BAB IV SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA DENGAN MENGGUNAKAN KERNEL SERAGAM. ) menyatakan banyaknya kejadian pada interval [ 0, n ] dan h

BAB IV

SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA

DENGAN MENGGUNAKAN KERNEL SERAGAM

4.1 Penduga dengan Kernel Seragam

Pada bab ini digunakan penduga dengan kernel seragam. Hal ini karena saya belum berhasil memperoleh sebaran asimtotik dari penduga dengan kernel umum. Untuk itu bab ini menggunakan kernel seragam.

Penduga bagi λc

( )

s pada ^s∈

[ )

^0,τ menggunakan kernel seragam dapat didefinisikan sebagai berikut (lihat 3.10)

( ) ( [ ] [ ] )

, 2

0

, 0,

ˆ 1

( ) 2

n n

c n

k n

N s k h s k h n

s n s k h

τ τ

λ τ

τ

∞

=

+ − + + ∩

=

∑

+

(4.1) dengan N

( [ ]

0, n menyatakan banyaknya kejadian pada interval

) [ ]

0, n dan h _n adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu

n 0

h ↓ (4.2) untuk n→ ∞. Pada penduga di atas, h disebut bandwidth. _n

Untuk menyusun penduga diperlukan data ^N

( [ ]

^0,n

)

, yaitu data realisasi proses Poisson pada interval

[ ]

0, n , dengan n bilangan real dan n harus relatif besar dibandingkan periode τ. Fungsi intensitas ^λ

( )

^s dapat didekati dengan rata- rata banyaknya kejadian di sekitar s atau pada interval

[

s h s− n^, +hn

]

. Oleh karena itu, penduga bagi ^λ

( )

^s , dinotasikan dengan ^{λˆ s}

( )

, diperoleh dengan menentukan rata-rata banyaknya kejadian di sekitar s. Secara matematis dapat ditulis menjadi

_ˆ

( ) ( [

^,

] )

2

n n

n

N s h s h

s h

λ = ^{− +} . (4.3)

Berdasarkan sifat keperiodikan λ_c pada persamaan (3.4), maka didapatkan penduga komponen periodik fungsi intensitas λ di sekitar s+kτ, yaitu λ^ˆc

( )

s yang menyatakan rata-rata banyaknya kejadian di sekitar s+kτ dibagi

(

^s+kτ

)

^{2 .}

Secara matematis dapat ditulis menjadi

( ) ( [ ] )

( )

²

ˆ ,

2

n n

c

n

N s k h s k h s

s k h

τ τ

λ τ

+ − + +

= + . (4.4)

Data yang diamati pada interval

[ ]

0, n . Dinotasikan n_τ ⁿ

≈τ menyatakan banyaknya bilangan bulat k sehingga ^s+kτ∈

[ ]

^0,n . Sehingga didapatkan suatu penduga bagi λ_c untuk ^s+kτ∈

[ ]

^{0,n , yaitu}

( ) ( )

[ ] ( )

( )

2 0

, 0,

1 1

ˆ .

2

n n

c

k n

N s k h s k h n

s nτ s k h

τ τ

λ τ

∞

=

+ − + + ∩

=

∑

+ (4.5)

Dengan mengganti n_τ dengan ⁿ

τ , maka diperoleh penduga komponen periodik λc

( )

s , yaitu

( ) ( [ ] [ ] )

, 2

0

, 0,

ˆ 1

( ) 2

n n

c n

k n

N s k h s k h n

s n s k h

τ τ

λ τ

τ

∞

=

+ − + + ∩

=

∑

+

seperti pada persamaan (4.1).

Berdasarkan Teorema 3.1 diperoleh nilai harapan untuk penduga dengan kernel seragam sebagai berikut:

(

^,

( ) ) ( )

^''

( )

²

( )

²

6

c

c n c n n

s s λ s h o h

λ =λ + +

E

(4.6) untukn→ ∞ .

Berdasarkan Teorema 3.2, nilai ragam penduga dengan kernel seragam adalah

(

^{ˆc n,}

( ) )

₁₂^{2 c2}

^{( )}

^{21 ,}

n n

Var s s o

n h n h

λ =π λ + ^{ }

  (4.7)

untukn→ ∞.

4.2 Sebaran Asimtotik Penduga dengan Kernel Seragam Teorema 4.1 (Sebaran asimtotik penduga ˆ, ,

( )

c n s

λ )

Misalkan fungsi intensitas λmemenuhi (3.1) dan terintegralkan lokal, serta 0, 2

n n

h ↓ nh → ∞dan λ_cmemiliki turunan kedua λ ′′_c berhingga pada titik s.

(i) Jika n h² _n⁵ →0, maka ^{n h2 n}

(

^{λˆc n K, ,} ( )^{s −λc}( )^s

)

^{d→Normal}

⁽

^0,σ2

⁾

(4.8) untuk n→ ∞ dengan 2 ²

( )

12

c s σ =π λ .

(ii)Jika n h² _n⁵ →1maka ^{n h2 n}

(

^{λˆc n K, ,}

( )

^{s −λc}

( )

^s

)

^{d→Normal}

⁽

^{µ σ, 2}

⁾

^(4.9)

untuk n→ ∞ , dengan ¹

( )

6 ^c s

µ = λ^′′ dan 2 ²

( )

12

c s σ =π λ .

Bukti :

Ruas kiri (4.8) dan (4.9) dapat ditulis sebagai berikut:

^{n h2 n}

(

^{λˆc n,}

( )

^{s −λc}

( )

^s

)

= ^{n h2 n}

(

^{λˆc n,}

( )

^{s −Eλˆc n,}

( )

^s

)

^{+ n h2 n}

(

^{Eλˆc n,}

^{( )}

^{s −λc}

^{( )}

^s

)

^{. (4.10)}

Sehingga untuk membuktikan Teorema 4.1, cukup dibuktikan

( ) ( )

( ) ^{( )}

2 2

, ,

ˆ ˆ ^d 0,

n c n c n

n h λ s −Eλ s →Normal σ

(4.11) untuk n→ ∞ dan jika n h² _n⁵ →0 maka

^{n h2 n}

(

^{Eλˆc n K, ,}

( )

^{s −λc}

( )

^s

)

→ (4.12) ⁰ untuk n→ ∞ dan jika n h² _n⁵ →1 maka

( ) ( )

( )

2

, ,

ˆ 1 ,

n c n K c 6 c

n h Eλ s −λ s → λ^′′ (4.13) untuk n→ ∞ .

Berdasarkan Lema 4.1 kita peroleh (4.12) dan (4.13), dan berdasarkan Lema 4.2 kita peroleh (4.11). Jadi Teorema 4.1 terbukti.

Lema 4.1

Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3.1) dan terintegralkan lokal.

Misalkan pula h_n ↓0 dan nh_n² → ∞ untuk n→ ∞.

(i) Jika n h² _n⁵ →0 maka ( ) ( )

( )

2

ˆ, 0

n c n c

n h Eλ s −λ s →

(4.14) untuk n→ ∞ .

(ii) Jika n h² _n⁵ →1 maka ( ) ( )

( )

^{( )}

2 ,

ˆ 1

n c n c 6 c

n h Eλ s −λ s → λ^′′ s

(4.15)

untuk n→ ∞. Bukti :

Untuk membuktikan Lema 4.1 dapat digunakan persamaan (4.6) sehingga diperoleh

( ) ( )

( )

2

ˆ,

n c n c

n h Eλ s −λ s

= ² ( ) ²

( )

²

6

c

n n n

n h λ s h h

 ′′ ο 

 + 

 

 

= ^{2 2} ( ) ( )¹

6

c n n

n h h λ s

 ′′ ο 

 + 

 

 

= ^{2 5} ( ) ( )¹

6

c n

n h λ s

 ′′ ο 

 + 

 

 

. (4.16)

Karena n h² _n⁵ →0 dan ( ) ( )1 ( )1 6

c s

λ O

 ′′ ο 

 + =

 

 

maka diperoleh bagian (i) dari Lema 4.1.

Jika n h² _n⁵ →1 untuk n→ ∞ maka diperoleh bagian (ii) dari Lema 4.1. Dengan demikian Lema 4.1 terbukti.

Lema 4.2

Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3.1) dan terintegralkan lokal.

n 0

h ↓ dan n h² _n → ∞ untuk n→ ∞ maka

( ) ( )

( ) ^{( )}

2 2

, ,

ˆ ˆ ^d 0,

n c n c n

n h λ s −Eλ s →Normal σ

(4.17) untuk n→ ∞ dengan , 2 ²

( )

12 .

c s σ =π λ

Bukti :

Perhatikan bahwa ruas kiri pernyataan Lema 4.2 dapat ditulis sebagai ( ) ( ) ( )

( )

, ,

2

,

,

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

c n c n

n c n

c n

s E s

n h Var s

Var s

λ λ

λ λ

 − 

 

 

 

. (4.18)

Untuk membuktikan Lema 4.2 cukup dibuktikan

( ) ² ( )

2

, ,

ˆ

12

c

n c n K

n h Var s π λ s

λ →

(4.19) dan

( ) ( )

( ) ( )

, ,

,

ˆ ˆ

ˆ 0,1

c n c n d

c n

s E s

Normal

E s

λ λ

λ

 − 

  →

 

  (4.20)

untuk n→ ∞

Pertama dibuktikan pernyataan (4.19).

Dengan menyubstitusikan (4.7) ke ruas kiri (4.19) diperoleh

² ˆ, ,

( )

n c n K

n h Varλ s

= 2 ²

( )

2 2

1 12

c n

n n

n h s o

n h n h

π λ  

+  

 

=

( )

^{2 2} 2

^{( )}

2

1 12

c n

n n

n h s o

n h n h

π λ  

+  

 

= ²

( ) ( )

¹

12

c s

π λ +ο (4.21)

untuk n→ ∞ .

Misalkan ²

( ) ( )

¹

12

c s u π λ

ο

= + dan ^{f u}

( )

^{= u,} dengan menggunakan deret Taylor diperoleh

( )

²

( )

²

( )

²

( )

12 12 12

c c

c s s

f u f π λ s  f ^π λ ^u π λ ^

=  + ′  − 

    

²

( )

²

( )

^{2 1}

12 12 2! ...

c s c s

f π λ u π λ 

+ ′′  −  +

  

=

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2

2 2

1 1

1 ...

12 2 4

12 12

c

c c

s

s s

ο ο

π λ

π λ π λ

+ − + = ²

( ) ( )

¹

12

c s π λ +ο

untukn→ ∞ Maka diperoleh (4.19). .

Berdasarkan Lema 4.3 diperoleh (4.20). Dengan demikian Lema 4.2 terbukti.

Lema 4.3

Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3.1) dan terintegralkan lokal,

n 0,

h ↓ dan s adalah titik Lebesgue maka

( ) ( )

( ) ( )

, ,

,

ˆ ˆ

ˆ 0,1

c n c n d

c n

s E s

Normal

E s

λ λ

λ

 − 

  →

 

 

(4.22)

untuk n→ ∞ . Bukti : Misalkan

[ ]

( )

2 0

1 ,

( ) 2

n

n n

n

k n

N s k h s k h

X s k h

τ τ τ

= τ

+ − + +

=

∑

+

(4.23) danµ_n =E X( _n), dengan n_τ menyatakan banyaknya bilangan k sehingga

[ ]

^{0, .}

s+kτ∈ n

Karena h_n↓0 jika n→ ∞ , maka untuk nilai n yang cukup besar, peubah acak N

( [

s+ jτ−h sn^, + jτ +hn

] )

dan N

( [

s+kτ −h sn^, +kτ +hn

] )

, dengan k≠ j, adalah saling bebas. Perhatikan bahwa jumlah peubah acak Poisson yang saling bebas juga merupakan peubah acak Poisson. Sehingga ˆ,

( )

c n s

λ dapat ditulis

ˆ,

( ) ( )

c n s Xn

n λ =τ

yang merupakan peubah acak Poisson dikalikan suatu konstanta. Sehingga, berdasarkan Lema 4.4 untuk membuktikan (4.22) cukup ditunjukkan

µ_n → ∞

(4.24)

untuk n→ ∞

Untuk sembarang nilai n diperoleh nilai harapan peubah acak X adalah _n

( [ ] )

2 0

1 ,

( ) 2

n

n n

n

k n

N s k h s k h

E s k h

τ τ τ

µ ₌ τ

 + − + + 

= 

∑

+ 

( [ ] )

2 0

1 ,

( ) 2

n

n n

k n

N s k h s k h

E dx

s k h

τ τ τ

= τ

+ − + +

=

∑

+

( [ ] )

2 0

1 ,

( ) 2

n

n n

k n

EN s k h s k h

s k h dx

τ τ τ

= τ

+ − + +

=

∑

+

(4.25) Kemudian komponen EN

( [

s+kτ−h sn^, +kτ +hn

] )

pada persamaan (4.25) dapat diuraikan menjadi

[ ]

(

^,

)

ⁿ

( ) ( [ ]

^0,

)

^.

n

s k h

n n

s k h

N s k h s k h x I x n d x

τ τ

τ τ ^{+ +} λ

+ −

+ − + + =

∫

∈

E

(4.26) Dengan melakukan penggantian peubah ^{y= − +x}

(

^{s kτ}

)

, persamaan (4.26) dapat ditulis menjadi

[ ]

(

^,

)

ⁿ

( ) ( [ ]

^0,

)

^.

n

h

n n

h

N s kτ h s kτ h λ y s kτ I y s kτ n d y

−

+ − + + =

∫

+ + + + ∈

E

Dengan menggunakan persamaan (3.3) , maka persamaan (4.26) dapat ditulis menjadi

[ ]

(

n^, n

)

N s+kτ −h s+kτ+h E

( )( )

²

( [ ]

^0,

)

^.

n

n

h

c h

y s k y s k I y s k n d y

λ τ τ τ

−

=

∫

+ + + + + + ∈

(4.27)

Berdasarkan sifat keperiodikan , maka persamaan (4.27) dapat ditulis menjadi

[ ]

( )

( )( )

²

( [ ] )

,

0, .

n

n

n n

h

c h

N s k h s k h

y s y s k I y s k n d y

τ τ

λ τ τ

−

+ − + +

=

∫

+ + + + + ∈

E

(4.28) Kemudian kembalikan persamaan (4.28) ke persamaan (4.25) sehingga menjadi

( )( )

²

( [ ] )

2 0

1 1

0, .

2 ( )

n

n

h

n c

n k h

y s y s k I y s k n d y

h s k

µ λ τ τ

τ

∞

= −

= + + + + + ∈

∑

+

∫

(4.29)

Persamaan (4.29) bisa ditulis menjadi

Perhatikan bahwa

(

₂

)

²

( [ ] ) ( )

0

0, 1

( )

k

y s k n

I y s k n O

s k

τ τ

τ τ

∞

=

+ + + + ∈ = +

∑

+ (4.31) untuk n→ ∞. Jadi persamaan (4.30) dapat ditulis menjadi

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1 1

2 2

n n

n n

h h

n c c

n h n h

n n

y s O dy O y s dy

h h

µ λ λ

τ τ

− −

     

= 

∫

+  +  = + 

∫

+ ^(4.32)

Dilakukan operasi perkalian pada ruas kanan persamaan (4.32) sehingga didapat

( ) ( )

1 1

2

n

n

h

n c

n h

n y s dy O

µ h λ

τ ₋

=

∫

+ +

(4.33) Suku pertama pada ruas kanan dari persamaan (4.33) dapat ditulis menjadi

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ^{( )}

1 2

1 1

2 2 .

n

n

n n

n n

h

c c c

n h

h h

c c c

n h n h

n y s s s dy

h

n y s s dy s dy

h n h

λ λ λ

τ

λ λ τ λ

τ

−

− −

= + + −

= + − +

∫

∫ ∫

(4.34)

( ) (

2

)

²

( [ ] )

0

1 0, . (4.30)

2 ( )

n

n

h

n c

n h k

y s k

y s I y s k n d y

h s k

µ λ τ τ

τ

∞

− =

= + + + + + ∈

∑

+

∫

Perhatikan suku pertama dari persamaan (4.34). Karena s adalah titik Lebesgue λcdigunakan nilai yang lebih besar, yaitu

( ) ( )

1 2

n

n

h

c c

n h

n y s s dy

h λ λ

τ ₋

=

∫

+ −

( )

¹

nο

=τ

( )

ⁿ

ο

= (4.35)

untuk n→ ∞.

Sedangkan suku kedua persamaan (4.34) adalah

( ) ( )

1 .

2

n

n

h

c c

n h

n n

s dy s

h λ λ

τ ₋ τ

=

∫

= (4.36)

Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh, maka

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

n n

n n

h h

c c c

n h n h

c

n n

y s s dy s dy

h h

n s o n

λ λ λ

τ τ

τ λ

− −

+ − +

= +

∫ ∫

untuk n→ ∞.

Dengan demikian diperoleh bahwa suku pertama ruas kanan persamaan (4.33) adalah

( ) ( ) ( )

1 2

n

n

h

c c

n h

n n

y s dy s o n

h λ λ

τ ₋

∫

^{+ =}τ ⁺

untuk n→ ∞.

Akhirnya diperoleh dari ruas kanan persamaan (4.33), adalah

( ) ( ) ( )

¹

n c

n s o n

µ λ

=τ + + Ο

( ) ( )

c

nλ s o n

=τ + → ∞

untuk n→ ∞.

Dengan demikian Lema 4.3 terbukti.

Lema 4.4

Misalkan X_n adalah barisan peubah acak Poisson dengan EXn =µn^. Jikaµ_n → ∞ untuk n→ ∞, maka ^{n n d}

( )

^0,1

n

X µ N

µ

− →

untuk n→ ∞.

Bukti : Lihat Cheng 1949