MODEL PENDEKATAN MINIMUM PERSEDIAAN-PERMINTAAN
UNTUK SOLUSI OPTIMAL MASALAH TRANSPORTASI FUZZY TRAPESIUM
KARYA ILMIAH
OLEH
ELSA FADILAH NIM. 1703122134
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU
PEKANBARU 2021
MODEL PENDEKATAN MINIMUM PERSEDIAAN-PERMINTAAN UNTUK SOLUSI OPTIMAL MASALAH TRANSPORTASI FUZZY TRAPESIUM
ELSA FADILAH
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
elsafadilah2039@student.unri.ac.id
ABSTRACT
This paper discusses the trapezoidal fuzzy numbers transportation problem with one point approach to optimize. The coefficents of cost, supply and demand are a fuzzy number that appears because there are uncertainty that cannot be predicted due to several factors. Simplex transportation method is implemented by conversion of the objective function and the fuzzy constraint function based on the fuzzy transporta- tion problem into four crisp transportation problem. The method is equipped with minimum of supply and demand approach. At the end, the solutions are combined to construct the optimal solution. The result are substituted into fuzzy variabels, so that the decision table of fuzzy variables are obtained.
Keywords: Trapezoidal fuzzy number, minimum of supply and demand approach, simplex method, fuzzy transportation problem
ABSTRAK
Kertas kerja ini membahas masalah transportasi bilangan fuzzy trapesium dengan pendekatan satu titik. Koefisien biaya, persediaan dan permintaan berupa bilangan fuzzy yang muncul karena terdapat ketidakpastian yang tidak bisa diprediksi dikare- nakan beberapa faktor. Metode simplex diimplementasikan dengan mengkonversi fungsi tujuan dan fungsi kendala fuzzy pada persoalan transportasi fuzzy ke dalam bentuk empat bilangan tegas (crisp) persoalan transportasi. Metode ini dilengkapi dengan pendekatan minimum dari persediaan dan permintaan. Pada akhirnya solusi tersebut digabungkan untuk membentuk solusi optimal. Nilai yang diperoleh selan- jutnya disubstitusikan ke variabel fuzzy, sehingga diperoleh tabel keputusan fuzzy yang diinginkan.
Kata kunci: Bilangan fuzzy trapesium, pendekatan minimum persediaan dan per- mintaan, metode simplex, masalah transportasi fuzzy
1. PENDAHULUAN
Masalah transportasi merupakan salah satu cabang dari riset operasi yang sering terjadi dalam kehidupan sehari-hari yakni suatu kasus khusus dari permasalahan program linear yang memungkinkan untuk menentukan pola pengiriman/distribusi dari beberapa sumber (source) ke tujuan (destination) dengan biaya yang minimum.
Pola pendistribusian barang yang dilakukan harus diatur sedemikian rupa sehingga mencapai hasil yang optimal.
Beberapa parameter yang terdapat dalam permasalahan transportasi adalah banyaknya permintaan, jumlah persediaan barang dari setiap tujuan tidak selalu pasti berada dalam suatu nilai tertentu. Begitu pula biaya transportasi yang diper- lukan terkadang masih belum pasti. Dalam kehidupan sehari-hari, permasalahan yang dihadapi manusia terjadi secara tidak terduga pada kenyataannya, hal tersebut menimbulkan ketidakpastian yang tidak bisa dihindari, seperti ketidakpastian biaya distribusi, jumlah pesediaan dan jumlah permintaan yang terjadi karena adanya beberapa faktor yang tidak terkendali.
Bilangan fuzzy diperkenalkan oleh Zadeh [10] yang membahas sebuah teori me- ngenai himpunan fuzzy yang merupakan himpunan dengan batasan yang tidak je- las. Amiri dan Nasseri [1] menjelaskan bahwa teori himpunan fuzzy telah banyak diterapkan pada banyak disiplin ilmu seperti teori kontrol dan ilmu manajemen, permodelan matematika dan aplikasi industri. Kaur dan Kumar [6] juga menya- takan dalam kehidupan nyata jenis ketidakpastian dapat muncul, misalnya orang yang menentukan mungkin tidak memiliki gagasan yang benar tentang biaya trans- portasi, atau pengambilan keputusan memiliki gagasan yang tidak jelas tentang permintaan pasar, atau mungkin tedapat kedwimaknaan dalam penyediaan barang.
Untuk menangani masalah tersebut diperlukan teknik pemecahan masalah trans- portasi yang lebih umum.
Dalam menyelesaikan suatu masalah transportasi dapat diselesaikan dengan men- cari solusi basis awal terlebih dahulu dengan beberapa metode seperti metode sudut barat laut, Vogel’s approximation method (VAM ) dan best cadidate method, atau menggunakan minimum supply-demand. Kemudian solusi optimal dilakukan dengan menggunakan metode simplex transportasi.
Pada kertas kerja ini dibahas mengenai penyelesaian masalah transportasi fuzzy trapesium penuh yakni biaya pengiriman, supply, dan demand berbentuk bilangan fuzzy trapesium. Pendekatan minimum supply-demand digunakan untuk mencari solusi awal, kemudian diikuti dengan metode simplex transportasi untuk mendapat- kan solusi optimal.
Untuk menjelaskan hal ini, pada bagian dua diperkenalkan bilangan fuzzy trape- sium, dibagian ketiga dijelaskan tentang masalah transportasi fuzzy trapesium.
Selanjutnya, bagian keempat diperkenalkan pendekatan minimum supply-demand.
Pada bagian kelima dijelaskan metode simplex transportasi. Selanjutnya, dibagian keenam terdapat ilustrasi numerik. Kertas kerja ini diakhiri dengan bagian ketujuh yang berisi kesimpulan.
2. BILANGAN FUZZY TRAPESIUM
Dalam kehidupan nyata terdapat data-data pada masalah transportasi yang berupa pasti dan tidak pasti. Data yang tidak pasti dalam masalah transportasi seperti keti- dakpastian dalam biaya pengiriman yang disebabkan oleh beberapa faktor. Ebrahim- nejad [4] mengatakan bahwa para peneliti belum mengetahui pasti biaya pengiriman barang pada masalah transportasi yang disebabkan karena adanya beberapa faktor diantaranya waktu, jarak, kualitas suatu barang, dan berat barang yang dikirim.
Salah satu konsep matematika yang dapat menggambarkan konsep ketidakpastian adalah himpunan fuzzy. Oleh sebab itu, perlu dijelaskan beberapa konsep ten- tang bilangan fuzzy sehingga data yang muncul pada masalah transportasi dapat digambarkan dengan baik dan memperoleh hasil yang optimal. Beberapa definisi pendukung tentang bilangan fuzzy diberikan berikut ini.
Definisi 1 [7] Misalkan R adalah himpunan bilangan real, kemudian terdapat him- punan fuzzy A di R yang didefinisikan dengan pasangan terurut
A = {(x, µA˜(x))|x ∈ R} ,
dengan µA˜(x) adalah fungsi keanggotaan himpunan fuzzy. Fungsi keanggotaan memetakan setiap elemen R ke nilai keanggotaan antara 0 dan 1.
Berdasarkan bentuk fungsi keanggotaannya terdapat beberapa bilangan fuzzy diantaranya bilangan fuzzy trapesium. Berikut definisi pendukung bilangan fuzzy trapesium.
Definisi 2 [8] Bilangan fuzzy ˜A = (a, b, c, d) dikatakan bilangan fuzzy trapesium jika fungsi keanggotaannya memenuhi
µA˜(x) =
x− a
b− a jika a ≤ x ≤ b, 1 jika b ≤ x ≤ c,
d− x
d− c jika c ≤ x ≤ d, 0 jika lainnya.
Definisi 3 [8] Bilangan fuzzy ˜A = (a, b, c, d) dikatakan bilangan fuzzy trapesium trivial jika dan hanya jika
(i) a = b = c = d
(ii) Anggota fungsi diberikan sebagai
µA˜(x) =
(1 untuk x = a, 0 untuk lainnya.
3. MASALAH TRANSPORTASI FUZZY TRAPESIUM
Masalah transportasi bilangan fuzzy trapesium adalah masalah transportasi dengan biaya pengiriman, supply dan demand berbentuk bilangan fuzzy trapesium. Kaur dan Kumar [6] menjelaskan bahwa ada beberapa faktor yang menyebabkan keti- dakpastian biaya seperti jarak pengiriman, waktu pengiriman, dan beberapa faktor lain yang mengharuskan pengunaan logika fuzzy pada persoalan transportasi ini untuk mempermudah menyelesaikan masalah transportasi. Oleh karena itu, penye- lesaian masalah ini menggunakan algoritma minimum dari persediaan-permintaan.
Secara umum bentuk matematika masalah transportasi bilangan fuzzy trapesium dirumuskan sebagai berikut:
min ˜z =
m
X
i=1 n
X
i=1
˜
cijxij, (1)
kendala
n
X
j=1
xij ≤ ˜ai; i = 1, 2, 3, . . . , m, (2)
m
X
i=1
xij ≥ ˜bj; j = 1, 2, 3, . . . , n, (3) xij ≥ 0 dan integer, i = 1, 2, 3, . . . , m dan j = 1, 2, 3, . . . , n,
dengan m adalah banyaknya sumber, n banyaknya tujuan, ˜ai banyaknya persediaan fuzzy dari sumber i, ˜bj banyaknya permintaan fuzzy dari tujuan j. Koefisien ˜cij
adalah biaya transportasi fuzzy unit dari sumber i ke tujuan j, dan xij adalah banyaknya jumlah unit yang dikirim dari sumber i ke tujuan j, i = 1, 2, 3, . . . , m, j = 1, 2, 3, . . . , n. Masalah transportasi dengan m sumber dan n tujuan memiliki m+ n − 1 buah variabel basis [3].
4. MINIMUM PERSEDIAAN DAN PERMINTAAN
Pada masalah transportasi fuzzy seimbang berukuran (m, n) dengan persediaan
˜
ai (i = 1, 2, · · · , m) dan permintaan ˜bj (j = 1, 2, · · · , n) berkorespondensi dengan biaya ˜cij yang bersesuaian, akan diubah ke bilangan tegas dengan mengambil titik pertama, kedua, ketiga dan keempat pada bilangan fuzzy trapesium. Kemudian dengan menggunakan algoritma minimum persediaan-permintaan untuk mengatur distribusi dari sumber i ke tujuan j sehingga diperoleh solusi basis awal. Adapun algoritma minimum persediaan-permintaan sebagai berikut [2]:
(i) Nilai minimum dari (ai, bj) dipilih, kemudian dicari biaya terkecil sesuai dengan nilai minimum dari (ai, bj) dan alokasikan dengan 3 kasus, yaitu:
(a) Jika nilai minimum dari (ai, bj) = ai, maka alokasikan aipada baris ke-i di biaya terkecil dan baris ke-i tersebut dihilangkan sehingga menghasilkan tabel berukuran (m − 1) × n.
(b) Jika nilai minimum dari (ai, bj) = bj, maka alokasikan bj pada kolom ke-j di biaya terkecil pada kolom ke-j tersebut sehingga meng- hasilkan tabel berukuran m × (n − 1).
(c) Jika nilai terkecil dari (ai, bj) = ai = bj, maka baris atau kolom yang memiliki biaya terkecil dipilih sesuai pada baris ke-i dan kolom ke-j.
(ii) Langkah (i) diterapkan secara berulang hingga tabel reduksi alokasi biaya transportasi berukuran 1 × 1 yang telah menunjukkan semua alokasi yang mungkin di semua sel.
(iii) Solusi basis fisibel awal (xij) dan korespondensi biaya transportasi (cij) yang telah didapatkan dari langkah sebelumnya akan dirumuskan Pm
i=1
Pn
i=1cijxij.
5. METODE SIMPLEX TRANSPORTASI
Solusi basis awal yang diperoleh dari beberapa metode belum tentu menjadi solusi yang optimal. Untuk memperoleh nilai optimal dapat digunakan dual dan primal.
Menurut Gamal [5, h. 57] persoalan dual merupakan persoalan rangkap program linear yang didefinisikan secara langsung dan sistematis dari persoalan asal atau primal. Pada umumnya perlakuan program linear dual didefinisikan untuk berbagai bentuk dari primal yang bergantung pada jenis kendala, tanda variabel, dan jenis optimisasi (min atau maks). Di dalam Gamal [5, h. 62] dijelaskan bahwa jika primal berbentuk
maks z = cTx, kendala Ax ≤ b,
x ≥ 0,
(4)
maka dualnya berbentuk
min ˜z = bTy, kendala ATy ≥ c,
y ≥ 0,
(5)
dengan x merupakan variabel dari primal yang memiliki variabel maksimisasi normal nonnegatif dengan semua kendala (≤). Variabel y merupakan variabel dari dual yang memiliki variabel minimisasi normal nonnegatif dengan semua kendala (≥).
Gamal [2, h. 97] menjelaskan tentang metode simplex transportasi. Metode simplex transportasi pada persoalan minimasi dapat dipandang sebagai primal dengan m sumber dan n tujuan dalam bentuk notasi sigma yaitu:
min z =
m
X
i=1 n
X
j=1
cijxij, (6)
kendala n X
j=1
xij ≤ ai ; i = 1, 2, 3, . . . , m, (7)
m
X
i=1
xij ≥ bj ; j = 1, 2, 3, . . . , n, (8) Dapat diubah sebagai dual yang diperoleh dalam bentuk notasi sigma yaitu:
maks w =
m
X
i=1
aiui+
n
X
j=1
bjvj, (9)
kendala
ui+ vj ≤ cij, i= 1, 2, 3, . . . , m dan j = 1, 2, 3, . . . , n, (10)
ui dan vj bebas tanda. . (11)
Pertidaksamaan (10) merupakan syarat optimal dari masalah transportasi. Gamal [5, h. 107] menjelaskan langkah-langkah masalah transportasi, yaitu:
(i) Menentukan ui dan vj untuk setiap sel basis yang diperoleh dengan menggu- nakan persamaan
ui+ vj = cij, (12)
dengan cij adalah biaya transportasi satu unit antara sumber i dan tujuan j.
Tetapkan variabel dual persediaan biasanya ui = 0, dan v1 = 0.
(ii) Menentukan biaya yang mungkin untuk setiap sel nonbasis dengan menggu- nakan persamaan
¯
cij = ui+ vj− cij ≤ 0, (13) dengan ¯cij adalah biaya yang mungkin.
(iii) Terdapat beberapa kasus, yaitu:
a. Jika ¯cij bernilai negatif maka solusi yang diperoleh sebelumnya merupa- kan solusi optimal.
b. Jika ¯cij bernilai positif maka solusi yang diperoleh belum optimal. Per- baiki solusi dengan menemukan variabel yang akan masuk basis (variabel masuk) dan variabel yang akan keluar dari basis (variabel keluar). Vari- abel masuk adalah variabel yang berkorespondensi dengan nilai ¯cij yang paling positif. Untuk menemukan variabel masuk dan variabel keluar, dikonstruksi suatu loop tertutup yang bermula dan berakhir pada variabel masuk. Loop tersebut terdiri dari segmen vertikal dan horizontal secara berturut-turut dengan arah yang tidak ditetapkan, artinya bisa searah atau berlawanan arah jarum jam. Variabel keluar ditentukan dengan
memilih variabel basis terkecil yang berada pada loop yang telah dikon- truksi. Selanjutnya variabel masuk diisi sebanyak variabel keluar. Misal- kan xij adalah variabel masuk, ketika xij dinaikkan sebesar 1 unit untuk menjaga solusi, variabel basis yang berada di dalam loop disesuaikan dengan banyaknya permintaan dan persediaan, yaitu dengan menaikkan dan menurunkan variabel basis pada loop. Proses ini diringkas di dalam tabel dengan tanda (+) dan (−) pada sel yang bersesuaian. Perubahan yang diperoleh akan menjaga kendala persediaan dan kendala permintaan agar tetap terpenuhi. Kemudian kembali ke langkah (i).
6. ILUSTRASI NUMERIK
Seorang pengusaha tahu di kota Padang memiliki 3 pabrik, yaitu pabrik S1, pabrik S2 dan pabrik S3. Pengusaha tersebut akan mengirim tahu dari masing-masing pabrik ke kota D1 dan kota D2. Untuk pabrik S1 rata-rata persediaan pabrik dalam 3 hari sebanyak 60kg sampai 75kg, persediaan minimal tidak pernah di bawah 45kg dan persediaan maksimal tidak pernah di atas 105kg. Untuk persediaan pabrik S2 dan S3 dapat dilihat pada Tabel 1.
Dalam pengirimannya tahu tersebut dikemas dalam box, masing-masing box berisi 10kg tahu. Permintaan masing-masing kota tidak menentu, tergantung dari persediaan yang ada dan permintaan dari pelanggan masing-masing kota. Untuk kota D1 rata-rata permintaan tahu sebanyak 75kg sampai 100kg, permintaan mi- nimal tidak pernah di bawah 50kg, dan permintaan maksimal tidak pernah di atas 115kg. Untuk kota D2, permintaan dapat dilihat pada Tabel 1.
Masing-masing pabrik mengirimkan permintaan tahu menggunakan truk menuju daerah kota pemasaran. Dalam pengiriman tahu tersebut sering terjadi ketidakaku- ratan dalam biaya pengiriman yang diakibatkan beberapa faktor, salah satu faktor yaitu berat tahu yang dikirim. Semakin berat suatu barang, maka semakin tinggi biaya pengirimannya, begitu juga sebaliknya. Setiap 10kg tahu, dikenakan biaya seberat Rp1 (dalam puluhan ribu rupiah) yakni dari pabrik S1 ke kota D1 diper- oleh biaya pengirimannya berturut-turut ˜A = (4, 6, 12, 20) yang disebut bilangan fuzzy trapesium berdasarkan Definisi 2. Biaya pengiriman dari beberapa pabrik ke beberapa kota dapat dilihat pada Tabel 1.
Solusi awal ditentukan dengan minimum persediaan-permintaan. Persediaan dan permintaan diperiksa keseimbangannya yaitu jumlah persediaan P3
i=1a˜i = (45, 60, 70, 85)+(60, 70, 100, 105) = (105, 130, 170, 190) dan jumlah permintaanP3
j=1
b˜j = (50, 65, 85, 100) + (75, 85, 105, 110) + (100, 105, 115, 135) = (225, 255, 305, 345), karena P3
i=1a˜i = (105, 130, 170, 190) 6= (225, 255, 305, 345) = P3
j=1b˜j, sehingga masalah transportasi dikatakan tak seimbang. Masalah ini diseimbangkan dengan menambah variabel bantu atau sumber dummy sebanyak P3
j=1b˜j − P3
i=1a˜i = (225, 255, 305, 345) − (105, 130, 170, 190) = (120, 125, 135, 155).
Tabel 1: Tabel ongkos kirim bilangan fuzzy pengusaha tahu
Pabrik D1 D2 D3 Supply
S1 (4, 6, 12, 20) (5, 7, 14, 22) (3, 5, 24, 27) (45, 60, 70, 85) S2 (2, 5, 15, 18) (6, 8, 13, 19) (4, 7, 22, 26) (60, 70, 100, 105) Demand (50, 75, 85, 100) (75, 85, 105, 110) (100, 105, 115, 135)
Biaya transportasi dari sumber dummy ke tujuan adalah biaya penalti, yakni denda yang besarnya sebanding dengan jumlah barang yang dikirim yang dapat dinyatakan sebagai biaya pengiriman. Dalam hal ini biaya transportasi sebesar Rp30 pada masing-masing sumber ke tujuan yang merupakan bilangan fuzzy trivial berdasarkan Definisi 3. Hal ini dapat dipahami karena pada kenyataannya sumber tidak dapat memenuhi permintaan dari tujuan sehingga biaya pengiriman berupa suatu denda yang besarnya sebanding dengan jumlah barang yang tidak dikirim.
Model transportasi yang telah di seimbangkan dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2: Tabel transportasi seimbang ongkos kirim
Pabrik D1 D2 D3 Supply
S1 (4, 6, 12, 20) (5, 7, 14, 22) (3, 5, 24, 27) (45, 60, 70, 85) S2 (2, 5, 15, 18) (6, 8, 13, 19) (4, 7, 22, 26) (60, 70, 100, 105) Dummy (30, 30, 30, 30) (30, 30, 30, 30) (30, 30, 30, 30) (120, 125, 135, 155) Demand (50, 65, 85, 100) (75, 85, 105, 110) (100, 105, 115, 135)
Selanjutnya bilangan fuzzy trapesium dikonversi ke bentuk bilangan tegas men- jadi empat titik dengan mengambil titik pertama, kedua, ketiga dan keempat. Ke- mudian menggunakan minimum persediaan-permintaan untuk mendapatkan solusi awal pada Tabel 3.
Tabel 3: Solusi basis awal titik 1
D1 D2 D3 Supply
S1
4 5 3
45 45
S2
2 50
6 4
10 60
Dummy
30 30
75
30
45 120
Demand 50 75 100
Pada kasus ini diperoleh solusi awal yaitu x13 = 45, x21 = 50, x23 = 10, x32 = 75, x33= 45. Selanjutnya solusi awal diperiksa keoptimalanya dengan menggunakan metode simplex transportasi pada bagian 5. Nilai variabel dual ui dan vj ditentukan untuk setiap variabel basis menggunakan persamaan (12) dengan u1 = 0 sehingga diperoleh v1 = 1, v2 = 3, v3 = 3, u2 = 1, dan u3 = 27. Kemudian untuk setiap variabel nonbasis ditentukan ¯cij dengan persamaan (13), yaitu ¯c11 = −3, ¯c14 =
−1, ¯c12 = −2, ¯c22 = −2, ¯c23 = −1, dan ¯c31 = −2. Jika sel nonbasis sudah bernilai negatif, maka sudah memenuhi syarat keoptimalannya, sehingga diperoleh biaya transportasi minimum sebesar
z1 =3(45) + 2(50) + 4(10) + 30(65) + 30(55)
=3875(dalam puluhan ribu rupiah).
Dengan melakukan prosedur yang sama yaitu mengambil titik kedua sampai titik keempat, diperoleh biaya transportasi minimum sebagai berikut:
z2 =5(60) + 5(65) + 7(5) + 30(85) + 30(40)
=4410(dalam puluhan ribu rupiah)
z3 =12(70) + 13(100) + 30(15) + 30(5) + 30(115)
=6190(dalam puluhan ribu rupiah)
z4 =20(85) + 18(15) + 19(90) + 30(20) + 30(135)
=8330(dalam puluhan ribu rupiah).
Kemudian melakukan final alokasi yang merupakan gabungan dari solusi basis awal titik 1, titik 2, titik 3, dan titik 4. Dengan menganalisis kombinasi alokasi yang diperoleh melalui perhitungan point wise dari setiap titik pertama sampai titik keempat, sehingga diperoleh bahwa biaya transportasi yang optimal untuk masalah transportasi fuzzy akan diperoleh jika kota D1 dan D2 hanya bisa menerima dari pabrik S2, dan kota D3 bisa menerima dari pabrik S1 dan pabrik S2 seperti pada Tabel 4. Kemudian dari Tabel 4 diperoleh tabel keputusan dan ilustrasi dari bilangan fuzzy trapesium yang dapat dilihat pada Tabel 5 dan Gambar 1.
Tabel 4: Tabel Point Wise
D1 D2 D3 Supply
S1 (0, 0, 70, 85) (0, 0, 0, 0) (45, 60, 0, 0) (45, 60, 70, 85) S2 (50, 65, 0, 15) (0, 0, 100, 90) (10, 5, 0, 0) (60, 70, 100, 105) Dummy (0, 0, 15, 0) (75, 85, 5, 20) (45, 40, 115, 135) (120, 125, 135, 155) Demand (50, 65, 85, 100) (75, 85, 105, 110) (100, 105, 115, 135)
Tabel 5: Tabel Keputusan D1 D2 D3
S1 × × √
S2 √ √ √
Dummysource × √ √
0 1
(3875) (4410) (6190) (8330) x µA˜(x)
Gambar 1: Bilangan fuzzy trapesium
Gambar 1 merupakan representasi solusi optimal biaya pengangkutan pengusaha tahu dari titik 1 hingga titik 4. Solusi tersebut membentuk bilangan fuzzy trapesium yaitu (3875, 4410, 6190, 8330) yang terdapat pada Definisi 2 dengan µA˜(x) pada interval 0 sampai 1.
7. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan yang dikemukakan sebelumnya bahwa dalam menentukan solusi awal dari titik 1 hingga titik 4 digunakan minimum persediaan-permintaan.
Kemudian diuji keoptimalan dan didapat keoptimalannya dengan metode simplex transportasi. Solusi yang diperoleh dari minimum persediaan-permintaan memben- tuk bilangan fuzzy trapesium. Kemudian disimpulkan bahwa minimum persediaan- permintaan dapat dijadikan metode alternatif dalam penyelesaian masalah trans- portasi fuzzy trapesium.
Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. M. D. H.
Gamal, M.Sc. dan anonymous reviewer yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan kertas kerja ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] M. N. Amiri dan S. H. Nasseri, Duality results and a dual simplex method for linear programming problems with trapezoidal fuzzy variables, Fuzzy Sets and Systems,158 (2007), 1961-1978.
[2] D. C. S. Bisht dan P. K. Srivastava, One point model conventional to optimize trapezoidal fuzzy transportation problem, International Journal of Mathemati- cal, Engineering, and Management Sciences, 4 (2019), 1251-1263.
[3] S. K. Bose, Operations Research Methods, Alpha Science, Harrow, 2005.
[4] A. Ebrahimnejad, A new method for solving fuzzy transportation problem with LR flat fuzzy numbers, Information Sciences, 7 (2016), 1-37
[5] M. D. H. Gamal, Program Linear dan Integer : Buku Ajar, Pusat Pengemban- gan Pendidikan Universitas Riau, Pekanbaru, 2007.
[6] A. Kaur dan A. Kumar, A new method for solving fuzzy transportation problems using ranking function, Applied Mathematical Modelling, 35 (2011), 5652-5661.
[7] S. H. Nasseri, E. Behmanesh, F. Taleshian, M. Abdolalipoor, dan N. A. Nezhad, Fully fuzzy linear programming with inequality constraints, International Jour- nal Industrial Mathematics, 5 (2013), 309-316.
[8] A. Priyanka, Pathade, A. Ahmed, dan K. P. Ghadel, A systematic approach for solving mixed constraint fuzzy balanced and unbalanced transportation problem, Indonesian Journal of Electrical Engineering and Computer Science, 19 (2020), 85-90.
[9] W. L. Winston, Operations Research: Applications and Algorithms, Fourth Edition, Books ColeThomson Learning, Belmont, 2004.
[10] L. A. Zadeh, Fuzzy sets, Information and Control, 3 (1965), 338-353.
