METODE NUMERIK SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINIER (SPL) SIMULTAN.

METODE NUMERIK

SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINIER (SPL) SIMULTAN

Sistem Persamaan Linier

 Misal terdapat SPL dengan n buah variabel bebas

Matriks:                                                  n n nn n n n n n C C C C x x x x a a a a a a a a a a a a           3 2 1 3 2 1 2 1 3 32 31 2 22 21 1 12 11 n n mn m m m n n n n C x a x a x a x a C x a x a x a x a C x a x a x a x a                    3 3 2 2 1 1 2 2 3 23 2 22 1 21 1 1 3 13 2 12 1 11 2

Penyelesaian Sistem

Persamaan Linier (SPL)

 Algoritma Gauss Naif

 Algoritma Gauss Jordan  Algoritma Gauss Seidel

Algoritma Gauss Naif

1. Membagi persamaan pertama dengan

koefisien a₁₁. Langkah tersebut disebut

normalisasi. Tujuan normalisasi ini adalah agar koefisien dari x₁ berubah menjadi 1.

2. Kalikan persamaan yang telah dinormalisasi

(dalam hal ini persamaan pertama) dengan koefisien pertama dari persamaan kedua (yaitu a₂₁).

3. Mengurangkan baris kedua dan ketiga

dengan baris pertama.

Algoritma Gauss Naif

4. Kalikan persamaan pertama yang sudah

dinormalisasi dengan koefisien tertentu sehingga a₁₁ = a₃₁.

5. Kurangkan persamaan ketiga dengan hasil

dari yang didapat dari langkah 4.

6. Baris kedua dibagi dengan koefisien a₂₂.

Langkah ini disebut NORMALISASI untuk persamaan kedua. Tujuannya adalah agar

Algoritma Gauss Naif

7. Kalikan persamaan kedua yang sudah

dinormalisasi pada langkah ke-6 dengan suatu koefisien tertentu sehingga a₂₂ = a₃₂.

8. Kurangkan persamaan ketiga dengan

persamaan kedua hasil dari langkah ke-7.

Algoritma Gauss Naif (Ex.)

 Diketahui SPL: 2x₁ + 2x₂ + x₃ = 4 3x₁ - x₂ + x₃ = 1 x₁ + 4x₂ - x₃ = 2  Bagaimana penyelesaiannya?

Algoritma Gauss Naif (Ex.)

 Matriks yang terbentuk:

 Langkah: 1.                                  2 1 4 1 4 1 1 1 3 1 2 2 3 2 1 x x x                                   2 1 2 1 4 1 1 1 3 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 x x x b 8

Algoritma Gauss Naif (Ex.)

2. dan 3. 4. dan 5.                                        2 5 2 1 4 1 2 1 4 0 2 1 1 1 3 3 2 1 1 2 x x x b b                                      0 5 2 3 3 0 2 1 4 0 2 1 1 1 3 2 1 1 3 x x x b b

Algoritma Gauss Naif (Ex.)

6. 7. dan 8.                                     04 5 2 2 3 3 0 8 1 1 0 2 1 1 1 4 1 3 2 1 2 x x x b                                        4 154 5 2 8 15 0 0 8 1 1 0 2 1 1 1 3 3 2 1 2 3 x x x b b 10

Algoritma Gauss Naif (Ex.)

 Hasil: 2 4 15 8 15 3 3      x x

 

2 1 8 1 4 5 4 5 8 1 2 3 2      x x x

 



2



0 2 1 1 2 2 2 1 1 3 2 1         x x x x

Algoritma Gauss Jordan

 Dengan metode Gauss Jordan matriks A diubah

sedemikian rupa sampai terbentuk identitas dengan cara :

diubah menjadi

C* merupakan matriks C yang sudah mengalami beberapa kali transformasi, sehingga:



A | I



X  C



I | A1



X  C                                                       n n C C C C x x x x A            3 2 1 3 2 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1       n n C x C x C x 2 2 1 1 12

Algoritma Gauss Jordan (Ex.)

 Diketahui SPL: 2x₁ + 2x₂ + x₃ = 4 3x₁ - x₂ + x₃ = 1 x₁ + 4x₂ - x₃ = 2  Bagaimana penyelesaiannya?

Algoritma Gauss Jordan (Ex.)

 Langkah: 1. 2.                                  2 1 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 4 1 2 1 3 2 3 2 1 x x x                                    2 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 1 12 1 4 1 1 1 3 1 2 1 3 2 1 1 x x x b 14

Algoritma Gauss Jordan (Ex.)

3. 4. 1 3 1 2 3 b b b b                                          0 5 2 1 0 2 1 0 1 2 3 0 0 2 1 2 32 12 1 3 4 1 0 0 1 3 2 1 x x x                                    04 5 2 1 0 1 0 4 1 8 3 0 0 2 1 38 12 1 3 1 1 0 0 1 4 1 3 2 1 2 x x x b

Algoritma Gauss Jordan (Ex.)

5. 6. 2 3 2 1 3b b b b                                          15₄ 4 54 3 1 4 3 8 13 0 4 1 8 3 0 4 1 8 1 8 158 18 3 0 1 0 0 0 1 3 2 1 x x x                                        24 54 3 15 8 15 6 15 13 0 4 1 8 3 0 4 1 8 1 18 18 3 0 1 0 0 0 1 15 8 3 2 1 3 x x x b 16

Algoritma Gauss Jordan (Ex.)

7. Jadi: x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 2 3 2 3 1 8 1 8 3 b b b b                                       2 1 0 15 8 15 6 15 13 15 1 5 1 15 4 5 1 5 2 5 21 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 2 1 x x x

Algoritma Gauss Seidel

 Sering dipakai untuk menyelesaikan persamaan

yang berjumlah besar.

 Dilakukan dengan suatu iterasi yang memberikan

harga awal untuk x₁ = x₂ = x₃ = ... = x_n = 0.

 Metode ini berlainan dengan metode Gauss Jordan

dan Gauss Naif karena metode ini menggunakan iterasi dalam menentukan harga x₁, x₂, x₃, ..., x_n.

 Kelemahan metode eliminasi dibandingkan metode

iterasi adalah metode eliminasi sulit untuk

digunakan dalam menyelesaikan SPL berukuran besar.

Algoritma Gauss Seidel

1. Beri harga awal x₁ = x₂ = x₃ = ... = x_n = 0

2. Hitung Karena x₂ = x₃ = x₄ = ... = x_n = 0, maka





11 1 4 14 3 13 2 12 1 1 a x a x a x a x a C x        n n 11 1 1 a C x 

Algoritma Gauss Seidel

3. x₁ baru yang didapat dari tahap 2 digunakan untuk

menghitung x₂. Baris 2  a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ + ... + a_2nx_n = C₂ 22 2 3 23 1 21 2 2 a x a x a x a C x       n n 22 1 21 2 2 a x a C x   20

Algoritma Gauss Seidel

4. Menghitung x₃ Baris 3  a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ + ... + a_3nx_n = C₃ a₃₃x₃ = C₃ – a₃₁x₁ – a₃₂x₂ – … – a_3nx_n 33 3 4 34 2 32 1 31 3 3 a x a x a x a x a C x        n n 2 32 1 31 3 3 a x a x a C x   

Algoritma Gauss Seidel

5. Cara ini diteruskan sampai ditemukan x_n.

6. Lakukan iterasi ke-2 untuk menghitung x₁,

x₂, x₃, ..., x_n baru   nn n n n n n n n n a x a x a x a x a C x a x a x a x a C x a x a x a x a C x 1 1 1 3 13 2 12 1 11 22 2 3 23 1 21 2 2 11 1 3 13 2 12 1 1                       22

Algoritma Gauss Seidel

7. Mencari kesalahan iterasi |_a| dengan cara:

8. Iterasi diteruskan sampai didapat | | < | |

        % 100 % 100 ) ( ) (         baru n lama n baru n a n baru i lama i baru i a i x x x x x x x x   

Algoritma Gauss Seidel (Ex.)

 Diketahui SPL: x₁ + 7x₂ – 3x₃ = –51 4x₁ – 4x₂ + 9x₃ = 61  12x₁ – x₂ + 3x₃ = 8 dan _a = 5 %                                   8 61 51 3 1 12 9 4 4 3 7 1 3 2 1 x x x 24

Algoritma Gauss Seidel (Ex.)

 Iterasi ke-0 x₁ = x₂ = x₃ = 0  Iterasi ke-1 51 1 51 1     x





66,25 4 51 4 61 4 4 61 ₁ 2          x x



 



58 , 184 3 25 , 66 51 8 3 12 8 _{1 2} 3          x x x

Algoritma Gauss Seidel (Ex.)

 Iterasi ke-2



















 



78 , 3407 3 55 , 1366 49 , 966 12 8 3 12 8 55 , 1366 4 58 , 184 9 49 , 966 4 61 4 9 4 61 49 , 966 1 58 , 184 3 25 , 66 7 51 1 3 7 51 2 1 3 3 1 2 3 2 1                            x x x x x x x x x 26

Algoritma Gauss Seidel (Ex.)

 Iterasi ke-3

 Perhitungan x , x , x diteruskan sampai

            11 , 70189 3 94 , 27522 19 , 19840 12 8 3 12 8 94 , 27522 4 78 , 3407 9 19 , 19840 4 61 4 9 4 61 19 , 19840 1 78 , 3407 3 55 , 1366 7 51 1 3 7 51 2 1 3 3 1 2 3 2 1                                 x x x x x x x x x

Algoritma Gauss Seidel (Ex.)

Iterasi ke- Nilai x _a

0 x₁ = 0 x₂ = 0 x₃ = 0 1 x₁ = 51 x₂ = 66,25 x₃ = 184,58 2 x₁ = 966,49 x₂ = 1366,55 x₃ = 3407,78 _a = 105,28 % _a = 104,85 % _a = 105,42 % 3 x₁ = 19840,19 x₂ = 27522,94 x₃ = 70189,11 _a = 104,87 % _a = 104,97 % _a = 104,86 % 28

Koefisien Relaksasi ()

 Tujuan:

Perbaikan konvergensi dalam Gauss Seidel.

 Biasanya koefisien relaksasi dipilih sendiri

berdasarkan masalah yang dihadapi.

 Jika SPL tidak konvergen,  yang bernilai antara 0

s/d 1 disebut Under Relaksasi.

  antara 1 dan 2 biasanya digunakan untuk

mempercepat konvergensi suatu sistem persamaan yang konvergen, disebut Over Relaksasi.

Koefisien Relaksasi ()

 Rumus (nilai SPL) dengan menggunakan 





lama i baru i i

x

x

x









1







30

0<<2

1

Solusi perbaikan dengan Koefisien Relaksasi () pada metode Gauss Seidel

x₁ x₂ u _v x_1(target) x₂ (target) x₁ x₂ u v x_1(target) x_2`(target)

Koefisien Relaksasi () (Ex.)

Iterasi ke- Nilai x dengan  (1,5) 0 x1 = 0 x₂ = 0 1 x1 = 10 x₂ = 15 2 x1 = 6 x₂ = 7,5 x₁ baru = 4 x₂ baru = 3,75 3 x1 = 4 x₂ = 3,75 Contoh perhitungan : x₁ baru = 1,5 . 6 + (1 – 1,5) . 10 = 9 + (–0,5) . 10 = 4 32