Sifat-sifat Turunan Mutlak Fungsi Pada Ruang Metrik

ISSN 2301-9115

SIFAT-SIFAT TURUNAN MUTLAK FUNGSI PADA RUANG METRIK

Wicitra Diah Kusuma

(S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya) E-mail: wicitrakusuma@mhs.unesa.ac.id

Dwi Nur Yunianti

(Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya) E-mail: nian_zalpha@yahoo.com

Abstrak

Konsep turunan telah diperkenalkan pada studi tentang fungsi bernilai real. Namun, pada turunan fungsi bernilai real terdapat fungsi-fungsi yang tidak mempunyai turunan. Sebagai contoh fungsi bernilai mutlak B:O;L

O untuk setiap OÐ 9. Fungsi B tidak mempunyai turunan di rÐ 9. Sehingga diperlukan suatu konsep turunan yang baru sedemikian hingga B mempunyai turunan. Pada tahun 2012, Charatonik dan Insall memperkenalkan turunan mutlak fungsi pada sebarang ruang metrik :#á@º; dengan # sebarang himpunan tak kosong dan @º sebarang metrik pada #. Berdasarkan konsep tersebut, fungsi B mempunyai turunan mutlak di rÐ 9 dengan nilai turunan mutlaknya sama dengan satu.

Artikel ini terinspirasi dari Charatonik dan Insall (2012). Di dalam artikel ini dibahas sifat-sifat turunan mutlak fungsi pada ruang metrik, seperti kekontinuan fungsi yang mempunyai turunan mutlak, sifat turunan mutlak saat nilai turunan mutlaknya tak nol, sifat aturan rantai pada turunan mutlak suatu fungsi, sifat turunan mutlak pada 9 dan 9á_{. Sebagai tambahan juga dibahas sifat-sifat lain meliputi hubungan turunan mutlak dan turunan} mutlak kuat, kekontinuan fungsi yang mempunyai turunan mutlak kuat, sifat operasi penjumlahan dan pengurangan turunan mutlak suatu fungsi.

Kata kunci: metrik, ruang metrik, turunan, turunan mutlak, dan turunan mutlak kuat.

Abstract

The concept of a derivative was introduced in the context of the study of real-valued functions of a real YDULDEOH %XW VRPH UHDO YDOXHG IXQFWLRQV GLGQ¶W KDYH GHULYDWLYHV )RU H[DPSOH DEVROXWH YDOXHG IXQFWLRQB:O;L

O for each OÐ 9 . This function doeVQ¶W KDYH GHULYDWLI DWrÐ 9. Therefore, we need new derivative concept that make the absolute valued function has derivative. In 2012, Charatonik and Insall introduce the new concept of absolute derivative in any metric spaces :#á@º; where # is any non-empty set and @º is any metric on #. Based on the concept, absolute valued function has an absolute derivative at rÐ 9 with its absolute derivative value equal to one.

This article was inspired by article was written by Charatonik and Insall (2012). The result of this article discuss about the charactheristics of absolute derivative in metric spaces. These properties are continuity of the absolutly differentiable function, property when absolute derivative is non-zero, chain rule, and properties on 9 and 9á_{. For more details, this article disscuss some properties that not exist before. These are relation bertween} absolute derivative and strong absolute derivative, continuity of the strong absolutly differentiable function, addition and subtraction.

Keywords: metric, metric spaces, derivative, absolute derivative, and strong absolute derivative.

PENDAHULUAN

Konsep turunan telah diperkenalkan pada studi tentang fungsi bernilai real. Namun, pada turunan fungsi bernilai real terdapat fungsi-fungsi yang tidak mempunyai turunan. Sebagai contoh fungsi bernilai mutlak B:O;L O untuk setiap OÐ 9. Fungsi B tidak mempunyai turunan di rÐ 9 (Bartle and Sherbert, 2000: 159). Sehingga diperlukan suatu konsep turunan yang baru sedemikian hingga B mempunyai turunan.

Ruang metrik merupakan suatu generalisasi dari konsep jarak yang dikenal dalam praktek sehari-hari. Konsep ini pertama kali diperkenalkan oleh Maurice Fréchet pada tahun 1906 (Kreyszig, 1978: 2). Seperti yang sudah diketahui, himpunan bilangan real 9 dengan suatu metrik @ merupakan salah satu contoh ruang metrik dan ditulis :9á@;. Oleh karena itu, pengertian turunan suatu fungsi bernilai real dapat dikembangkan menjadi turunan fungsi pada sebarang ruang metrik :#á@º; dengan # sebarang himpunan tak kosong dan @º sebarang metrik pada #.

Pada tahun 2012, Charatonik dan Insall telah memperkenalkan konsep turunan mutlak Berdasarkan konsep tersebut, fungsi berniali mutlak B:O;L O untuk setiap OÐ 9 mempunyai turunan mutlak di rÐ 9 dengan nilai turunan mutlaknya sama dengan satu (Charatonik dan Insall, 2012: 1319). Selain itu, konsep turunan mutlak ini lebih umum dibandingkan konsep turunan pada himpunan bilangan real 9 maupun konsep turunan pada himpunan bilangan kompleks 'ä Berdasarkan artikel tersebut, artikel ini membahas sifat-sifat turunan mutlak fungsi pada ruang metrik.

LANDASAN TEORI

Dalam bab ini akan dikaji mengenai beberapa definisi dan teorema pendukung yang diperlukan untuk membahas turunan mutlak fungsi pada sebarang ruang metrik

:

#

á

@

º;.

Definisi 2.1 Diketahui OÐ 9. Notasi O disebut nilai mutlak O dan didefinisikan sebagai

O LDO —•–—•=Rr

FO —•–—•=Or

(Bartle and Sherbert, 2000: 31) Interpretasi dari nilai mutlak O dari suatu elemen OÐ 9 adalah jarak O ke titik origin r. Secara umum, jarak O dan

P untuk setiap OáPÐ 9 adalah OFP.

Teorema 2.1 Untuk setiap OáPÐ 9 berlaku PRr maka

O QPžFPQOQPä

(Bartle and Sherbert, 2000: 31) Definisi 2.2 Diberikan # sebarang himpunan bagian tak kosong dari 9. Jika # memiliki batas atas, maka O disebut supremum dari # dinotasikan •—’#LO jika memenuhi:

i) untuk =Ð# berlaku TQO (Q disebut batas atas #), ii) jika P batas atas #, maka OQP.

(Bartle and Sherbert, 2000: 35) Teorema 2.2 Batas atas O dikatakan sebagai supremum suatu himpunan tak kosong #C9 jika dan hanya jika untuk setiap bilangan real ÝPr ada suatu =" Ð# sedemikian hingga OFÝO=".

(Bartle and Sherbert, 2000: 36) Berikut ini diberikan beberapa definisi terkait dengan raung metrik beserta sifat-sifatnya.

Definisi 2.3 Diketahui # sebarang himpunan tak kosong. Fungsi @ã#H#\ 9 disebut metrik pada # (atau fungsi jarak pada #) jika untuk setiap =á>á?Ð# berlaku

i) @:=á>;Rr,

ii) @:=á>;Lrž=L>, iii) @:=á>;L@:>á=;,

iv) @:=á>;Q@:=á?;E@:?á>;.

Pasangan :#á@; disebut ruang metrik dan @:=á>; disebut jarak = ke >.

(Kreyszig, 1978: 3) Definisi 2.4 Diberikan ruang metrik :#á@; dan sebarang bilangan real ÝPr. Bola terbuka dengan pusat =4Ð: dan jari-jari Ý didefinisikan sebagai

Ü:=4âÝ;L<=Ð#÷@:=á=4;OÝ=ä

(Kreyszig, 1978: 18) Definisi 2.5 Diketahui ruang metrik :#á@; dan /C#. Titik =4Ð# disebut titik interior /, jika ada bilangan real NPr berlaku Ü:=4âN;C/ä Himpunan semua titik interior / dinotasikan dengan +JP:/;.

(Kreyszig, 1978: 18) Definisi 2.6 Diberikan ruang metric :#á@º; dan :$á@»;. Fungsi Bã#\$ kontinu di =Ð# jika untuk sebarang bilangan real ÝPr, bola terbuka dengan pusat B:=;Ð$ yaitu Ü:B:=;âÝ;L<>Ð$÷ @»:B:=;á>;OÝ= maka ada bilangan real ÜPr, bola terbuka dengan pusat =Ð: yaitu

Ü:=âÜ;L<=" Ð#÷ @º:=á=";OÜ=

sehingga untuk setiap =Ð#êÜ:=âÜ; berlaku B:=";Ð Ü:B:=;âÝ;. Selanjutnya juga dapat ditulis sebagai

Bk#êÜ:=âÜ;oC Ü:B:=;âÝ;ä

(Shirali dan Vasudeva, 2006: 105) Definisi 2.7 Diberikan ruang metric :#á@º; dan :$á@»;. Fungsi Bã#\$ kontinu di =Ð# jika untuk setiap bilangan real ÝPr, ada bilangan real ÜPr, sehingga untuk =Ð# dan @º:="á=;OÜ maka

@»kB:=";áB:=;o OÝä

(Pugh, 2003: 55) Definisi 2.8 Diketahui ruang metrik :#á@º; dan :$á@»;. Fungsi Bã#\$ disebut fungsi injektif lokal di =" Ð# jika terdapat suatu bilangan real N4Pr sehingga untuk setiap OáPÐÜ:="âN4; berlaku jika OMP maka

B:O;MB:P;ä

(Villanacci, 2002: 69) Berikut ini diberikan beberapa definisi dan teorema mengenai ruang bernorma dan sifat-sifatnya.

Definisi 2.9 Diberikan suatu himpunan tak kosong ( dengan dua operasi biner Ü dan Û disebut lapangan (field) ditulis :(áÜáÛ;, jika untuk setiap =á>á?Ð( memenuhi sifat-sifat:

i) =Ü>Ð(.

ii) :=Ü>;Ü?L=Ü:>Ü?;.

iii) Terdapat rÐ( sedemikian hingga

=ÜrLrÜ=L=ä

iv) Terdapat =?5_{Ð( sedemikian hingga}

=Ü=?5L=?5Ü=Lrä v) =Ü>L>Ü=. vi) =Û>Ð(. vii) =Û:>Û?;L:=Û>;Û?. viii) =Û:>Ü?;L:=Û>;Ü:=Û?;. ix) :=Ü>;Û?äL:=Û?;Ü:>Û?;. x) =Û>L>Û=

xi) Terdapat sÐ( sedemikian hingga

=ÛsLsÛ=L=ä

xii) Untuk setiap =Ð( dengan =Mr, maka =?5Ð(ä

(Heirstein, 1996: 256) Definisi 2.10 Diberikan suatu himpunan tak kosong # dengan operasi penjumlahan dan operasi perkalian skalar disebut ruang linier atas lapangan 9 jika untuk setiap

¹áºÐ 9 dan QáRáSÐ# memenuhi: i) QERÐ#.

ii) :QER;ESLQE:RES;. iii) Terdapat rÐ# sedemikian hingga

QErLrEQLQ.

iv) Terdapat FQÐ# sedemikian hingga

QE:FQ;L:FQ;EQLrä

v) QERLREQ. vi) =QÐ:.

vii) Terdapat sÐ# sedemikian hingga

QsLsQLQä

viii) =:QER;L:=Q;E:=R;. ix) :=E>;QL:=Q;E:>Q;.

x) =:>Q;L:=>;Q.

(Kreyszig, 1978: 50) Definisi 2.11 Diketahui # ruang linier. Fungsi !ä!ã#\ 9 dengan sifat-sifat:

i) !Q!Rr untuk setiap QÐ#, ii) !Q!LržQLr,

iii) !¹Q!L ¹!Q! untuk setiap ¹Ð 9 dan setiap QÐ#, iv) !QER!Q!Q!E!R! untuk setiap QÐ#.

disebut norm pada #. Ruang linier # dengan norm !ä! dan ditulis dengan :#á!ä!; disebut ruang bernorma.

(Kesavan, 2009: 26) Teorema 2.3 Diberikan ruang bernorma :#á!ä!;. Jika untuk setiap =á>Ð# didefinisikan @:=á>;L!=F>!, maka @ merupakan metrik pada :#á!ä!;.

Teorema 2.4 (Translation Invariance)

Suatu metrik yang diinduksi dengan norm tertentu pada ruang bernorma # memenuhi

i) @:QESáRES;L@:QáR; ii) @:=Qá=R;L =@:QáR; untuk setiap QáRáSÐ: dan =Ð 9.

(Kreyszig, 1978: 63) Definisi 2.12 Diketahui # dan $ ruang linier. Fungsi

Bã#\$ dikatakan linier jika memenuhi:

i) B:QER;LB:Q;EB:R; untuk setiap QáRÐ#. ii) B:=Q;L=B:Q; untuk setiap QÐ# dan =Ð 9.

(Kreyszig, 1978: 83) Selanjutnya diberikan definisi turunan pada 9 dan turunan berarah pada ruang bernorma, khususnya 9á

. Hal ini dikarenakan kekhasan dari 9á

yang merupakan ruang linier, ruang bernorma, sekaligus ruang metrik.

Definisi 2.13 Diketahui #C9, Bã#\ 9, dan = titik interior I. Bilangan real . disebut turunan B di =, jika diberikan sebarang bilangan real ÝPr, ada bilangan real ÜPr, sehingga untuk =" Ð# memenuhi rO ="F= O Ü maka

dB:="_=";F_F=B:=;F.dOÝ

Dalam kasus ini, f dikatakan mempunyai turunan di c, dan ditulis Bñ:₌;L_{.. Secara ekivalen, turunan B di = dapat} ditulis sebagai limit, yaitu

Bñ:₌;L _Ž‹• Ôñ\Ô

B:=";FB:=; ="F= bilamana limit tersebut ada.

(Bartle and Sherbert, 2000:158) Definisi 2.14 Diketahui Bã#C9á_{\ 9}à

, L titik interior

:, dan Q sebarang vektor di #. Fungsi linier æã9á_{\ 9}à

dikatakan sebagai turunan berarah B di LÐ# dengan arah

Q jika untuk setiap bilangan real ÝPr, ada bilangan real

ÜPr sehingga untuk setiap PÐ 9, rO P OÜ, maka eB:LEPQ_P;FB:L;Fæ:Q;eOÝä :täsväs; Secara ekivalen, persamaan :täsväs; dapat ditulis sebagai limit, yaitu æ:Q;LŽ‹• ç\4 B:LEPQ;FB:L; P (Bartle, 1975: 348) Pada saat QLA5L:sárá å ár; vektor di : maka æ:A5; menjadi

òB òT5:L;

atau yang lebih dikenal sebagai turunan parsial fungsi B terhadap variabel T5. Jadi, secara umum turunan parsial fungsi B terhadap variabel TÝ dapat didefinisikan sebagai

òB òTÝ: L;LŽ‹• ç\4 BkLEPAÝo FB:L; P :täsvät;

Untuk PLTFLÐ 9 dan B fungsi linier maka persamaan :täsvät; dapat ditulis sebagai

òB òTÝ: L;LŽ‹• ë\ã B:T;AÝFB:L;AÝ TFL :täsväu; PEMBAHASAN

Bagian ini menjelaskan hasil penelitian berupa sifat-sifat yang berlaku pada turunan mutlak kuat suatu fungsi pada ruang metrik. Di bawah ini definisi turunan mutlak dan turunan mutlak kuat suatu fungsi pada ruang metrik. Definisi 3.1 Diberikan ruang metrik :#á@º; dan :$á@»;. Bilangan real - dikatakan turunan mutlak dari fungsi

Bã#\$ di LÐ# jika diberikan sebarang bilangan real

ÝPrá ada bilangan real ÜPr sehingga untuk setiap =Ð

# memenuhi @º:=áL;OÜ berlaku

d@»k_@ºB:_:=_=á;á_LB_;:L;oF-dOÝ

Dalam kasus ini, f dikatakan mempunyai turunan mutlak

di LÐ#, dan ditulis - LBñ:_L;_ä

Dengan kata lain, turunan mutlak B di LÐ# dapat ditulis sebagai limit, yaitu

Ž‹•

Ô\ã

@»kB:=;áB:L;o

@º:=áL; ä

Nilai limit tersebut bilamana ada disebut turunan mutlak B di LÐ#.

(Charatonik dan Insall, 2012: 1315) Contoh 3.1

Diketahui ruang metrik :96_á

@; dan fungsi Cã96_{\ 9}6 dengan C:QáR;L:QáR; dengan :QáR;Ð 96 _{dan QáRÐ} 9. Dapat dibuktikan bahwa C mempunyai turunan mutlak di LL:rár;Ð 96 dan rÐ 9. Ž‹• ›\– @kC:›;áC:–;o @:›á–; L:èá鎋•;\:4á4; @k:QáR;á:rár;o @k:QáR;á:rár;o L Ž‹• :èáé;\:4á4; ¥:QFr;6E:_RF_r;6 ¥:QFr;6E:_RF_r;6 L Ž‹• :èáé;\:4á4;sLs

Jadi, f mempunyai turunan mutlak di –L:rár;Ð 96_. Definisi 3.2 Diberikan ruang metrik :#á@º; dan :$á@»;. Bilangan real 6 dikatakan turunan mutlak kuat dari fungsi

Bã#\$ di LÐ# jika diberikan sebarang bilangan real

ÝPrá ada bilangan real ÜPr sehingga untuk setiap =á>Ð#, =M> memenuhi @º:=á>;OÜ maka

d@»:_@º:B:=;áB:>;;

=á>; F6dOÝ

Dalam kasus ini, f dikatakan mempunyai turunan mutlak kuat di LÐ#, dan ditulis 6L(ñ:_L;_ä

Dengan kata lain, turunan mutlak B di LÐ# dapat ditulis sebagai limit, yaitu

Ž‹•

:ÔáÕ;\:ãáã; Ô·Õ

@»:B:=;áB:>;; @º:=á>; ä

Nilai limit tersebut bilamana ada disebut turunan mutlak kuat B di LÐ#.

(Charatonik dan Insall, 2012: 1316) Berikut diberikan hubungan antara fungsi yang mempunyai turunan mutlak, fungsi yang mempunyai mutlak kuat, dan kekontinuan fungsi.

Teorema 3.1 Diketahui ruang metrik :#á@º; dan :$á@»;ä Jika fungsi Bã#\$ mempunyai turunan mutlak kuat di

LÐ# maka B mempunyai turunan mutlak diLÐ#ä

Turunan mutlak kuat suatu fungsi merupakan perumuman dari turunan mutlak suatu fungsi. Oleh karena itu, setiap fungsi yang mempunyai turunan mutlak kuat maka fungsi tersebut merupakan fungsi yang mempunyai turunan mutlak (Charatonik dan Insall, 2012: 1316). Tetapi, kebalikannya belum tentu berlaku. Sebagai contoh fungsi bernilai mutlak B:=;L = untuk setiap =

Ð 9

mempunyai turunan mutlak di titik nol, tetapi B tidak mempunyai turunan mutlak kuat di titik tersebut.

Teorema 3.2 Diketahui ruang metrik :#á@º; dan :$á@»;ä Jika fungsi Bã#\$ mempunyai turunan mutlak di LÐ

#, maka B kontinu di LÐ#.

(Charatonik dan Insall, 2012:1317) Teorema 3.3 Diketahui ruang metrik :#á@º; dan :$á@»;ä Jika fungsi Bã#\$ mempunyai turunan mutlak kuat di

LÐ#, maka B kontinu di LÐ#.

Bukti:

Karena fungsi B mempunyai turunan mutlak kuat di LÐ #á maka berdasarkan Teorema 3.1 maka fungsi B mempunyai turunan mutlak di LÐ#.

Selanjutnya, berdasarkan Teorema 3.2 maka fungsi B kontinu di LÐ#.

Jadi, B kontinu di LÐ#. Ö

Selanjutnya berturut-turut pada Teorema 3.4 dan Teorema 3.5 akan dibahas mengenai sifat turunan mutlak kuat dan turunan mutlak suatu fungsi saat nilai turunan mutlak fungsinya tak nol.

Teorema 3.4 Diketahui ruang metrik :#á@º; dan :$á@»;ä Jika fungsi Bã#\$ mempunyai turunan mutlak kuat di LÐ# dan Bñ:_L; _{tak nol, maka fungsi B injektif lokal di}

LÐ#.

(Charatonik dan Insall, 2012: 1317) Teorema 3.5 Diketahui ruang metrik :#á@º; dan :$á@»;ä Jika fungsi Bã#\$ mempunyai turunan mutlak di LÐ# dan Bñ:_L; _{tak nol, maka terdapat bola terbuka Ü}:_LâÜ; sehingga untuk setiap =ÐÜ:LâÜ;F<L= berlaku B:=;M B:L;

(Charatonik dan Insall, 2012: 1318) Berikut akan dijelaskan sifat turunan mutlak pada suatu komposisi fungsi. Sebelumnya, akan diberikan Teorema 3.6 yang merupakan perluasan dari Teorema Caratheodory pada 9.

Teorema 3.6 Diketahui ruang metrik :#á@º; dan :$á@»;ä Fungsi Bã#\# mempunyai turunan mutlak di LÐ# jika dan hanya jika terdapat suatu fungsi î pada # kontinu di LÐ# dan @»kB:=;áB:L;o Lî:=;@º:=áL; untuk setiap =Ð#. Lebih lanjut î:L;LBñ:_L;_ä

Teorema 3.7 Diketahui ruang metrik :#á@º;á:$á@»;ä dan :%á@Ö;. Jika fungsi Bã#\$ mempunyai turunan mutlak

di LÐ# dan fungsi Cã$\% mempunyai turunan mutlak

di B:L;Ð$á maka komposisi fungsi CÜBã#\% mempunyai turunan mutlak di LÐ# dan

:CÜB;ñ:_L;L_Cñ:_B:_L;;_„Bñ:_L;_ä

(Charatonik dan Insall, 2012: 1318) Selanjutnya akan dibahas mengenai sifat operasi penjumlahan dan pengurangan perkalian skalar turunan mutlak suatu fungsi.

Teorema 3.8 Diketahui ruang metrik :#á@º; dan :$á@»;ä Jika fungsi Bã#\$ dan Cã#\$ masing-masing mempunyai turunan mutlak di LÐ#, maka fungsi :BEC; mempunyai turunan mutlak di LÐ# dan

:BGC;ñ:_L;L_Bñ:_L;G_Cñ:_L;_ä

Di bawah ini sifat turunan mutlak dengan mengambil kasus khusus yaitu :C9 dan @ metrik biasa.

Teorema 3.9 Diberikan #C9 dan ruang metrik :#á@; dengan @ metrik biasa. Jika fungsi Bã#\ 9 mempunyai turunan di LÐ#, maka B mempunyai turunan mutlak di

LÐ#, dan berlaku Bñ:_L;L _Bñ:_L;

(Charatonik dan Insall, 2012: 1321) Turunan mutlak kuat suatu fungsi merupakan perumuman dari turunan suatu fungsi. Oleh karena itu, setiap fungsi

yang mempunyai turunan mutlak kuat maka fungsi tersebut mempunyai turunan mutlak (Charatonik dan Insall, 2012: 1320). Tetapi, kebalikannya belum tentu berlaku. Sebagai contoh fungsi bernilai mutlak B:=;L = untuk setiap =Ð 9 mempunyai turunan mutlak di titik nol, tetapi B tidak mempunyai turunan di titik tersebut. Berikut ini sifat turunan mutlak dengan mengambil kasus ruang metrik :9á_á@;_{ä Pada Teorema 3.10 dibahas} mengenai sifat perkalian skalar turunan mutlak suatu fungsi. Sedangkan Teorema 3.11 membahas tentang turunan mutlak pada ruang metrik :9á_á@;_.

Teorema 3.10 Diketahui ruang metrik :#á@º; dan :$á@»;ä dengan@º dan @» adalah metrik yang diinduksi oleh norm. Jika fungsi Bã#\$ dan Cã#\$ masing-masing mempunyai turunan mutlak di LÐ#, maka untuk setiap ¹Ð 9, fungsi ¹B mempunyai turunan mutlak di LÐ : dan :¹B;ñ:_L;L _¹c_Bñ:_L;g

Teorema 3.11 Jika fungsi linier Bã9á_{\ 9}à _mempunyai turunan mutlak di žÙÐ 9á, dan BL:Q5á å áQà; dengan QÝã9á_{\ 9 mempunyai turunan parsial pertama di ž}

Ù Ð

9á_{, maka untuk setiap G}Q_{J, berlaku} Bñ:_ž Ù;LoÍ òQÝ òTÞ:žÙ;‹• à Ý@5 o dengan sQFQJ maka ‹ÚL:sárá å ár;á‹ÛL :rásá å ár;á åá ‹”L:rárá å ás;.

(Charatonik dan Insall, 2012: 1320) Bukti:

Diketahui 5C9á

dan ruang metrik :5á@; dengan @ metrik pada 5 . Selanjutnya, didefinisikan žÙL :T5:4;á å áTá:4;;Ð5.

Karena 5C9á

merupakan ruang bernorma maka berdasarkan Teorema 2.3 (hubungan ruang metrik dengan ruang bernorma) diperoleh turunan mutlak B di žÙÐ 9á sebagai berikut Bñ:_ž Ù;L_žŽ‹•_\ž Ù žÐÌ @kB:ž;áB:žÙ;o @:žážÙ; L_žŽ‹•_\ž Ù žÐÌ !B:ž;FB:žÙ;! !žFžÙ!

Selanjutnya, karena BL:Q5á å áQà; dengan QÝã9á\ 9 dan ‹ÚL:sárá å ár; berlaku Bñ:_ž Ù;L_žŽ‹•_\ž Ù žÐÌ .ÃàÝ@5QÝ:ž;‹•FÃÝ@5à QÝ:žÙ;‹•. !žFžÙ!

Sehingga, untuk setiap GQJ, berlaku Bñ:_ž Ù;L_žŽ‹•_\ž Ù žÐÌ .ÃàÝ@5cQÝ:ž;FQÝ:žÙ;g‹•. TÞFTÞ:4;

L_žŽ‹•_\ž

Ù žÐÌ

eÃàÝ@5>QÝ:ž;FQÝ:žÙ;?

TÞFTÞ:4; ‹•e

Berdasarkan persamaan :täsväu; diperoleh

Bñ:žÙ;LoÍ òQÝ òTÞ:žÙ;‹• à Ý@5 oäÖ PENUTUP Simpulan

Dalam jurnal ini telah dibahas mengenai konsep turunan mutlak suatu fungsi pada ruang metrik beserta sifat-sifatnya. Berdasarkan pembahasan tersebut dapat diperoleh simpulan sebagai berikut:

1. Fungsi yang mempunyai turunan mutlak kuat adalah fungsi yang mempunyai turunan mutlak. Fungsi yang mempunyai turunan mutlak adalah fungsi kontinuä 2. Fungsi yang mempunyai turunan mutlak kuat dan

turunan mutlaknya tak nol adalah fungsi injektif lokalä 3. Suatu komposisi fungsi CÜB mempunyai turunan mutlak di L dengan :CÜB;ñ:_L;L_Cñ:_B:_L;;_„ Bñ:_L;_.

4. Pada turunan mutlak fungsi adalah :BGC;ñ:_L;L Bñ:_L;G_Cñ:_L;_.

5. Fungsi B yang mempunyai turunan adalah fungsi B yang mempunyai turunan mutlak dengan B":L; L Bñ:_L;_{. Turunan mutlak fungsi B pada ruang metrik} dan dilengkapi metrik yang diinduksi oleh norm adalah :ÙB;ñ:_L;L _Ùc_Bñ:_L;g_{ä Sedangkan, turunan mutlak} suatu fungsi linier B pada žÙ Ð 9á adalah

Bñ:_ž Ù;LoÍ òQÝ òTÞ:žÙ;‹• à Ý@5 oä Saran

Pada artikel ini, sifat-sifat yang belum dibahas dapat dikembangkan lebih lanjut pada ruang yang lain, seperti ruang Banach, ruang Bernorma, ruang Hilbert, dan lain-lain.

DAFTAR PUSTAKA

Bartle, Robert G. 1975. The Element of Real Analysis. United State of America: John Wiley & Sons. Bartle, Robert G and Sherbert, Ronald R. 2000.

Introduction to Real Analysis. New York: Hamilton Printing Company.

Charatonik, Wlodzimierz J. and Insall, Matt. 2012. ³$EVROXWH 'LIIHUHQWLDWLRQ LQ 0HWULF 6SDFHV´. Houston Journal of Mathematics. Vol. 38(4): hal 1313-1328.

Friedberg, Stephen H. et al. 1989. Linear Algebra. New Jersey: Prentice Hall.

Heirstein, I.N. 1996. Abstract Algebra. New Jersey: Prentice Hall.

Kesavan, S. 2009. Functional Analysis. New Delhi: Hindustan Book Agency.

Kreyszig, Erwin. 1978. Introductory Functional Analysis with Applications. United States of America: John Wiley & Sons.

Pugh, Charles Chapman. 2003. Real Mathematical Analysis. Berlin: Springer.

Shirali, Satish and Vasudeva, Harkrishan L. 2006. Metric Spaces. London: Springer.

Villanacci, Antonio et al. 2002. Differential Topology and General Equilibrium with Complete and Incomplete Market. Boston: Springer.