Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Kompleks Dengan Invers Matriks Menggunakan Metode Faddev (Contoh Kasus: SPL Kompleks dan Hermit)

(1)

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Kompleks

Dengan Invers Matriks Menggunakan Metode Faddev

(Contoh Kasus: SPL Kompleks dan Hermit)

F. Aryani1dan Tika Rizkiani2

1,2

Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau Jl. HR. Soebrantas No. 155 Simpang Baru, Panam, Pekanbaru, 28293 Email: [email protected] [email protected]

ABSTRAK

Penelitian ini membahas tentang penyelesaian sistem persamaan linier kompleks dan Hermit menggunakan metode invers matriks. Invers matriks pada penelitian ini menggunakan metode Faddeev. Metode Faddeev merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan invers dari suatu matriks. Algoritma metode Faddeev mempunyai beberapa langkah yang sederhana. Dalam prosesnya diperlukan Trace untuk setiap matriks hingga ke pada setiap langkah, sampai ditemukan invers matriks. Berdasarkan pembahasan ini bahwa solusi dari sistem persamaan linier kompleks dan Hermit berbentuk bilangan kompleks juga. Penelitian ini juga melakukan contoh kasus dalam penyelesaian sistem persamaan linier kompleks dan Hermit untuk ukuran matriks dan .

Katakunci :Sistem Persamaan Linier, Metode Faddeev, Matriks Kompleks, Matriks Hermit, Invers Matriks.

ABSTRACT

This paper the settlement system of linear equations with complex and Hermit matrix inverse method uses Faddeev . Metod e Faddeev is one method that can be used to determine the inverse of a matrix . The algorithm determines the inverse of a matrix using Faddeev method has several steps simple. In the proces Trace required for each matrix to at each step , until it was discovered the inverse matrix . Based on this discussion that the solution of the complex system of linear equations and Hermit shaped complex numbers as well . In this paper also observe case example for complex matrices and Hermit size 4 × 4 and 5 × 5 .

Keyword : System of Linear, Faddeev Method, Complex Matrix, Hermit Matrix,

Matrix Invers

Pendahuluan

Aljabar merupakan salah satu cabang ilmu yang membahas permasalahan pada bidang matematika, salah satunya yaitu matriks. Aplikasi matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai macam solusi misalnya pada penyelesaian sistem persamaan linier, baik sistem persamaan linier riil maupun sistem persamaan linier kompleks. Sistem persamaan linier jika dibentuk kedalam , maka kita akan dapat menyelesaiakan sistem persamaan linier dengan menggunakan invers yaitu _{. Artinya sistem persamaan linier dapat ditentukan apabila}

matriks mempunyai invers.

Ada beberapa metode yang digunakan untuk menentukan invers dari suatu matriks diantaranya yaitu dengan menggunakan metode Operasi Baris Elementer, Metode Leverrier Faddeev, dan metode Faddeev. Pada penelitian ini untuk menentukan invers matriks menggunakan metode Faddeev. Metode Faddeev merupakan metode untuk menetukan invers dengan cara menyederhanakan perhitungan koefisien polinomial karakteristik dari suatu matriks yang dimodifikasi khusus dari metode Leverrier- Takeno oleh Faddeev dkk

Penelitian mengenai invers ini telah diteliti oleh beberapa peneliti dianatranya, J.H. Caltenco dkk dalam jurnalanya yang berjudul “ Charakteristic Polinomia of A and Faddeev’s Method for

(2)

_{” Tahun 2007. Selanjutnya diteliti oleh MR Milan B. Tasic dalam jurnalnya yang berjudul “} Generalisasi Invers “ Tahun 2003 menggunakan metode Levverier-Faddeev.

Sistem persamaan linier yang akan dibahas pada makalah ini adalah sistem persamaan linier dengan koefisien bilangan kompleks. Bilangan kompleks dapat didefinisikan sebagai keseluruhan semua besaran yang berbentuk , yang dalam hal ini dan adalah bilangan nyata dan

.

Beberapa jenis matriks kompleks salah satunya adalah matriks Hermit. Menurut Anton dan Rorres (2005) matriks Hermit adalah matriks bujursangkar yang entri-entrinya bilangan kompleks jika berlaku , dengan adalah matriks dari konjugat-konjugat matriks , yang didefinisikan sebagai .

Bahan dan Metode Penelitian

Berikut langkah-langkah metodologi penelitian untuk penyelesaian sistem persamaan linier kompleks dengan invers matriks menggunakan metode Faddeev adalah sebagai berikut:

2.1 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier untuk Matriks Kompleks dan Hermit:

a. Diberikan sistem persamaan linier dengan koefisien bilangan kompleks dan Hermit. b. Kemudian membentuk sistem persamaan linier kompleks ke dalam bentuk matriks

kompleks .

c. Menentukan invers matriks komplek menggunakan metode Faddeev. Adapun langkah untuk menentukan invers menggunakan metode Faddeev yaitu:

; ; dengan matriks kompleks atau matriks Hermit . ; ; . ; ; ; .

dengan , , . . . , adalah Trace Matriks yaitu: Penjumlahan elemen diagonal utama pada matriks bujur sangkar. Akhirnya diperoleh invers matriksnya yaitu:

1 n 1 q 1   _ n B A

d. Setelah mendapatkan invers, kemudian menentukan solusi dari sistem persamaan linier kompleks dengan rumus .

Hasil dan Pembahasan

Pembahasan yang dilakukan pada penelitian ini adalah memberikan contoh kasus untuk penyelesaian SPL kompleks dan Hermit yang sesuai dengan metodologi penelitian.

Contoh 1:

Diberikan sitem persamaan linier kompleks dengan persamaan dan variabel sebagai berikut dan akan diselesaikan dengan metode invers matriks menggunakan Metode Faddev.

i x i x i x i x i i x i x i x i x i i x i x i x i x i i x i x i x i x i                                 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 1 ( 2 ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( 1 ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1

(3)

                         i i i i i i i i i i i i i i i i A 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 ,                  i i i i b 1 2 2 1

Langkah selanjutnya adalah menentukan invers dari matriks menggunakan metode Faddeev, yaitu:                           i i i i i i i i i i i i i i i i A A 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1

maka didapat

q

₁ yaitu:

i i i i i A Tr q 7 2 1 ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 1 ) ( ₁ 1           

dan nilai

B

₁adalah:

                             i i i i i i i i i i i i i i i i 6 1 2 2 2 5 1 2 3 5 2 1 1 5

Selanjutnya menentukan

A

₂, yaitu:

A B A2  1                                       i i i i i i i i i i i i i i i 4 1 6 1 3 7 6 3 5 6 6 9 7 7 2 2 8 5 4 4 12 6 4 7 1 2 3 6

maka didapat

q

₂, yaitu:

i i i i A Tr q 14 3 2 ) 4 1 ( ) 6 9 ( ) 4 12 ( ) 6 ( 2 ) ( ₂ 2              

dan nilai

B

₂ adalah:

                                   i i i i i i i i i i i i i i i i 13 6 1 3 7 6 3 5 6 3 5 7 7 2 2 8 5 4 7 2 6 4 7 1 2 3 3 8

Selanjutnya menentukan A₃, yaitu:

A

₃



B

₂

A

                              i i i i i i i i i i i i i i i i 3 15 7 4 12 5 15 4 2 30 3 2 3 8 7 1 5 31 10 18 6 12 11 8 3 11

maka didapat

q

₃, yaitu:

i

A

Tr

q













29 

3 )

3

15 (

)

2

30 (

)

5

31 (

)

3

11 (

3 )

(

₃ 3

(4)

                               i i i i i i i i i i i i i i i i 4 14 7 4 12 5 15 4 3 1 3 2 3 8 7 1 4 2 10 18 6 12 11 8 2 18

A

₄, yaitu

A

₄



B

₃

A

                 i i i i 11 2 0 0 0 0 11 2 0 0 0 0 11 2 0 0 0 0 11 2 Selanjutnya

q

₄, yaitu:

i

A

Tr

q

2

11

3 )

11

2 (

)

11

2 (

)

11

2 (

)

11

2 (

4 )

(

₄ 4







Maka inversnya adalah:

1 n 1 q 1   _ n B A                                               i i i i i i i i i i i i i i i i 125 162 125 16 25 6 25 17 125 79 125 122 125 14 125 173 125 2 125 11 25 1 25 7 125 16 125 37 125 6 125 33 25 18 25 1 5 1 5 3 25 6 25 8 25 4 25 22 125 102 125 186 25 26 125 7 125 66 125 137 124 194 125 58

Selanjutnya akan menentukan nilai ke dalam bentuk , yaitu:

i x 25 186 5 52 1   ,x i 25 14 25 48 2   , x i 125 22 125 51 3   , x i 25 14 125 828 4   .

Selanjunya akan diberikan contoh sistem persamaan linier kompleks ukuran sebagai berikut:

Contoh 2:

Diberikan sitem persamaan linier kompleks dengan persamaan dan variabel sebagai berikut dan akan diselesaikan dengan metode invers matriks menggunakan Metode Faddev.

) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 1 ( ) 2 ( ) 1 ( i x₁ i x₂   i x₃ i x₄ i x₅  i ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( i x₁ i x₂ i x₃ i x₄ i x₅  i ) 3 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 3 ( i x₁ i x₂ i x₃ i x₄  i x₅  i ) 2 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( i x₁ i x₂  i x₃ i x₄ i x₅   i ) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( i x₁ i x₂ i x₃ i x₄ i x₅  i

Dengan langkah yang sama pada contoh sebelumnya maka diperoleh invers matriks nya adalah:

1 n 1 q 1   _ n B A                                                                  i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 485 161 970 191 388 127 388 407 1940 1639 1940 317 485 7 485 154 1940 653 1940 1639 485 147 970 163 388 175 388 261 1940 317 1940 1271 485 331 485 7 1940 301 1940 317 485 104 485 137 194 85 194 167 970 683 970 9 485 122 485 226 970 9 970 683 97 23 194 55 388 63 388 263 388 151 388 73 97 1 97 22 388 121 388 151 97 17 194 69 388 55 338 337 388 133 388 275 97 33 97 47 388 81 338 133

(5)

Solusi dari SPL tersebut adalah:

,

i x 194 45 194 271 1 

,

x i 194 19 194 67 2 

,

x i 485 92 485 84 3 

,

, 970 113 970 1031 4 i x   x i 970 61 970 857 5  

.

Selanjunya akan diberikan contoh sistem persamaan linier kompleks Hermit ukuran dengan persamaan dan variabel 4 sebagai berikut:

Contoh 3:

Diberikan sitem persamaan linier kompleks Hermit dengan persamaan dan variabel sebagai berikut dan akan diselesaikan dengan metode invers matriks menggunakan Metode Faddev.

i x x i x i x i i x i x i x i i x i x i x x i i x i x i x i x                                  1 ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 3 ( 1 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 1 ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 1 ( 2 ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1

Langkah pertama adalah membentuk sistem persamaan linier kompleks ke dalam matriks, yaitu:

                         2 2 1 3 2 2 2 2 1 2 3 1 3 2 1 1 i i i i i i i i i i i i A ,                  i i i i b 1 1 1 2

Langkah selanjutnya adalah menentukan invers dari matriks menggunakan metode Faddeev, yaitu:  1 A                          2 2 1 3 2 2 2 2 1 2 3 1 3 2 1 1 i i i i i i i i i i i i A

maka didapat

q

₁ yaitu:

8

1

2

3

1

1 )

(

₁ 1







Tr

A

q

dan nilai

B

₁adalah:

                             6 2 1 3 2 6 2 2 1 2 5 1 3 2 1 7 i i i i i i i i i i i i

A

₂, yaitu:

A

B

A

₂



₁                             5 8 3 2 11 12 8 3 3 7 4 3 2 3 6 8 3 11 12 7 4 8 3 10 i i i i i i i i i i i i

maka didapat

q

₂, yaitu:

6

2

5

3 )

6 (

10

2 )

(

₂ 2











Tr

A

q

(6)

                              1 8 3 2 11 12 8 3 3 7 4 3 2 3 12 8 3 11 12 7 4 8 3 4 i i i i i i i i i i i i

Selanjutnya menentukan A3, yaitu:

A

B

A

3



2                                      58 9 14 3 12 5 2 19 14 32 7 25 11 1 3 12 7 25 45 7 3 5 2 11 1 7 3 63 i i i i i i i i i i i i

maka didapat

q

₃, yaitu:

66

3 )

58 (

)

32 (

)

45 (

)

63 (

3 )

(

₃ 3



















Tr

A

q

dan nilai B₃ adalah:

                                 8 9 14 3 12 5 2 19 14 34 7 25 11 1 3 12 7 25 21 7 3 5 2 11 1 7 3 3 i i i i i i i i i i i i

A

₄, yaitu:

A

B

A

₄



₃              5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 5

5

4

5

4 )

(

₄ 4







Tr

A

q

Maka inversnya adalah: 1 n 1 q 1   _ n B A                                          5 8 5 9 5 14 5 3 5 12 5 2 5 9 5 14 5 34 5 7 5 5 11 5 1 5 3 5 12 5 7 5 5 21 5 7 5 3 5 2 5 11 5 1 5 7 5 3 5 3 i i i i i i i i i i i i

Selanjutnya akan menentukan nilai ke dalam bentuk _{, yaitu:}

i

x

₁



5 

2

,

x

₂



1 

13 i

, x₃ 616i,

x

₄





1 

8 i

. Contoh 4:

Diberikan sitem persamaan linier kompleks Hermit dengan persamaan dan variabel sebagai berikut dan akan diselesaikan dengan metode invers matriks menggunakan Metode Faddev.

) 2 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( x1 i x2  i x3 i x4 i x5   i

(7)

) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 4 ( ) 1 ( i x₁ x₂  i x₃ i x₄ i x₅  i ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( i x₁ i x₂ x₃ i x₄ i x₅  i ) 3 ( ) 3 ( ) 5 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( i x₁ i x₂  i x₃ x₄  i x₅  i ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( i x₁ i x₂  i x₃ i x₄ x₅  i

Dengan langkah yang sama pada contoh sebelumnya maka diperoleh invers matriks nya adalah:

1 n 1 q 1   _ n B A                                                              47 15 47 1 47 3 47 16 47 5 47 4 47 12 47 12 47 7 47 1 47 3 235 66 47 6 235 26 235 8 47 1 235 41 235 58 47 16 47 5 47 6 235 26 235 31 235 8 47 6 235 61 235 13 47 4 235 12 235 8 47 1 235 8 47 6 235 69 235 21 235 12 47 12 47 7 235 41 235 58 235 61 235 13 235 21 235 12 47 16 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i

Solusi dari SPL tersebut adalah:

,

i x 47 55 47 4 1 

,

x i 231 117 235 31 2  

,

x i 235 3 235 116 3  

,

, 235 148 235 176 4 i x   x i 47 24 47 4 5  

.

Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan sebelumnya maka dapat diperoleh kesimpulan, yaitu:

1. Penyelesaian SPL kompleks dan Hermit dapat diselesaikan dengan menggunakan invers matriks menggunkan metode Faddeev.

2. Penyelesaian sistem persamaan linier kompleks dan Hermit pada penelitian ini merupakan contoh kasus untuk matriks ukuran dan ukuran matriks , solusinya berupa bilangan kompleks.

Daftar Pustaka

[1]Anton, dan Rorres. ”Aljabar Linear Elementer”, jilid 1. Erlangga:Jakarta.2004. [2] Anton, dan Rorres. ”Aljabar Linear Elementer”, jilid 2. Erlangga:Jakarta.2005. [3] Anton, Howard. “Alajabar LinierElementer”, Edisi kelima. Erlangga: Jakatra. 1987.

[4] Gazali, Wikaria. “Matriks dan Transformasi Linier”. Graha Ilmu. Yogyakarta. 2005. [5] J. Supranto. ”Pengantar Matriks”. PT Rineka Cipta: Jakarta. 2003.

[6] J.H. Caltenco dkk. “ Characteristic Polinomial of A and Faddeev’s Method for _{. 2007.} [7] John D.Paliouras dkk. “ Peubah Komplekd”. Erlangga:Jakarata. 1987.

[8] Kartono.”Aljabar Linier Vektor dan Aplikasinya Menggunakan Maple”.Graha Ilmu Yogyakatra.2003

[9] Khasanah, Lisnilwati dan Bambang Irawanto. “Menentukan Invers Drazin dari Matrik Singular”. Jurnal Matematika, Vol.14 No.3. 2011.

[10] Ruminta. “Matriks Persamaan Linier dan Pemograman Linier”. Rekayasa Sains, Bandung .2009.