BAB II
TINJAUAN TEORITIS
2.1 Konsep Dasar Statistika
Statistik merupakan cara – cara tertentu yang digunakan dalam mengumpulkan, menyusun atau mengatur, menyajikan, menganalisa dan memberi interpretasi terhadap sekumpulan data, sehingga kumpulan bahan keterangan dapat memberi pengertian dan makna tertentu. Seperti pengambilan kesimpulan, membuat estimasi dan juga prediksi yang akan datang.
Ruang lingkup statistika meliputi statistik deduktif atau statistik deskriptif dan statistik induktif atau statistik inferensial. Statistik deskriptif terdiri dari menghimpun data, menyusun data, mengolah, menyajikan dan menganalisa data angka. Sedangkan statistik inferensial atau statistik induktif adalah meliputi teori probability,distribusi teoritis, distribusi sampling, penaksiran, pengujian hipotesa, korelasi, komparasi, dan regresi.
Sumber data statistik dapat dikumpulkan langsung oleh peneliti dari pihak yang bersangkutan dan biasanya disebut data primer. Dan data juga dapat diperoleh dari pihak lain atau data yang sudah ada disebut dengan data sekunder.
2.2 Konsep Dasar Analisis Regresi
Perubahan nilai suatu variabel dapat disebabkan karena adanya perubahan pada variabel-variabel lain yang mempengaruhi. Misalnya pada seorang karyawan terrhadap perubahan tingkat produktivitas karena adanya perubahan upah yang diterimanya. Dalam artian bahwa karyawan tersebut semakin produktif sebagai akibat adanya tambahan upah yang diterimanya. Dalam hal ini berarti bahwa perubahan produktivitas disebabkan oleh adanya perubahan upah. Dalam fenomena alam banyak sekali kejadian yang saling berkaitan sehingga perubahan paa variabel lain berakibat pada perubahan variabel lainnya. Teknik yang digunakan untuk menganalisis hal-hal semacam ini disebut dengan analisis regresi.
Analisis regresi (regression analysis) merupakan suatu teknik untuk membangun persamaan dan menggunakan persamaan tersebut untuk membuat perkiraan (prediction). Dengan demikian, analisis regresi sering disebut sebagai anlisis prediksi. Karena merupakan prediksi, maka nilai prediksi tidak terlalu tepat dengan nilai riilnya, semakin kecil tingkat penyimpangan antara nilai prediksi dengan nilai riilnya, maka semakin tepat persamaan regresi yang kita bentuk.
Sehingga dapat didefenisikan bahwa, anlisa regresi adalah metode statistika yang digunakan untuk menentukan kemungkinan bentuk hubungan antara variabel – variabel, dengan tujuan pokok dalam penggunaan metode ini adalah untuk meramalkan atau memperkirakan nilai dari suatu variabel lain yang diketahui.
2.3 Persamaan Regresi
Persamaan regresi (regression equation) adalah suatu persamaan matematis yang mendefinisikan hubungan antara dua variabel. Persamaan regresi yang digunakan untuk membuat taksiran mengenai variabel dependen disebut persamaan regresi
estimasi, yaitu suatu formula matematis yang menunujukkan hubungan keterkaitan
antara satu atau beberapa variabel yang nilainya sudah diketahui dengan satu variabel lainnya yang belum diketahui.
Sifat hubungan antar variabel dalam persamaan regresi merupakan hubungan sebab akibat (causal relationship). Oleh karena itu, sebelum menggunakan persamaan regresi dalam menjelaskan hubungn antara dua atau lebih variabel, maka perlu diyakini terlebih dahulu bahwa secara teoritis atau perkiraan sebelumnya, dua atau lebih variabel tersebut memiliki hubungan sebab akibat. Variabel yang lainnya akan mempengaruhi nilai variabel lain disebut dengan variabel bebas (independent
variabel), sedangkan variabel yang lainnya dipengaruhi oleh nilai variabel lain disebut
variabel tergantung (dependent variabel).
2.3.1 Persamaan Regresi Linier Sederhana
Regresi linier sederhana merupakan suatu teknik untuk mendapatkan hubungan yang dinyatakan dalam bentuk persamaan matematis yang terdiri dari variable bebas tunggal ( X ) dan variable tak bebas tunggal ( Y ).
Untuk keperluan analisis variabel bebas dapat dinyatakan dengan X1, X2, X3, ..., Xk ( k ≥ 1) sedangkan variabel tak bebas dinyatakan dengan Y.
Bentuk umum dari persamaann regresi linier untuk populasi adalah :
μ y.x = β0 + β1 (2.1)
Dalam hal ini, parameternya adalah β0 dan β1 .
Untuk regresi sederhana jika β0 dan β1 ditaksir oleh b0 dan b1 maka bentuk regresi linier sederhana untuk sample adalah :
Ŷ = b0 + b1X (2.2)
2.3.2 Persamaan Regresi Linier Berganda
Regresi linier berganda adalah analisis regresi yang menjelaskan hubungan antara peubah respon (variable dependent) dengan faktor – faktor yang mempengaruhi lebih dar satu predaktor (variable dependent).
Banyak persoalan penelitian/pengamatan yang terjadi sebagai akibat lebih dari dua variabel, atau dengan kata lain memerlukan lebih dari satu peubah bebas dalam membentuk model regresi. Sebagai salah satu contoh, IPK (Indeks Prestasi Kumulatif) seorang mahasiswa (Y) bergantung pada jumlah jam belajar (X1), banyaknya buku yang dibaca (X2), jumlah uang (X3) dan banyak faktor lainnya. Untuk memberikan
gambaran tentang suatu permasalahan/persoalan, biasanya sangat sulit ditentukan sehingga diperlukan suatu model yang dapat memprediksi dan meramalkan respon yang penting terhadap persoalan tersebut, yaitu regresi linier berganda.
Bentuk umum model regresi linier berganda untuk populasi adalah :
μ y.x = β0 + β1X1+ β2X2 + … + βkXk (2.3)
Dimana :
β0, β1, β2,…, βk adalah koefisien atau parameter model.
Model regresi linier berganda untuk populasi di atas dapat ditaksir berdasarkan sebuah sample acak yang berukuran n dengan model regresi linier berganda untuk sample, yaitu :
Ŷ = b0 + b1X1 + b2X2 + …+ bkXk (2.4)
Dengan :
Ŷ = nilai penduga bagi variabel Y b0 = dugaan bagi parameter konstanta β0
b1, b2, … , bk = dugaan bagi parameter konstanta β1, β2, …, βk e = galat dugaan (error)
Untuk mencari nilai b0, b1, b2, … , bk diperlukan n buah pasang data (X1, X2,….,Xk,Y) yang akan diolah disajikan pada tabel berikut :
Tabel 2.1 : Data Hasil Pengamatan dari n responden (X1, X2, ….. , Xk, Y)
Nomor Respon Variabel Bebas
Observasi (Yi) X1i X2i … Xki 1 Y1 X11 X21 … Xk1 2 Y2 X12 X22 … Xk2 . . . . … . . . . . … . . . . . … . n Yn X1n X2n … Xkn Σ Σ Yi Σ X1i Σ X21 … Σ Xkn
Dari tabel 2.1 dapat dilihat bahwz Y1 berpasangan dengan X11, X21, …, Xk1, data Y2 berpasangan dengan X12, X22, …, Xk2 dan umumnya data Yn berpasangan dengan X1n, X2n, …, Xkn.
Persamaan regresi berganda dengan dua variabel bebas X1, X2 ditaksir oleh :
Dan diperoleh tiga persamaan normal yaitu :
∑Yi = nb0 + bi∑X1i + b2∑X2i ∑X1iYi = b0 ∑X1i + b1 ∑X1i2 + b2 ∑X1i X2i ∑X2iYi = b0∑X2i + b1∑X1iX2i + b2∑ (X2i)2
Dalam penelitian ini, penulis menggunakan regresi linier berganda dengan empat variabel, yaitu satu variabel tak bebas (dependent variable) dan tiga variabel bebas (independent variabel).
Untuk regresi linier berganda dengan empat variabel X1, X2, X3, ditaksir oleh :
Ŷ = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 (2.6)
Untuk rumus diatas harus diselesaikan dengan lima persamaan normal yaitu :
∑Yi = nb0 + bi∑X1i + b2∑X2i + b3∑X3i (2.7)
∑X1iYi = b0 ∑X1i + b1 ∑(X1i)2 + b2 ∑X1i X2i + b3 ∑X2i X3i (2.8)
∑X2iYi = b0 ∑X2i + b1 ∑X1iX2i + b2 ∑ (X2i)2 + b3 ∑X2i X3i (2.9)
Dengan :
Ŷ = variabel terikat ( nilai duga Y ) X1,X2,X3 = variabel bebas
b0,b1,b2, dan b3 = koefisien regresi linier berganda b0 = nilai Y, apabila X1=X2=X3=0
b1 = besarnya kenaikan / penurunan Y dalam satuan, jika X1 naik / turun satu satuan dimana X2,X3 konstan.
b2 = besarnya kenaikan / penurunan Y dalam satuan, jika X2 naik / turun satu satuan dimana X1,X3 konstan.
b3 = besarnya kenaikan / penurunan Y dalam satuan, jika X3 naik / turun satu satuan dimana X1,X2 konstan.
= atau - = tanda yang menunjukkan arah hubungan antara Y dengan variabel bebas X.
Harga – harga b0,b1,b2, dan b3 adalah koefisien yang ditentukan berdasarkan data hasil pengamatan. Untuk x1 = X1 - X1, x2 = X2 - X 2, x4 = X3 - X 3, dan y = Y -
Y, persamaan liniernya menjadi y = b1x1 + b2x2 +b3x3.
Dalam persamaan model regresi linier yang diperoleh, maka antara nilai Y dengan Ŷ akan menimbulkan perbedaan hasil yang sering disebut sebagai kekeliruan. Ukuran tersebut dapat dihitung oleh kekeliruan baku taksiran S2y.12…k , yang dapat ditentukan oleh rumus :
S2 y.12…k = ( ) 1 2 − − ∑ − k n Y Y (2.11) Dengan :
Yi = nilai data hasil pengamatan Ŷ = nilai hasil regresi
n = ukuran sampel
k = banyak variabel bebas
2.4 Koefisien Determinasi
Koefisien determinasi yang dinyatakan dengan R2 untuk pengujian regresi linier berganda yang mencakup lebih dari dua variabel adalah untuk mngetahui proporsi keragaman total dalam variabel tak bebas angkan oleh var(Y) yang dapat dijelaskan atau diterangkan oleh variabel – variabel bebas (X) yang ada didalam model persamaan regresi linier berganda secara bersama – sama. Maka R2 akan ditentukan dengan rumus, yaitu :
R2 = 2 i reg y JK ∑ (2.12) Dimana :
JKreg = Jumlah Kuadrat Regresi Σ yi2= Σ yi2 - n Yi 2 ) (∑ (2.13)
Harga R2 yang diperoleh sesuai dengan variansi yang dijelaskan masing – masing variabel yang tinggal dalam regresi. Hal ini mengakibatkan variansi yang dijelaskan penduga yang disebabkan oleh variabel yang berpengaruh saja ( yang bersifat nyata ).
2.5 Koefisien Korelasi
Analisis korelasi adalah alat statistik yang dapat digunakan untuk mngetahui adanya derajat hubungan linier antara satu variabel dengan variabel yang lain. Hubungan antara satu variabel dengan variabel lainnya dapat merupakan hubungan yang kebetulan belaka, tetapi dapat juga merupakan hubungan sebab akibat.
Dua variabel dikatakan berkorelasi apabila perubahan pada satu variabel akan diikuti oleh perubahan variabel lain, baik dengan arah yang sama maupun dengan arah yang berlawanan. Hubungan antar variabel dapat dikelompokkan menjadi tiga jenis hubungan sebagai berikut :
1. Korelasi Positif
Terjadinya korelasi positif apabila perubahan pada variabel yang satu diikuti dengan perubahan variabel yang lain dengan arah yang sama ( berbanding lurus). Artinya, apabila variabel yang satu meningkat, maka akan diikuti dengan peningkatan variabel lain.
2. Korelasi Negatif
Korelasi negatif terjadi apabila perubahan pada variabel yang satu diikuti dengan perubahan variabel yang lain dengan arah yang berlawanan (berbanding tebalik). Artinya, apabila variabel yang satu meningkat, maka akan diikuti dengan penurunan pada variabel yang lain dan sebaliknya.
3. Korelasi Nihil
Korelasi nihil terjadi apabila perubahan pada variabel yang satu diikuti perubahan pada variabel yang lain dengan arah yang tidak teratur (acak), artinya apabila variabel yang satu meningkat, kadang diikuti dengan peningkatan pada variabel yang lain dan kadang diikuti dengan penurunan pada variabel lain.
Besarnya hubungan antara variabel yang satu dengan variabel yang lain dinyatakan dengan koefisien koefisien korelasi yang disimbolkan dengan “r”. Besarnya koefisien korelasi berkisar antara -1 ≤ r ≤ + 1.
Untuk mencari korelasi antara variabel Y terhadap Xi atau ry.1,2,…,k dapat dicari dengan rumus : ry, 1,2,…,k = ) ) ( ( ) ) ( ( ) )( ( 2 2 2 2 Yi Y n Xi X n Yi Xi XiYi n i i − ∑ − ∑ − ∑ ∑ ∑ ∑ − ∑ (2.14)
Sedangkan untuk mengetahui korelasi antar variabel bebas dengan tiga buah variabel bebas adalah :
1. Koefisien korelasi antara X1 dan X2
r12= ) ) ( ( ) ) ( ( ) )( ( 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 i i i i i i i i X X n X X n X X X X n ∑ − ∑ − ∑ − ∑ ∑ ∑ − ∑ (2.15)
2. Koefisien korelasi antara X1 dan X3
r13= ) ) ( ( ) ) ( ( ) )( ( 2 3 2 3 2 1 2 1 3 1 3 1 i i i i i i i i X X n X X n X X X X n ∑ − ∑ − ∑ − ∑ ∑ ∑ − ∑ (2.16)
3. Koefisien Korelasi antara X2 dan X3
r13= ) ) ( ( ) ) ( ( ) )( ( 2 3 2 3 2 2 2 2 3 2 3 2 i i i i i i i i X X n X X n X X X X n ∑ − ∑ − ∑ − ∑ ∑ ∑ − ∑ (2.17)
Nilai koefisien korelasi adalah -1 ≤ r ≥ 1. Jika dua variabel berkorelasi negative maka nilai koefisien korelasi akan mendekati -1 ; jika dua variabel tidak berkorelasi maka koefisien koefisien korelasi akan mendekati 0 ; sedangkan jika dua variabel berkorelasi positif maka nilai koefisien korelasi akan mendekati +1.
Untuk lebih memudahkan mengetahui seberapa jauh derajat keeratan antara variabel tersebut, dapat dilihat pada perumusan berikut :
Interval nilai r Arti hubungan
- 1,000 ≤ r ≥ -0,800 Korelasi kuat
- 0,790 ≤ r ≥ -0,500 Korelasi sedang
- 0,490 ≤ r ≥ 0,490 Korelasi lemah
0,500 ≤ r ≥ 0,790 Korelasi sedang
0,800 ≤ r ≥ 1,000 Korelasi kuat
2.6 Uji Regresi Linier Berganda
Pengujian hipotesis bagi koefisien – koefisien regresi linier berganda dapat dilakukan secara serentak atau keseluruhan. Pengujian regresi linier perlu dilakukan untuk mengetahui apakah variabel – variabel bebas secara bersamaan memiliki pengaruh terhadap variabel tak bebas.
Langkah – langkah pengujiannya adalah sebagai berikut : 1. Menentukan formulasi hipotesis
H0 : b1 = b2 = b3 = … = bk = 0 ( X1, X2, … Xk tidak mempengaruhi Y)
H1 : minimal ada satu parameter koefisien regresi yang tidak sama dengan nol atau mempengaruhi Y.
2. Menentukan taraf nyata α dan nilai Ftabel dengan derajat kebebasan v1 = k dan v2 = n – k – 1.
3. Menentukan kriteria pengujian H0 diterima bila Fhitung ≤ Ftabel H0 ditolak bila Fhitung > Ftabel
4. Menentukan nilai statistic F dengan rumus :
F = ) 1 /( / − − k n JK k JK res reg (2.18) Dengan :
JKreg = jumlah kuadrat regresi JKres = jumlah kuadrat residu (sisa) (n-k-1) = derajat kebebasan
JK = b1∑ y1 x1i + b1∑ y1 x1i +…+ bk∑ yt xki
Dengan :
x1i = X1i - X 1 x2i = X2i - X 2 xki = Xki - X k
JKres= Σ ( Yt – Yi )2 (2.19)
2.7 Uji Koefisien Regresi Berganda
Keberartian adanya variabel – variabel bebas dalam regresi linier ganda perlu diuji untuk menunjukkan seberapa besar pengaruh yang diberikan pada variabel tak bebas. Dan cara yang tepat untuk mengujinya adalah dengan menggunakan uji statistik t ( t - student ).
Dimisalkan populasi mempunyai model regresi berganda sebagai berikut :
μy,x = β0+ β1X1β2X2… + βkXk (2.20)
yang akan ditaksir oleh regresi berbentuk : Yˆ= b0 + b1X1 + b2X2 + … + bkXk.
Adanya kriteria bahwa variabel – variabel tersebut memberikan pengaruh yang berarti atau tidak terhadap variabel tak bebas akan diuji hipotesis H0 melawan hipotesis tandingan H1 dalam bentuk :
H0= βi = 0,i = 1,2,…,k H1 = βi ≠ 0,i = 1,2,…,k
Untuk menguji hipotesis digunakan kekeliruan baku taksiran S2y1,2,..,,k. Jadi untuk melihat kekeliruan baku dari koefisien bi adalah :
(
2)(
2)
.. 12 2 1 1 i ij k y b R X S S − =∑
(2.20)Dengan : s2y.12…k = 1 ) ˆ ( 2 − − − ∑ k n Y Yi (2.21)
