BAB I DERET DAFTAR ISI

DAFTAR ISI

BAB I DERET

BAB II BILANGAN KOMPLEK BAB III ANALISIS VEKTOR BAB IV ANALISIS KOMPLEK

BAB V TRANSFORMASI LAPLACE BAB VI PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB VII DERET FOURIER

BAB VIII FUNGSI GAMMA, BETA, DAN INTEGRAL ELLIPTIK BAB IX TRANSFORMASI KOORDINAT

BAB X PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE, BESSEL, HERMITE DAN LAGUERE.

BAB I

DERET

Uji banding (comparison test)

1. Jika suku demi suku dari deret un an, dimana a adalah deret konvergen n maka deret u juga konvergen. n

n

a = deret geometri

2. Jika suku demi suku deret vn bn, dimana b membentuk deret divergen, n maka deret v juga divergen. n

n

b =deret harmonic

Uji Integral

Diandaikan deret positif





~

1

n n

a yang suku-sukunya memenuhi sifat

n n a

a _1  . Jika dapat ditentukan fungsi positif f(n) yang turun untuk n1 dan

n a n

f( ) maka deret yang diberikan akan konvergen jika integral 



~

1

). ( I f n dn

berhingga(finite). Sebaliknya integral 



~

1

). (

I f n dn tak hingga (infinite) maka deret

divergen.

Uji Rasio

Rasio suku ke- n

n n n a a 1  

Informasi konvergensi n n   ~ lim   Jika

a.  1, maka deret itu konvergen b.  1, maka deret itu divergen

c.  1, boleh jadi konvergen/divergen(harus di uji dengan metode lain)

Uji Pembanding Khusus Deret yang di uji



  ~ 1 n n a S Deret pembanding a. Konvergen



  ~ 1 n n b B b. Divergen



  ~ 1 n n d D Aturan 1. Jika



 ~ 1 n n

b adalah deret positif dan konvergen an 0. Jika  n n b a bernilai berhingga maka



  ~ 1 n n a

S adalah deret konvergen.

2. Jika



 ~ 1 n n

d adalah deret positif divergen a_n 0, jika 0 ~ n n d a , maka



  ~ 1 n n a

S adalah deret divergen. Uji Konvergensi Deret Bolak-balik

1. Jika semua suku dianggap positif tetapi S konvergen maka disebut deret konvergen mutlak (konvergen absolut)

2. Semua suku diambil absolutnya sehingga S adalah deret divergen maka S boleh jadi divergen atau konvergen, perlu diuji lagi dengan metode lain Teorema untuk menguji konvergensi deret bolak-balik

Teorema “ Sebuah deret bolak-balik disebut konvergen bila nilai mutlak deret itu

berkurang secara tunak menuju nol, dan bila an1 an serta 0 ~ lim



 an

n Aturan yang berkaitan dengan konvergensi sebuah deret

1. Konvergensi/divergensi sebuah deret tidak berubah oleh pengalian dengan tetapan, namun dapat berubah oleh penjumlahan

2. Jika





  ~ 1 ~ 1 dan n n n n b

a keduanya diketahui konvergen maka operasi

penjumlahan dan pengurangan dari kedua deret itu menghasilkan deret baru yang konvergen juga.

3. Deret konvergen mutlak, bila suku-sukunya disusun kembali maka tidak akan mengubah konvergensi deret tersebut.

konvergensi mutlak deret



a dikatakan konvergen mutlak jika deret nilai n mutlaknya



a konvergen. n

Uji Akar Cauchy



    ~ 1 ~ lim n n n n a n c a  1 c konvergen  1 c konvergen  1

c uji akar Cauchy tidak memberikan kesimpulan Deret Taylor

 

_

 



   ~ 0 ! n n n n a x a f x f n n a a a a a x a n f a x f a x f a x f f x f ( ) ! .... ) ( ! 3 '' ' ) ( ! 2 ' ' ) ( ' ) (  ( ) ( )   ( )  2  ( )    ( )  Deret Maclaurin

Merupakan deret Taylor dengan a0

 

_

 

  ~ 0 ! 0 n n n n x f x f n n x n f x f x f x f f x f ! ... ! 3 ' '' ! 2 ' ' ' ) (  (0)  (0)  (0) 2  (0) 3   (0)

Deret Maclaurin dari berbagai fungsi

Fungsi Deret Maclaurin

x sin ... ! 7 ! 5 ! 3 7 5 3     x x x x x cos ... ! 6 ! 4 ! 2 1 6 4 2     x x x x e ... ! 3 ! 2 1 3 2    x x x x e ... ! 3 ! 2 1 3 2    x x x



1x



ln ... 4 3 2 4 3 2     x x x x Deret Binomial Newton















... ! 3 2 1 ! 2 1 1 1x p   px p p x2  p p p x3 

BAB II

BILANGAN KOMPLEK

iy x z  dan iy x z z*   Modulus z r zz Sifat-sifat modulus 2 1 2 1z z z z  dan 2 1 2 1 z z z z  Jika rz xiy dt dz dt z d dt dz v               2 2 dt z d a Impedansi       _   C L i R Z   1

2 2 1       _   C L R Z   Deret Geometri





r r a S n n    1 1  i re z   in n n e r z 

 





 



  n i n i

ei 2  cos  sin n cos  sin

 













_







n

i

n

r

e

r

re

z

i n n i n n n





 

sin

cos

1 1 1

BAB III

ANALISIS VEKTOR

 

 

 

 





















 

   

 

 

 

 









 

 







A

  

A A A CURL DIV A GRAD CURL B A A B B A A B B A B A B A A B A B B A B A A B B A A A A A A A                                     2 2 ) ( 0 ) ( 0                                                                                             Integral garis :



2  



 



  1 p p CA dr CAxdx Aydy Azdz r d A    Integral permukaan



 



 



 _ S S n k dxdy n A da n A a d A ˆ ˆ ˆ    

Catatan khusus untuk integrasi permukaan 1. Parameter dalam koordinat kartesius

k n dxdy da   ˆ

2. Parameter dalam koordinat silinder



xi yj



d dz a

dA

nˆ    dengan a = jari-jari 3. Parameter dalam koordinat bola



xi yj zk



a dd

dA

nˆ    sin

Teorema Divergensi Gauss



 



 V S dS n A dV A  ˆ Teorema Stokes







 



  C S dS n A r d A   ˆ



C  



__ _ _ R dxdy y M x N Ndy Mdx

BAB IV

ANALISIS KOMPLEK

Persamaan Cauchy Rieman dalam koordinat orthogonal/kartesius

y v x u      dan y u x v      

Persamaan Cauchy Rieman dalam koordinat polar

      v r r u 1 dan        u r r v 1 Persamaan Laplace 0 2 2 2 2       y u x u dan ₂ 0 2 2 2       y v x v

Suatu fungsi disebut analitik jika memenuhi persamaan Cauchy Rieman atau persamaan Laplace Integral lintasan

 







 











       C C C C C udy vdx i vdy udx dz z f idy dx iv u dz z f

 

_

_

 

_

_   C z n dz a z z f i n a f ₁ 2 !  Residu









z z

  

f z



dz d m z z a _m m m 0 1 1 0 1 ! 1 1 lim     _  Integrasi Residu0

 

z dz i f

 

z C f C 2.jmlh residu didlm



Deret Taylor

 

_

 



   ~ 0 0 0 ! n n n n z z z f z f Deret Maclaurin

 

_

 

  ~ 0 ! 0 n n n n z f z f Integrasi Trigonometri  Integral bentuk







    2 0 sin , cos d f Lakukan subtitusi 2 cos 1    z z  , i z z 2 sin 1     , dan iz dz d   Integral bentuk



 

 ~ ~ f xdx Penyelesaiannya adalah

 

 

_







     x sumbu dibawah f residu i dx x f x sumbu diatas f residu i dx x f 2 2 ~ ~ ~ ~  

BAB V

TRANSFORMASI LAPLACE

 

 

_

 

   ~ 0 t st dt t f e t f L

 

t f L

 

f

 

t 1 s 1 t 2 1 s n t 1 !  n s n at e



s a



1 at sin



2 2



a s a 

at cos



2 2



2 a s s  at sinh



2 2



a s a  at cosh



2 2



a s s  iat e



sia



1 Rumus-rumus 



 



 

f

 

s ds d t f t L _n n n n 1   , f

 

t di laplace_kan dulu 

 



 



 

   _{ }     t u t t du u f dt t f s s f L 0 0 1 

 

_

 

      ~ s s ds s f t t f L 

 

L



f

 

s



t t f 1 1 ' 

     

t f t ds s F d L _n n n n 1 1         

Penyelesaian persamaan differensial dengan transformasi Laplace 1. Persamaan differensial → y

 

t atau y

 

x

2. Kenai transformasi Laplace pada kedua ruas kanan dan kiri sehingga menjadi y

 

s

3. Kenai syarat batas/syarat awal, misalnya y₀ 0 4. Bentuklah fungsi y  f

 

s

5. Kenai invers transformasi Laplace



y f s



L f s f

 

t L1  ( )  1 ( )

Rumus transformasi Laplace dalam persamaan differensial

 

 

 

 

 

1 0 0 1 '' 0 ' 0 0 2 3 ' 0 0 2 0 ... '' ' '' '   _{ }             n n n n y y s y s y L y sy y s y s y L y sy y s y L y sy y L y y L Integral Bromwich

 



_

 

  ~ ~ 2 1 c i i c zt dz e t f i t f  Konvolusi





_

   

  _ t u du t g t f s g s f L 0 1 ) ( * ) ( BAB VI PERSAMAAN DIFERENSIAL

Bentuk Umum Persamaan Diferensial b y a y a y a₀  ₁ ' ₂ ''... 2 2 '' dx y d y  dx dy y'

y merupakan peubah gayut (diatas) x merupakan peubah bebas (dibawah) PD Linier dan Non-Linier

 PD Linier bila a0,a1,....dan b adalah tetapan

 PD Non-Linier bila a₀,a₁,...dan b f (peubah gayut) PADA Homogen dan Non-Homogen

 PD Homogen bila b0

Persamaan x y x dx dy 2 3 

 adalah salah satu contoh PADA homogen, sifat ini ditentukan oleh kenyataan bahwa pangkat x dan y yang terlibat dalam masing-masing suku sama derajatnya (dalam hal ini berpangkat 1) kunci untuk memecahkan persamaan homogen adalah dengan subtitusi yvx.

PERSAMAN DIFERENSIAL ORDE PERTAMA

1. Orde suatu persamaan diferensial ditunjukkan oleh turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan ini.

2. Sebuah persamaan diferensial berorde n diperoleh dari suatu fungsi yang memiliki n buah konstanta sembarang

3. Pemecahan persaman diferensial orde pertama a) Dengan Integrasi langsung

 

x f dx dy _

memberikan y 



f

 

x dx b) Dengan pemisahan variable

) ( ). ( f x dx dy y F  memberikan 



f x dx dx dy y F( ). ( ) c) Persamaan homogen : Subtitusikan y vx memberikan F(v) dx dy x v  d) Persamaan Linier Q Py dx dy   Factor integrasi FI ePdx Dan ingat bahwa elnA  A Memberikan y.FI 



Q.FIdx e) Persamaan Bernoulli n Qy Py dx dy _{ } Bagilah dengan n y kemudian misalkan n y z 1 Dengan begini kembali menjadi jenis (d) di atas. PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE KEDUA

1. Pemecahan persamaan yang berbentuk ) ( 2 2 x f cy dx dy b dx y d a   

2. Persamaan karakteristiknya ialah 0

2_{  }

c bm am

3. Macam-macam kemungkinan jawab :

Jawab umumnya ialah y  Aem1x Bem2x

b. Kedua akarnya riil dan sama mm1 (dua kali)

Jawab umumnya ialah y em1x



ABx



c. Kedua akarnya kompleks m j

Jawab umumnya ialah y ex



AcosxBsinx



4. Persamaan yang berbentuk ₂ 2 0

2  n y dx y d

Jawab umum y  AcosnxBsinnx

5. Persamaan yang berbentuk ₂ 2 0

2  n y dx y d

Jawab umum y  AcoshnxBsinhnx

6. persamaan yang berbentuk ₂ ( )

2 x f cy dx dy b dx y d a    jawab umumnya 

y fungsi komplementer (FK)+integral khusus (IK)

7. Untuk memperoleh fungsi komplementer (FK) pecahlah 0 2 2    cy dx dy b dx y d a

untuk memperoleh IK, gunakan pemisalan bentuk umum ruas kanan. Perhatikan : jika bentuk umum ruas kanan sudah tercakup dalam FK, kalikanlah dengan x dan kemudian lanjutkanlah seperti biasa. Tentukanlah dahulu jawab umum selengkapnya sebelum melakukan subtitusi untuk mencari konstanta sembarang A dan B

Cara Menyelesaikan PD Non-Linier Bentuk Umum PD Non-Linier



D a



D b



y e Pn

 

x cx     c konstanta

 

x  Pn Polinomial berderajat n Penyelesaiannya ialah P C Y Y y  

Ada tiga kemungkinan untuk Y P 1. Y e Qn

 

x c a atau b

cx

P  

2. Y xe Qn

 

x cx

P  untuk ca atau b tetapia b 3. Y x e Qn

 

x

cx P

2

BAB VII

DERET FOURIER

Koefisien Deret Fourier

 



        L L n dx L x n x f L a 1 cos 

 

dx L x n x f L b L L n



        1 sin  Deret Fourier

 

_

_

                 ~ 1 ~ 1 0 sin cos 2 n n n n L x n b L x n a a x f  

 

x

e

dx

f

L

C

L L L x in n



 





2

1

Deret Fourier

 

ix ix ix ix n inx n

e

C

C

e

C

e

C

e

C

e

C

x

f

_{0 1 1 2} 2 ₂ 2 ~ ~      















Jika f

 

x mempunyai periode 2L, maka koefisien deret Fouriernya ialah

 



        L C C n dx L x n x f L a 2 cos 1 

 



        C L C n dx L x n x f L b 2 sin 1  2 sinh 2 cosh z z z z e e z e e z      

Fungsi genap dan fungsi gasal

 

x

f adalah fungsi genap, jika f

 

x  f

 

x

 

x

f adalah fungsi ganjil, jika f

 

x f

 

x

 Perkalian antara dua fungsi memenuhi aturan berikut :

1. Fungsi genap dikalikan fungsi genap atau fungsi gasal dikalikan fungsi gasal akan menghasilkan fungsi genap.

2. Fungsi genap dikalikan fungsi gasal akan menghasilkan fungsi gasal.

0 jika f

 

x fungsi gasal

 



  L L dx x f

 



L f x dx 0

2 jika f

 

x fungsi genap Jika f

 

x fungsi gasal

0  n a

 



       L n dx L x n x f L b 0 sin 2 

A Q P N R

 



       L n dx L x n x f L a 0 cos 2  0  n b

NOTE : jika an 0 maka a belum tentu nol 0

TEOREMA PARSEVAL

 





_



 



  L L dx x f L x f 2 2 2 1

 





_

_

     ~ 1 2 ~ 1 2 2 0 2 2 1 2 1 4 n n n n b a a x f

Deret Pangkat dalam dua variable

 

_

 

            ~ 0 , ! 1 , n n b a f y k x h n y x f

Deret Maclaurin diatas ialah x y0 dan hx, k  y Differensial total ...                             dz z f dy y f dx x f df Aturan Cramer

Dua buah persamaan linier :

r qy px c by ax    

Maka nilai x dan y ialah

q p b a r p c a y q p b a q r b c x dan 

GARIS DAN BIDANG

 Persamaan bidang melalui titik A,B,C ialah

ck bj ai N AC AB N        Persamaan bidang



xx0

 

b y y0

 

c zz0



0 a 0 0 0,y ,z x merupakan titik A,B,C.

 Jarak terdekat titik P ke bidang A ialah A N 

n PQ PR ˆ

N N n    ˆ Perpotongan garis dengan bidang Bidang 1 axbyczd Bidang 2 pxqyrzs k c j b i a N₁: ˆ ˆ ˆ k r j q i p N₂ : ˆ ˆ ˆ

Persamaan garis ialah :N₁N₂ , ini juga menunjukkan arah perpotongan kedua bidang

 Sudut antara 2 bidang

 cos . . 2 1 2 1 N N N N     2 1 2 1. cos N N N N      

 Persamaan bidang melalui titik P yang tegak lurus terhadap bidang lain. Persamaan bidangnya ialah :



r r0



N2  _{ } Dengan N2  ialah : 1 2 PQ N N   

BAB VIII

FUNGSI GAMMA, BETA, DAN INTEGRAL ELIPTIK

 Fungsi Gamma Definisi fungsi gamma

 



_

  ~   0 1 1 n dx e x n n x

 

   1₂

  



 _ n n n sin 1    

  

 



 

1



1



untuk 1 1 untuk 1 1            n n n n n n n n  Fungsi Beta Definisi Fungsi Beta

 



_

1 







   0 1 1 0 , 0 1 ,q x x dx p q p B p q

Hubungan fungsi beta dengan fungsi gamma

 

   

_

_

q p q p q p B      ,

Fungsi Beta dalam bentuk trigonometri

 

_

_

/2



 





 0 1 2 1 2 cos sin 2 ,     d q p B p q

Bentuk fungsi beta yang lain

 







    ~ 0 1 1 , dy y y q p B _{p q} p  Integral Eliptik Bentuk Legendre

Jenis Tak Lengkap Lengkap

I

 

_

     0 1 2sin2 , k d k F

 



  2 / 0 1 2sin2    k d k F II

 

k   k d E 



 0 2 2 sin 1 ,

 

   d k k E 



 2 / 0 2 2 sin 1 III











_{ }        0 2 2 2 sin 1 sin 1 , , k n d n k

 







_{ }   2 / 0 2 2 2 sin 1 sin 1 ,     k n d n k Bentuk Jakobi

Dengan subtitusi  arcsink maka diperoleh

 









_{ }  x x k x dx x k F 0 1 '2 1 2 '2 ' ,

 

dx x x k x k E x



_  0 2 2 2 1 1 ,







 







_{  }   x x k x nx dx x n k 0 2 2 2 2 1 1 1 , ,

Periodisitas Integral Eliptik



k,n 



2nk F

 

k, F   

 

   ) 2 , , (k n nk E k E    Sifat F



k,



F

 

k,

BAB IX

TRANSFORMASI KOORDINAT

Perkalian dua buah matrik AB C atau 



j jk ij ik A B C

Transpose perkalian suatu matrik

 

T T T A B AB 

Invers perkalian suatu matrik

 

1 _ 1 1

A B AB

Matrik Simetri dan antisimetri

Suatu matrik dikatakan simetri jika AT  A Sedang dikatakan antisimetri jika AT A Matrik Ortogonal

1



M

MT

Rotasi Sistem Koordinat y x' y' O x 2 2 2 2 ' ' y x y x   

Jumlah kuadrat variable yang baru sama dengan jumlah kuadrat variable yang lama.

ORTHOGONAL dan ORTHONORMAL

Dua buah fungsi A

 

x dan B

 

x disebut “orthogonal” dalam interval

 

a,b jika

    0



b a x x B dx A

Fungsi A disebut normal atau ternormalisasi dalam interval _{ x}

 

a,b jika

 

 

2 1



b a x dx A

Dua buah fungsi disebut “ortonormal” dalam selang

 

a,b jika

   

0



b a n m x x dx 

Sebuah fungsi disebut ortonormal dalam selang

 

a,b jika

 





2 1



x dx b a m 

BAB X

PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE, BESSEL,

HERMITE, DAN LAGUERE

A. Persamaan Diferensial Legendre. Deret pangkat



  ~ 0 n n nx a y



   ~ 1 1 ' n n nx na y







    ~ 2 2 1 " n n nx a n n y

Persamaan diferensial legendre muncul pada penyelesaian persamaan diferensial parsial dalam sistem koordinat bola, mekanika kuantum, teori medan, dan distribusi suhu dengan simetri bola.

Bentuk persamaan diferensial legendre ialah



1x2



y"2xy'l

 

l1y 0

Penyelesaian umum persamaan diferensial ini ialah

 

 





 



 







    _   _     _      _  _    _  ... ! 5 4 3 2 1 ! 3 2 1 ... ! 4 3 2 1 ! 2 1 1 3 1 4 2 0 l l l l x l l x a x l l l l x l l a y Rumus Rodrigues

Merupakan metode untuk memperoleh polinomial legendre

 





l l l l l x dx d l x P 1 ! 2 1 2  

Polinomial legendre yang di peroleh dari rumus rodrigues ialah

 

 

 





 

x



x x



P x x P x x P x P 3 5 2 1 1 3 2 1 1 3 3 2 2 1 0      

Fungsi pembangkit polinomial legendre

 

,



1 2



2 , 1 1 2     xh h  h h x 

Atau dapat ditulis sebagaiberikut

 

,

 

 

2

 

... 2 1 0    P x hP x h P x h x 

 

_

 

  ~ 0 , l l l x P h h x 

Fungsi pembangkit berguna untuk merumuskan hubungan rekursi/rekurensi. Hubungan rekursi ini berguna untuk menyerderhanakan persoalan dan membantu dalam pembuktian suatu persamaan.

1. lPl

  

x  2l1



xPl1

     

x  l1Pl2 x 2. xP_l

 

x P_lx

 

x lP_l

 

x

3. Pl

 

x xPl1

 

x lPl1

 

x 4.



1x2



P_l

 

x lP_l1

 

x lxP_l

 

x 5.



2l1

  

Pl x Pl1

 

x Pl1

 

x

ORTHOGONALITAS DAN NORMALISASI POLINOMIAL LEGENDRE





 

l

   

l P x dx x dP x dx d l l 1 1 2 _    

Polinomial Legendre P_l

 

x sebenarnya merupakan pemecahan persoalan nilai eigen Sturm-Liouville.

Polinomial Legendre membentuk himpunan fungsi orthogonal dalam selang



1,1



yang memenuhi hubungan

   



  1 1 lm l m l x P x dx N P  0 jika l m 0  lm  1 jika l m



2 1



2   l N

Normalisasi Polinomial Legendre

      2 2 * N dx A dx A A b a x x b a x 







Deret Legendre

Dalam basis polinomial Legendre Pl

 

x berbentuk

 

_

 

  ~ 0 l l lP x C x f Sehingga

 

x C0P0

 

x C1P1

 

x C2P2

 

x C3P3

 

x ... f Dengan

   



   1 1 2 1 2 dx x f x P l Cl l

Fungsi Legendre Asosiasi





 

0 1 1 ' 2 " 1 ₂ 2 2              y x m l l xy y x Atau





 

0 1 1 1 ₂ 2 2                 y x m l l dx dy x dx d

Dengan penyelesaiannya yaitu

 





1 2



/2 P

 

x m0 dx d x x P m l m m m l

Atau dengan memasukkan rumus rodrigues diperoleh

 









l m l m l m l m l x dx d x l x P 1 1 ! 2 1  2 /2 2   _ Untuk m

    

_



_{  }

0 ! ! 1       m x P m l m l x P_l m m _lm

Fungsi Legendre Asosiasi juga membentuk himpunan fungsi orthogonal, yaitu

   

_

_



_

_



nl m n m l m l m l l dx x P x P  ! ! 1 2 2 1 1    





Persamaan Diferensial Legendre Asosiasi lebih sering di kenal dalam variable bebas sudut , yaitu dengan subtitusi xcos

 

0 sin 1 sin sin 1 2 2                 y m l l d dy d d     

B. Persamaan Diferensial Bessel PD Besel ialah





0 ' " 2 2 2     y p x xy y x Atau

 

xy''



x2  p2



y0 x

Penyelesaiannya berupa fungsi Bessel yaitu

 

_

_

 

_{ }

_

               ~ 0 2 2 1 1 1 n p n n p x p n n x J

Penyelesaian kedua Bessel

 

_

_

 

_{ }

_

                ~ 0 2 2 1 1 1 n p n n p x p n n x J

Penyelesaian Umum PD Bessel ialah

 

x AJ

 

x BJ

 

x y  _p  _p

Untuk kasus p bilangan bulat, sebagai pengganti penyelesaian kedua persamaan diferensial Bessel J_p

 

x diperkenalkan fungsi Neumann

 

 

   

_{ }

 

  p x J x J p x Y x N_{p p} p p sin cos  _  

 

x AJ

 

x BN

 

x

y  p  p

Fungsi Bessel dan Aplikasinya P.D Bessel





0 0 ' " 2 2 2      n y n x xy y x

Solusi/penyelesaian umum P.D Bessel ini ialah

 

x CY

 

x J

C

y  _{1 n}  _{2 n}

Bentuk P.D Bessel yang lain





0 ' " 2 2 2 2     y n x xy y x 

Dengan penyelesaian umum

 

x CY

 

x J

C

y  _{1 n}   _{2 n} 

Persamaan diferensial Bessel biasanya kita temui dari persamaa laplace 2u 0 yang diungkapkan dalam koordinat silinder



,,z



Fungsi Bessel bentuk yang pertama

 

_

_

_

_

_

_

_

               ... 4 2 2 2 4 . 2 2 2 2 1 1 2 4 2 n n x n x n x x J _n n n

C. Persamaan Diferensial Hermite

Persamaan Diferensial Hermite diberikan oleh 0 2 ' 2 " xy ny y

Polinomial Hermit diberikan oleh rumus Rodrigues

   

2

 

2 1 _n x n x n n e dx d e x H   

Fungsi pembangkit untuk polinomial Hermite

 



  _ ~ 0 2 ! 2 n n n t tx t n x H e ... ! 3 ! 2 1 3 2      x x x ex

Rumus Rekursi untuk Polinomial Hermite

 

x xH

 

x nH

 

x Hn1 2 n 2 n1

 

x nH

 

x H'n 2 n1

Ortogonalitas polinomial Hermite

   

x H x dx m n H e x _{m n}  



  0 ~ ~ 2 Untuk mn

 

2 !  2 ~ ~ 2 n dx x H e x _n  n



 

Deret polinomial hermite

 

x  A0H0

 

x A1H1

 

x A2H2

 

x ... f

Dengan An ialah

   

x H x dx f e n A x _n n n



   ~ ~ 2 ! 2 1 