MAKALAH KONTROL H 2 DAN KONTROL H SERTA APLIKASINYA DALAM SISTEM MASSA PEGAS KARTIKA YULIANTI ( ) RIRIN SISPIYATI ( )

KONTROL H

SERTA APLIKASINYA

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

MAKALAH

KONTROL H2

DAN KONTROL H

SERTA APLIKASINYA DALAM SISTEM MASSA

PEGAS

KARTIKA YULIANTI (20106010) RIRIN SISPIYATI (20106003)

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

2007



BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Efisiensi dan efektivitas suatu sistem yang dinamis selalu menjadi hal yang terus dikembangkan dengan berbagai pendekatan yang memungkinkan untuk menghasilkan produktivitas yang lebih baik dari waktu ke waktu. Tujuan tersebut dimungkinkan bila sebuah sistem berada dalam kondisi yang stabil melalui penerapan sistem kontrol yang memadai. Teori Kontrol Robust menjadi salah satu solusi yang memungkinkan kita untuk dapat menetapkan sebuah pengontrol yang efektif.

Terdapat dua macam permasalahan utama dalam kontrol robust, yaitu masalah analisis dan sintesis. Dalam masalah analisis, pengontrol yang telah diperoleh, dilakukan pemeriksaan terhadap sinyal-sinyal terkontrolnya (tracking error, sinyal pengontrol), apakah memenuhi sifat-sifat yang diinginkan terhadap semua noise, gangguan dan ketakpastian model yang diperkenankan.

Sementara pada masalah sintesis, yang dilakukan adalah mendesain sebuah pengontrol dari suatu sistem dinamik sedemikian hingga sinyal-sinyal terkontrolnya memenuhi sifat-sifat yang diinginkan terhadap semua noise, gangguan dan ketakpastian model yang diperkenankan.

Permasalahan sintesis dapat berupa kontrol optimal H dan₂ H . Kontrol_

optimal H₂ bertujuan untuk merancang suatu pengontrol K yang dapat

transfer dari w ke z (T ). Sedangkan kontrol optimal_zw H_ bertujuan untuk merancang suatu pengontrol K yang dapat menstabilkan sebuah sistem dengan cara membuat norm infinite matriks transfer dari w ke z (T ) lebih kecil dari_zw

suatu bilangan

 

 . Ada dua rumusan masalah pada kontrol H_ yaitu kontrol optimal dan kontrol suboptimal. Dalam prakteknya pengontrol suboptimal lebih banyak digunakan karena pengontrol ini lebih mudah diperoleh dan bahkan memiliki sifat yang lebih baik daripada pengontrol optimalnya. Dalam makalah ini akan dilakukan perbandingan antara kontrol optimal H dan₂ H sehingga jika_

diaplikasikan pada permasalahan kehidupan sehari-hari, akan didapatkan suatu pengontrol yang lebih optimal menstabilkan sistem.

1.2 Tujuan

Tujuan dari penyusunan makalah ini adalah: 1. Menentukan pengontrol H dan₂ H_

2. Membandingkan kontrol H dan₂ H_

BAB II

LANDASAN TEORI 2.1 Stabilitas Internal dan Stabilitas Input/Output

Misalkan K pengontrol stabil untuk sistem G dimana

1 2 1 11 12 2 21 22 ˆ ˆ ( ) , ( ) ˆ ˆ A B B A B G s C D D K s C D C D D   _{ }   _{ } _{ }         

dapat distabilkan dan realisasinya terdeteksi. Maka stabilitas internal menjamin ( , )

zw l

T F G K R H ._

Lemma 2.1 Misalkan realisasi-realisasi untuk G dan K dapat distabilkan dan

terdeteksi. Maka hubungan Feedback T_zw  F_l( ,G K) dari realisasi untuk G dan K adalah

(a) terdeteksi, jika 2

1 12 A I B C D      

  mempunyai rank kolom penuh untuk

setiap Re  ;0

(b) dapat distabilkan, jika 1

2 21 A I B C D      

 mempunyai rank kolom penuh

untuk setiap Re  .0

Lebih lanjut, jika (a) dan (b) berlaku keduanya, maka K adalah pengontrol stabil

Bukti

Misalkan persamaan ruang keadaan untuk loop tertutup adalah :

2 1 2 2 2 1 2 1 21 1 2 1 22 1 21 1 12 2 2 12 2 11 12 1 21 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( , ) ˆ ˆ ˆ : l c c c c A B DL C B L C B B DL D G K BL C A BL D C BL D C D L DC D L C D D DL D A B C D  _{ }                      F dimana L1: (I D D22 ˆ) 1    , L2: (I DDˆ 22) 1    .

Asumsikan F_l( ,G K) tidak terdeteksi pada ( ,x y  ) dan mode Re  ;0 Maka dengan menggunakan tes PBH didapat

0. C A I x C y               

dengan penyederhanaan didapat

2 1 12 1 2 2 0. ˆ ˆ x A I B C D DL C x L Cy            _     dan 1 2 22 ˆ ˆ ˆ ( ) 0 BL C xD Cy Ayy Kemudian jika 2 1 12 A I B C D        

mempunyai rank kolom penuh, maka x dan0 Cyˆ 0. Hal ini mengakibatkan

ˆ

Cyy. Karena terdeteksi, maka y0. Hal ini kontradiksi dengan asumsi sebelumnya. Jadi bagian (a) telah terbukti, dan bagian (b) hasilnya ganda.

2.2 Controllability dan Observability System

Definisi 2.2 Sistem dinamik yang didefinisikan pada persamaan (2.1) atau pasangan ( , )A B dikatakan terkontrol (controllable), jika untuk setiap keadaan awal x(0) , tx₀ 1 > 0 dan keadaan akhir x1, terdapat input u ( ) sedemikian

sehingga solusi persamaan (2.1) memenuhi x(t1) = x1. Jika tidak, sistem dari

pasangan ( , )A B dikatakan tidak terkontrol (uncontrollable).

Teorema 2.3 Pernyataan berikut adalah ekivalen:

(i) (A, B) terkontrol.

(ii) Matriks * 0 ( ) : * t A A c W t =

_ò

e BB et tdt

adalah definit postif untuk suatu t > 0.

(iii) Matriks terkontrol

2 n 1

C_{= ê}é_ëB AB A B K A - Bù_úû

mempunyai rank baris penuh = n.

Definisi 2.4 Suatu sistem dinamik tanpa paksaan x Ax dapat dikatakan stabil, jika untuk setiap nilai-nilai eigen dari matriks A berada di bidang sebelah kiri

sumbu imajiner, yaitu Re ( ) A 0. Suatu matriks A yang memenuhi sifat ini disebut stabil.

Definisi 2.5 Persamaan sistem dinamik (2.1) atau pasangan (A, B), dapat distabilkan jika terdapat state feedback u = Fx sedemikian sehingga sistem menjadi stabil, dimisalkan A + BF adalah stabil.

Teorema 2.6 Pernyataan berikut adalah ekivalen: (i) (A, B) dapat distabilkan.

(ii) F  A BF stabil.

Teorema 2.7 Pernyataan berikut adalah ekivalen: (i) (A, B) stabil.

(ii) Matriks



AI B



mempunyai rank baris penuh untuk setiap Re  .0

Definisi 2.8 Sistem dinamik yang didefinisikan pada persamaan (2.1) dan (2.2) atau oleh pasangan (C, A) dikatakan teramati (observable) jika untuk setiap t1>

0, keadaan awal x(0) = x0 dapat diselesaikan dari input u(t) awal dan output y(t)

dan pada interval [0, t1]. Jika tidak, maka sistem (C, A) dikatakan tak teramati

(unobservable).

Teorema 2.9 Pernyataan berikut adalah ekivalen:

(ii) Matriks * 0 ( ) : * t A A c W t =

_ò

e C Cet tdt

adalah definit positif untuk suatu t > 0.

(iii) Matriks teramati

 2 1 n C CA CA CA                   

mempunyai rank kolom penuh = n.

Definisi 2.10 Sistem atau pasangan (C, A) dikatakan terdeteksi (detectable) jika

A LC stabil untuk suatu L.

Teorema 2.11 Pernyataan berikut adalah ekivalen:

(i) (C, A) terdeteksi.

(ii)   A LCL  stabil.

Teorema 2.12 Pernyataan berikut adalah ekivalen:

(i) (C, A) terdeteksi. (ii) Matriks A I C      

  mempunyai rank kolom penuh untuk setiap

2.3 Pole Placement dan Canonical Forms

Anggap bahwa suatu sistem dinamika MIMO (Mulit-Input

Multi-Output) didefinisikan oleh

, x Ax Bu y Cx Du     

dan misalkan u adalah kontrol state feedback dengan

u = Fx + v

Sistem loop tertutup ini seperti yang ditunjukan pada Gambar 3.1 berikut, dan persamaan sistem loop tertutupnya adalah

( ) ( ) ( ) ( ) . x Ax B Fx v A BF x Bv y Cx D Fx v C DF x Dv              dimana :

 A = matriks n n : matriks state

 B = matriks n m : matriks input

 C = matriks r n : matriks output

D = matriks r m 2.4 Kontrol H₂ Standard H Problem₂

u

y

z

w

K

G

Sistem dinamik pada gambar 1 adalah u D w D x C y u D w D x C z u B w B Ax x 22 21 2 12 11 1 2 1          

Realisasi fungsi transfer sistem di atas adalah

           22 21 2 12 11 1 2 1 D D C D D C B B A G

Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan D₂₂ 0, sehingga G proper ketat.₂₂

Selain itu, diasumsikan jugaD₁₁ 0, hal tersebut untuk menjamin bahwa masalah

2

H properly posed. Sehingga fungsi transfer menjadi

           0 0 21 2 12 1 2 1 D C D C B B A G

Dibuat beberapa asumsi tambahan, yaitu:

(i) (A,B₂) terstabilkan dan (C₂,A) terdeteksi. (ii) R₁ D₁₂* D₁₂ 0danR₂ D₂₁D₂₁* 0. (iii) _       12 1 2 D C B jwI A

mempunyai rank kolom penuh untuk setiap w .

(iv) _       21 2 1 D C B jwI A

mempunyai rank baris penuh untuk setiap w .

Asumsi pertama dibuat untuk kestabilan output feedback dari G. Dengan adanya asumsi ketiga, keempat dan asumsi pertama maka terjamin bahwa dua matriks Hamiltonian yang berasosiasi dengan masalah H₂ (di bawah) adalah anggota dom(Ric). Sedangkan asumsi kedua untuk menjamin bahwa masalah kontrol optimal H adalah nonsingular.₂

Masalah utama kontrol H₂ adalah mencari pengontrol K yang proper dan real rational yang menstabilkan G secara internal dan meminimumkan H norm dari transfer matriks T₂ zwdari w ke z.

Karena diasumsikan (i) dan (iii), maka berdasarkan Corollary 12.7, Hamiltonian matriks               _{ } * 1 * 12 1 1 2 1 * 12 1 1 12 * 1 * 2 1 1 2 1 * 12 1 1 2 2 ) ( ) (I D R D C A B R D C C B R B C D R B A H

anggota dom(Ric) dan terlebih lagi X₂ Ric(H₂)0.

Selain itu, dengan mengasumsikan (C₂,A) terdeteksi yang ekuivalen dengan

) , ( * 2 * C

A terstabilkan, serta asumsi (iv), maka Hamiltonian matriks

             _  _ * 2 1 2 * 21 1 * 1 21 1 2 * 21 1 2 1 2 * 2 * 2 1 2 * 21 1 2 ) ( ) ( ) ( C R D B A B D R D I B C R C C R D B A J

juga anggota dom(Ric) dan Y₂ Ric(J₂)0. Definisikan 1 2 * 21 1 * 2 2 2 1 * 12 2 * 2 1 1 2 ( ), ( )   _{  }   R B X D C L Y C B D R F dan 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 2 2 2 12 1 2 1 2 2 2 ˆ , , C L F B A A D L B B C L A A F D C C F B A A L L F F                          0 ) ( , 0 ) ( 2 1 2 2 1 2 I B A s G C I A s G _f L L F F c

Untuk membuktikan teorema 2.14 diperlukan Lemma berikut:

Lemma 2.13 Misalkan U ,V RH_ didefinisikan sebagai

              _{  } 21 2 / 1 1 2 2 / 1 1 2 1 2 2 / 1 1 12 2 1 2 / 1 1 2 2 , D R C R B A V R D C R B A U L L F F

Maka U adalah sebuah inner dan V adalah co-inner, U~G_cRH₂ dan   2 ~ RH V Gf .

Bukti Pembuktian Lemma tersebut menggunakan manipulasi biasa pada realisasi state space.





* 12 2 / 1 1 * 2 1 1 * 2 * 2 2 / 1 1 ) ( ) ( ~ D R C A sI B R s U s U  T      _F  _F            _{  *} 12 2 / 1 1 * 2 2 / 1 1 * 2 1 * 2 ) ( ~ D R B R C A s U F F Maka                   I C D R B R R B A R D C C C A U U F F F F F F 2 1 * 12 2 / 1 1 * 2 2 / 1 1 2 / 1 1 2 2 2 / 1 1 12 * 2 1 2 1 * 2 1 * 2 0 ~                0 0 0 ~ 2 1 * 12 2 / 1 1 * 2 2 / 1 1 2 2 1 * 2 1 * 2 F F F F F c C D R B R I A C C A G U

Dilakukan transformasi dengan memisalkan xPx dengan _        I X I P 0 2 pada

sistem-sistem di atas. Sehingga





                             I P C D R B R R B R D C P P A C C A P U U F F F F F F 1 2 1 * 12 2 / 1 1 * 2 2 / 1 1 2 / 1 1 2 2 / 1 1 12 * 2 1 1 2 2 1 * 2 1 * 2 0 ~ Karena 0 2 1 * 2 1 2 2 2 * 2  F  F F  F X X A C C A

dan berdasarkan Lemma 12.8

0 2 / 1 1 2 2 2 / 1 1 12 * 2 1      R B X R D CF

maka I I B R R B A A U U _F F                0 0 0 0 ~ * 2 2 / 1 1 2 / 1 1 2 2 * 2

Transformasi yang sama juga dilakukan pada U~G_c, sehingga diperoleh

                          * 2 2 2 / 1 1 2 * 2 * 2 2 / 1 1 2 2 * 2 0 0 0 0 0 ~ RH B R X A B R I A X A G U F F F c .

Dengan prisip duality, dapat diperoleh bahwa G_fV~RH₂ dan V adalah co-inner. 

Teorema 2.14 Terdapat pengontrol optimal yang unik

        0 ˆ ) ( 2 2 2 F L A s K_opt Terlebih lagi ) ( ) ( min 2 ₁* _{2 1 1 2 2 2}* 2 2 2 / 1 1 2 2 1 2 2 G B R F G trace B X B trace RFY F T_zw  _c  _f   .

Bukti Diperhatikan parameterisasi dari semua pengontrol yang dapat menstabilkan, K(s) F_l(M₂,Q), QRH_ dengan              0 0 ˆ ) ( 2 2 2 2 2 2 I C I F B L A s M

Maka T_zw F_l(N,Q) dengan                0 0 0 0 0 21 2 12 2 12 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 D C D F D C B A B B F B A N F L L F dan V QR UR G F UR B G T_zw  _{c 1} ₁1/2 _{2 f}  ₁1/2 ₂1/2

Berdasarkan Lemma 2.13, G_cB₁danU ortogonal, sehingga

2 2 2 / 1 2 2 / 1 1 2 2 / 1 1 2 2 1 2 2 G B UR F G UR QR V T_zw  _c  _f 

Karena U adalah inner, maka

2 2 2 / 1 2 2 / 1 1 2 2 / 1 1 2 2 1 2 2 G B R F G R QR V T_zw  _c  _f 

Akibat keortogonalan Gf danV, serta V adalah co-inner, maka 2 2 2 / 1 2 2 / 1 1 2 2 2 2 / 1 1 2 2 1 2 2 G B R F G R QR T_zw  _c  _f 

Dengan mengambil Q0 akan memberikan pengontrol optimal yang unik, sehingga K  Fl(M2,0) adalah kontrol optimal yang unik.

u y z w G K M2 y1 u1

2.5 Kontrol H_

Formulasi Permasalahan

Misalkan suatu sistem dideskripsikan dengan diagram blok

Gambar 2.2 Blok Diagram

dimana plant G dan pengontrol K diasumsikan real rasional dan proper. Pada sistem ini diasumsikan bahwa model-model ruang keadaan G dan K dapat digunakan serta stabil dan terdeteksi.

Suatu pengontrol dikatakan dapat diterima (admissible) jika sistem tersebut stabil internal.

Definisi 2.15 Kontrol H_ Optimal: mencari semua pengontrol K(s), sedemikian sehingga T_{zw } minimal.

Definisi 2.16 Kontrol H_ Suboptimal: diberikan  0, mencari semua pengontrol K(s) yang dapat diterima, sedemikian sehingga T_{zw }  .

Pada umumnya, pengontrol optimal H tidak tunggal solusinya untuk_ sistem MIMO, dan sangat kompleks secara teoritis dan numerik. Hal ini berbeda

u y

z w

K

dengan pengontrol H₂ dimana pengontrol optimalnya adalah unik dan dapat diperoleh sebagai solusi dari dua persamaan Ricatti tanpa iterasi. Dalam prakteknya, pengontrol optimal tidak terlalu diperlukan. Pengontrol suboptimal, yaitu pengontrol yang sangat dekat dengan norm dengan pengontrol optimalnya, lebih mudah diperoleh dan bahkan memiliki sifat yang lebih baik daripada pengontrol optimalnya. Pembahasan selanjutnya akan lebih difokuskan pada pengontrol suboptimal.

Masalah Sederhana kontrol H_

Misalkan realisasi dari matriks transfer G berbentuk

1 2 1 12 2 21 ( ) 0 . 0 A B B G s C D C D           

Berikut adalah beberapa asumsi yang digunakan untuk penyederhanaan masalah sebagai berikut:

(i) ( ,A B₁) terkontrol dan (C A terobservasi;₁, )

(ii) ( ,A B2) terstabilkan dan (C A terdeteksi;2, )

(iii)D₁₂



C₁ D₁₂

 

 0 I



; (iv) 1 21 21 0 . B D D I              

Dua asumsi tambahan yang implisit dalam realisasi G(s) yaitu D₁₁0 dan

22 0

Pengontrol-Pengontrol H_ Suboptimal

Pada bagian ini, akan dijelaskan syarat perlu dan cukup untuk eksistensi dari suatu pengontrol K(s) yang sesuai sedemikian sehingga Tzw _  untuk

suatu  yang diberikan. Lebih lanjut, jika syarat perlu dan cukup telah dipenuhi, akan dikarakterisasi semua pengontrol yang sesuai yang memenuhi kondisi norm.

Misalkan _opt: min



T_{zw }:K s( ) sesuai



, sebagai contoh, tingkat optimal. Maka, jelas,  harus lebih besar dari _opt untuk eksistensi dari

pengontrol-pengontrol H suboptimal._

Solusi H memenuhi dua matriks Hamiltonian berikut:_

2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 : A B B B B , : A C C C C H J C C A B B A                   _{ } _{ }        

Teorema 2.17 Terdapat suatu pengontrol yang dapat diterima sedemikian sehingga T_{zw } jika dan hanya jika tiga kondisi berikut terpenuhi:

i. H_dom Ric( ) dan X_:Ric H( _)0.

ii. J_dom Ric( ) dan Y_:Ric J( _)0.

iii. 2

(X ,Y ) .

 _{ } 

Jika ketiga kondisi ini dipenuhi, salah satu pengontrolnya adalah

ˆ ( ) : 0 su b A Z L K s F      _         dimana 2 1 1 2 2 ˆ : A_  A  B B X _B F_Z L C_{ }

2 1

2 2

: , : , : ( ) .

F_  B X _ L_ Y C_  Z_  IY X_{ } 

Untuk membuktikan teorema diatas diperlukan beberapa lemma berikut:

Lemma 2.18 Misalkan XRnn, YRnn, dengan X  X* 0, dan

0

* 

 Y

Y . Misalkan pula r adalah bilangan bulat positif. Maka terdapat matriks r n R X12  , r r R X2  sedemikian sehingga * 2 2 X X  0 2 * 12 12 _       X X X X dan _              * * * Y X X X X 1 2 * 12 12

jika dan hanya jika

0        Y I I X n n dan n r Y I I X rank n n _{ }       1 . Bukti :

() Sesuai dengan asumsi, terdapat suatu matriks X₁₂Rnr sedemikian sehingga 12 12*

1

X X Y

X    . Definisikan X₂:I_r, maka terbukti. () Dengan menggunakan komplemen Schur,

1 * 12 1 12 1 * 12 2 12 1 1 ) (      _{ } X X X X X X X X X Y

Diinverskan menggunakan Lemma Inversi Matriks, memberikan

* 12 1 2 12 1 X X X X Y    Sehingga, 0 * 12 1 2 12 1      X X X Y X

dan rank



X Y1



rank



X₁₂X₂1X₁₂*



r

Lemma 2.19 Terdapat pengontrol berorde r yang admissible dengan T_{zw } 

hanya jika tiga kondisi berikut dipenuhi : (i). Terdapat Y₁ 0 sedemikian sehingga

0 / 2 _{1 1}* 2 _{2 2}* 1 1 * 1 1 * 1 1 Y A YC CY B B  B B  AY   (2.5)

0 / 2 ₁* ₁ 2 ₂* ₂ 1 * 1 1 1 1 * 1AA X  X B B X C C  C C  X   (2.6) (iii). 0 1 1 _         Y I I X n n , n r Y I I X rank n n _{ }         1 1 Bukti :

o Misalkan terdapat pengontrol berorde r, K(s) sedemikian sehingga 





zw

T .

o Misalkan K(s) memiliki realisasi ruang keadaan sebagai berikut:

       D C B A s K ˆ ˆ ˆ ˆ : ) ( Maka,





_                      c c c c l zw D C B A D D D C D C D D C D B A C B D D B B C B C D B A K G F T : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , 21 12 12 2 12 1 21 2 21 2 1 2 2 2 o Nyatakan, R2I D_c*D_c dan R~2I D_cD_c*

o Berdasarkan Lemma Bounded Real, terdapat 0

2 * 12 12 1 _        X X X X X sehingga



 



~ ~ ~ 0 ~  1 *   1 * *  1 *  * 1  c c c c c c c c c c c c B R D C A B R D C X XB R B X C R C A X (2.7) o Akibatnya,



ˆ ˆ









ˆ ˆ



0 / * * 2 2 12 1 1 1 * 2 * 2 2 12 1 1 2 * 2 2 1 * 1 2 1 * 1 1 1 1 * 1             C B X D B X D D I C B X D B X C C C C X B B X X A A X       

Dapat juga ditulis,

0 / 2 * 2 2 1 * 1 2 1 * 1 1 1 1 * 1AA X X B B X C C  C C  X   o Misalkan ~ 2 ~1 X Y  dan ~ 0 2 * 12 12 1 _        Y Y Y Y Y . Maka,



A_c B_cR1D_c*C_c



Y~Y~



A_c B_cR1D_c*C_c



Y~C_c*R~1C_cY~B_cR1B_c* 0 (2.8)

Diperoleh,



ˆ









ˆ



0 / * 2 2 * 12 * * 1 1 1 * 2 2 2 * 12 * * 1 1 2 1 1 * 1 1 2 * 2 2 * 1 1 * 1 1             B C Y D C Y D D I B C Y D C Y Y C C Y B B B B A Y AY         

Dapat juga ditulis,

0 / 2 1 1 * 1 1 2 * 2 2 * 1 1 * 1 1 Y A BB  B B YC CY   AY

o Berdasarkan Lemma 2.18, jika diberikan X₁ 0 dan Y₁ 0 maka terdapat

12

X dan X sehingga₂ Y~2X~1 atau Y~  

 

X~  1:

              * * *      1 1 2 * 12 12 1 Y X X X X ,

jika dan hanya jika

0 1 1 _         Y I I X n n dan n r Y I I X rank n n _{ }       1 1 1  

Teorema 2.20 Misalkan R0 dan (A,R) terkontrol. Terdapat *

X X  sehingga, 0 : ) (X XA A*X  XRX Q Q ()

Maka terdapat suatu solusi X_  X untuk persamaan Ricatti, 0

*   

 _{ }

A A X X RX Q

X ()

sedemikian sehingga A RX_ antistabil.

Teorema 2.21

Terdapat K sedemikian sehingga T_{zw } jika dan hanya jika:

(i). Terdapat suatu solusi penstabil X_  , untuk persamaan0

2

1 1 2 2 1 1

( / ) 0

X A_ A X _X_ B B  B B X _C C 

(ii). Terdapat suatu solusi penstabil Y_  untuk persamaan0

2

1 1 2 2 1 1

( / ) 0

(iii). 1 1 0 n n Y I I X              atau 2 (X Y )  _{ }  . Bukti :

o Dengan menerapkan Teorema 2.20 pada bagian (i) dari Lemma 2.19 maka terdapat Y  Y₁ 0 sehingga, 0 * 2 2 2 * 1 1 2 1 * 1 *     YA YC C Y B B B B AY   dan AC₁*C₁Y 2 antistabil. Misalkan 2 1 :    Y X  . Diperoleh,





1 0 * 1 * 2 2 2 * 1 1 *      _{  } A A X X B B B B X C C X  (2.11) dan,







  



 



  







  B B B B X X A C C X X X A C C Y X A _{1 1}* 2 _{2 2}* 1 ₁* ₁ 1 1 ₁* ₁ 2 stabil.

o Dengan menerapkan Teorema 2.20 pada bagian (ii) dari Lemma 2.19 maka terdapat X  X₁ 0 sehingga, 0 2 * 2 2 1 * 1 2 * 1 1 *      A X XB B X X_ C C C C XA   dan AB1B1*X 2 antistabil. Misalkan Y_ :2X1. Diperoleh,



2



1 1* 0 * 2 2 1 * 1 *      _{  }  Y A Y C C C C Y B B AY  (2.12) dan A



C₁*C₁  2 C₂*C₂



Y_ stabil.

o Perhatikan bahwa kondisi (iii) dari Lemma 2.19 secara otomatis memenuhi

n r , dan 0 1 1 1 1                                Y I I X Y I I X X I I Y n n n n n n Selanjutnya dibuktikan 2 (X Y )  _{ }  . Karena 1 1

0

n n

Y

I

I

X





   















,

dan



Y

_1



0

maka berdasarkan Lemma schur complement



X

_1





1

Y

_, sehingga

I





2

X Y

_{ }



0

, jadi

(

I





2

X Y

_{ }

)

mempunyai invers. Definisikan

Y

_t



(

I





2

X Y

_{ }

)

1

Y

_. Jadi 2 1

(

X Y

_{ }

)



(

X Y

_{ t}

(

I





X Y

_{ t}

) )









2

(

)

1

(

)

t t

X Y

X Y



 

   





2 2

(

)

(

)

t t

X Y

X Y









 _{ }





2

.





Bukti Teorema 2.17 :

o Untuk membuktikannya, cukup dengan menunjukkan bahwa pengontrol Ksub mengakibatkan T_{zw }  .

o Perhatikan bahwa fungsi transfer loop tertutup dengan Ksub diberikan oleh

2 1 2 21 1 12 ˆ _: 0 c c zw c c A B F B A B T Z L C A Z L D C D C D F               _  _{  }       . o Definisikan,

 

         _              1 1 2 1 1 * 2 1 1 2 1 2 Z Y Y Z Z Y Y P     Maka P0 dan PAc  Ac*PPBcBc* P 2 Cc*Cc 0. o Perhatikan bahwa,                      F B X B B A Z Y B B F B Y B B A P B B A_{c c c} 2 2 * 1 1 1 1 * 1 1 2 1 * 1 1 2 * 0  

tidak memiliki nilai karakteristik pada sumbu imajiner karena



 

BB X B F

A _{1 1}* 2 ₂ stabil dan AB₁B₁*Y_1 antistabil. Sehingga menurut lemma Bounded Real, T_{zw }  .

Lebih lanjut, ketika kondisi-kondisi ini benar, maka terdapat pengontrol ˆ ( ) : 0 sub A Z L K s F               dimana 2 1 1 2 2 ˆ : A_  A  B B X _B F_Z L C_{ } -2 1 2 2 : , : , : ( ) . F_  B X _ L_ Y C_  Z_  IY X_{ } 

Pengontrol H_ yang ditunjukkan pada Teorema 2.17, sering disebut pengontrol

pusat (central controller) atau pengontrol entropi minimum (minimum entropy

BAB III

APLIKASI PADA SISTEM MASSA PEGAS

Permasalahan

Suatu sistem massa pegas dengan redaman dideskripsikan seperti pada gambar berikut:

Gambar 3.1

dimana:

 m₁, m₂ adalah massa benda pertama dan kedua

 k₁, k₂ adalah konstanta pegas benda pertama dan kedua  b₁,b₂ adalah konstanta redaman pertama dan kedua

Bila F₁ u adalah input untuk kontrol dan F₂ w gangguan dari luar (disturbance) dimana F dapat mengontrol gerakan massa benda 1 dan benda 2₁

yang diakibatkan oleh gangguan F , maka₂ x dan₁ x₂ menyatakan kedudukan benda pertama dan benda kedua setelah mendapat kontrol.

Dari sistem massa pegas dengan redaman pada Gambar 3.1, dapat dibentuk suatu model kontrol dalam bentuk blok diagram, seperti pada Gambar 3.2 berikut: m1 m2 F2 F1 b1 b2 k2 k1 x1 x2

Gambar 3.2

Dengan menerapkan hukum kedua Newton dan hukum Hooke pada Gambar 3.1 diperoleh sistem persamaan:







1 2



2 1 1



1 2



2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 F x k k x k x b b x b x m F x k x k x x b x m                    

Definisikan x₃ x₁ dan x₄  x₂, sehingga

2 2 4 2 2 1 3 2 1 2 2 2 1 1 2 1 4 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 2 1 1 1 3 m F x m b b x m b x m k k x m k x m F x m b x m b x m k x m k x                (3.1)

Sehingga berdasarkan sistem persamaan 3.1, didapatkan persamaan state

spacenya yaitu:                                                                       2 1 2 1 4 3 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 4 3 2 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 F F m m x x x x m b b m b m k k m k m b m b m k m k x x x x                                           2 1 4 3 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 F F x x x x x x

Dimana                        2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 m b b m b m k k m k m b m b m k m k A ,                  2 1 1 0 0 1 0 0 0 0 m m B (1.2)

Bila G(s) adalah fungsi tranfer dari (F ,₁ F ) ke (₂ x ,₁ x ), maka₂

       0 0 1 0 0 0 0 1 C , D0