BAB III MODUL INJEKTIF

BAB III

MODUL INJEKTIF

Bab ini adalah bab yang paling penting karena bab ini berisi mulai dari hal-hal dasar mengenai modul injektif sampai sifat-sifat istimewanya yang tidak dimiliki oleh modul lain yang tidak injektif, yang merupakan fokus pembahasan tugas akhir ini.

3.1. Modul Injektif

Dalam subbab ini dibahas definisi dan sifat-sifat dasar dari modul injektif. Selain itu, dibahas pula Kriteria Baer yang menyederhanakan kriteria suatu modul merupakan modul injektif.

Definisi 3.1. Suatu modul E dikatakan injektif jika untuk sebarang modul

A⊂B dan untuk sebarang homomorfisma µ: A→E, terdapat perluasan

: B E µ → yang memenuhi µ|A=µ. A ⊂ B µ µ E

Beberapa contoh modul injektif antara lain modul

{ }

0 , modul atas ], dan modul atas . Modul

_ /

_ ] ]

{ }

0 injektif karena untuk sebarang modul A⊂B

dan sebarang homomorfisma µ: A→ 0 , dimana

{ }

µ

( )

a = , untuk setiap 0 , dapat diperluas menjadi

a∈ ⊂A B µ: B→ 0 , dimana

{ }

µ memetakan seluruh anggota B ke 0. Dengan demikian, untuk setiap a∈ ⊂ , A B µa= =0 µa, sehingga µ⏐ =A µ. Sedangkan untuk _ modul atas dan modul atas ], keinjektifannya dapat ditunjukkan menggunakan divisibility yang akan dibahas pada subbab selanjutnya.

] _ ]/

Lemma 3.2. Untuk setiap M modul atas _i R, i∈ , I i

i I M

∈

∏

injektif ⇔ untuk setiap k I∈ , M injektif. _k

Bukti

( )

⇒ . Misalkan A⊂B, maka terdapat pemetaan α: A→ . Ambil B sebarang homomorfisma β:A→M_k. Karena terdapat pemetaan

yang merupakan embedding dan

: k k j M → ∏M_i k : k Mi M

π ∏ → yang merupakan proyeksi yang saling invers, maka terdapat j_kβ:A→ ∏M_i. Karena ∏M_i injektif, maka terdapat :γ B→ ∏M_i yang merupakan perluasan dari j_kβ di B yang memenuhi

k j

γα = β, maka didapat pemetaan π γk :B→Mk. Akan ditunjukkan π γα βk = .

k π γα = π γαk

( )

= π_k

(

j_kβ

)

=

(

π_kj_k

)

β (asosiatif) = 1β = β

α A ⊂ B β γ k j k M π_k

∏

Mi

Karena π γα β_k = , kita dapat memilih π γ_k :B→M_k yang merupakan perluasan dari β di B yang memenuhi π γk |A=β.Dengan demikian, M injektif, untuk k

setiap k∈I.

Bukti

( )

⇐ . Misalkan A⊂B, maka terdapat pemetaan α: A→ . Ambil B sebarang homomorfisma β:A→ ∏M_i. Karena terdapat pemetaan

yang merupakan embedding dan :

k k

j M → ∏M_i π_k:∏M_i →M_k yang

merupakan proyeksi yang saling invers, maka terdapat π β_k :A→M_k. Karena

k

M injektif, maka terdapat pemetaan :γ B→M_k yang merupakan perluasan dari

k

π β di B yang memenuhi γα π β= _k , maka didapat pemetaan j_kγ :B→ ∏M_i. Akan ditunjukkan j_kγα β= . k jγα = j_k

( )

γα = j_k

(

π β_k

)

=

(

jkπ βk

)

(asosiatif) = 1β = β

Karena j_kγα β= , kita dapat memilih j_kγ :B→ ∏M_i yang merupakan perluasan dari β di B yang memenuhi j_kγ |A=β. Dengan demikian _i

i I M

∈

∏

injektif.

α A ⊂ B γ β k M j_k

∏

M_i π_k

Akibat 3.3. Suku langsung dari modul injektif juga injektif.

Bukti. Misalkan ⊕M_i injektif. Misalkan pula A⊂B, maka terdapat pemetaan : A B

α → . Ambil sebarang homomorfisma :β A→M_k. Terdapat pemetaan yang merupakan embedding dan

:

k k

j M → ⊕M_i π_k :∏M_i →M_k yang

merupakan proyeksi. Karena ⊕M_i ⊆ ∏M_i, maka π_k :⊕M_k →M_k, juga :

k i

j β A→ ⊕M . Karena ⊕Mi injektif, maka terdapat pemetaan :γ B→ ⊕Mi

yang merupakan perluasan dari j_kβ di B yang memenuhi γα = j_kβ, sehingga didapat pemetaan π γ_k :B→M_k. Akan ditunjukkan π γα β_k = .

k π γα = π γα_k

( )

= π_k

(

j_kβ

)

=

(

π_kj_k

)

β (asosiatif) = 1β = β

Karena π γα β_k = , kita dapat memilih π γ_k :B→M_k yang merupakan perluasan dari β di B yang memenuhi π γ_k |A=β. Dengan demikian M injektif. _k

α A ⊂ B β γ k M j_k ⊕M_i π_k

Proposisi 3.4. Misalkan N ⊂M dan E sebarang modul. Misalkan juga sebarang homomorfisma, maka terdapat perluasan maksimal dari di

:

f N → E f

M.

Bukti. Misalkan perluasan dari f di M adalah pasangan terurut dengan dan yang memenuhi

(

V ,g

)

M

V

N ⊆ ⊆ g:V → E g N⎮ = f . Misalkan S =

{

(

V g,

)

}

adalah himpunan semua perluasan dari f di M yang terurut parsial dengan urutan

(

V g₁, ₁

) (

≤ V g₂, ₂

)

jika V₁⊆V₂ dan g V₂⎮ = . Dengan menggunakan ₁ g₁ Lemma Zorn (2.5), akan ditunjukkan bahwa S memiliki elemen maksimal.

1. S ≠ ∅ karena N ⊆N ⊆M dan f N⎮ = f , sehingga

(

N f,

)

∈ . S

2. Ambil sebarang L=

{

(

V g,

)

}

⊆ yang terurut total. Kemudian bentuk S

(

)

{

, _v

}

W = ∪ ⎮V V g ∈L ⊆ M , maka V ⊆W, untuk setiap

(

V g, _v

)

∈ . Ambil L sebarang x W∈ , maka terdapat

(

V g, _v

)

∈ sedemikian sehingga L . Definisikan dengan

x V∈ :

h W →E h x

( )

=gv

( )

x . Berdasarkan pendefinisian

tersebut, terlihat bahwa merupakan perluasan dari , karena . Akan tetapi, belum tentu terdefinisi dengan baik. Oleh karena itu, selanjutnya akan ditunjukkan bahwa h terdefinisi dengan baik. Misalkan terdapat

sedemikian sehingga

h gv h V⎮ =gv

h

(

V g, _v

) (

, P g, _v

)

∈L x V∈ ⊆W dan x∈ ⊆P W, juga

( )

v

( )

h x =g x dan h x

( )

= g_p

( )

x . Karena

(

V g, _v

) (

, P g, _v

)

∈ yang merupakan L himpunan terurut total, maka terdapat dua kasus, yaitu

(

V g, _v

)

≤

(

P g, _p

)

dan

(

P g, _p

)

≤

(

V g, _v

)

.

• Jika

(

V g, v

)

≤

(

P g, p

)

, maka x V∈ ⊆ dan P , maka

. p g V⎮ =g_v

( )

( )

p v g x =g x

• Jika

(

P g, p

)

≤

(

V g, v

)

, maka x∈ ⊆ dan P V , maka

. v g P⎮ = g_p

( )

( )

v p g x = g x

Dari kedua kasus tersebut didapat gp

( )

x =gv

( )

x . Dengan demikian,

dengan

:

h W →E

( )

v

( )

h x =g x terdefinisi dengan baik, dan

(

W h merupakan batas atas ,

)

dari L.

3. Karena dan V W , maka . Selain itu,

untuk ,

M V

N ⊆ ⊆ ⊆ ⊆M N ⊆W ⊆M

x∈N h x

( )

= f x

( )

, maka h N⎮ = f , maka

(

W h,

)

∈ . S

Berdasarkan Lemma Zorn (2.5), 1, 2, dan 3, maka memiliki elemen maksimal, maka memiliki perluasan maksimal di

S

f M .

Klaim 3.5. Misalkan M modul kanan atas R. Ambil sebarang , kemudian definisikan , , untuk setiap . Untuk sebarang submodul V M , x∈M : x L R→M L_x:r6 xr r∈R < 1 1

{

}

x L V− =x V− = ∈ ⏐ ∈r R xr V ⊆ merupakan R prapeta dari V , maka

1. x V−1 ideal kanan R dan 2. x∈ ⇒V x V−1 = R.

Bukti (1). Karena V subgrup M , maka 0_M∈ . Pilih V , maka dan 0_R r= ∈ R ∈

( )

( )

0 0 0 x x R R M L r =L =x = V 1

0_R∈x V− dan x V−1 ≠ ∅. Ambil sebarang , maka

1

,

a b∈x V− ⊆R xa xb V, ∈ . Karena xb+ − =x

( )

b x b

(

−b

)

= x0= , maka 0

( )

x −b adalah invers dari xb. Karena invers bersifat tunggal, maka

( )

x − = − ∈Vb xb . Perhatikan bahwa x a b( − )=xa+ −x( b). Karena xa x, (− ∈b) V

dan V grup, maka x a b( − )=xa+ −x( b)∈ , sehingga V . Dengan demikian,

1

a b− ∈x V−

(

1

)

,

x V− + subgrup dari

(

R,+ . Kemudian, ambil sebarang

)

dan , maka

1

a∈x V− ⊆R r∈R L arx

( )

= x ar

( ) ( )

= xa r. Karena xa V∈ dan V

modul kanan atas R, maka x ar

( ) ( )

= xa r∈ , sehingga V , untuk setiap dan r . Dengan demikian,

1

ar∈x V−

1

Bukti (2). Berdasarkan definisi x V−1 = ∈ ⏐ ∈

{

r R xr V

}

, jelas x−1⊆ . Ambil R sebarang x V∈ dan r∈R, maka L r_x

( )

= xr. Karena V modul kanan atas R, maka xr V∈ , maka r∈x V−1 , untuk setiap r∈R, maka x V−1 =R.

Berikut ini definisi lain dari modul injektif.

Kriteria Baer. Misalkan E modul kanan atas R, maka pernyataan berikut ekivalen

1. E injektif,

2. untuk setiap ideal kanan B⊂R dan sebarang homomorfisma ϕ: B→ E, terdapat ϕ:R_R → yang memenuhi E ϕ⏐ =B ϕ, dan

3. untuk setiap ideal kanan B⊂R dan sebarang homomorfisma ϕ: B→ E, terdapat y∈E, sedemikian sehingga ϕb= yb, untuk setiap b∈B.

Bukti

(

1⇒2

)

. Jelas berdasarkan definisi modul injektif, yaitu suatu modul E

injektif jika untuk setiap modul A⊂ B dan sebarang homomorfisma µ: A→E, terdapat perluasan µ: B→ E yang memenuhi µ⏐ =A µ. Karena hal tersebut berlaku untuk sebarang A⊂B dan sebarang homomorfisma µ: A→E, maka berlaku juga untuk setiap ideal kanan B⊂R dan homomorfisma ϕ: B→ E. Dengan demikian terdapat ϕ:R_R → yang memenuhi E ϕ⏐ =B ϕ.

(

2⇒3

)

. Pilih y=ϕ1∈E dengan 1 1= . Ambil sebarang b B_R ∈ ⊂R, maka

( ) ( )

1 1

b b b b y

ϕ =ϕ =ϕ = ϕ = b .

(

3⇒ . Misalkan submodul N M1

)

< dan . Ingin didapat

yang memenuhi . Misalkan , dengan dan

:

f N →E g M: →E g N⏐ = f g V: →E N ⊆ ⊆V M

• Jika V =M , maka terdapat g M: →E yang memenuhi g N⏐ = f , maka

E injektif. Bukti selesai.

• Andaikan V ≠M , ambil sebarang x∈M V\ =Vc dan

{

}

1

B=x V− = b∈ ⏐ ∈R xb V . Kemudian, definisikan ϕb=g xb

( )

, untuk setiap dengan

b∈B ϕ: B→E, g V: →E, dan Lx:B→V , maka ϕ=gLx dengan

. Coba perluas :

x

gL B→E g menjadi g V: +xR→ E. Definisikan . Fungsi terdefinisi dengan baik jika

(

)

g v +xr =gv+xr g v+xr= +v' xr ', untuk setiap v v, '∈V dan r r, '∈R mengakibatkan g v

(

+xr

)

=g v

(

'+xr'

)

. Misalkan

, untuk setiap ' v+xr= + 'v xr v v, '∈V dan r r, '∈R, maka v+xr = v'+xr' = ⇔ v v− ' xr'−

( )

xr = xr'+ − x

( )

r = x r

(

'− . r

)

Karena v v, '∈V, maka v v− ∈' V , maka x r

(

'− ∈ , maka r

)

V r'− ∈r B.

(

'

)

g v v− = g x r

(

(

'−r

)

)

= ⇔ gv−gv' ϕ

(

r'− r

)

= y r

(

'− r

)

= yr'−yr ⇔ gv+yr = gv'+yr' ⇔ g v

(

+xr

)

= g v

(

'+xr'

)

,

maka g v

(

+xr

)

= gv+ yr terdefinisi dengan baik. Ambil sebarang , maka

v V∈ ⊂ +V xR gv =g v

(

+x0

)

=gv+y0=gv+ =0 gv, untuk setiap , maka . Dengan demikian, terdapat perluasan

v V∈ ⊂ +V xR g V⎮ =g g di M .

M , maka pengandaian V ≠M salah. Jadi, haruslah V =M , dan kita dapatkan bahwa E injektif.

Contoh 3.6. Berikut ini adalah beberapa contoh modul injektif

1. modul

{ }

0 atas gelanggang R, 2. modul _ atas ], dan

3. modul _ ]/ atas ].

Modul

{ }

0 injektif karena untuk sebarang A<B dan homomorfisma

{ }

: A

ϕ → 0 , setiap a∈A dipetakan ke 0 oleh ϕ . Ambil suatu homomorfisma

{ }

: B

ϕ → 0 , maka setiap b B∈ dipetakan oleh ϕ ke 0, termasuk setiap , maka

a∈ ⊂A B ϕa=ϕa, maka ϕ⏐ =A ϕ.

Contoh kedua akan dibuktikan dengan menggunakan sifat divisibility yang akan dibahas pada Subbab 3.2. Begitu juga dengan contoh ketiga, contoh ketiga injektif diakibatkan oleh contoh kedua.

3.2. Divisibility

Subbab ini penting untuk dibahas karena sangat berkaitan erat dengan sifat-sifat modul injektif. Dalam subbab ini akan dibahas sebuah teorema yang sangat penting dan berhubungan dengan subbab selanjutnya, yaitu 3.3 Injective Hulls.

Definisi 3.7. Suatu modul M atas R dikatakan generalized divisible jika untuk setiap

( )

v a, ∈ × sedemikian sehingga aM R ⊥ ⊆v⊥, terdapat yang memenuhi v

x∈M xa

= .

Syarat a⊥⊆v⊥ merupakan syarat perlu karena jika a⊥ ⊄v⊥, maka terdapat , tetapi

'

( )

xa a'=x aa

( )

' =x0= ≠0 va', maka v≠xa untuk setiap x∈M . Untuk v= 0 dan a=0, syarat a⊥ ⊆v⊥ terpenuhi karena a⊥ =R dan v , sehingga

.

R

⊥ ₌

a⊥ ⊆v⊥

Definisi 3.8. Misalkan M suatu modul atas daerah integral R, maka

M divisible jika untuk setiap

( )

v a, ∈M× \ 0 terdapat x MR

{ }

∈ yang memenuhi .

v=xa

Proposisi 3.9. Pada Definisi 3.8, syarat a⊥ ⊆v⊥ tidak perlu karena secara otomatis terpenuhi.

Bukti. Karena R daerah integral, maka a⊥ =

{ }

0 , untuk setiap . Jelas bahwa

{

a∈R

}

0 ⊆v⊥, maka a⊥ ⊆v⊥ terpenuhi.

Konsekuensi 3.10. Misalkan M modul atas daerah integral R, maka pernyataan-pernyataan berikut berlaku

1. M divisible ⇔ M generalized divisible,

2. M divisible ⇒ M N divisible, dengan / merupakan subgrup normal dari

N

M, dan

3. Jika v∈M divisible oleh a∈R\ 0

{ }

, maka v divisible oleh a secara tunggal, yaitu jika v=xa dan v= ya, maka x= y.

Bukti (1)

( )

⇒ . Karena M divisible, maka jelas bahwa untuk setiap

( )

v a, ∈ × dengan M R a⊥ ⊆v⊥, v=xa.

Bukti (1)

( )

⇐ . Karena R daerah integral, maka untuk setiap

( )

v a, ∈ × , M R berlaku a⊥ ⊆v⊥, sehingga karena M generalized divisible, maka terdapat

yang memenuhi v . Dengan demikian,

Bukti (2). Misalkan submodul N<M , maka N+ ∈v M N/ , untuk setiap . Ambil sebarang

v∈M N+ ∈v M N/ dan a∈ . Karena R M divisible, maka terdapat x∈M sedemikian sehingga v=xa. Sekarang

. Akibatnya

(

N+ = +v N xa= N+x a

)

M N divisible. /

Bukti (3). Misalkan v=xa dan v=ya untuk suatu x y, ∈M , maka

=

xa ya

⇔ xa−ya = ya−ya

⇔

(

x−y a

)

= 0. Karena

(

x− ∈y

)

a⊥ =

{ }

0 , maka x= y.

Jika v divisible oleh a=0, maka v=x0= . Karena 0 v= dan 0 , maka untuk setiap , maka divisible oleh secara tidak tunggal.

0 a=

v=xa x∈M v a

Observasi 3.11. Misalkan M modul atas gelanggang ideal utama R, maka

M injektif ⇔ M generalized divisible.

Bukti

( )

⇒ . Ambil sebarang a∈ dan v MR ∈ . Bentuk ideal kanan . Definisikan

aR⊆R

: aR M

ϕ → , dengan ϕa=v. Ambil sebarang , maka . Akan ditunjukkan

r∈R

( ) ( )

ar a r vr

ϕ = ϕ = ϕ terdefinisi dengan baik. Misalkan , untuk suatu , maka

1 ar=ar r r, 1∈R = ar ar1 = ⇔ ar−ar₁ ar₁−ar₁ = 0 ⇔ ar+ −a

(

r₁

)

)

= 0. ⇔ a r

(

−r₁

Karena a r

(

−r₁

)

=0, maka r− ∈r₁ a⊥ ⊆v⊥. Kondisi a⊥ ⊆v⊥ dijamin ada karena

= 0

(

1 v r−r

)

⇔ vr+ − = 0 v

( )

r₁ = 0 ⇔ vr−vr₁ = ⇔ vr−vr1 +vr1 0 vr+ 1 = ⇔ vr+0 vr1 = ⇔ vr vr1 = ⇔ ϕ

( )

ar ϕ

( )

ar₁ .

Karena ϕ

( )

ar =ϕ

( )

ar₁ , maka ϕ terdefinisi dengan baik. Karena M injektif, maka terdapat ϕ: R→M sedemikian sehingga ϕ

( )

ar =ϕ

( )

ar , untuk setiap

. Pilih

ar∈aR⊆R x=ϕ1∈M dengan 1=1_R, maka

( ) ( )

1 1

v=ϕa=ϕa=ϕ a = ϕ a= a , maka x M generalized divisible.

Bukti

( )

⇐ . Ambil sebarang I ideal kanan di R, maka I =aR, untuk suatu . Misalkan

a∈R ϕ: aR→M , dengan ϕa=v, untuk suatu . Ambil sebarang , maka

v∈M

r∈a⊥ ar= . Karena 0 ϕ homomorfisma, maka , maka r

( )

( )

0 0

vr= ϕa r=ϕ ar =ϕ = ∈v⊥, sehingga a⊥⊆v⊥. Karena M

generalized divisible, maka terdapat x∈M sedemikian sehingga v . Definisikan xa = : x L R M

ϕ = → , dengan rϕ =xr, untuk setiap . Ambil

sebarang , maka

r∈R

ar∈aR⊆R ϕ

( ) ( ) ( )

ar =x ar = xa r=vr=ϕ

( )

ar , maka

aR

ϕ⎮ =ϕ, dengan demikian M injektif.

Konsekuensi 3.12. Misalkan M modul atas daerah ideal utama D, maka

Bukti

( )

⇒ . Karena M injektif dan R gelanggang ideal utama, maka M

generalized divisible. Karena M generalized divisible dan R daerah integral, maka M divisible.

Bukti

( )

⇐ . Karena M divisible dan R daerah integral, maka M generalized divisible. Karena M generalized divisible dan R gelanggang ideal utama, maka

M injektif.

Kita akan gunakan Konsekuensi 3.12 ini untuk menunjukkan keinjektifan dari Contoh 3.6.1. modul _ atas ]dan Contoh 3.6.2. modul atas ]. Gelanggang merupakan daerah integral, yaitu untuk setiap dengan

dan

/ _ ]

] a b, ∈R

0

a≠ b≠ , maka 0 ab≠ . Selain itu, gelanggang 0 ] juga merupakan gelanggang ideal utama, karena semua idealnya hanya dibangun oleh satu elemen, dengan demikian ] merupakan daerah ideal utama. Semua ideal dari berupa , untuk suatu . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa _ divisible. Ambil sebarang ] n] n∈] m v n

= ∈ _ dengan m n, ∈ ], dengan n≠ dan a0 . Karena ]

gelanggang, maka . Pilih

∈] na∈] x m na = ∈_, maka m m1 m a n n n a = = = = m v a na . Karena terdapat x m na

= ∈_ yang memenuhi v=xa, maka divisible.

Berdasarkan 3.13, maka _ injektif.

_

Contoh 3.6.2. modul atas injektif karena modul atas ] injektif. Berdasarkan Lemma 3.12.1, modul atas ] injektif.

/

_ ] ] _

/ _ ]

Lemma 3.13. Misalkan Q modul atas daerah ideal utama R dan ’divisible’, maka berlaku pernyataan-pernyataan berikut.

Q

2. Untuk X sebarang himpunan indeks, maka untuk setiap i X , dan , ’divisible’. ∈ ⊕Q_i i Q ∏

Bukti (1). Karena Q divisible dan R daerah integral, maka divisible. Karena divisible dan

/ Q K /

Q K R daerah integral, maka generalized divisible. Karena generalized divisible dan

/ Q K /

Q K R gelanggang ideal utama, maka

injektif.

/ Q K

Bukti (2). Karena Q divisible dan R daerah integral, maka Q generalized divisible. Karena Q generalized divisible dan R gelanggang ideal utama, maka

injektif, maka untuk sebarang himpunan indeks

Q X dan untuk setiap i X ,

dan injektif. Karena

∈

i Q

⊕ ∏Qi ⊕ dan Qi ∏ injektif dan Qi R gelanggang ideal

utama, maka dan generalized divisible. Karena dan generalized divisible dan

i Q

⊕ ∏Q_i ⊕Q_i ∏Q_i

R daerah integral, maka ⊕ dan Q_i ∏ divisible. Q_i

Konstruksi 3.14. Misalkan D grup abel, R gelanggang, dan a b r, , ∈R.

1. Hom_]

(

R D,

)

merupakan modul atas gelanggang R dengan perkalian dengan R yaitu f*a∈Hom_]

(

R D,

)

, untuk setiap f ∈Hom_]

(

R D,

)

dan , dengan

(

)

R a∈

( )

r f

(

ar a f * =

)

, untuk setiap r∈R.

2. Misalkan ε:Hom_]

(

R D,

)

→D v, 6 1 , untuk setiap v

( )

.

(

,

)

, :

v∈Hom_] R D v R→D

3. Misalkan M modul atas R, g M: →Hom_]

(

R D,

)

. Ambil sebarang ,

m∈M g m

[ ]

:R→ , maka berlakuD

Bukti

( )

⇒ . Karena m∈M, a∈ , dan R M modul atas R, maka , maka ma∈M

[ ]

(

, g ma ∈Hom_] R D

)

, maka

{

g ma

[ ]

}

( )

b =

{

g ma

[ ]

*a

}

( )

b =

{

g m

[ ]

}

( )

ab , berdasarkan (1).

Bukti

( )

⇐ . Karena g m

[ ]

∈Hom_]

(

R D,

)

, maka

[ ]

{

g ma

}

( )

b =

{

g m

[ ]

}

( )

ab =

{

g m

[ ]

*a

}

( )

b , maka g ma

[ ] [ ]

=g m *a. Kemudian, akan ditunjukkan bahwa g m

[

₁+m₂

] [ ] [ ]

=g m₁ +g m₂ , untuk setiap . Ambil sebarang dan b

1, 2 m m ∈M 1, 2 m m ∈M ∈ , maka R

[

]

{

g m1+m2

}

( )

b =

{

g⎡⎣1

(

m1+m2

)

⎤⎦

}

( )

b =

{ }

g

[ ]

1

(

(

m₁+m₂

)

b

)

=

{ }

g

[ ]

1

(

m b₁ + bm₂

)

=

{ }

g

[ ]

1

( )

m b₁ +

{ }

g

[ ]

1

(

m b₂

)

=

{

g m

[ ]

1 ₁

}

( )

b +

{

g m

[ ]

1 ₂

}

( )

b =

{

g m

[ ]

₁

}

( )

b +

{

g m

[ ]

₂

}

( )

b =

{

g m

[ ] [ ]

₁ +g m₂

}

( )

b

Karena b sebarang, maka g m

[

₁+m₂

] [ ] [ ]

=g m₁ +g m₂ . Oleh karena itu, g

homomorfisma.

4. Misalkan N modul atas R, misalkan ψ : N →D homomorfisma. Definisikan ψ* : N →Hom_]

(

R D,

)

, untuk setiap n∈ , dimana N ψ*

[ ]

n :R→ D dengan

{

ψ*

[ ]

n

}

( )

b =ψ

( )

nb .

Lemma 3.15. Berdasarkan konstruksi 3.14, maka pernyataan-pernayataan

berikut berlaku

2. ψ* homomorfisma, dan 3. εψ*= . ψ

Bukti (1). Ambil sebarang v∈Hom_]

(

R D,

)

dan . Karena modul atas gelanggang

r∈R

(

,

Hom_] R D

)

R, maka v r* ∈Hom_]

(

R D,

)

, maka

(

v r*

) (

v r*

)( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 v r1 v r v r1 v 1 r

(

( )

v r

)

ε = = = = = = ε . Kemudian, akan

ditunjukkan bahwa ε

(

v₁+v₂

)

=ε

( ) ( )

v₁ +ε v₂ , untuk setiap . Ambil sebarang

(

)

1, 2 , v v ∈Hom_] R D

(

)

1, 2 v v ∈Hom_] R D, , maka

(

v1 v2

) (

v1 v2

)( )

1 v1

( )

1 v2

( )

1

( ) ( )

v1 v2

ε + = + = + =ε +ε . Oleh karena itu, ε

merupakan homorfisma.

Bukti (2).Berdasarkan 3.14.4,

{

ψ*

[ ]

na

}

=ψ

(

( )

na b

)

=ψ

(

n ab

( )

)

=

{

ψ*

[ ]

n

}

( )

ab .

Karena ψ*

[ ]

n homomorfisma, maka

[ ]

{

*

}

( )

{

*

[ ]

}

( )

{

(

*

[ ]

)

}

( )

*

na b n ab n a b

ψ = ψ = ψ , maka

{

ψ*

[ ]

na

}

=

{

(

ψ*

[ ]

n

)

*a

}

. Kemudian, akan ditunjukkan bahwa ψ*

[

n₁+n₂

]

=ψ*

[ ]

n₁ +ψ*

[ ]

n₂ , untuk setiap

. Ambil sebarang 1, 2 n n ∈N n n₁, ₂∈ dan N r∈R, maka

[

]

{

*

}

( )

1 2 n n r ψ + = ψ

(

(

n₁+n r₂

)

)

= ψ

(

n r₁ +n r₂

)

= ψ

( )

n r₁ +ψ

( )

n r₂ =

{

*

[ ]

}

( )

{

*

[ ]

}

( )

1 2 n r n r ψ + ψ =

{

*

[ ]

*

[ ]

}

( )

1 2 n n ψ +ψ r

Karena r sebarang, maka ψ*

[

n₁+n₂

]

=ψ*

[ ]

n₁ +ψ*

[ ]

n₂ . Oleh karena itu, ψ*

Bukti (3). Ambil sebarang n∈ , maka N ψ*

[ ]

n ∈Hom_]

(

R D,

)

, maka

{ }

*

( )

(

*

[ ]

)

{

*

[ ]

}

( )

( )

( )

1 1

n n n n

εψ =ε ψ = ψ =ψ =ψ n , maka εψ*= . ψ

Teorema 3.16. Misalkan D grup abel ‘divisible’, maka Hom_]

(

R D,

)

injektif.

Bukti. Misalkan M dan N modul atas R dan M ⊂ . Misalkan juga N ,

(

R D

)

Hom M

g: → _Z , ε:Hom_Z

(

R,D

)

→D homomorfisma dengan ε

( ) ( )

v =v1 , untuk setiap . Karena grup abel divisible, maka injektif, berdasarkan Proposisi 2.7. Oleh karena itu, untuk setiap homomorfisma

, terdapat

(

R D Hom v∈ _Z ,

)

D D N M

f : → ψ :N →D seperti pada Konstruksi 3.14 dan Lemma 3.15 sedemikian sehingga εg =ψf . Seperti pada Konstruksi 3.14, terdapat homomorfisma ψ*

[ ]

n :R→ dengan D

{

*

[ ]

}

( )

( )

n b nb

ψ =ψ , untuk setiap dan . Akan ditunjukkan bahwa

n∈N b∈R ψ*f = g. Ambil sebarang m∈M, maka

( )

f

( )

m

[

f(m)

]

HomZ

(

R,D

)

*

* =ψ ∈

ψ . Kemudian ambil sebarang r∈R, maka

( )

[

]

{

ψ* f m

}

( )

r = ψ

(

f

( )

m r

)

= ψ

(

f

( )

mr

)

= ψf

( )

mr = εg

( )

mr = ε

(

g

[ ]

mr

)

=

{

g

[ ]

mr

}( )

1 =

{

g

[ ]

m * r

}( )

1 =

{

g

[ ]

m

}( )

r1 =

{

g

[ ]

m

}( )

r .

N M f g _ψ* ψ

(

,

)

Hom_] R D D ε

Karena r sebarang, maka ψ*

[

f

( )

m

] [ ]

= g m . Karena m sebarang, maka ψ*f =g, akibatnya Hom_]

(

R D,

)

injektif.

Akibat 3.17. Setiap modul merupakan submodul dari suatu modul injektif.

Bukti. Untuk sebarang modul M atas gelanggang R, dimana M ⊆ , dengan D merupakan grup abel divisible, pemetaan

D l M: →Hom_]

(

R D,

)

didefinisikan

oleh m→l_m:R→D dimana untuk setiap a∈ , R lm

( )

a =ma∈M ⊆ . Akan D

ditunjukkan bahwa merupakan isomorfisma. Pertama-tama akan ditunjukkan terlebih dahulu bahwa homomorfisma modul, yaitu mengawetkan operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Ambil sebarang dan

, maka : l M →lM l , m n l l ∈lM , , a b r∈R

(

)

{

l ma+nb

}

{ }

r = l_{ma nb+}

( )

r =

(

ma+nb r

)

=

( ) ( )

ma r+ nb r = m ar

( ) ( )

+n br = l_m

( )

ar +l_n

( )

br =

{

l_m*a

}( ) {

r + l_n*b r

}( )

=

{

l_m*a+l_n*b

}( )

r

Karena

{

l ma

(

+nb

)

}

{ } {

r = l_m *a+l_n *b

}( )

r , untuk setiap , maka , maka merupakan homomorfisma. Jelas bahwa epimorfisma. Kemudian, akan ditunjukkan bahwa satu-satu.

r∈R

(

)

_m* _n*

l ma+nb =l a+l b l :

Karena homomorfisma, maka cukup ditunjukkan bahwa l Inti l

( ) { }

= 0 . Jelas bahwa

{ }

0 ⊆ Inti l

( )

karena homomorfisma. Ambil sebarang l x∈Inti l

( )

⊆M , maka l_xmerupakan pemetaan nol yang memetakan semua anggota R ke 0. Ambil sebarang r∈R, maka = 0

( )

x l r = 0 ⇔ xr

Karena r adalah sebarang anggota R, maka x= , maka 0 Inti l

( ) { }

⊆ 0 , maka

( ) { }

0

Inti l = , maka l M: →lM merupakan isomorfisma, maka

(

,

)

M ≅lM ⊆Hom_] R D . Akan ditunjukkan bahwa lM adalah submodul dari . Ambil sebarang

(

,

Hom_] R D

)

l_m∈Hom_]

(

R D,

)

dan a r, ∈R, maka

{

lm*a

}( )

r =lm

( )

ar =m ar

( ) ( )

= ma r. Karena M modul atas R, maka ,

sehingga

ma∈M

{

l_m*a

}( ) ( )

r = ma r=l_ma

( )

r . Karena sebarang, maka r

{

l_m*a

}

=l_ma∈lM yang menyebabkan merupakan submodul dari . Karena lM merupakan submodul dari modul injektif, maka

lM

(

,

Hom_] R D

)

M

juga merupakan submodul dari suatu modul injektif.

Akibat 3.18. M injektif jika dan hanya jika M merupakan suku langsung dari setiap modul yang memuat M sebagai submodul.

Bukti

( )

⇒ . Misalkan submodul M < dan N M injektif, maka fungsi identitas diperluas menjadi

M M M : →

1 ρ:N → M yang memenuhi ρj =1_M dengan merupakan pemetaan inklusi. Karena terdapat pemetaan inklusi dari

N M j: →

M ke N , maka N =M ⊕T , untuk suatu submodul T < N, maka M

Bukti

( )

⇐ . Berdasarkan Teorema 3.17, terdapat modul injektif E sedemikian sehingga M submodul dari E. Berdasarkan hipotesis, E=M⊕ , untuk suatu T

. Karena

T ≤E E injektif dan berdasarkan Akibat 3.3, maka M injektif.

3.3. Injective Hulls

Pada subbab ini akan ditunjukkan bahwa injective hull ada dan dimiliki oleh setiap modul yang merupakan tujuan utama dari tugas akhir ini.

Definisi 3.19. Misalkan M modul kanan atas R dan V ≤M . Submodul V M disebut submodul esensial dari

≤

M jika untuk setiap A≤M dan , maka . Modul

0 A≠ 0

V ∩ ≠A M disebut perluasan esensial dari V . Jika V ≠M , maka M

disebut perluasan esensial sejati dari V dan submodul V disebut submodul esensial sejati dari M.

Definisi 3.20. Misalkan M ≤N esensial dan N< dengan P . Modul disebut perluasan esensial maksimal mutlak dari

N ≠P N

M jika terdapat A≤P dengan

A bukan submodul dari N sedemikian sehingga M ∩ = , atau dengan kata A 0 lain M ≤P tidak esensial.

Sifat 3.21. 0<M tidak esensial karena untuk setiap A≤M dan , .

0 A≠ 0 0

A∩ =

Sifat 3.22. M ≤M esensial karena untuk setiap A≤M dan , .

0 A≠ 0

A∩M = ≠A

Sifat 3.23. V <M esensial dan V <W <M ⇒ <V W dan W <M esensial.

Bukti. Ambil sebarang A W< <M dengan A≠ . Karena V0 esensial, maka , maka V esensial. Ambil sebarang

M < 0

esensial, maka B∩ ≠V 0. Karena V < , maka B VW ∩ ⊂ ∩ . Karena B W , maka , maka W

0

B∩ ≠V B∩W ≠0 <M esensial.

Sifat 3.24. V <W dan W <M esensial ⇒ <V M esensial.

Bukti. Ambil sebarang A≤M . Karena W <M esensial, maka . Ambil sebarang , dengan

0 W∩ ≠A x W∈ ∩A x≠ , maka x W0 ∈ dan . Ambil sebarang . Karena W

x∈A

r∈R <M dan A≤M , maka xr∈ dan W , maka , maka W A . Karena V

xr∈A

xr W∈ ∩A ∩ ≤W <M < , maka V WW ∩ =V, maka

(

)

(

)

V∩ =A V ∩W ∩ = ∩A V W∩A . Karena W∩ ≤A W dan V esensial,

maka , maka V

W <

(

)

0

V∩ = ∩A V W∩A ≠ <M esensial.

Sifat 3.25. M <N esensial ⇔ untuk setiap v N∈ dan v≠ , 0 vR∩M ≠0.

Bukti

( )

⇒ . Ambil sebarang v∈ , dengan N v≠ , maka 0 vR=

{

vr r⏐ ∈R

}

⊆N. Ambil sebarang vr∈vR dan a∈ , maka R

( )

vr a=v ra

( )

∈vR, maka vR . Karena

N ≤ M <N esensial, maka vR∩M ≠ . 0

Bukti

( )

⇐ . Ambil sebarang V ≤ dengan N V ≠ . Ambil sebarang v V 0 dengan , maka , maka vR

∈ 0 v≠ vR V≤ ∩M ⊆ ∩V M. Karena , maka , maka 0 vR∩M ≠ 0 V∩M ≠ M < N esensial.

Sifat 3.26. Misalkan M <N , maka sifat-sifat berikut berlaku

1. Misalkan L= ⏐ ≤

{

V V N

}

rantai terurut linier dari V sedemikian sehingga untuk setiap V berlaku

N ≤ L

∈ M ≤ esensial, maka V M ≤ ∪

{

V∈L

}

esensial.

2. Terdapat perluasan esensial maksimal dari M di N .

Bukti (1). Karena M ≤M esensial, maka M∈L dan M ≤ ∪

{

V ∈L

}

≤N . Ambil sebarang A≤ ∪

{

V∈L

}

, maka terdapat V₁∈ sedemikian sehingga L

. Karena , maka

1

V ≤ A V₁⊆ A M ∩ ⊆V₁ M ∩ . Karena A M ≤ esensial, maka V₁ . Akibatnya dan

1 0

M ∩ ≠V M∩ ≠A 0 M ≤ ∪

{

V∈L

}

esensial.

Bukti (2). Pembuktian ini akan menggunakan Lemma Zorn dan hasil dari Bukti (1).

1. Karena M ≤M esensial, maka M ∈L, maka L≠ ∅ .

2. Ambil sebarang V∈L, maka V ≤ ∪

{

V∈ L , maka

}

∪

{

V∈L

}

batas atas dari L.

3. Karena M ≤ ∪

{

V ∈L

}

esensial, maka ∪

{

V ∈L

}

∈ . L Oleh karena itu, M memiliki perluasan esensial maksimal di N

Lemma 3.27. Misalkan M <N esensial dan ϕ: M →E monomorfisma modul atas R, maka

: N E

ϕ → perluasan ϕ di N ⇒ϕ satu-satu

Bukti. Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa Inti

( )

ϕ ≤N. Jelas bahwa

( )

Inti ϕ ⊆ . Ambil sebarang N a∈Inti

( )

ϕ dan r∈R. Karena a∈Inti

( )

ϕ , maka

( )

a 0

ϕ = , maka ϕ

( )

ar =ϕ

( )

a r=0r= , maka 0 ar∈Inti

( )

ϕ . Dengan demikian,

( )

Inti ϕ bersifat tertutup terhadap perkalian dengan gelanggang R dan

( )

Inti ϕ ≤N. Kemudian akan ditunjukkan bahwa Inti

( )

ϕ =M ∩Inti

( )

ϕ .

• Akan ditunjukkan bahwa Inti

( )

ϕ ⊆M ∩Inti

( )

ϕ . Jelas bahwa

( )

Inti ϕ ⊆M . Ambil sebarang a∈Inti

( )

ϕ ⊆M . Karena ϕ⏐ =M ϕ, maka

( )

a

( )

a 0

ϕ =ϕ = , maka a∈Inti

( )

ϕ , maka Inti

( )

ϕ ⊆Inti

( )

ϕ . Karena

( )

• Akan ditunjukkan bahwa M ∩Inti

( )

ϕ ⊆Inti

( )

ϕ . Ambil sebarang

( )

a∈M ∩Inti ϕ , maka a∈M dan a∈Inti

( )

ϕ . Karena ϕ⏐ =M ϕ, maka

( )

a

( )

a 0

ϕ =ϕ = , maka a∈Inti

( )

ϕ , maka M∩Inti

( )

ϕ ⊆Inti

( )

ϕ .

Karena Inti

( )

ϕ ⊆M ∩Inti

( )

ϕ dan M ∩Inti

( )

ϕ ⊆Inti

( )

ϕ , maka

( )

( )

Inti ϕ =M ∩Inti ϕ . Kemudian, karena ϕ monomorfisma, maka

( )

( )

0

M ∩Inti ϕ =Inti ϕ = . Karena M N< esensial, maka Inti

( )

ϕ = , maka 0 ϕ satu-satu.

Sifat 3.28. Jika V <M dan W <M esensial, maka V W juga esensial.

M ∩ <

Bukti. Ambil sebarang A<M , maka A∩

(

V∩W

) (

= A∩V

)

∩ . Karena W esensial, maka

V <M A∩ ≠ . Karena W MV 0 < esensial, maka , maka V W

(

) (

)

0

A∩ V ∩W = A∩V ∩W ≠ ∩ <M esensial.

Sifat 3.29. Misalkan M <N' dan M <N". Misalkan pula µ:N'→ N"

adalah isomorfisma yang memenuhi µM =M , maka '

M <N esensial ⇒ M <N" esensial

Bukti. Karena µ isomorfisma, maka terdapat isomorfisma yang merupakan invers dari

1

:N" N

µ− _{→ '}

µ . Ambil sebarang A≤N", maka M∩ ⊆A N". Peta "

M ∩ ⊆A N oleh µ−1 adalah µ−1

(

M∩A

)

=µ−1

( )

M ∩µ−1

( )

A =M∩µ−1

(

A

)

, karena µ−1 monomorfisma. Karena M <N' esensial, maka . Karena

( )

1 0 M ∩µ− A ≠ µ monomorfisma dan 1

( )

0 M ∩µ− A ≠ , maka

( )

(

1

)

M A µ _∩µ− _{≠ 0} ⇔

( )

(

1

( )

)

M A µ _∩µ µ− _{≠ 0}

⇔ M ∩A ≠ 0,

maka M <N" esensial.

Sifat 3.30. Misalkan M ≤ N, maka merupakan perluasan esensial maksimal mutlak dari

N

M jika dan hanya jika tidak memiliki perluasan esensial sejati.

N

Bukti

( )

. Pembuktian ini akan menggunakan metode kontraposisi, sehingga

hipotesisnya menjadi jika memiliki perluasan esensial sejati, maka bukan perluasan esensial maksimal mutlak dari

⇒

N N

M . Misalkan N< esensial dengan P . Karena

N ≠P M ≤N dan N< esensial, maka P M <P esensial. Akibatnya bukan perluasan esensial maksimal mutlak dari

N M.

Bukti

( )

. Pembuktian ini pun akan menggunakan metode kontraposisi,

sehingga hipotesisnya menjadi jika bukan perluasan esensial maksimal mutlak dari

⇐

N

M , maka memiliki perluasan esensial sejati. Karena bukan perluasan esensial maksimal mutlak dari

N N

M , maka terdapat himpunan sedemikian sehingga dengan

P

N <P N ≠ dan P M <P esensial. Karena M <P esensial dan M ≤ < , maka N P N <P esensial. Karena N< esensial danP , maka merupakan perluasan esensial sejati dari .

N ≠P P

N

Lemma 3.31. Misalkan M <E dan M ≠ . Misalkan 0 T ≤E adalah submodul maksimal yang memenuhi M∩ = , maka T 0

(

M ⊕T

)

/T ≤E T/ esensial.

Bukti. Pembuktian Lemma ini akan menggunakan metode kontradiksi. Andaikan

(

M ⊕T

)

/T ≤E T/ tidak esensial, maka terdapat K ≤E dengan T K

sedemikian sehingga

{

<

}

/

T ≠K T < /T dan E

(

M ⊕T

)

/T∩

(

K T/

) { }

= T . Akibatnya

(

M ⊕T

)

∩ = , K T M ∩ ⊆K

(

M⊕T

)

∩ = , dan MK T ∩ ⊆K M.

Dengan demikian, M∩ ⊆ ∩K T M =0 dan M∩ = . Karena K 0 K T/ ≠

{ }

T , maka K ≠T. Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa T submodul maksimal yang memenuhi M∩ = . Jadi, pengandaian bahwa T 0

(

M ⊕T

)

/T ≤E T/ tidak esensial salah, haruslah

(

M ⊕T

)

/T ≤E/T esensial.

Proposisi 3.32. Misalkan M sebarang modul dan M ≠ , maka 0

M injektif ⇔ M tidak memiliki perluasan esensial sejati

Bukti

( )

⇒ . Misalkan M ≤ esensial. Karena V M injektif, maka V M , untuk suatu T . Karena

T

= ⊕

V

≤ M∩ = dan M VT 0 ≤ esensial, maka . Akibatnya,

0 T = M = . Jadi, V M tidak memiliki perluasan esensial sejati.

Bukti

( )

⇐ . Misalkan M ≤E dengan E injektif. Modul E injektif dijamin ada oleh Akibat 3.17. Misalkan T <E adalah submodul maksimal yang memenuhi M∩ =T 0. Berdasarkan Lemma 3.31, M ≅

(

M ⊕T

)

/T ≤E T/ esensial. Karena hal tersebut dan M tidak memiliki perluasan esensial maksimal, maka

(

M ⊕T

)

/T =E T/ , maka M⊕ = . Karena T E E injektif, maka berdasarkan Akibat 3.3, M injektif.

Proposisi 3.33. Setiap modul M memiliki perluasan esensial maksimal mutlak.

Bukti. Misalkan M ≤E dengan E injektif. Modul E injektif dijamin ada oleh Akibat 3.18. Misalkan N perluasan esensial maksimal dari M di E, sehingga M ≤ ≤ dan tidak memiliki perluasan esensial sejati di N E N E. Akan ditunjukkan bahwa N merupakan perluasan esensial maksimal mutlak dari M . Misalkan M ≤ N ≤N' dengan N'⊄ dan E M ≤N' esensial. Misalkan pula

yaitu , untuk setiap :

i N →E i n

( )

=n n∈ . Pemetaan N i merupakan adalah inklusi yang satu-satu. Karena E injektif, maka terdapat µ:N'→E sedemikian

sehingga µ⏐ =N i. Karena i N: →E satu-satu, maka berdasarkan Lemma 3.28,

:N' E

µ → juga satu-satu. Akibatnya, µ:N'→µN ⊆E satu-satu pada.

' M ≤N ≤ N µ µ µ

' M ≤N ⊆µN ⊆E

Karena M ≤N' esensial dan terdapat isomorfisma µ:N'→ µN, maka

'

M ≤µN esensial. Karena N perluasan esensial maksimal dari M di E, maka

'

N =µN . Akan ditunjukkan bahwa N =N'. Jelas bahwa . Ambil sebarang

' N⊆ N '

n ∈N ', maka µ

( )

n' ∈µN'=N≤ 'N . Karena µ

( )

n' ∈N, maka

( )

(

n'

)

( )

µ µ =µ n . Karena ' µ satu-satu, maka µ

( )

n' = . Karena n' , maka . Akibatnya, . Karena dan , maka . Jadi, perluasan esensial maksimal mutlak dari

( )

n' N

µ ∈

'

n ∈N N'⊆ N N ⊆N' N'⊆ N N = N'

N M. Dengan kata lain, M

memiliki perluasan esensial maksimal mutlak.

Akibat 3.34. Misalkan M sebarang modul dan I modul injektif yang memuat

M . Jika N perluasan esensial maksimal dari M di I, maka

1. N merupakan perluasan esensial maksimal mutlak dari M dan 2. N injektif.

Bukti (1). Bukti seperti pada pembuktian Proposisi 3.33.

Bukti (2). Berdasarkan Bukti (1), maka merupakan perluasan esensial maksimal mutlak dari

N

M. Akibatnya, tidak memiliki perluasan esensial sejati. Berdasarkan Proposisi 3.33, maka injektif.

N N

Definisi 3.35. Modul N adalah perluasan injektif minimal dari M jika injektif dan jika

N M ⊆K< dengan K NN ≠ , maka K tidak injektif.

Teorema 3.36. Misalkan M ≤N , maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen 1. N perluasan esensial maksimal mutlak dari M,

2. N perluasan esensial dari M dan N injektif, dan 3. N perluasan injektif minimal dari M .

Bukti

(

1⇒2

)

. Jelas M ≤N esensial. Berdasarkan Akibat 3.35, maka injektif.

N

(

2⇒3

)

. Misalkan terdapat E modul injektif sedemikian sehingga M ≤ ≤ . E N Karena E injektif dan E ≤N , maka N = ⊕E E', untuk suatu , berdasarkan Akibat 3.17. Karena

' E ≤N M ≤N esensial, maka M ≤ ⊕E E' esensial. Karena E∩E'=0 dan M ≤E, maka M ∩E'= . Karena M N0 ≤ esensial dan

, maka . Akibatnya, '

E ≤N E'=0 N = . Dengan demikian, perluasan E injektif minimal dari

N

M.

(

3⇒1

)

. Karena M ≤N dan injektif, maka terdapat sedemikian sehingga perluasan esensial maksimal mutlak dari

N N'≤N

'

N M . Berdasarkan Akibat

3.35, maka N' injektif. Karena N perluasan injektif minimal dari M , maka . Jadi, perluasan esensial maksimal mutlak dari

'

N =N N M .

Definisi 3.37. Untuk suatu modul M, modul yang memenuhi Teorema 3.37 disebut injective hull dari

N

M .

Akibat 3.38. Misalkan M ≤E dan M ≤ keduanya injective hull dari G M , maka E≅G.

Bukti. Karena E injektif, maka untuk setiap homomorfisma , terdapat homomorfisma yang merupakan perluasan dari . Begitu

E M f₁: → E G f₂ : → f₁

juga untuk setiap homomorfisma , karena G injektif, maka terdapat yang merupakan perluasan dari . Berikut ini adalah ilustrasinya.

G M f3 : → G E f₄ : → f₃ f₁ M E f₃ f4 G f2

Karena E injektif, maka f1 = f2f3 dan karena injektif, maka . Akan

dibuktikan bahwa dan

G f3 = f4f1 1 4 2f = f f₄f₂ =1. Perhatikan bahwa 3 2f f = f₁ ⇔ f₂

(

f₄f₁

)

=

)

1 f = ⇔

(

f₂f₄

)

f₁ 1 f₁ = 1. ⇔ f₂f₄ Begitu juga sebaliknya

= 1 4f f f₃ = ⇔ f4

(

f2f3 f3 = ⇔

(

f4f2

)

f3 1 f3 = 1. ⇔ f₄f₂

Karena f₂f₄ =1 dan f₄f₂ =1, maka adalah invers dari dan sebaliknya juga adalah invers dari . Karena memiliki invers, maka dan adalah isomorfisma. Karena terdapat isomorfisma dari

2 f f₄ f₄ 2 f f₂ f₄ E ke G, maka E≅G.