1
BAB I
PENDAHULUAN
I.1. Latar Belakang
Bendungan atau dam adalah konstruksi yang dibangun untuk menahan laju air menjadi waduk, danau, atau tempat rekreasi. Salah satu dari bendungan di Indonesia, yaitu Bendungan Jenderal Soedirman, Kabupaten Banjarnegara, Provinsi Jawa Tengah. Lokasi Bendungan Jenderal Soedirman meliputi wilayah Sungai Serayu yang dibendung dan membentuk waduk yang luas. Fungsi utama dari Waduk Mrica sebagai pembangkit listrik tenaga air yang pengelolaannya berada di bawah PT. Indonesia Power.
Bendungan Panglima Besar Jenderal Soedirman merupakan struktur yang berada di atas tanah. Kondisi struktur yang demikian, maka sangat dimungkinkan bahwa bendungan tersebut mengalami pergeseran atau kerusakan. Jika bendungan terdeformasi maka dapat memberikan kerugian yang banyak dan sangat berbahaya untuk permukiman di sekitar bendungan. Kerusakan bendungan menimbulkan dampak negatif seperti jebolnya bendungan. Kerusakan atau jebolnya Bendungan Jenderal Soedirman dapat menenggelamkan dan merusak desa-desa yang berada di bawahnya. Kerugian yang terjadi akan sangat besar.
Untuk mengantisipasi dampak yang terjadi, maka dilakukan pemantauan pada Bendungan Jenderal Soedirman. Pemantauan bendungan sebagai pencegahan bahaya dilakukan sesuai dengan karakteristik bendungan di lapangan (Gumilar dkk, 2013). Pemantauan dilakukan dengan melakukan pengukuran sudut dan jarak titik-titik pantau dari titik referensi yang ditetapkan menggunakan alat Total Station oleh pihak PLTA PT. Indonesia Power. Pengukuran dilakukan secara berkala untuk memperoleh posisi (X,Y) setiap titik pantau. Ketelitian yang tinggi sangat diperlukan agar dapat merepresentasikan pemantauan dari bendungan.
Nilai koordinat horizontal titik pantau dengan ketelitian tinggi dapat dihasilkan menggunakan strategi perhitungan yang baik. Strategi yang dapat digunakan salah satunya dengan perhitungan kuadrat terkecil. Perhitungan kuadrat terkecil dapat
2 menghasilkan nilai koordinat horizontal dengan estimasi terbaik. Hal ini terjadi karena kriteria kuadrat terkecil untuk memecahkan persamaan pengamatan, yaitu nilai kuadrat residunya dijadikan minimum (Xu, 2010). Pada perataan kuadrat terkecil terdapat beberapa metode perhitungan, antara lain metode minimum constraint, metode inner constraint dan metode parameter berbobot. Hitung kuadrat terkecil metode parameter sering digunakan dalam pengolahan data pemantauan bendungan dengan pengukuran berbentuk jaring. Bentuk pengukuran Bendungan Jenderal Soedirman berupa pengukuran dengan satu titik ikat.
Karakteristik setiap metode dapat mempengaruhi ketelitian nilai koordinat hasil dari hitungan. Karakteristik dari metode parameter minimum constraint dan inner
constraint ini sama, yaitu merupakan metode untuk perataan jaring bebas dimana
proses perataan constraint sesuai dengan kekurangan rank matriks normal. Perataan jaring bebas ini dilakukan untuk mengecek konsistensi antar sesama data ukuran atau tingkat presisinya (SNI). Metode minimum constraint dan inner constraint pada intinya menjadikan matriks (ATPA)-1 tidak singular (Leick, 2004).
Metode perataan parameter berbobot sudah masuk dalam kategori perataan jaring terikat karena titik ikat yang memiliki ketelitian diperhitungkan dalam perhitungannya. Perataan jaring terikat atau terkendala penuh, yaitu perataan dengan menggunakan lebih dari satu titik kontrol (titik tetap) dan data ukuran yang kualitasnya dinyatakan baik oleh hasil analisis perataan jaring bebas (SNI).
Konfigurasi titik pantau dan bentuk jaring dari setiap bendungan berbeda-beda mengikuti kondisi lapangan dari bendungan, salah satunya kondisi pengukuran pada Bendungan Jenderal Soedirman yang menggunakan bentuk pengukuran radial. Dari karakteristik perhitungan jaring bebas dan terikat, maka dapat dilakukan suatu kajian mengenai metode manakah yang paling tepat untuk pengolahan data pemantauan Bendungan Jenderal Soedirman. Pada penelitian ini dilakukan analisis perbandingan tingkat ketelitian hitungan perataan titik kontrol Bendungan dari metode minimum
constraint dan inner constraint serta metode parameter berbobot untuk mengetahui
metode pengolahan manakah yang paling tepat untuk data pemantauan Bendungan Jenderal Soedirman.
3 I.2. Identifikasi Masalah
1. Perlu dilakukan kajian mengenai data hasil pengukuran beserta ketelitian titik-titik pantau Bendungan Jenderal Soedirman khususnya dengan pendekatan geodetik pada tahun 2017.
2. Belum diketahui metode perataan yang paling tepat untuk hasil pengukuran titik-titik pantau Bendungan Jenderal Soedirman.
I.3. Pertanyaan Penelitian
1. Berapakah nilai ketelitian dari setiap titik pantau bendungan Jenderal Soedirman berdasarkan hasil pengukuran tahun 2017 ?
2. Apakah terdapat perbedaan koordinat yang signifikan berdasarkan metode
minimum constraint, inner constraint dan parameter berbobot, serta manakah
metode pengolahan data yang menghasilkan nilai koordinat estimasi paling teliti ?
I.4. Batasan Penelitian
1. Data penelitian menggunakan data primer, yaitu data ukuran terbaru bulan Januari tahun 2017.
2. Pengukuran menggunakan alat pengukur sudut dan jarak otomatis yaitu Total Station Leica Wild TC.1000 dan TC.1600.
3. Metode pengukuran menggunakan metode radial, yaitu satu titik sebagai titik berdirinya alat, titik lainnya menjadi titik referensi pengukuran titik-titik pantau di tubuh bendungan.
4. Proses hitungan menggunakan tiga metode hitung perataan, yaitu metode parameter minimum constraint, inner constraint dan parameter berbobot. 5. Analisis hasil pengukuran titik-titik kontrol dilakukan pada koordinat
horizontal (koordinat X dan Y).
6. Analisis ketelitian setiap metode dilakukan dengan membandingkan nilai simpangan baku posisi titik pantau, uji signifikan parameter serta uji signifikansi parameter dua metode dengan tingkat kepercayaan 95%.
4 I.5. Tujuan Penelitian
Berdasarkan pertanyaan penelitian yang diajukan, maka tujuan penelitian adalah sebagai berikut :
1. Memperoleh nilai koordinat X dan Y beserta ketelitian dari setiap titik pantau bendungan Jenderal Soedirman hasil pengukuran tahun 2017.
2. Mengetahui signifikansi perbedaan nilai koordinat yang dihasilkan dari metode
minimum constraint, inner constraint, dan parameter berbobot berdasarkan
hasil uji signifikansi antara dua metode serta mengetahui metode pengolahan data yang menghasilkan nilai koordinat estimasi paling teliti dilihat dari ketelitian parameter yang dihasilkan.
I.6. Manfaat Penelitian Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini antara lain :
1. Untuk bidang keilmuan, penelitian yang dilakukan dapat dijadikan contoh studi kasus dalam pemanfaatan metode hitung kuadrat terkecil yang sesuai khususnya pada hasil pengukuran radial, melalui studi analisis perbandingan ketelitian antara dua metode yang berbeda.
2. Untuk pihak pengelola bendungan, penelitian ini dapat memberikan gambaran ketelitian hasil pengukuran titik-titik pantau Bendungan Jenderal Soedirman, sehingga dapat dimanfaatkan untuk perbaikan metode pemantauan maupun pengolahan datanya, dalam rangka menjaga keselamatan bendungan.
I.7. Tinjauan Pustaka
Bendungan merupakan stuktur di atas tanah yang perlu dilakukan pemantauan sebagai tindakan preventif untuk keselamatan bendungan. Pemantauan menghasilkan ukuran sudut dan jarak untuk mendapatkan nilai koordinat dua dimensi dari titik-titik pantau bendungan. Perhitungan matematis menggunakan metode parameter terkendala minimum untuk mengolah data sudut dan jarak di Bendungan Jenderal Soedirman telah dilaksanakan pada penelitian Yulaikhah dan Widjajanti (2005) pada data pengamatan tahun 2002, 2003, dan 2004. Penelitian dilakukan menggunakan data pada kala 17 titik pantau di tubuh bendungan dan pengukuran menggunakan jaring
5 trianggulaterasi dengan alat Teodolit. Hasil perhitungan berupa nilai koordinat dua dimensi dengan ketelitian yang beragam dalam fraksi millimeter hingga desimeter. Nilai ketelitian parameter yang dihasilkan dipengaruhi oleh bentuk jaring yang digunakan, namun bentuk jaring pada tubuh bendungan telah dipasang secara permanen saat dibangunnya bendungan (Yulaikhah dan Widjajanti, 2005).
Titik pantau yang telah dipasang secara permanen ini menyebabkan tidak dapat dilakukan pembentukan desain jaring baru sehingga hal yang dapat dilakukan berupa mencari metode perhitungan yang tepat untuk pengolahan data sudut dan jarak hasil pemantauan. Selain pengolahan menggunakan metode parameter minimum constraint kajian mengenai pengolahan data sudut dan jarak menggunakan metode parameter
inner constraint telah dilakukan pada penelitian Shodiq (2015). Pada penelitian ini
digunakan data pengamatan Candi Prambanan tahun 1999, 2001, 2011, 2013, dan 2015 dengan bentuk jaring berupa poligon tertutup. Penelitian pada delapan titik pantau tanpa titik ikat sebagai constraint. Hasil berupa koordinat dua dimensi titik-titik pantau dengan ketelitian yang dihasilkan pada fraksi millimeter setiap kala.
Metode pengolahan sudut dan jarak untuk mendapatkan nilai koordinat titik pantau selain menggunakan metode parameter minimum constraint dan inner
constraint yaitu menggunakan metode parameter berbobot. Penelitian yang berkaitan
dengan pengolahan data pemantauan bendungan menggunakan metode parameter berbobot telah dilakukan oleh Yulaikhah dan Apriyanti (2013). Bentuk jaring yang digunakan, yaitu jaring trianggulaterasi pada titik pantau Waduk Sermo. Pada penelitian ini, kajian ketelitian estimasi koordinat di titik-titik pantau Bendungan Soedirman, dilakukan dengan membandingkan beberapa metode perhitungan parameter. Manakah yang paling tepat untuk pengolahan data sudut dan jarak hasil pemantauan bendungan dengan bentuk pengukuran berupa radial. Metode perhitungan menggunakan tiga metode parameter, yaitu minimum constraint, inner constraint dan parameter berbobot. Penelitian ini membandingkan ketelitian tiga metode untuk hasil pengukuran titik-titik pantau tubuh bendungan Jenderal Soedirman yang belum dilakukan sebelumnya.
6 I.8. Dasar Teori
I.8.1. Metode Penentuan Posisi Horizontal
Jaring kontrol horizontal merupakan sekumpulan titik kontrol horizontal yang satu sama lainnya dikaitkan dengan data ukuran jarak dan/atau sudut, dan koordinatnya ditentukan dengan metode pengukuran/pengamatan tertentu dalam suatu sistem referensi koordinat horizontal tertentu (SNI). Posisi titik pada jaring kontrol horizontal dalam sistem dua dimensi (2D) yaitu hanya memiliki koordinat X dan Y. Pengukuran jaring kontrol horizontal dapat menggunakan dua metode, yaitu teristris dan extrateristris. Pada pengukuran teristris bentuk jaring yang sering digunakan, yaitu poligon, triangulasi, trilaterasi, triangulaterasi, pemotongan ke muka, dan pemotongan ke belakang (Basuki, 2006). Penentuan posisi horizontal selain menggunakan metode jaring juga terdapat penentuan menggunakan metode radial. Metode radial ini untuk menentukan koordinat horizontal satu titik, biasanya digunakan untuk pengukuran detil. Pengukuran metode radial memiliki bentuk yang bebas (Abidin, 2002). Secara umum penentuan koordinat horizontal secara teristris menggunakan radial, didasarkan pada rumus dasar (SNI) dan pada Gambar I.1.
Gambar I.1. Prinsip dasar penentuan koordinat (SNI)
Xj = Xi + dij.sin Aij ... (I.1) Yj = Yi + dij.cos Aij ... (I.2) Dimana :
dij : jarak antara titik i dan j, dan Aij : sudut jurusan sisi ij.
: titik yang diketahui koordinatnya = : titik yang dicari koordinatnya
Penentuan posisi selain menggunakan jaring radial umumnya menggunakan metode poligon, pengikatan ke muka (intersection), metode pengikatan ke belakang
7 (resection), kombinasi antara metode-metode tersebut, trianggulasi, trilaterasi, dan triangulaterasi (Abidin, 2002). Geometri dari beberapa metode tersebut dijelaskan pada Tabel I.1.
Tabel I.1. Bentuk-bentuk pengukuran posisi horizontal (Modifikasi Abidin, 2002)
Metode Contoh Geometri Data Ukuran
Poligon Sudut dan Jarak
Pengikatan ke muka Sudut di titik tetap
Pengikatan ke belakang Sudut pada titik yang
akan diketahui posisinya
Triangulasi Sudut di semua titik
Trilaterasi Semua komponen jarak
diukur
Triangulaterasi Semua sudut dan semua
jarak
Pengukuran dengan jaring bentuk radial memiliki konsep yang sama dengan penentuan koordinat pada SNI. Selain itu, pengukuran secara extrateristris misalkan dengan GPS merupakan sistem yang saat ini paling banyak digunakan untuk survei penentuan posisi. Kontrol kualitas pada pengukuran GPS didasarkan pada kekuatan
8 jaring, sebaiknya baseline yang diamati saling menutup dalam suatu loop (jaringan) dan tidak terlepas begitu saja (radial) (Abidin, 2002). Jaring radial lebih lemah secara geometri dari pada baseline yang tertutup dan membentuk loop, hal ini dibuktikan dengan jumlah nilai faktor kekuatan jaring radial lebih besar dari faktor jaring tertutup.
Gambar I.2. Model jaringan dan model radial (Modifikasi Ma’ruf, 2010) Dalam hal ini :
B, C, D, E : nama titik
A : nama titik tetap
I.8.2. Hitung perataan kuadrat terkecil
Hitung perataan merupakan suatu metode untuk menentukan nilai koreksi yang harus diberikan pada hasil pengukuran, sehingga hasil pengukuran tersebut memenuhi syarat geometri (Wolf, 1980). Syarat geometri ini harus terpenuhi dari hubungan suatu pengukuran dengan pengukuran lain. Sifat statistik dari pengukuran dianalisis berdasarkan pembahasan dari stokastik dan model matematis dan hukum varian kovarian perambatan variabel acak (Leick, 2004). Hitung kuadrat terkecil bertujuan agar jumlah kuadrat residualnya (VTPV) minimum, dan tidak mungkin ada nilai hasil
hitungan lain yang jumlah kuadrat residualnya (VTPV) lebih kecil (Hadiman, 1991).
Hitung kuadrat terkecil berhubungan erat dengan dua komponen penting, yaitu stokastik dan model matematik (Okwuashi dan Asuquo, 2012). Matriks varian kovarian yang berisi tentang ketelitian observasi merupakan komponen stokastik yang berasal dari kalibrasi instrument. Model matematis menunjukkan hubungan antara parameter (u) dan hasil observasi (n), untuk model matematis secara umum sebagai berikut (Leick, 2004) :
La = f(Xa) ... (I.3) Dimana :
9 La : matriks nilai observasi
f(Xa) : fungsi dari parameter
konsep dari perhitungan kuadrat terkecil dilakukan dengan cara mencari nilai hasil penjumlahan kuadrat residunya minimum (Mikhail dan Gracia, 1981).
(VTPV) = minimum ... (I.4)
I.8.3. Hitung perataan metode parameter terkendala minimum (minimum constraint)
Salah satu metode hitung kuadrat terkecil adalah metode parameter. Suatu matriks yang memiliki kekurangan rank (rank deficiency) akan menyebabkan matriks tersebut singular sehingga terdapat perataan dengan persyaratan minimal sesuai kekurangan ranknya, yaitu metode parameter minimum constraint (Soeta’at, 1996). Tujuan dari hitung perataan kuadrat terkecil metode parameter adalah untuk mendapatkan nilai koordinat estimasi terbaik. Metode parameter memiliki syarat pengukuran lebih, atau hasil observasinya melebihi jumlah parameter yang dicari (redundan), karena terdapat pengukuran yang lebih sehingga terdapat suatu derajat kebebasan (r). Derajat kebebasan dinyatakan sebagai berikut (Mikhail dan Gracia, 1981).
r = n – u ... (I.5) dimana :
r : jumlah derajat kebebasan n : jumlah pengukuran
u : jumlah parameter yang dicari
Hitung perataan minimum constraint merupakan suatu penyelesaian hitung perataan dengan penetapan titik yang dianggap referensi (besaran fixed) sebanyak kekurangan rank-nya (rank defect) (Soeta’at, 1996). Suatu pengukuran mengalami kekurangan rank karena belum terdapat titik yang terdefinisi, hal ini akan menyebabkan matriks (ATPA)-1 tidak dapat diinverskan karena merupakan matriks singular. Pengukuran secara triangulaterasi terdapat kekurangan rank minimal sebanyak 4, sehingga hasil ukuran yang berupa sudut dan jarak akan terdefinisi dengan menentukan satu titik referensi / acuan (koordinatnya), satu azimuth dan satu jarak dari
10 titik referensi ke titik yang akan dihitung koordinatnya sehingga perlu adanya dua titik sebagai titik referensinya. Model matematis hitung perataan metode minimum
constraint yang digunakan sebagai berikut (Leick, 2004).
Model non linier sebagai berikut :
La = f(Xa) ... (I.6) Penentuan nilai estimasi residu terbaik menggunakan persamaan sebagai berikut (Leick, 2004) :
V = AX + F ... (I.7) Dalam hal ini :
V : vektor residu pengamatan (𝑉1, 𝑉2, 𝑉3, … , 𝑉𝑛), dimensi matriksnya (nx1)
A : matriks desain yang elemennya merupakan turunan pertama ukuran terhadap parameter, dimensi matriks A yaitu (nxu)
X : matriks parameter dengan dimensi (nx1)
F : matriks sisa pengurangan nilai pendekatan dengan ukuran (nx1)
Penentuan nilai estimasi parameter terbaik menggunakan persamaan sebagai berikut (Leick, 2004) :
𝑁 = 𝐴𝑇𝑃𝐴 ... (I.8) 𝑈 = 𝐴𝑇𝑃𝐹 ... (I.9) 𝑋 = −𝑁−1𝑈 ... (I.10) 𝑋 = 𝐴𝑇𝑃𝐴−1𝐴𝑇𝑃𝐹 ... (I.11) Dalam hal ini :
P = 𝜎𝑜2 ∑
lb-1 ... (I.12) 𝜎𝑜2 : varian apriori
P : matriks bobot pengamatan, dimensi matriks bobot (nxn) ∑lb : matriks varian kovarian pengukuran
Penentuan nilai varian aposteori terbaik menggunakan persamaan sebagai berikut (Leick, 2004) :
𝜎̂𝑜2 = 𝑉𝑇𝑃𝑉 𝑛 − 𝑢
⁄ ... (I.13) Dalam hal ini:
11 𝜎̂𝑜2 : varian aposteori
V : matriks residu pengukuran P : matriks bobot
n : jumlah pengamatan
u : jumlah parameter yang dicari
Persamaan (I.13) digunakan untuk menentukan nilai varian kovarian parameter sebagai berikut (Leick, 2004) :
∑ 𝑥𝑥 = 𝜎̂𝑜2(𝐴𝑇𝑃𝐴)−1 ... (I.14) Dalam hal ini :
∑ 𝑥𝑥 : matriks varian kovarian parameter 𝜎̂𝑜2 : varian aposteori
Dimana diagonal dari matriks ini (∑𝑥𝑥) merupakan varian parameter. Akar dari diagonal matriksnya merupakan ketelitian dari parameter estimasi. Matriks ketelitian residu disusun dengan persamaan sebagai berikut :
Ʃvv = 𝜎̂𝑜2 (𝑃−1− A(𝐴𝑇𝑃𝐴)−1𝐴𝑇) ... (I.15)
I.8.4. Hitung perataan metode inner constraint
Metode inner constraint merupakan metode hitung perataan yang mengacu pada metode parameter. Metode inner constraint memiliki ciri khas dengan penambahan suatu matriks E. Simbol (r) merupakan notasi jumlah persamaan pada desain matriks (Leick, 2004) :
R (nAu) = R (ATPA) = r ≤ u ... (I.16) Karena jumlah persamaan kurang dari atau sama dengan jumlah parameter maka hal ini menyebabkan terjadinya cacat rank atau tidak memiliki rank defect. Secara umum kekurangan rank yang berasal dari u – r dikarenakan oleh kurangnya titik koordinat yang diketahui (Leick, 2004). Kekurangan rank ini menyebabkan matriks (ATPA) menjadi normal, yaitu tidak dapat diinverskan atau matriks singular.
Perataan inner constraint dalam jaring pengukuran memiliki tujuan agar matriks (ATPA) dapat diinverskan. Setiap sistem koordinat memiliki jumlah rank yang berbeda-beda. Pada sistem koordinat satu dimensi membutuhkan satu unsur yang diketahui yaitu unsur tinggi, sistem koordinat dua dimensi membutuhkan minimal
12 empat unsur diketahui dan untuk tiga dimensi membutuhkan minimal tujuh unsur yang diketahui (Soeta’at, 1996). Perbedaan ini menyebabkan matriks kondisi (E) berbeda pada setiap sistem koordinatnya. Bentuk matriks E untuk sistem koordinat dua dimensi jaring trianggulaterasi sebagai berikut (Soeta’at, 1996) :
E = [ 1 0 … 0 1 0 −𝑥𝑖 𝑦𝑖 1 𝑦𝑖 𝑥𝑖 … … … 1 −𝑥𝑟 𝑦𝑟 0 𝑦𝑟 𝑥𝑟 ] ... (I.17)
E : merupakan matriks kondisi dengan dimensi (4x2r, dimana r merupakan jumlah titik pantau)
Estimasi parameter menggunakan metode inner constraint dapat ditentukan sebagai berikut (Leick, 2004) :
X = - Q ATPF ... (I.18) Q = (ATPA + ETE)-1 – ET (EET EET)-1 E ... (I.19) X = - (ATPA + ETE)-1 ATPF ... (I.20) Dimana :
X : matriks parameter yang berdimensi (nx1) P : matriks bobot berdimensi (nxn)
E : matriks kondisi dua dimensi dengan dimensi matriks (4x2r, dimana r merupakan jumlah titik pantau)
Solusi dari persamaan mengharuskan untuk memenuhi syarat sebagai berikut (Leick, 2004) :
(ATPA) ET = 0 ... (I.21) AET =EAT = 0 ... (I.22) Dari persamaan (I.19) persamaan Q digunakan untuk menentukan nilai varian kovarian parameter, persamaan sebagai berikut (Leick, 2004) :
∑ 𝑥 = 𝜎̂𝑜2 Q ... (I.23) ∑ 𝑥 = 𝜎̂𝑜2 (ATPA + ETE)-1 ... (I.24) Dimana :
∑ 𝑥 : matriks varian kovarian parameter
Akar elemen diagonal dari matriks ∑𝑥 merupakan ketelitian dari parameter hasil observasi.
13 Matriks varian aposteori pada metode inner constraint dicari dengan persamaan sebagai berikut (Leick, 2004) :
𝜎̂𝑜2 = (VTPV) / n – u + d ... (I.25) Dimana :
n : jumlah persamaan u : jumlah parameter d : rank deficiency
Ketelitian dari residu ukuran menggunakan metode inner constraint ditentukan dari akar kuadrat elemen diagonal matriks Ʃvv. Adapun matriks Ʃvv ditentukan dengan rumus I.26 :
Ʃvv = 𝜎̂𝑜2 (𝑃−1 − 𝐴(𝐴𝑇𝑃𝐴 + 𝐸𝑇𝐸)−1 𝐴𝑇) ... (I.26)
I.8.5. Hitung perataan metode parameter berbobot
Hitung perataan kuadrat terkecil metode parameter berbobot merupakan metode dengan dasar metode parameter. Metode parameter berbobot merupakan suatu penyelesaian hitung parameter yang mana terdapat informasi atau keterangan tentang parameter yang dicari, informasi tersebut kemudian dipakai sebagai “constraint” dengan memberikan bobot tertentu terhadap parameter (Soeta’at, 1996). Parameter berbobot menyertakan jenis pengukuran baru dari observasi yang mengarah pada parameter, untuk merinci parameter supaya terhindar dari bentuk singular dari persamaan normal, atau menyertakan hasil hitungan sebelumnya (Leick, 2004). Pada metode parameter berbobot terdapat dua kelompok hitungan yaitu :
1. Hitungan pertama yang terdiri dari contoh persamaan ukuran yang merupakan fungsi dari parameter,
2. Kelompok hitungan kedua terdiri dari ukuran pengamatan koordinat dari parameter yang dicari.
Berikut bentuk umum persamaan parameter berbobot (Leick, 2004) :
l1a = f1 ( xa ) ... (I.27) l2a = f2 ( xa ) ... (I.28) Dari persamaan sebelumnya, model linier menjadi seperti berikut (Leick, 2004):
14 v1 = A1x + l1 ... (I.29) v2 = A2x + l2 ... (I.30) Dalam hal ini :
l1 : vektor nilai ukuran (observasi) dari fungsi pertama l2 : vektor nilai ukuran (observasi) dari fungsi kedua v1 : vektor residu pertama
v2 : vektor residu kedua
A1 : matriks turunan ukuran terhadap parameter pertama A2 : matriks turunan persamaan kedua
Pada perhitungan parameter berbobot memiliki dua persamaan matematis, yang pertama yaitu persamaan matematis ukuran (jarak dan sudut) dan yang kedua persamaan matematis dari parameter (koordinat x dan y). Persamaan matematis sebagai berikut.
Persamaan matematis pertama (Mikhail dan Gracia, 1981): 𝐷12= √(𝑋2− 𝑋1)2+ (𝑌 2− 𝑌1)2 ... (I.31) 𝛽 = 𝑡𝑎𝑛−1(𝑋2−𝑋1 𝑌2−𝑌1) − 𝑡𝑎𝑛 −1(𝑋1−𝑋2 𝑌1−𝑌2 ) ... (I.32)
Persamaan matematis kedua :
X1 + V1 = 𝑋̂ ... (I.33) 1 Y1 + V2 = 𝑌̂ ... (I.34) 1 Dimana :
D12 : jarak dari titik satu ke dua X1, Y1, X2, Y2 : koordinat titik pantau 𝑋̂ , 𝑌1 ̂ 1 : koordinat pendekatan
Dari persamaan sebelumnya, maka persamaan untuk menentukan nilai parameter sebagai berikut (Leick, 2004) :
u1 = AT1 P1 l1 ... (I.35) N1 = AT1 P1 A1 ... (I.36) 𝑋̂ = X* + ∆X ... (I.37) X* = -N-1 1 u1 ... (I.38) T = (P-1 2 + A2 N-11 AT2)-1 ... (I.39) ∆X = -N-1 1 AT2 T (A2X* + l2 ) ... (I.40)
15 𝑋̂ = - (A1TP1A1 + A2TP2A2 )-1 (A1TP1l1 + A2TP2l2 ) ... (I.41) Persamaan untuk menentukan matriks varian kovarian parameter sebagai berikut (Leick, 2004) :
∑ 𝑥𝑥 = 𝜎̂02(𝐴
1𝑇𝑃1𝐴1+ 𝐴2𝑇𝑃2𝐴2)−1 ... (I.42) Akar dari diagonal matriks ∑𝑥𝑥 merupakan ketelitian dari setiap parameter yang dicari. Dimana nilai varian aposteori 𝜎̂02 pada parameter berbobot menggunakan model matematis sebagai berikut (Leick, 2004) :
𝜎̂𝑜2 = (VTPV) / n1 + n2 – u ... (I.43) Dimana untuk menentukan matriks VTPV menggunakan persamaan (Leick, 2004) :
VTPV = VTPV* + ∆VTPV ... (I.44) VTPV* = -u1T N-11 u1 + l1T P1 l1 ... (I.45) ∆ VTPV = (A
2x* + l2 )T T (A2x* + l2) ... (I.46) Ketelitian dari residu (V) ukuran disusun dengan persamaan sebagai berikut : Ʃvv = 𝜎̂𝑜2 (𝑃−1 − 𝐴(𝐴1𝑇𝑃1𝐴1+ 𝐴2𝑇𝑃2𝐴2)
−1
𝐴𝑇) ... (I.47)
1.8.6. Perambatan Kesalahan Acak (Perambatan Varian)
Perambatan kesalahan acak digunakan untuk menentukan kelompok pengukuran kedua pada perhitungan parameter berbobot. Kelompok pengukuran kedua berupa koordinat titik-titik pantau beserta ketelitiannya.
Umumnya parameter yang dicari adalah bukan besaran yang diukur, tapi besaran lain yang mempunyai hubungan linier (jika bukan linier, dilakukan linierisasi terlebih dahulu) dengan ukuran. Sebagai contoh koordinat, yang didapat dari pengukuran sudut dan jarak (pada poligon). Oleh karena itu, perlu dicari ketelitian parameter tersebut, yang merupakan perambatan dari ketelitian pengukuran (Soeta’at, 1996). Persamaan sebagai berikut (Soeta’at, 1996) :
Y = G x ... (I.48) Dimana :
Y : parameter yang dicari x : besaran yang diukur
16 A : hubungan linier antara parameter dan besaran ukuran (Matriks Jacobi). Diperoleh :
E (Y) = E (Gx) = G E(x) ... (I.49) Misalkan (𝑋̅ − 𝑀𝑥) = [ (𝑥1 − 𝜇1) … … . (𝑥𝑛 − 𝜇𝑛) ] Ʃx = E {(𝑋̅ − 𝑀𝑥) − (𝑋̅ − 𝑀𝑥)𝑇} ... (I.50) 𝑋̅ = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … … … , 𝑥𝑛) = parameter ke 1 sampai ke n 𝑀𝑥 = (𝜇1, 𝜇2, 𝜇3, … … … , 𝜇𝑛) = rata-rata ke 1 sampai ke n Ʃy = E {(𝑦 − 𝑀𝑦) − (𝑦 − 𝑀𝑦)𝑇} ... (I.51) Ʃy = E {{𝑦 − 𝐸(𝑦)} {𝑦 − 𝐸(𝑦)}𝑇} Ʃy = E {{𝑦 − 𝐺 𝐸(𝑦)} {𝑦 − 𝐺 𝐸(𝑦)}𝑇} Ʃy = E {{𝐴𝑥 − 𝐺 𝐸(𝑦)} {𝐴𝑥 − 𝐺 𝐸(𝑦)}𝑇} Ʃy = G E {{𝑥 − 𝐸(𝑦)} {𝑥 − 𝐸(𝑦)}𝑇} GT Ʃy = G E {{𝑥 − 𝑀𝑥} {𝑥 − 𝑀𝑥}𝑇} GT Ʃy = 𝐺 Ʃ𝑥 𝐺𝑇 ... (I.52) Dimana :
Ʃy = matriks kovarian parameter Ʃ𝑥 = matriks kovarian ukuran
1.8.7. Linierisasi Persamaan Pengamatan
Beberapa pekerjaan pada penentuan koordinat dua dimensi didasarkan pada hasil ukuran yang berupa sudut dan jarak (Mikhail dan Gracia, 1981). Penentuan nilai koordinat dua dimensi ini menggunakan hitung kuadrat terkecil yang memiliki persamaan ukuran. Persamaan ukuran dilakukan untuk membentuk matriks A dengan bentuk yang linier. Pekerjaan pengukuran yang menghasilkan sudut dan jarak ini memiliki persamaan pengukuran yang belum linear sehingga diperlukan adanya suatu linierisasi dari sudut dan jarak. Berikut persamaan pendekatan jarak dan sudut (Leick, 2004) :
17 Gambar I.3. Gambar jarak pendekatan (Mikhail dan Gracia, 1981)
𝑆̂ij = [(Xj – Xi)2 + (Yj – Yi)2]1/2 ... (I.53)
Gambar I.4. Gambar azimut dan sudut pendekatan (Mikhail dan Gracia, 1981) 𝜃̂ijk = arctan 𝑋𝑘−𝑋𝑖
𝑌𝑘−𝑌𝑖 – arctan
𝑋𝑗−𝑋𝑖
𝑌𝑗−𝑌𝑖 ... (I.54) Linierisasi persamaan jarak (Mikhail dan Gracia, 1981) :
𝑆̂ij = 𝑆*ij + ( 𝜕𝑆̂ij 𝜕𝑋𝑖 ) ∆Xi + ( 𝜕𝑆̂ij 𝜕𝑌𝑖 ) ∆Yi + ( 𝜕𝑆̂ij 𝜕𝑋𝑗 ) ∆Xj + ( 𝜕𝑆̂ij 𝜕𝑌𝑗 ) ∆Yj ... (I.55) Turunan jarak terhadap Xi
𝜕𝑆̂ij 𝜕𝑋𝑖 = - 𝜕 𝜕𝑥𝑖 [(Xj – Xi) 2 + (Y j – Yi)2]1/2 = - 1 2 [(Xj – Xi) 2 + (Y j – Yi)2]1/2 (2) (Xj – Xi) = (Xj – Xi) [(𝑋𝑗−𝑋𝑖) 2 +(𝑌𝑗−𝑌𝑖) 2 ]1/2 = - (Xj – Xi) 𝑆𝑖𝑗 ... (I.56) Turunan jarak terhadap Yi
𝜕𝑆̂ij 𝜕𝑌𝑖 = -
(Yj – Yi)
𝑆𝑖𝑗 ... (I.57) Turunan jarak terhadap Xj
𝜕𝑆̂ij 𝜕𝑋𝑗 =
(Xj – Xi)
𝑆𝑖𝑗 ... (I.58) Turunan jarak terhadap Yj
18 𝜕𝑆̂ij
𝜕𝑌𝑗 = (Yj – Yi)
𝑆𝑖𝑗 ... (I.59) Linierisasi persamaan azimuth (Mikhail dan Gracia, 1981) :
𝛼𝑖𝑗 = arctan 𝑋𝑗−𝑋𝑖
𝑌𝑗−𝑌𝑖 ... (I.60) Turunan azimuth terhadap Xi
𝜕𝜃𝑖𝑗 𝜕𝑥𝑖 = ( 1 1+( 𝑌𝑗−𝑌𝑖𝑋𝑗−𝑋𝑖 )2) 𝜕 𝜕𝑥𝑖 ( 𝑋𝑗−𝑋𝑖 𝑌𝑗−𝑌𝑖) = ( (𝑌𝑗−𝑋𝑖)2 (𝑋𝑗−𝑋𝑖) 2 +(𝑌𝑗−𝑌𝑖) 2) ( −1 𝑌𝑗−𝑌𝑖) = 𝑌𝑗−𝑌𝑖 (𝑆𝑖𝑗)2 ... (I.61)
Linierisasi persamaan sudut (Mikhail dan Gracia, 1981) : arctan 𝑋𝑘−𝑋𝑖 𝑌𝑘−𝑌𝑖 – arctan 𝑋𝑗−𝑋𝑖 𝑌𝑗−𝑌𝑖 ... (I.62) 𝜕𝜃𝑖𝑗𝑘 𝜕𝑥𝑖 = -𝑌𝑘−𝑌𝑖 (𝑆𝑖𝑘)2 + 𝑌𝑗−𝑌𝑖 (𝑆𝑖𝑗)2 ... (I.63) 𝜕𝜃𝑖𝑗𝑘 𝜕𝑌𝑖 = 𝑋𝑘−𝑋𝑖 (𝑆𝑖𝑘)2 - 𝑋𝑗−𝑋𝑖 (𝑆𝑖𝑗)2 ... (I.64) 𝜕𝜃𝑖𝑗𝑘 𝜕𝑋𝑗 = - 𝑌𝑗−𝑌𝑖 (𝑆𝑖𝑗)2 ... (I.65) 𝜕𝜃𝑖𝑗𝑘 𝜕𝑌𝑗 = - 𝑋𝑗−𝑋𝑖 (𝑆𝑖𝑗)2 ... (I.66) 𝜕𝜃𝑖𝑗𝑘 𝜕𝑋𝑘 = 𝑌𝑘−𝑌𝑖 (𝑆𝑖𝑘)2 ... (I.67) 𝜕𝜃𝑖𝑗𝑘 𝜕𝑌𝑘 = 𝑋𝑘−𝑋𝑖 (𝑆𝑖𝑘)2 ... (I.68) Dimana :
𝑆̂ij : jarak pendekatan dari i ke j 𝜕𝑆̂ij
𝜕𝑋𝑖 : turunan jarak terhadap parameter 𝜃̂ij : azimuth pendekatan dari i ke j 𝜃̂ijk : sudut pendekatan antara i, j dan k 𝜕𝜃𝑖𝑗
𝜕𝑥𝑖 : azimut diturunkan terhadap parameter 𝜕𝜃𝑖𝑗𝑘
19 1.8.8. Pemberian Bobot
Hitung kuadrat terkecil sangat bergantung pada dua komponen yaitu model stokastik dan model matematis. Nilai varian dari observasi atau ukuran merupakan komponen stokastik, hal ini untuk mengenalkan informasi tentang presisi dari observasi atau pengukuran. Matriks varian kovarian untuk menunjukkan komponen model stokastik. Pada beberapa bentuk, observasi atau pengukuran tidak saling berkolerasi dan matriks varian kovarian menjadi diagonal. Matriks varian kovarian ini menjadi suatu matriks bobot pengukuran (Leick, 2004). Bobot pengamatan adalah perbandingan ketelitian antara suatu besaran pengamatan relatif terhadap besaran pengamatan yang lain. Pemberian bobot diberikan berbanding terbalik dengan nilai varian pengukuran (Mikhail dan Gracia, 1981). Setiap hasil pengukuran memiliki ketelitian yang berbeda-beda sehingga memerlukan bobot yang berbeda pada setiap ukuran. Persamaan matriks bobot ditunjukkan seperti berikut (Leick, 2004) :
Qlb = 1/ 𝜎2o Ʃlb ... (I.69) P = Qlb-1 = 𝜎2o Ʃlb-1 ... (I.70) Dalam hal ini :
Qlb : matriks kovaktor pengukuran, P : bobot pengamatan,
𝜎𝑜2 : varian apriori,
∑Lb-1 : matriks varian pengukuran.
Berikut matriks ∑Lb-1 yang tidak saling berkorelasi :
∑Lb-1 = [ 1 𝜎112 0 0 0 1 𝜎222 0 0 0 1 𝜎332 ]
= invers dari matrik varian kovarian pengamatan.
Matrik bobot yang dapat dibentuk adalah seperti di bawah ini :
𝑃 = 𝜎̂02 [ 1 𝜎112 0 0 0 1 𝜎222 0 0 0 1 𝜎332 ] = matrik bobot.
20 1.8.9. Model Varian
Estimasi nilai varian yang kurang tepat tidak lain adalah estimasi bobot pengukuran yang kurang tepat. Bobot pengukuran harus diestimasi atau diberi nilai secara hati-hati. Misalkan menggunakan nilai dari kalibrasi atau sampe pengukuran yang banyak, atau menggunakan hasil hitungan sebelumnya (Soeta’at, 1996). Bobot pengukuran (∑Lb-1) didapatkan dengan dua cara yaitu dengan cara menghitung varian dari hasil pengukuran menggunakan rumus statistik dan yang kedua menggunakan model varian yang berasal dari ketelitian alat.
Varian pengukuran sudut dibentuk dengan persamaan seperti berikut (Mikhail dan Gracia, 1981). 𝜎𝜃2 = 𝜎𝐵𝐶2 + 𝜎𝐵𝑅2 + 𝜎𝐵𝑃2 + 𝜎𝐵𝑇2 ... (I.71) 𝜎𝜃 = √𝜎𝐵𝐶2 + 𝜎 𝐵𝑅2 + 𝜎𝐵𝑃2 + 𝜎𝐵𝑇2 ... (I.72) 𝜎𝐵𝐶2 = { (𝐷12+ 𝐷22−2𝐷1𝐷2𝑐𝑜𝑠𝛽) 𝜎𝐶2 𝐷1 2𝐷22 } 𝜌 "2 ... (I.73) 𝜎𝐵𝑅2 = 𝜎𝑅 2 2 𝑛2 ... (I.74)
𝜎𝑅2 = 3 x d (untuk ketelitian piringan horizontal 1” s/d 10”) ... (I.75) 𝜎𝐵𝑃2 = 𝜎𝑃2 𝑛 ... (I.76) 𝜎𝑃2 = 60” / M ... (I.77) 𝜎𝐵𝑇2 = 𝐷1 2+ 𝐷 22 𝐷12 𝐷22 𝜎𝑇 2 𝜌"2 ... (I.78) 𝜌" = 1 / sin (1”) ... (I.79) Dalam hal ini :
𝜎𝜃2 : varian total ukuran sudut
𝜎𝐵𝐶2 : kesalahan akibat pemusatan alat ukur di target
𝜎𝐵𝑅2 : kesalahan akibar pembacaan pada skala piringan horizontal 𝜎𝐵𝑃2 : kesalahan akibat pembidikan
𝜎𝐵𝑇2 : kesalahan penempatan target 𝜎𝜃 : simpangan baku total ukuran sudut 𝐷1, 𝐷2 : jarak dari target satu dan dua 𝜎𝐶32 : kesalahan pemusatan alat ukur 𝜎𝑇2 : ketelitian target
21 β : sudut ukuran
d : pembacaan terkecil piringan horizontal M : perbesaran teropong alat ukur teodolit n : jumlah pengamatan
Varian pengukuran jarak dibentuk dengan persamaan seperti berikut (Mikhail dan Gracia, 1981) :
𝜎𝐷2 = a2 + b2 D2 ... (I.80) Dalam hal ini :
𝜎𝐷2 : varian total jarak pengukuran D : jarak dalam (km)
b : ketelitian relative alat (ppm)
a : ketelitian jarak yang tidak tergantung jarak (mm)
I.8.10. Uji Statistik Hasil Hitung Perataan
Setiap pengukuran mengandung kesalahan, sehingga diperlukan adanya pengujian secara statistik pada tingkat kepercayaan tertentu. Pengujian secara statistik ini yaitu uji global dan uji data snooping. Pengujian dilakukan untuk mengetahui adanya kesalahan sistematik dan blunder.
1.8.10.1. Uji global. Uji global merupakan uji yang dilakukan untuk mendeteksi masih atau tidak adanya kesalahan sistematis maupun kesalahan blunder. Uji global dilakukan dengan membandingkan varian apriori dan varian aposteori dari unit bobot serta menggunakan tabel Fisher (Mikhail dan Gracia, 1981).
Hipotesis : Ho : 𝜎𝑜2 = 𝜎̂𝑜2 Ha : 𝜎𝑜2 ≠ 𝜎̂𝑜2
Hipotesis nol (Ho) akan diterima jika memenuhi syarat pada persamaan berikut (Soeta’at, 1996) : 𝜎 ̂𝑜2 𝜎𝑜2 < 𝐹1−𝛼,𝑓,∞ 1/2 ... (I.81) Dimana :
22 𝜎𝑜2 : varian apriori
𝜎̂𝑜2 : varian aposteori
𝐹1−𝛼,𝑓,∞1/2 : nilai statistik dari tabel fisher yang memiliki argument α dan f
Dari hasil persamaan yang tersusun diatas bisa disimpulkan bahwa aposteori varian berbeda signifikan dengan apriori varian, sehingga global test tidak diterima (Soeta’at, 1996). Dengan demikian dimungkinkan adanya kesalahan pada (Soeta’at, 1996) :
1. model matematik, 2. kesalahan hitung,
3. sistem yang ill condition,
4. ketidaktepatan estimasi bobot pengukuran, atau 5. terjadinya blunder.
1.8.10.2. Uji Snooping. Selanjutnya jika ternyata data masih dipengaruhi kesalahan tak acak maka dilakukan uji data snooping, yaitu pengujian data secara individu dari setiap data (Leick, 2004). Untuk mendeteksi ada tidaknya blunder, dilakukan uji statistik berdasarkan standar deviasi residual 𝝈𝒗𝒊 yang merupakan akar diagonal matriks Ʃvv (Soeta’at, 1996) :
Hipotesis :
Ho : pengukuran ke i tidak terdapat blunder Ha : pengukuran ke i terdapat blunder Hipotesis Ho diterima jika dipenuhi hubungan :
|𝑉𝑖
𝜎𝑣𝑖| ≤ 𝐹1−𝛼𝑜,𝑓,∞
1/2
... (I.82) Dimana :
𝑉𝑖 : residu pengukuran ke-i
𝜎𝑣𝑖 : simpangan baku pengukuran ke-i
23 I.8.11. Uji Signifikan Parameter Dua Parameter
Uji signifikan parameter dua metode digunakan untuk menguji perbedaan secara signifikan antara dua metode yang berbeda, yang diuji merupakan objek yang sama dari dua parameter berbeda. Dua nilai parameter diuji dengan tabel t-student sebagai berikut (Mikhail, 1976) :
Ho : nilai parameter metode pertama dengan metode kedua sama
Ha : nilai parameter metode pertama dengan metode kedua berbeda secara signifikan
nilai Ho diterima jika memenuhi persamaan berikut : | 𝑋1𝑖− 𝑋2𝑖
√𝜎𝑋1𝑖+ 𝜎𝑋2𝑖| ≤ 𝑡𝛼/2,𝑓 ... (I.83)
Dimana :
𝑋1𝑖 : nilai parameter ke i metode pertama 𝑋2𝑖 : nilai parameter ke i metode kedua
𝜎𝑋1𝑖 : simpangan baku parameter ke i metode pertama 𝜎𝑋2𝑖 : simpangan baku parameter ke i metode kedua
𝑡𝛼/2,𝑓 : nilai statistik dari tabel t-student dengan argumen α dan f
1.9. Hipotesis
Berdasarkan kajian pustaka yang ada, hipotesis yang dapat dikemukaan untuk penelitian ini, yaitu terdapat beda koordinat yang signifikan antara hasil perhitungan menggunakan metode parameter berbobot dan metode lainnya pada data ukuran titik-titik pantau tubuh Bendungan Jenderal Soedirman. Metode parameter berbobot memiliki estimasi paling baik untuk data ukuran bendungan Jenderal Soedirman atau dianggap sebagai metode yang menghasilkan nilai simpangan baku paling teliti dibandingkan dengan metode inner constraint dan minimum constraint.
