commit to user
Bab II
LANDASAN TEORI
Bab ini dibagi menjadi tiga sub bab yaitu tinjauan pustaka, landasan teori, dan kerangka pemikiran.
2.1 Tinjauan Pustaka
Pada tahun 2001, Ouyang dan Chuang [14] meneliti model persediaan de- ngan periode waktu pemesanan dan waktu tunggu sebagai variabel keputusan.
Kemudian pada tahun 2003, Ouyang et al. [16] meneliti model persediaan perio- dic review dengan periode waktu pemesanan dan backorder price discount sebagai variabel keputusan sedangkan waktu tunggu diasumsikan tetap. Pada kenyataan- nya, waktu tunggu dapat dikurangi dengan menambahkan biaya pengurangan waktu tunggu, dengan kata lain waktu tunggu dapat dikontrol. Waktu tunggu dibagi menjadi n komponen dengan setiap komponen masing-masing memiliki biaya pengurangan waktu tunggu. Pengurangan waktu tunggu dalam model persediaan continuous review telah diteliti oleh Liao dan Shyu [9], Ben-Daya dan Raouf [4], Ouyang et al. [18], Moon dan Choi [12], Hariga dan Ben-Daya [8], Pan dan Hsiao [19] serta Chuang et al. [6].
Pada tahun 2008, Lin [11] mengembangkan penelitian Ouyang et al. [16]
dengan mempertimbangkan waktu tunggu sebagai variabel keputusan. Pada model persediaan yang diteliti oleh Lin [11] diasumsikan biaya pemesanan kons- tan. Biaya pemesanan merupakan biaya yang dikeluarkan untuk memesan barang.
Menurut Ouyang et al. [17], biaya tersebut dapat dikurangi apabila ada investasi modal. Besarnya investasi untuk mengurangi biaya pemesanan dapat didekati dengan fungsi logaritma. Fungsi logaritma merupakan fungsi pendekatan hasil eksperimen peneliti-peneliti di Jepang yang menentukan hubungan antara biaya
commit to user
pemesanan dan investasi. Ouyang et al. [17], Wu dan Lin [24], Lin [10] serta Wei dan Qiu [22] telah meneliti pengaruh investasi modal dalam model persediaan continuous review. Sedangkan dalam model persediaan periodic review, investasi modal telah diteliti oleh Ouyang et al. [15].
2.2 Teori Penunjang
Beberapa pengertian dasar yang digunakan dalam penulisan skripsi ini meliputi konsep dasar statistik, persediaan, jenis permintaan, jenis biaya dalam persediaan, variabel yang mempengaruhi biaya persediaan, model persediaan, investasi modal, dan optimasi fungsi variabel.
2.2.1 Konsep Dasar Statistik
Berikut diberikan konsep dasar statistik berdasarkan Bain dan Engelhardt [2].
Definisi 2.2.1. Sebuah variabel acak X adalah fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel S yang bersekawan dengan sebuah bilangan real, yang dinyatakan dengan X(e) = x, e∈ S.
Terdapat dua tipe variabel acak, yaitu variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu. Penelitian ini menggunakan variabel acak kontinu.
Definisi 2.2.2. Variabel acak X dikatakan variabel acak kontinu jika terda- pat fungsi f (x) yang disebut sebagai fungsi densitas probabilitas (pdf ) dari X, sedemikian sehingga fungsi distribusi komulatifnya (CDF) dapat didefinisikan se- bagai
F (x) =
∫ x
−∞
f (t)dt.
Teorema 2.2.1. Fungsi f (x) adalah fungsi densitas probabilitas untuk variabel acak kontinu X jika dan hanya jika memenuhi sifat
f (x)≥ 0 untuk setiap x dan
∫ ∞
−∞
f (x)dx = 1.
commit to user
Definisi 2.2.3. Jika X merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi kepadatan probabilitas f (x), maka nilai dari ekspektasi X didefinisikan sebagai
E(X) =
∫ ∞
−∞
xf (x)dx.
Definisi 2.2.4. Sebuah variabel acak X dikatakan berdistribusi normal dengan mean µ dan variansi σ2 jika mempunyai fungsi kepadatan probabilitas
f (x, µ, σ) = 1 σ√
2πexp−12(x−µσ )
2
,
dengan −∞ < x < ∞, −∞ < µ < ∞, σ > 0.
Jika diberikan z = (x−µ)σ , maka didapat fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi normal standar
ϕ(z) = √1
2πe−z22 −∞ < z < ∞.
Selanjutnya didapatkan suatu fungsi distribusi komulatif dari distribusi normal standarnya adalah
Φ(z) =
∫ z
−∞
ϕ(t)dt.
2.2.2 Persediaan
Permasalahan persediaan menyangkut tentang pemesanan dan penyim- panan barang. Manajemen persediaan diperlukan untuk menentukan berapa jumlah barang yang dipesan dan kapan waktu yang tepat untuk melakukan pemesanan. Persediaan yang berlebihan dapat memperbesar biaya penyimpanan, sedangkan persediaan yang sedikit dapat mengakibatkan stock out.
2.2.3 Jenis Permintaan
Menurut Taha [21], permintaan dapat dibedakan menjadi dua jenis.
1. Permintaan deterministik.
Permintaan dikatakan bersifat deterministik jika laju permintaan di masa yang akan datang diketahui secara pasti.
commit to user 2. Permintaan probabilistik.
Permintaan dikatakan bersifat probabilistik jika permintaan di masa yang akan datang tidak diketahui secara pasti, sehingga harus didekati dengan suatu distribusi tertentu.
2.2.4 Jenis Biaya dalam Persediaan
Jenis-jenis biaya yang perlu diperhitungkan dalam mengevaluasi persoalan persediaan adalah
1. Biaya pemesanan (ordering cost ).
Menurut Assauri [1], ordering cost merupakan biaya yang dikeluarkan berke- naan dengan pemesanan barang-barang dari penjual, sejak dari pesanan (order ) dibuat dan dikirim ke penjual sampai barang tersebut dikirimkan dan diserahkan serta diinspeksi ke gudang.
2. Biaya penyimpanan (holding cost ).
Menurut Taha [21], holding cost merupakan biaya yang dikeluarkan selama proses penyimpanan barang, yaitu dari barang diterima di gudang sampai barang terjual lagi.
3. Biaya kerugian (shortage cost ).
Taha [21] menyatakan bahwa shortage cost terjadi apabila ada permintaan terhadap barang tetapi stok habis (stock out ).
4. Biaya pengurangan waktu tunggu (crashing cost )
Menurut Taha [21], biaya pengurangan waktu tunggu merupakan biaya yang dikeluarkan untuk mengurangi waktu tunggu.
Total biaya persediaan = biaya pemesanan + biaya penyimpanan + biaya keru- gian + biaya pengurangan waktu tunggu
2.2.5 Variabel yang Mempengaruhi Biaya Persediaan
Total biaya persediaan dipengaruhi oleh beberapa variabel sebagai berikut
commit to user 1. Waktu tunggu (lead time).
Menurut Taha [21], waktu tunggu (L) adalah waktu antara pemesanan dan penerimaan barang. Permintaan tetap berlangsung selama waktu tunggu.
Jika persediaan selama waktu tunggu tidak dapat memenuhi permintaan pelanggan maka akan berakibat terjadinya kekurangan persediaan (stock out ). Untuk menghindari terjadinya hal ini, perlu adanya pengurangan waktu tunggu untuk mempercepat kedatangan barang. Waktu tunggu da- pat dikurangi dengan adanya penambahan biaya (Ben-daya dan Raouf [4]).
2. Siklus pemesanan (ordering cycle).
Taha [21] mendefinisikan siklus pemesanan sebagai periode waktu diantara dua kedatangan pesanan berturut-turut. Siklus pemesanan diklasifikasikan menjadi dua, yaitu
(a) periodic review, pemesanan dilakukan dengan interval waktu yang sama, pemesanan dilakukan pada awal tiap siklus pemesanan.
(b) continous review, pemesanan dilakukan ketika persediaan mencapai titik pemesanan kembali (reorder point ).
3. Potongan harga backorder (backorder price discount ).
Menurut Yang et al. [25] dan Lin [11], backorder price discount (πx) meru- pakan potongan harga yang diberikan oleh perusahaan kepada konsumen ketika terjadi kekurangan persediaan. Perusahaan menawarkan potongan harga (price discount ) untuk mengganti kerugian atas gangguan ketidaknya- manan dikarenakan kasus backorder, semakin tinggi potongan harga dari perusahaan semakin tinggi keuntungan pelanggan, oleh karena itu rasio yang lebih tinggi meningkatkan kemungkinan backorder.
2.2.6 Model Persediaan
Berikut ini dijabarkan asumsi-asumsi yang digunakan dalam model perse- diaan (T, πx, L) menurut Lin [11].
commit to user
1. Tingkat persediaan ditinjau setiap unit waktu T . Pemesanan dilakukan sehingga jumlah barang mencapai tingkat persediaan maksimum R, dengan R = ekspektasi permintaan selama protection interval + stok keamanan, R = D(T + L) + kσ√
T + L , dengan k adalah faktor pengaman.
2. Waktu tunggu L mempunyai n komponen saling bebas, dengan komponen ke-i mempunyai durasi normal bi dan durasi minimum ai, i = 1, 2, 3, , n dan biaya pengurangan waktu tunggu per unit waktu ci, dengan ci diatur sedemikian hingga c1 ≤ c2...≤ cn.
3. Diberikan Li dinotasikan sebagai waktu tunggu dengan komponen 1, 2, ..., i ditentukan durasi minimumnya, dengan Li dapat dinyatakan dengan
Li =∑n
j=1bj−∑i
j=1(bj − aj), dengan i = 1, 2, ..., n.
Biaya pengurangan waktu tunggu C(L) tiap siklus adalah
C(L) = ci(Li−1− L) +∑i
j=1cj(bj − aj), untuk L∈ [Li, Li−1].
4. Rasio backorder β proporsional terhadap backorder price discount yang ditawarkan oleh perusahaan per unit πx, dengan β = β0ππx
0 , untuk 0 < β0 ≤ 1 dan 0≤ πx ≤ π0.
Biaya total tahunan yang diharapkan (expected annual cost ) adalah pen- jumlahan dari biaya pemesanan, biaya penyimpanan, biaya kekurangan persedia- an, dan biaya pengurangan waktu tunggu, sehingga diperoleh total biaya perse- diaan sebagai berikut
EAC(T, πx, L) = OC + HC + SC + CC
= AT + h[R− DL −DT2 + (1− β0ππ0x)E(X− R)]
+T1(β0ππx2
0 + π0− β0πx)E(X− R) + C(L)T .
(2.1)
2.2.7 Investasi Modal
Menurut Ouyang [17], investasi modal (I(A)) digunakan untuk mengurangi biaya pemesanan. Jika terdapat A0 yang merupakan besarnya biaya pemesanan
commit to user
awal yang dikeluarkan oleh perusahaan, maka besarnya akan berkurang sampai dengan A. Sedangkan I(A) adalah fungsi logaritma dari biaya pemesanan A dan biaya pemesanan awal A0, yaitu
I(A) = α ln (A0
A )
untuk 0 < A≤ A0, dengan α = 1 δ,
δ adalah persentase penurunan A per satuan mata uang. Fungsi logaritma di- terapkan untuk menggambarkan hubungan antara biaya pemesanan dan investasi modal karena sesuai dengan penelitian di Jepang seperti yang telah dilakukan oleh Hall dan Porteus (Wu dan Lin [24]).
2.2.8 Optimasi Fungsi Multivariabel
Optimasi digunakan untuk mencari nilai minimum atau maksimum dari suatu fungsi. Berikut diberikan beberapa definisi tentang optimasi fungsi multi- variabel yang diacu dari Nash dan Sofer [13].
Definisi 2.2.5. Vektor Gradien dari fungsi f (x1, x2,· · · , xn) dengan semua tu- runan pertamanya ada didefinisikan sebagai
∇f = [∂f (x)∂x
1
∂f (x)
∂x2 · · · ∂f (x)∂xn ]T.
Definisi 2.2.6. Jika fungsi f (x1, x2,· · · , xn) mempunyai turunan kedua yang kontinu, maka matriks Hessiannya adalah
∂2f (x)
∂x21 · · · ∂x∂21f (x)∂xn ... . .. ...
∂2f (x)
∂xn∂x1 · · · ∂2∂xf (x)2 n
.
Definisi 2.2.7. Sebuah matriks simetri Hn×n merupakan matriks definit positif jika untuk setiap vektor x ̸= 0 yang berdimensi n berlaku xTHx > 0 dan semi definit positif jika xTHx≥ 0.
Untuk menentukan apakah matriks Hn×n definit positif, perlu ditunjukkan bahwa nilai determinan principal minor > 0. Definisi principal minor menurut Winston [23] adalah
commit to user
Definisi 2.2.8. Pricipal minor ke-i dari matriks berukuran n× n adalah deter- minan dari matriks berukuran i× i yang diperoleh dengan menghapus n − i baris dan n− i kolom dari matriks tersebut.
Menurut Rao [20], jika nilai dari principal minor determinant test dari ma- triks H adalah positif maka H definit positif. Jika nilai principal minor determi- nant test dari matriks H adalah non negatif maka H semi definit positif. Berikut adalah teorema mengenai fungsi konveks dan definisi nilai minimum oleh Bazaraa dan Shetty [3].
Definisi 2.2.9. Suatu fungsi f (x) adalah konveks pada suatu selang S jika untuk setiap dua titik x1 dan x2 di dalam S dan untuk sembarang 0 ≤ λ ≤ 1, maka berlaku
f (λx1+ (1− λ)x2)≤ λf(x1) + (1− λ)f(x2).
Teorema 2.2.2. Fungsi f konveks jika dan hanya jika matriks hessian semi definit positif.
Definisi 2.2.10. Jika terdapat persekitaran Nε(x∗) sedemikian sehingga f (x∗)≤ f (x) untuk setiap xϵNε(x∗), maka x∗ merupakan minimum relatif dari f.
Berikut adalah teorema mengenai diferensial tingkat dua dari sebuah fungsi f yang diacu dari Bronson [5].
Teorema 2.2.3. Fungsi f terdiferensial sampai tingkat dua. Jika x∗ merupakan minimum relatif dari f, maka ∇f(x∗) = 0 dan ∇f2(x∗) semi definit positif.
2.3 Kerangka Pemikiran
Persediaan merupakan salah satu hal penting dalam sebuah perusahaan.
Sistem persediaan selalu berhubungan dengan permintaan dan biaya. Dalam suatu perusahaan, permintaan yang sering terjadi bersifat probabilistik, sehingga dimungkinkan terjadinya kekurangan persediaan (stock out ) atau bahkan kelebi- han barang di gudang yang mengakibatkan kerugian. Perencanaan persediaan
commit to user
yang baik akan memperkecil resiko kerugian tersebut. Persediaan barang da- pat dimodelkan secara matematis untuk menentukan jumlah barang yang harus dipesan dan waktu pemesanan kembali agar dapat meminimalkan total biaya persediaan. Ketika terjadi stock out, perusahaan dapat menawarkan potongan harga (price discount ) yang dapat dipertimbangkan untuk loyalitas, toleransi, dan kesabaran pelanggan untuk mengganti kerugian atas gangguan ketidaknya- manan backorder. Pada saat pemesanan barang, dimungkinkan adanya waktu tunggu. Waktu tunggu memiliki peranan yang penting dalam sebuah sistem persediaan karena dapat menyebabkan stockout. Untuk dapat memenuhi per- mintaan tersebut, perusahaan harus memesan barang lebih sering, yang berarti akan meningkatkan biaya pemesanan. Biaya pemesanan dapat dikurangi de- ngan adanya investasi modal. Oleh karena itu, investasi modal juga dapat diper- timbangkan sebagai variabel kontrol pada model persediaan. Model persediaan ditentukan dengan menjumlahkan biaya-biaya yang mempengaruhi total biaya persediaan. Model persediaan periodic review merupakan model dengan fungsi multivariabel sehingga model tersebut akan bernilai minimum jika mempunyai sifat kekonvekan. Ditentukan penyelesaian optimal dari panjang interval waktu pemesanan, besarnya backorder price discount, lamanya waktu tunggu, dan be- sarnya investasi modal. Selanjutnya dicari nilai dari setiap variabel pada model persediaan periodic review yang dapat meminimumkan biaya total persediaan.
