga'
&$3$#$. si,at/si,at *erti'aksamaan
1. #anda pertida"samaan tida" a"an beruba& $i"a "ita menamba&"an atau mengurang"an suatu pertida"samaan dngan bilangan atau suatu e"spresi matemtai"a tertentu
onto& soal
Tentukan penyelesaiaan dari pertidaksamaan berikut!
* 2 P 5 Ja8ab * 2 P 5 * 2 2 P 5 2 * P F F
2. #anda pertida"samaan tida" a"an beruba& $i"a "ita mengali"an atau membagin'a dengan bilangan positi
onto& soal
Tentukan penyelesaiaan dari pertidaksamaan berikut! 2) Q 14 Ja8ab 2) Q 14 1 ) 2) Q 1 ) 14 2 2 * Q F F
3. #anda pertida"samaan a"an berbali" $i"a di"ali atau dibagi dengan sebua& bilangan negati
onto& soal
Tentukan penyelesaiaan dari pertidaksamaan berikut! <4) Q <20 Ja8ab <4) Q <20 <4) P <20) D<4E D<4E *P5 5
&$3$& Perti'aksamaan "inear
!ertida"samaan linear adala& pertida"samaan 'an memuat /ariabel Dpeuba&E dengan pang"at tertinggi dari /ariabel tersebut adala& 1DsatuE.
Tentukan himpunan penyelesaiaan dari pertidaksamaan berikut pada garis bilangan! 4) 2 P 10 Ja8ab 4) 2 P 10 4) 2 2 P 10 2 4) P C *P2
Jadi, &impunan pen'elesaiann'a adala& )R ) P 2, ) 7
(2 ( " 2
&$3$3 Perti'aksamaan Berbentuk Pe0ahan
Untu" men'elesai"an pertida"samaan berbentu" pe>a&an, ada beberapa lang"a& 'ang &arus "ita i"uti antara lain
a.menguba& ruas "anan pertida"samaan men$adi nol
b. men'eder&ana"an ruas "iri dengan mema"tor"an pembilang dan pen'ebut >. menentu"an nilai a"rtor pembuat nol pembilang dan pen'ebut
e. menentu"an tanda untu" nilai pertida"samaan 'ang Q 0 dan tanda untu" nilai pertida"samaan 'ang P 0
. &impunan pen'elesaiaan'a adala& pada inter/al 'ang memenu&i nilai 'ang sesuai dengan tanda pertida"samaan pe>a&an 'ang tela& diseder&ana"an setela& diu$i
>onto& soal
tentukan himpunan penyelesaiaan dari pertidaksamaan berikut!
2)<1 Q 1, ) I 3 )<3 $a8ab 2)<1 Q 1 )<3 2)<1 <1 Q 0 )<3 2)<1 ) 3 )<3 ) 3 ) 2 ) 3
nilai a"tor pembuat nol pembilang adala& )I <2 nilai a"tor pembut nol pen'ebut dl& ) I 3
la"u"an pengu$ian nilai ) pada garis bilangan, se&inga
<3 <2 <1 0 1 2 3 4
DAFTAR P!STAKA
1ohanes2 Sulasim$ &4$ )ompetensi matematika a'
$a"arta
'ud&istira
Google$
)tt-:'ms)itn#.(om2/1"/02*-e'tida$samaan& matemati$a&sma
Kementrian *en'i'ikan$  $atematika kelas x'
