BAB 3 PENAAKULAN LOGIK

(1)

BAB 3 PENAAKULAN LOGIK

CIKGUHISHAM@ILMUSTUDIO Page 1

BAB 3

PENAAKULAN LOGIK

3.1 PERNYATAAN

1. Pernyataan adalah suatu ayat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya, iaitu sama ada benar atau palsu, tetapi bukan keduanya.

2. Ayat tanya, ayat seruan dan ayat perintah bukan pernyataan. Ayat-ayat ini tidak dapat ditentukan kebenarannya.

3. Pernyataan boleh dibahagikan kepada dua iaitu pernyataan benar dan pernyataan palsu.

4. Contoh 1:

a) Kuala Krai adalah salah satu daerah di dalam negeri Kelantan.

 Pernyataan kerana ayat itu benar.

b) Semua manusia boleh terbang.

 Pernyataan kerana ayat itu palsu.

c) .

 Bukan pernyataan kerana ayat tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya.

d) .

 Pernyataan kerana ayat itu benar.

5. Latihan 3.1a

Tentukan sama ada ayat-ayat berikut pernyataan atau bukan pernyataan. Berikan justifikasi anda.

a) Malaysia adalah sebuah pulau.

_____________________________________________________________________________________________

b) Marilah kita bermain bola sepak di padang sekolah.

_____________________________________________________________________________________________

c) Adakah 3 + 2 = 5?

_____________________________________________________________________________________________

d) .

_____________________________________________________________________________________________

e) .

_____________________________________________________________________________________________

f) 39 adalah gandaan 6.

_____________________________________________________________________________________________

g)

_____________________________________________________________________________________________

(2)

BAB 3 PENAAKULAN LOGIK

6. Latihan 3.1b (Pengkuantiti – semua/sebilangan)

Tentukan sama ada pernyataan di bawah benar atau palsu.f a) Semua nombor perdana adalah nombor ganjil.

_____________________________________________________________________________________________

b) Semua nombor genap boleh dibahagi tepat dengan 2.

_____________________________________________________________________________________________

c) Sebilangan poligon mempunyai lima sisi.

_____________________________________________________________________________________________

d) Semua segitiga mempunyai tiga kaki.

_____________________________________________________________________________________________

e) Sebilangan nombor kuasa dua sempurna adalah nombor bulat.

_____________________________________________________________________________________________

f) Semua gandaan 5 adalah gandaan 10.

_____________________________________________________________________________________________

g) Semua heksagon mempunyai 6 sisi yang sama panjang.

_____________________________________________________________________________________________

h) Sebilangan integer bernilai positif.

_____________________________________________________________________________________________

7. Perkataan seperti “TIDAK” atau “BUKAN” boleh digunakan untuk menafikan suatu pernyataan.

8. Penafian pernyataan p ditulis sebagai ~p.

9. Sebagai contoh 2:

a) 5 adalah nombor perdana (p)

5 adalah bukan nombor perdana (~p) b) (p)

(~p)

c) 1000 meter bersamaan dengan 1 kilometer (p) 1000 meter tidak bersamaan dengan 1 kilometer(~p)

10. Nilai kebenaran bertukar daripada benar kepada palsu atau sebaliknya melalui proses penafian.

11. Sebagai contoh:

a) 41 adalah nombor perdana [pernyataan benar].

41 adalah bukan nombor perdana [pernyataan palsu].

b) Heptagon mempunyai enam sisi [pernyataan palsu].

Heptagon tidak mempunyai enam sisi [pernyataan benar].

(3)

BAB 3 PENAAKULAN LOGIK

12. Pernyataan majmuk ialah gabungan dua atau lebih pernyataan dengan menggunakan perkataan “dan” atau “atau”.

a) Pernyataan pertama (p): 9 adalah lebih besar daripada 4.

Pernyataan kedua (q) : -9 adalah lebih besar daripada 4.

Pernyataan majmuk : 9 atau -9 adalah lebih besar daripada 4.

: 9 dan -9 adalah lebih besar daripada 4.

b) Pernyataan pertama (p): -7 adalah integer.

Pernyataan kedua (q) : 5 adalah integer.

Pernyataan majmuk : -7 atau 5 adalah integer.

: -7 dan 5 adalah integer.

14. Perkataan “DAN” dalam pernyataan matematik membawa maksud kedua-dua.

15. Manakala perkataan “ATAU” membawa maksud salah satu.

16. Maka, nilai kebenaran pernyataan majmuk boleh disimpulkan seperti yang ditunjukkan dalam jadual kebenaran berikut:

p q p dan q p atau q

Benar Benar Benar Benar

Benar Palsu Palsu Benar

Palsu Benar Palsu Benar

Palsu Palsu Palsu palsu

17. Latihan 3.1c

Nyatakan pernyataan majmuk berikut benar atau palsu.

a) 17² = 289 dan -9 < -11. Jawapan:………

b) {a,b} mempunyai 4 subset dan √ . Jawapan:………

c) 5³= 5 x 5 x 5 atau 5³ = 5 + 5 + 5. Jawapan:………

d) 4 + 2 = 42 atau 4 x 2 = 42. Jawapan:………

e) dan 14 + 12 = 26. Jawapan:………

f) dan adalah pecahan wajar. Jawapan:………

g) 17 atau 71 adalah nombor ganjil. Jawapan:………

18. Latihan 3.1d

Gabungkan dua pernyataan berikut bagi membentuk pernyataan majmuk yang benar.

a) p: 24 adalah gandaan 8.

q: 7 x (-3) = 21.

Pernyataan majmuk: ___________________________________________________________________

Gabungkan dua pernyataan berikut bagi membentuk pernyataan majmuk yang palsu.

a) p: -3 adalah nombor negatif.

q: 5 adalah nombor genap.

Pernyataan majmuk: ___________________________________________________________________

(4)

BAB 3 PENAAKULAN LOGIK

19. Pernyataan “jika p, maka q” dikenali sebagai implikasi dengan keadaan a) p dikenali sebagai antejadian.

b) q dikenali sebagai akibat.

a) Jika sebuah poligon mempunyai 5 sisi, maka poligon itu adalah pentagon.

b) Jika x+4 = 7, maka x = 3.

c) Jika m – n > 0, maka m > n.

21. Implikasi yang mempunyai perkataan “p jika dan hanya jika q” terdiri daripada dua implikasi yang berikut:

a) jika p, maka q b) jika q, maka p

a)

Implikasi pertama : Jika 2x = 6, maka x = 3.

Implikasi kedua : Jika x = 3, maka 2x = 6.

b)

Implikasi pertama : Jika y³ = 125, maka y = 5.

Implikasi kedua : Jika y = 5, maka y³ = 125.

23. Latihan 3.1e

Tulis dua implikasi berdasarkan pernyataan berikut:

a) .

Implikasi pertama :_________________________________________________________________

Implikasi kedua :_________________________________________________________________

b)

Implikasi pertama :_________________________________________________________________

Implikasi kedua :_________________________________________________________________

Bentuk implikasi “p jika dan hanya jika q” yang berikut:

c) Jika 6 adalah faktor bagi 36, maka 6 adalah faktor bagi 24.

Jika 6 adalah fakotr bagi 24, maka 6 adalah faktor bagi 36.

_____________________________________________________________________________________________

d) Jika p –q > 0, maka p > q.

Jika p > q, maka p – q > 0.

_____________________________________________________________________________________________

(5)

BAB 3 PENAAKULAN LOGIK

24. Dalam membina dan membandingkan nilai kebenaran akas, songsangan dan kontrapositif bagi suatu implikasi, perhatikan perbezaan antara empat jenis pernyataan dengan contoh berikut:

Pernyataan :Jika 100 adalah gandaan 5, maka 100 adalah gandaan 10.

Akas :Jika 100 adalah gandaan 10, maka 100 adalah gandaan 5.

Songsangan :Jika 100 bukan gandaan 5, maka 100 bukan gandaan 10.

Kontrapositif :Jika 100 bukan gandaan 10, maka 100 bukan gandaan 5.

25. Secara umumnya,

Pernyataan : . Akas : . Songsangan : . Kontrapositif : .

Tulis akas, songsangan dan kontrapositif bagi implikasi berikut:

a) Pernyataan : Akas : Songsangan : Kontrapositif :

27. Latihan 3.1f

Tulis pernyataan, akas, songsangan dan kontrapositif bagi implikasi berikut:

a) Pernyataan : Akas :__________________________________________________________________________

Songsangan :__________________________________________________________________________

Kontrapositif :__________________________________________________________________________

b) Pernyataan :__________________________________________________________________________

Akas :

Songsangan :__________________________________________________________________________

Kontrapositif :__________________________________________________________________________

c) Pernyataan :__________________________________________________________________________

Akas :__________________________________________________________________________

Songsangan : .

Kontrapositif :__________________________________________________________________________

(6)

BAB 3 PENAAKULAN LOGIK

d) Pernyataan :__________________________________________________________________________

Akas :__________________________________________________________________________

Songsangan :__________________________________________________________________________

Kontrapositif :

e) Pernyataan :

Akas :__________________________________________________________________________

Songsangan :__________________________________________________________________________

Kontrapositif :

28. Selepas mengenal pasti akas, songsangan dan kontrapositif suatu implikasi, kita akan menilai kebenaran pernyataan tersebut.

29. Nilai kebenaran kontrapositif sama dengan nilai kebenaran implikasi “jika p, maka q”.

30. Akas dan songsangan adalah kontrapositif kepada satu sama lain.

31. Akas dan songsangan juga mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Tentukan nilai kebenaran implikasi, akas, songsangan dan kontrapositif bagi implikasi

Pernyataan Antejadian Akibat Nilai

kebenaran Implikasi Benar Palsu Palsu

Akas Palsu Benar Benar Songsang Palsu Benar Benar Kontapositif Benar Palsu Palsu 33. Latihan 3.1g

Tentukan nilai kebenaran implikasi, akas, songsangan dan kontrapositif bagi implikasi

Pernyataan Nilai

kebenaran Implikasi

Akas Songsang Kontapositif

p q Pernyataan Akas Songsangan Kontrapositif

Jika p, maka q Jika q, maka p Jika ~p, maka ~q Jika ~q, maka ~p

Benar Benar Benar Benar Benar Benar

Benar Palsu Palsu Benar Benar Palsu

Palsu Benar Benar Palsu Palsu Benar

Palsu Palsu Benar Benar Benar Benar

𝐽𝑖𝑘𝑎 𝑝 𝑥 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑝 𝑥

(7)

BAB 3 PENAAKULAN LOGIK

34. Latihan 3.1h

Tulis pernyataan matematik yang dikehendaki dalam kurungan bagi setiap yang berikut.

Kemudian, tentukan nilai kebenaran bagi pernyataan yang ditulis. Sekiranya palsu, satu contoh penyangkal untuk menyokong jawapan anda.

a) (Songsangan).

_____________________________________________________________________________________________

b) Semua gandaan 20 adalah gandaan 2. (Penafian).

_____________________________________________________________________________________________

c) (Kontrapositif).

_____________________________________________________________________________________________

d) (Akas).

_____________________________________________________________________________________________

e) √ (Songsangan).

_____________________________________________________________________________________________

f) Semua poligon mempunyai hasil tambah sudut peluaran 360°. (Penafian)

_____________________________________________________________________________________________

g) (Kontrapositif).

_____________________________________________________________________________________________

h) (Akas).

_____________________________________________________________________________________________

3.2 HUJAH

1. Proses membuat kesimpulan berdasarkan pernyataan dikenali sebagai penghujahan.

2. Hujah terdiri daripada beberapa premis dan satu kesimpulan.

3. Premis merupakan satu pernyataan yang memberikan informasi sebelum satu kesimpulan dibuat dan kesimpulan merupakan suatu kesudahan pendapat atau keputusan.

4. Suatu hujah ringkas biasanya terdiri daripada dua premis dan satu kesimpulan.

5. Terdapat dua jenis hujah, iaitu hujah deduktif dan hujah induktif.

a) Hujah deduktif – proses kesimpulan khusus dibina berdasarkan premis umum.

b) Hujah induktif – proses kesimpulan umum dibina berdasarkan premis khusus.

(8)

BAB 3 PENAAKULAN LOGIK

6. Hujah deduktif yang sah boleh dikategorikan kepada tiga bentuk berikut:

Bentuk I Bentuk II Bentuk III

Premis 1 Semua A adalah B Jika p, maka q Jika p, maka q Premis 2 C ialah A P adalah benar Bukan q adalah benar Kesimpulan C ialah B Q adalah benar Bukan p adalah benar

7. Contoh 8:

a) Premis 1 : Semua gandaan 5 ialah gandaan 10.

Premis 2 : 45 ialah gandaan 5.

Kesimpulan : 45 ialah gandaan 10.

b) Premis 1 : Jika x < 10, maka x < 19.

Premis 2 : 7 < 10.

Kesimpulan : 7 < 19.

c) Premis 1 : Jika p  q, maka p ∩ q = p.

Premis 2 : p ∩ q ≠ p.

Kesimpulan :p ⊄q.

8. Latihan 3.2a

a) Premis 1 : Semua gandaan 6 adalah gandaan 3.

Premis 2 : 18 adalah gandaan 6.

Kesimpulan :__________________________________________________________________________

b) Premis 1 : Jika 2 ialah faktor bagi n, maka n ialah nombor genap.

Premis 2 :__________________________________________________________________________

Kesimpulan : n ialah nombor genap.

c) Premis 1 : Jika segitiga ABC mempunyai tiga sisi yang sama, maka segitiga ABC ialah segitiga sama sisi.

Premis 2 : ___________________________________________________________________________

Kesimpulan : Segitiga ABC tidak mempunyai tiga sisi yang sama.

(9)

BAB 3 PENAAKULAN LOGIK

d) Premis 1 : __________________________________________________________________________

Premis 2 : Nuha adalah anak Hisham.

Kesimpulan : Nuha adalah seorang guru.

e) Premis 1 : Jika x nombor genap, maka 3x nombor genap.

Premis 2 : 3x bukan nombor genap.

Kesimpulan : __________________________________________________________________________

f) Premis 1 : __________________________________________________________________________

Premis 2 : x > 6.

Kesimpulan : x > 4.

g) Premis 1 : Jika x + 3 ≤ 2x – 9, maka x ≥ 12.

Premis 2 : x < 12.

Kesimpulan : __________________________________________________________________________

h) Premis 1 : __________________________________________________________________________

Premis 2 : m≠ 8.

Kesimpulan : 3m – 8 ≠ 16.

i) Premis 1 : Semua gandaan 9 boleh dibahagi tepat dengan 3.

Premis 2 : __________________________________________________________________________

Kesimpulan : 891 boleh dibahagi tepat dengan 3.

9. Hujah induktif yang kuat dan meyakinkan bergantung pada premis dan kesimpulan yang benar.

10. Penaakulan induktif boleh dijalankan mengikut langkah-langkah berikut:

Teliti beberapa contoh atau situasi yang

khusus

Perhatikan ciri yang sepunya

Buat satu kesimpulan

umum

(10)

BAB 3 PENAAKULAN LOGIK

11. Latihan 3.2b

12. Bentuk satu kesimpulan secara induktif bagi setiap pola nombor yang berikut:B a) 0, 3, 18, 57 ….

0 = 2(0) 3 = 2(1) + 1 18 = 2(8) + 2 57= 2(27) + 3 .

. .

b) 0.2, 0.4, 0.6, 0.8….

0.2 = 1/5 0.4 = 2/5 0.6 = 3/5 0.8 = 4/5 . . .

c) 1, 3, 5, 7……

1 = 2(0) + 1 3 = 2(1) + 1 5 = 2(2) + 1 7 = 2(3) + 1 . . .

d) 4, 5, 7, 11……

4 = 2⁰ + 3 5 = 2¹ + 3 7 = 2²+ 3 11 =2³+ 3

. . .

e) Bilangan subset bagi suatu set boleh diperolehi dengan menggunakan 2ⁿ dengan dimana n ialah bilangan unsur.Diberi set A = {2, 4, 6, 8}. Buat satu kesimpulan secara deduktif untuk bilangan subset bagi set A.

_____________________________________________________________________________________________

f) Diberi bahawa hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu jujukan nombor boleh diwakili oleh 3n² - 2n, di mana n=1,2,3….. Buat satu kesimpulan secara deduktif bagi hasil tambah 10 sebutan pertama jujukan itu.

_____________________________________________________________________________________________