Lecture 02. Introduction to Grammar

(1)

Lecture 02

CS3113 Theory of Computation

(2)

Mengapa mempelajari teori ?

“ Suatu teori hanya menarik ketika dapat

membantu dalam pencarian solusi terbaik”

“ Teori memberikan konsep dan prinsip yang

menolong untuk memahami perilaku dari

suatu disiplin ilmu”

(3)

Teori komputasi

• Studi tentang peralatan atau “mesin” komputasi abstrak, yang dapat didefinisikan secara matematis.

• Tujuan utama adalah mendefinisikan:

– apa yang bisa dilakukan oleh komputer dan apa yang tidakapa yang bisa dilakukan oleh komputer dan apa yang tidak – bagaimana komputasi dilakukan

• Tipe paling sederhana dari mesin abstrak adalah finite

automaton atau finite state machinefinite state machinefinite state machinefinite state machine.

– Prinsip sistem pada setiap saat dalam salah satu dari sejumlah state berhingga dan bergerak diantara state-state tersebut dalam merespon sinyal input individual.

(4)

Important terms

• Alphabet

– Himpunan simbol

• String

– daftar simbol dari alphabet

• Language

(5)

Alfabet

• Alfabet : finite set (himpunan hingga) dan non-empty

set (tak kosong) dari simbol- simbol.

• Contoh :

– Σ = {0, 1}, merupakan alfabet biner

– Σ = {a, b, c, .., z}, merupakan alphabet dari lower case

(6)

String [1]

• String / word : finite sequence symbols (deretan hingga

simbol-simbol) yang diambil dari alfabet.

– Contoh : 01101 merupakan string dari alphabet biner Σ = {0, 1}.

• Empty string : string dengan kemunculan simbol adalah

nol.

– Empty string dinotasikan dengan ε atau λ

• Panjang String : |w|

(7)

String [2]

Power of an Alphabet

• Jika Σ adalah suatu alfabet, maka kita dapat

mengekspresikan sekumpulan string dengan panjang

tertentu dari alphabet dengan cara Σ

k

– Contoh : Jika Σ = {0, 1}, maka Σ0 _{= {λ} , Σ}1 _{= {0,1} ,} Σ2_{= {00, 01, 10, 11} ,}

Σ2_{= {00, 01, 10, 11} ,}

Σ3 _{= {000, 001, 010, 011, 100,101, 110, 111}}

• Σ

*

_{akan kita sebut sebagai himpunan string yang dapat}

dibangun oleh alphabet

{0, 1}

*

= {λ, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, …}

Σ

* =

Σ

0

U Σ

1

U Σ

2

U Σ

3

U …

(8)

String [3]

Perangkaian String ( Perangkaian String ( Perangkaian String (

Perangkaian String (concatenationconcatenationconcatenation))))concatenation

• Misalkan x dan y adalah string, maka xy menyatakan

perangkaian dari x dan y, bahwa string dibentuk dengan membuat salinan dari x dan diikuti oleh salinan dari y. • Jika x adalah string yang disusun oleh i simbol,

x = a₁a₂ ... a_i x = a₁a₂ ... a_i

dan y adalah string yang disusun oleh j simbol,

y = b₁b₂ ... b_j

maka xy adalah string dengan panjang i + j,

xy = a₁a₂ ... a_ib₁b₂ ... b_j

– Contoh: x = 01101 dan y = 110,

maka xy = 01101110 dan yx = 11001101.

• Untuk suatu string w, persamaan εw = w

ε

= w dipenuhi. Bahwa ε adalah identitas untuk perangkaian.

(9)

Bahasa

• Himpunan string-string yang semuanya dipilih dari Σ*, dimana Σ adalah alphabet, dan L ⊆ Σ*, maka L adalah bahasa pada Σ.

• Perhatikan bahwa bahasa pada Σ tidak harus meliputi string-string dengan semua simbol dari Σ.

string-string dengan semua simbol dari Σ.

• Dengan demikian, jika L adalah bahasa pada Σ, diketahui bahwa L adalah bahasa pada alphabet yang merupakan superset dari Σ.

• Bahasa umum dapat dipandang sebagai himpunan dari string.

(10)

Contoh bahasa

• Bahasa Inggris, yang merupakan koleksi dari

kata-kata dalam bahasa Inggris yang benar.

– Kata-kata tersebut merupakan string pada alphabet yang mengandung semua huruf.

• Bahasa C atau bahasa pemrograman lainnya.

– Dalam bahasa tersebut, program yang benar adalah subset dari string-string yang mungkin yang dibentuk dari alphabet.

– Alphabet tersebut adalah subset dari karakter-karakter ASCII.

(11)

Contoh bahasa

• Bahasa dari semua string yang berisi n buah 0 dan diikuti

oleh n buah 1, untuk n ≥ 0: {ε, 01, 0011, 000111, ...}

• Himpunan string-string dari 0 dan 1 dengan banyaknya 0

sama dengan banyaknya 1.

• Himpunan string-string dari 0 dan 1 dengan banyaknya 0

sama dengan banyaknya 1.

{ε, 01, 10, 0011, 0101, 1001 ...}

• Himpunan bilangan biner yang memiliki nilai prima

(12)

Contoh bahasa

• Σ* adalah bahasa untuk alphabet Σ

• φ adalah bahasa kosong, merupakan

bahasa pada suatu alphabet.

• {ε}, bahasa yang hanya mengandung string

kosong, juga merupakan bahasa pada suatu

alphabet. Perhatikan bahwa

φ ≠ {ε}

(13)

Contoh bahasa

Berikut adalah contoh bahasa pada

Σ = {a, b}:

1. L

₁

= {

ε, a, aa, aab}

2. L

₂

= {x ∈ {a, b}* |x| ≤ 8}

3. L

₃

= {x

∈ {a, b}* |x| adalah ganjil}

3. L

₃

= {x

∈ {a, b}* |x| adalah ganjil}

4. L

₄

= {x ∈ {a, b}* n

_a

(x) ≥ n

_b

(x)}

5. L

₅

= {x

∈ {a, b}* |x| ≥ 2, x diawali dan diakhiri

dengan b}

(14)

Notasi lain dari Bahasa

1. Berdasarkan string-string yang dikonstruksi di dalamnya.

Contoh: L₁ = {ab, bab}* ∪ {b}{bb}*

2. Sifat atau karakteristik dari string dalam L, Contoh: L = {byb y ∈ {a, b}*}.

Contoh: L = {byb y {a, b}*}. 3. Definisi rekursif

Contoh: Definisi rekursif dari L*: • ε ∈ L*

• Untuk suatu x ∈ L* dan suatu y ∈ L, xy ∈ L*

• Tidak ada string dalam L* selain yang diperoleh menggunakan aturan 1 dan 2.

(15)

Perangkaian Bahasa

• Jika L

₁

dan L

₂

adalah bahasa, L

₁

dan L

₂

⊆ Σ*.

Perangkaian dari L

₁

dan L

₂

dinotasikan L

₁

L

₂

= {xy

| x ∈ L

₁

dan y ∈ L

₂

}.

• Sebagai contoh, {hope, fear}{less, fully} =

{hopeless, hopefully, fearless, fearfully}.

• Untuk L adalah bahasa, L{ε} = {ε}L karena untuk

setiap x

∈ L, xε = εx = x.

(16)

Grammar

• Sistem matematis untuk mendefinisikan

bahasa.

• Bahasa yang didefinisikan oleh grammar

adalah himpunan string yang hanya berisi

terminal dan dapat diturunkan mulai dari

simbol tertentu yang dikhususkan yang

(17)

Komponen Grammar [1]

• Bentuk formal :

G = (VN, VT, S, F)

• VN (variabel non terminal) adalah himpunan simbol yang

masih bisa diturunkan.

– VN biasanya dituliskan dalam huruf kapital. – VN biasanya dituliskan dalam huruf kapital. – Contoh ‘A’, ‘B’, ‘C’, ‘S’

• VT (variabel terminal) adalah himpunan simbol yang

sudah tidak bisa diturunkan lagi.

– VT biasanya dituliskan dalam hurul kecil, dan bisa berupa angka atau simbol lain.

(18)

Komponen Grammar [2]

• S (starting symbol) adalah variabel non terminal yang

digunakan sebagai awal penurunan produksi.

• F (aturan produksi) adalah aturan yang menspesifikasikan bagaimana mentransformasi suatu string ke bentuk lainnya. bagaimana mentransformasi suatu string ke bentuk lainnya. Kita akan menuliskan aturan produksi dalam bentuk α _β.

– α minimal mengandung 1 variabel nonterminal – Contoh :

• T a (dibaca: T menghasilkan a atau T menurunkan a) • E T | T+E

(19)

(20)

Tipe Bahasa

• Pada tahun 1959, Noam Chomsky menggolongkan bahasa menjadi 4 tingkatan (dikenal dengan Hirarki Chomsky)

(21)

Tipe Bahasa

Bahasa

Mesin Automata

Batasan Produksi

Regular / Tipe 3

Finite State Automata (FSA) meliputi

Deterministic Finite

Automata (DFA) dan Non

α adalah sebuah simbol variabel

β maksimal memiliki sebuah simbol variabel Automata (DFA) dan Non

Deterministic Finite Automata (NFA)

sebuah simbol variabel yang bila ada terletak paling kanan

Bebas Konteks / Context Free / Tipe 2

Push Down Automata (PDA)

α adalah sebuah simbol variabel

(22)

Tipe Bahasa

Bahasa

Mesin Automata

Batasan Produksi

Context Sensitive / Tipe 1

Linier Bounded Automata |α| <= |β|

Unrestricted / Phase Structure / Natural Language / Tipe 0

(23)

Unrestricted (kelas 0)

• Bahasa manusia / natural language masuk ke

dalam grammer Tipe 0 / Unrestricted, dimana

tidak ada batasan pada aturan produksinya.

– Contoh :

(24)

(25)

CSG (kelas 1)

• Pada bahasa Context Sensitive, |α| <= |β|.

– Contoh :

Ab

_DeF

CD

_eF

CD

_eF

– Perhatikan S ε.

Apakah masuk ke Context Sensitive????

– Context Sensitive digunakan untuk proses analisis

semantik dalam tahapan kompilasi.

(26)

(27)

CFG (kelas 2)

• Pada bebas konteks, (context free grammer)

batasan bertambah dengan ruas kiri harus

tepat 1 simbol variabel.

– Contoh :

B

_CDeFg

D

_BcDe

– Bahasa bebas konteks menjadi dasar dalam

pembentukan suatu parser / analisis sintaksis.

(28)

(29)

Regular Language (kelas 3)

• Pada bahasa reguler, batasan ini bertambah

dengan ruas kanan maksimal memiliki sebuah

simbol variabel yang letaknya paling kanan.

– Contoh :

A

_{e | efgC}

C

_{cD | D}

(30)

(31)