Teorema Gauss. Garis Gaya Listrik Konsep fluks. Penggunaan Teorema Gauss

Teorema Gauss



Garis Gaya Listrik



Konsep fluks



Teorema Gauss



Penggunaan Teorema Gauss

Medan oleh muatan titik

Medan oleh kawat panjang tak berhingga Medan listrik oleh plat luas tak berhingga

Medan listrik oleh bola isolator dan konduktor Medan listrik oleh silinder isolator dan konduktor

Garis gaya listrik



Garis gaya listrik digunakan untuk

menggambarkan medan listrik



Arah medan listrik menyinggung garis gaya

P

E_P

Q

Garis gaya oleh sebuah muatan titik



Oleh muatan titik positip

Garis Gaya oleh muatan negatip



Sebuah muatan negatip

-Garis gaya akibat dipol



Muatan positip dan negatip (dipol)

-Fluks Listrik

 Definisi: banyaknya garis gaya listrik yang menembus suatu

permukaan

 Untuk permukaan dA yang tegak lurus dengan arah medan,

jumlah garis gaya yang menembus permukaan itu adalah

 Total garis gaya yang

menembus permukaan A

EdA

d





dA E A EA dA E EdA d A A      







Fluks untuk sembarang permukaan



Untuk sembarang permukaan dA dengan arah

tidak tegak lurus medan

A

d

E

d











dA















S

A

d

E

d





Fluks total untuk

permukaan S

E

Contoh soal

 Sebuah medan listrik dinyatakan dalam persamaan .

Tentukan fluks yang menembus permukaan

a. b.

c. d.

d. e.

 Solusi

Karena medan homogen di seluruh permukaan yang ditinjau, maka fluks dapat dituliskan dalam bentuk

j i E  2 ˆ 4ˆ i S 10ˆ j S 10 ˆ k S 10 ˆ S  10kˆ  j S  10 ˆ i S  10ˆ       



Solusi contoh soal

a. b. c. d. e. f. 0 ˆ 10 ) ˆ 4 ˆ 2 (        E A i j k 0 ˆ 10 ) ˆ 4 ˆ 2 (        E A i j k 40 ˆ 10 ) ˆ 4 ˆ 2 (        E A i j j 40 ˆ 10 ) ˆ 4 ˆ 2 (         E A i j j 20 ˆ 10 ) ˆ 4 ˆ 2 (        E A i j i 20 ˆ 10 ) ˆ 4 ˆ 2 (         E A i j i

Fluks,muatan Q,permukaan terbuka S

Fluks yang keluar dari permukaan S 1 ˆn E S









S

n

dS

E



ˆ

₁ dS

Permukaan tertutup, muatan Q diluar

1 ˆn dA 1 ˆn  2

ˆn

2 ˆn  3 ˆn

Perhitungan fluks Q diluar permukaan

 Perhatikan arah normal permukaan dan arah medan listrik  Fluks total pada kubus mempunyai nilai:

0 0 0 0 ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ 1 1 3 3 2 2 1 1                          















S S S S S S S n dA E n dA E n dA E n dA E n dA E n dA E A d E        

Permukaan tertutup, Q di dalam

2

ˆn

2 ˆn  1 ˆn dA 1 ˆn  3 ˆn

Perhitungan fluks Q di dalam

 Perhatikan arah normal permukaan dan arah medan listrik  Fluks total pada kubus mempunyai nilai:

) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1                              















S S S S S S S n dA E n dA E n dA E n dA E n dA E n dA E A d E        

Hukum Gauss



Besar fluks atau garis gaya listrik yang keluar dari

suatu permukaan tertutup tergantung muatan

yang dilingkupi oleh luasan tertutup tersebut



Prinsip untuk menggunakan teorema Gauss

dengan mudah

 Pilih permukaan yang medan listrik di permukaan tersebut homogen

 Tentukan muatan yang dilingkupi permukaan tersebut  Tentukan arah medan terhadap arah normal







0



q

S

d

E





Permukaan Gauss Berbentuk Bola



Untuk muatan titik dan bola

dA E

Medan dipermukaan

bola homogen.

Arah medan radial,

searah dengan normal

permukaan bola

Permukaan Gauss Berbentuk Silinder

 Kawat dan silinder panjang tak berhingga

 Medan homogen di seluruh permukaan selimut silnder.

Arah medan radial searah dengan normal permukaaan dA E

E dA

Permukaan Gauss Berbentuk Silinder/Balok



Plat tipis luas tak berhingga

E

Medan homogen

pada tutup balok,

arah sama dengan

normal tutup balok

Medan akibat sebuah muatan titik

dA E 0 2 0 0 0 4      q E q r E q dA E q EdA q A d E      







 

Konduktor



Di dalam konduktor, muatan bebas bergerak



Jika diberi muatan tambahan dari luar  muncul

medan listrik  muatan bergerak menghasilkan

arus internal  terjadi distribusi ulang muatan

tambahan dari luar hingga tercapai keseimbangan

elektrostatis  medan listrik di dalam konduktor

menjadi nol  menurut hukum Gauss berarti

muatan di dalam konduktor nol,muatan tambahan

dari luar tersebar di permukaan konduktor

isolator



Di dalam isolator muatan tidak bebas bergerak



Muatan tambahan dari luar akan terdistribusi

Bola konduktor pejal positip



Tinjau suatu bola konduktor pejal dengan jari-jari

R dan muatan Q

dA

E

_{•Muatan hanya tersebar}

di permukaan bola saja

•Medan listrik di dalam

bola (r<R) nol

•Medan di luar bola dapat

dicari dengan cara berikut:

Medan listrik di luar bola konduktor



Buat permukaan Gauss berbentuk bola dengan

jari-jari r >R



Total muatan yang dilingkupi permukaan Gauss

adalah Q



Hukum Gauss untuk kasus bola konduktor

pejal:

2 0 0

Q

Q

Q

dS

E

q

S

d

E





























Bola isolator pejal



Isolator: muatan tersebar merata di seluruh

volum isolator



Di dalam bola

3  R r r Q R r r E Q R r S d E q S d E 3 0 3 2 3 0 3 0 4             

Bola isolator pejal (2)



Medan di luar

0 2 0 0 4 Q E Q r E Q dS E Q S d E









    





  R r

q=Q

Medan listrik pada bola isolator berongga

Q R R R r q ₃ 1 3 4 3 2 3 4 3 1 3 4 3 3 4









   R₁ R₂ r 3 1 3 0 3 1 3 4 3 2 3 4 3 1 3 4 3 3 4 0 1 Q R r E Q R R R r dS E q S d E













      





 

Bola bermuatan negatip

 Pada prinsipnya sama dengan bola bermuatan positip

hanya arah medan listriknya masuk menuju pusat bola

E dA 0 2 0 0 4 180 cos Q E Q r E Q EdS Q S d E           





 

Dua bola, jenis muatan beda



Sebuah bola tipis jari-jari a bermuatan 2Q. Di

dalam bola tipis diletakkan bola pejal konduktor

berjari-jari b dan bermuatan –3Q.

b

a

Medan untuk daerah r<a

ditentukan dengan cara

yang sama dengan contoh

di slide sebelumnya

0 0 180 cos Q Q Q EdS q S d E       





 

Medan untuk r>a

•Dibuat permukaan Gauss berbentuk bola dengan

jari-jari r>a

•Total muatan yang dilingkupi permukaan Gauss:

q=2Q+(-3Q)=-Q

Medan listrik akibat kawat lurus

 Permukaan Gauss berbentuk silinder,

 Untuk muatan positip arah medan listrik radial keluar dari

pusat silinder

 Untuk muatan negatip arah medan listrik radial masuk

menuju pusat silinder

dA E

Medan akibat kawat tak berhingga

rl E EdS EdS EdS S d E S d E S d E S d E tutup ung se tutup tutup ung se tutup  2 90 cos 0 cos 90 cos _lub lub           















       

Fluks medan listrik yang menembus permukaan silinder

Jika panjang kawat L, muatan total Q, maka muatan yang dilingkupi oleh silinder:

l l

Q

Hukum Gauss untuk kawat sangat panjang

 Penentuan medan listrik

rL

Q

E

l

L

Q

rl

E

q

S

d

E

0 0 0

2

2



























Contoh soal untuk kawat panjang (1)

 Tentukan medan listrik dan gambarkan arahnya pada

titik A dan B yang berjarak 20 cm dari kawat dengan rapat muatan =10 mC/m seperti pada gambar.

 Solusi : E  10.10 0,1 0,025 3      A B N/C

Contoh soal untuk kawat panjang (2)

 Tentukan medan listrik dan gambarkan arahnya pada

titik A dan B yang berjarak 20 cm dari kawat dengan rapat muatan =-10 mC/m seperti pada gambar.

 Solusi :  _ 10.10 3 _ 0,1 _ 0,025   A B N/C

Medan listrik karena dua kawat sejajar

 Dua buah kawat pajang tak berhingga diberi muatan

masing-masing dengan rapat muatan  dan -2 . Jarak kedua kawat a. Tentukan medan listrik pada titik P yang berjarak b dari kawat -2 .

 

E

E

E



_total





_2





 -2 b a _P E_{-2 E}  ) ( 2 2 ) ( 2 2 0 0 2 b a b E E E_total      _      

Medan listrik akibat kawat berbentuk silinder



Misalkan silinder konduktor berjari-jari R ,

panjangnya L, dan bermuatan Q.



Permukaan Gauss berbentuk silinder dengan

jari-jari r dan panjang L seperti kawat panjang tak

berhingga



Untuk muatan positip, medan listrik berarah radial

meninggalkan sumbu pusat silinder



Untuk muatan negatip, medan listrik berarah

Permukaan Gauss pada silinder

 Muatan positip E dA







    0 0 0 0 cos    q dA E q EdA q A d E 

Permukaan Gauss pada silinder

 Muatan negatip E dA







     0 0 0 180 cos    q dA E q EdA q A d E 

Medan listrik akibat silinder konduktor pejal



Di dalam konduktor

 Muatan yang dilingkupi permukaan Gauss =0 karena pada konduktor muatan hanya tersebar di permukaan konduktor saja. Dengan demikian, medan listrik di

Medan listrik akibat silinder konduktor pejal

 Di luar konduktor

Medan akibat silinder konduktor

 Medan listrik di luar silinder konduktor

Lr Q E Q rL E Q dA E q A d E 0 0 0 2 2











    





 

Medan listrik akibat silinder isolator pejal



Di dalam isolator

 Muatan yang dilingkupi permukaan Gauss

Q r Q L r q 2 2   

Silinder isolator pejal

 Medan listrik di dalam isolator (r<R)

r

Q

R

r

rL

E

Q

R

r

dA

E

q

A

d

E

2 0 2 2 0 2 0

2

























Silinder isolator pejal (2)

 Medan di luar silinder (r>R)

Q

E

Q

rL

E

Q

dA

E

q

A

d

E

0 0 0

2



























Silinder Isolator Berongga



Jari-jari dalam silinder a, jari-jari luar b, muatan Q,

Silinder isolator berongga (2)

 Untuk r>b, semua muatan terlingkupi oleh permukaan

Gauss ( q=Q), sehingga medan di luar silinder adalah:

 Untuk a<r<b, dibuat permukaan Gauss berbentuk

silinder dengan jari-jari a<r<b dan panjang L

 Muatan yang dilingkupi

Q a b a r L a L r L a L b Q V q _{silinder Gauss} ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2            

Lr

Q

E

0

2





Bola isolator berongga

Lr a b Q a r E a b Q a r rL E a b Q a r dA E q A d E ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 0           





      

Dua silinder dengan muatan berbeda

 Silinder pejal isolator berjari-jari a, panjang c, dan

bermuatan 3Q berada dalam suatu silinder berongga

yang jari-jari dalamnya b, jari-jari luarnya d, panjangnya c, dan bermuatan –Q.

 Di dalam isolator (r<a)

Q a r Q c a c r q 3 ₂ 3 2 2 2     2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 ) / (      a c Qr E a Qr rc E Q a r S d E     



 

0 0 0 2 2 2 2 2      rc Q E Q rc E Q S d E      



 

Di antara isolator dan konduktor (a<r<b)

Di dalam konduktor (b<r<d): E=0 Di luar konduktor (r>d) 0 0 0 2 3 3 2 3      rc Q E Q rc E Q S d E      



 

Medan listrik Di Sekitar Plat Tipis (1)

 Misal: Luas Plat A dan rapat muatan per satuan luas 

E

S

S

A

Q

q







A S

Perhitungan medan listrik akibat plat tipis (1)

0 0 2       



S S E q A d E  ES ES ES S d E S d E S d E S d

E _{tutup se ung tutup}

2 0 lub           









       

Medan listrik Di Sekitar Plat Tipis (2)

 Misal: Luas Plat A dan rapat muatan per satuan luas -

E

S

S

A

Q

q











A S

Perhitungan medan listrik akibat plat tipis(2)

0 0 ) 2 (         



S S E q A d E  ES ES ES S d E S d E S d E S d

E _{tutup se ung tutup}

2 0 lub             









       

Medan listrik akibat dua plat tipis

 Dua plat tipis luas tak berhingga masing-masing

mempunyai rapat muatan  dan - . Medan listrik di sekitar plat tersebut dapat dianalisis seperti gambar di bawah ini 0 2     E  E  _- E₁ E_{2 E3} ) ( ) ˆ ( 0 ) ( ) ˆ ( 2 1          i E i E E i E i E E        

Medan akibat 3 plat tipis

 Tiga buah plat tipis masing-masing bermuatan , -, dan

2. Medan di sekitar plat bisa dicari dengan cara berikut

 -  2  x=2 x=4 x=7   

E

E

2

E

E



_total









_





Medan listrik akibat 3 plat tipis (2)

i i i i i E i E i E x E ˆ 2 ˆ 2 2 ˆ 2 ˆ 2 ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) 2 ( 0 0 0 0 2                      _  i i i i i E i E i E x E ˆ 2 4 ˆ 2 2 ˆ 2 ˆ 2 ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) 4 2 ( 0 0 0 0 2                     _  i i i i E i E i E x E ˆ 2 2 ˆ 2 ˆ 2 ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) 7 4 ( 0 0 0 2                   _  i i i i E i E i E x E ˆ 2 2 ˆ 2 ˆ 2 ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) 7 ( 0 0 0 2                   _ 

Muatan induksi

 Muatan muncul akibat pengaruh medan listrik

eksternal

 Di dalam tipis logam: E+E´=0

 logam netral - ₊ -+ + + E E E’ -´ ´

 ’

Logam ditanahkan



Bagian yang terhubung dengan tanah akan

bermuatan netral

-E E’ E E’