Kajian Sifat Sifat Graf Pembagi-Nol dari Ring Komutatif dengan Elemen Satuan

Kajian Sifat – Sifat Graf Pembagi-Nol dari Ring Komutatif dengan Elemen Satuan

Soleha¹, Dian W. Setyowati², Satrio A. W.³

1Institut Teknologi Sepuluh Nopember, seha_07@matematika.its.ac.id

2Institut Teknologi Sepuluh Nopember, dian_ws_math@matematika.its.ac.id

Abstrak. Perkembangan teori graf memang sangat menarik perhatian para ilmuan, khususnya para pakar aljabar. Dalam teori aljabar konsep ring komutatif merupakan pondasi dalam mengimplementasikan graf ke bentuk aljabar atau sebaliknya. Dalam artikel ini, dibahas graf pembagi-nol, yaitu graf yang simpul - simpulnya ditentukan dari anggota pembagi-nol dari suatu ring komutatif dan sisi – sisinya merupakan relasi pembagi-nol. Pembahasan ini penting untuk mengetahui hubungan antara graf dengan aljabar, khususnya ring, yaitu dengan menyelidiki sifat - sifat graf yang dihasilkan dari suatu bentuk ring. Sifat yang dibahas antara lain; keberhinggaan, keterhubungan, graf bintang, dan graf lengkap.

Kata Kunci: Graf Bintang, Graf Lengkap, Graf Pembagi nol, Ideal, Ring Komutatif

Pendahuluan

Studi mengenai graf memang menjadi pembahasan yang sangat menarik akhir akhir ini, karena dengan mempresentasikan suatu masalah dalam bentuk graf, maka akan lebih mudah memilih suatu pemecahan dari berbagai solusi yang ditawarkan. pembahasan graf dalam ranah ring menjadi salah satu hal yang menarik perhatian peneliti dibidang aljabar.

Graf adalah sebuah diagram yang terdiri dari simpul dan sisi yang menghubungkan suatu simpul dengan simpul yang lain, Sedangkan ring adalah sebuah himpunan tak kosong yang memiliki sifat grup abelian terhadap penjumlahan, assosiatif dan tertutup terhadap perkalian, dan bersifat distributive terhadap penjumlahan dan perkalian. Diberikan 𝑅 adalah suatu ring komutatif, yaitu ring yang memiliki sifat komutatif terhadap operasi perkalian, dan 𝑍(𝑅) adalah himpunan pembagi-nol dari 𝑅. Suatu ring 𝑅 memuat suatu pembagi-nol jika terdapat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 dimana 𝑥, 𝑦 ≠ 0 sedemikian hingga 𝑥. 𝑦 = 0. Graf pembagi-nol dari ring komutatif yang dinotasikan dengan Γ(𝑅) adalah suatu graf dengan simpul-simpulnya adalah semua elemen dari 𝑅 dan dua simpul terhubung jika perkalian titik keduanya adalah nol. Gagasan tersebut telah diperkenalkan I. Beck [1] dalam jurnalnya “Coloring of Commutative Rings” pada tahun 1988 yang kemudian penelitian tersebut dilanjutkan oleh D. D. Anderson dan M. Naseer.

Definisi dari graf pembagi-nol yang digunakan oleh D. D. Anderson dan M. Naseer [2] yaitu simpul dari graf pembagi-nolnya adalah semua elemen dari ring 𝑅 dan dua simpul yang berbeda, misalkan 𝑥 dan 𝑦 terhubung oleh suatu sisi atau bertetangga jika dan hanya jika 𝑥. 𝑦 = 0. Dengan demikian simpul 0 akan bertetangga dengan semua simpul dan simpul yang bukan nol pasti terhubung dengan simpul 0.

Definisi yang digunakan dalam artikel ini adalah simpul dari suatu graf pembagi-nol bukan semua elemen dari 𝑅, melainkan elemen dari himpunan pembagi-nol dari ring 𝑅, dimana 𝑥 dan 𝑦

𝑍(𝑅) − {0}. Tujuan utama penulisan artikel ini adalah untuk mengkaji sifat sifat graf pembagi-nol Γ(𝑅).

Landasan Teori

2.1 Teori Graf

Sebuah graf digambar dengan meletakkan simpul sebagai sebuah titik dan mewakili setiap sisi dengan kurva yang menghubungkan lokasi dari titik ujungnya.

Definisi 2.1[3] Sebuah graf 𝐺 adalah pasangan dari himpunan (𝑉, 𝐸), dimana 𝑉 adalah himpunan simpul yang tak kosong, sedangkan 𝐸 adalah himpunan sisi yang mungkin merupakan himpunan kosong.

Graf sederhana adalah sebuah graf yang tidak memiliki loop ataupun sisi ganda. Graf sederhana ditentukan oleh himpunan simpul dan himpunan sisi, yaitu pasangan terurut dari simpul, ditulis 𝑒 = 𝑎𝑏 untuk sisi 𝑒 dan titik ujung 𝑎 dan 𝑏. Ketika 𝑎 dan 𝑏 menjadi sebuah titik ujung dari suatu sisi, maka 𝑎𝑏 menjadi tetangga. Suatu graf 𝐺 dikatakan terhubung jika untuk setiap pasangan terurut dua simpul yang berbeda {𝑎, 𝑏} terdapat lintasan dari 𝑎 ke 𝑏. Misalkan suatu graf terhubung dengan simpul simpul 𝑣₁, 𝑣₂, … , 𝑣_𝑛. Panjang lintasan dari 𝑣₁, 𝑣₂ sampai dengan 𝑣_𝑛 adalah 𝑛 − 1.

Graf berhingga adalah graf yang memiliki jumlah simpul dan sisi berhingga. Suatu perjalanan dari simpul satu ke simpul lain melalui sisi dinamakan sebagai lintasan. Sebuah sikel adalah graf dengan jumlah simpul dan sisi sama, dimana simpul dapat ditempatkan berkeliling membentuk suatu lintasan melingkar. Girth dari suatu graf 𝐺 dinotasikan 𝑔(𝐺) adalah panjang sikel terpendek graf 𝐺.

Suatu jarak antara dua titik 𝑎 dan 𝑏 dari suatu graf yang dinotasikan 𝑑(𝑎, 𝑏) adalah panjang dari lintasan terpendek yang menghubungkan titik 𝑎 dan 𝑏 jika ada. Jika suatu graf tidak memiliki lintasan, maka 𝑑(𝑎, 𝑏) = ∞.

Dalam suatu graf terhubung pernyataan berikut ekuivalen:

1. 𝑑(𝑎, 𝑏) ≥ 0, dengan 𝑑(𝑎, 𝑏) = 0 jika dan hanya jika 𝑎 = 𝑏 2. 𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑑(𝑏, 𝑎)

3. 𝑑(𝑎, 𝑏) + 𝑑(𝑏, 𝑐) ≥ 𝑑(𝑎, 𝑐)

Diameter dari suatu graf 𝐺 yang dinotasikan dengan 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐺) adalah jarak terpanjang dari lintasan terpendek yang menghubungkan setiap titik pada graf tersebut. [7]

Berikut diberikan preposisi mengenai keterkaitan girth suatu graf, 𝑔(𝐺), dengan diameternya, 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐺).

Proposisi 2.2[4] Setiap graf 𝐺 yang memiliki suatu sikel memenuhi 𝑔(𝐺) ≤ 2 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐺) + 1.

Graf lengkap adalah sebuah graf sederhana yang setiap simpulnya terhubung dengan simpul yang lain. Graf lengkap dinotasikan 𝐾_𝑛 dengan 𝑛 menyatakan banyaknya simpul. Graf lengkap mempunyai jumlah simpul |𝑉(𝑘_𝑛)| = 𝑛.

Sebuah graf lengkap bipartite adalah graf sederhana yang kedua simpulnya terhubung jika dan hanya jika keduanya berada pada himpunan partisi yang berbeda. Misalkan kedua himpunan tersebut memiliki jumlah simpul 𝑟 dan 𝑠, maka notasi untuk graf lengkap bipartite adalah 𝐾_𝑟,𝑠. 2.2 Graf Pembagi Nol

Diberikan 𝑅 adalah ring komutatif dengan elemen satuan dan pembagi-nol nya adalah 𝑍(𝑅).

Sebuah graf pembagi nol, Γ(𝑅) adalah graf sederhana dengan simpul simpulnya adalah anggota pembagi-nol dari suatu ring komutatif tersebut. Kedua simpul misalkan 𝑥 dan 𝑦 dikatakan terhubung jika dan hanya jika 𝑥. 𝑦 = 0 dimana 𝑥, 𝑦 ≠ 0.

Dalam sebuah kasus misalnya, himpunan bilangan bulat modulo empat (𝑍₄) dengan anggotanya {0, 1, 2, 3}, jika digambar dalam sebuah graf pembagi-nol adalah berupa sebuah titik, karena pembagi-nol dari himpunan tersebut hanya satu, yaitu 2. Sedangkan dalam contoh lain, misalkan bilangan bulat modulo tiga (𝑍₃) yang beranggotakan {0, 1, 2}, tidak memiliki himpunan pembagi-nol, sehingga ring tersebut tidak mempunyai bentuk graf pembagi-nol, dengan kata lain grafnya adalah graf kosong. Hal yang sama juga terjadi pada Ring lain yang memiliki sifat daerah integral, seperti 𝑍₂, 𝑍₅, 𝑍₇, dan seterusnya. Dengan kata lain ring yang bersifat daerah integral tidak memiliki bentuk graf pembagi-nol.

Selanjutnya dari kedua contoh diatas didapatkan 𝑅 = 𝑍₃𝑋𝑍₄ dengan anggotanya adalah sebagai berikut

{[0,0], [0,1], [0,2], [0,3], [1,0], [1,1], [1,2], [1,3], [2,0], [2,1], [2,2], [2,3]}

Dari keduabelas anggota 𝑅 = 𝑍₃𝑋𝑍₄ tersebut yang memenuhi definisi pembagi-nol yang dibahas sebelumnya, terdapat 5 anggota, antara lain [0.1], [0,2], [0,3], [1,0] dan [2,0] dengan keterhubungan sebagai berikut:

[1, 0]. [0, 1] = 0 [2, 0]. [0, 1] = 0 [1, 0]. [0, 2] = 0 [2, 0]. [0, 2] = 0 [1, 0]. [0, 3] = 0 [2, 0]. [0, 3] = 0 [0, 2]. [1, 2] = 0 [0, 2]. [2, 2] = 0

Dari keenam keterhubungan tersebut, maka suatu graf pembagi-nol dari ring 𝑅 = 𝑍₃𝑋𝑍₄ dapat digambarkan sebagai berikut.

Gambar 1 Γ(𝑍₃× 𝑍₄)

Pada bab ini akan dikaji mengenai konsep ring komutatif yang berkaitan dengan konsep graf sehingga didapatkan sifat sifat graf pembagi-nol, kemudian akan ditentukan syarat suatu ring agar graf pembagi-nolnya merupakan graf bintang dan graf lengkap.

2.3 Keberhinggaan Graf Pembagi Nol

Berdasarkan Ganesan [5] bahwa setiap ring komutatif yang hanya memiliki 𝑛 pembagi-nol adalah berhingga dan memiliki elemen yang tidak lebih dari (𝑛 + 1)². Berikut diberikan teorema mengenai keberhinggaan graf pembagi-nol Γ(𝑅).

Teorema 2.3[6] Diberikan suatu Ring komutatif 𝑅. Graf Γ(𝑅) adalah berhingga jika dan hanya jika 𝑅 berhingga.

Keberhinggaan yang dijelaskan dalam Teorema 2.3 tersebut merupakan langkah awal dalam menentukan keterhubungan suatu graf pembagi-nol Γ(𝑅), dimana keterhubungan Γ(𝑅) akan lebih mudah diamati jika graf tersebut berhingga.

2.4 Keterhubungan Graf Pembagi Nol

Sebuah graf terdiri dari simpul simpul dan sisi sisi. Antar dua simpul yang berbeda dapat dihubungkan oleh suatu sisi, sehingga dapat dikatakan bahwa sisi merupakan suatu penghubung antar simpul dalam suatu graf.

Dalam sebuah graf terhubung Γ(𝑅), untuk 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍(𝑅)^∗ maka ada kemungkinan 𝑥 dan 𝑦 terhubung langsung dan dinotasikan dengan 𝑥 − 𝑦, artinya 𝑥 ∙ 𝑦 = 0. Kemungkinan yang lain adalah terdapat suatu lintasan dimana 𝑥 dan 𝑦 tidak terhubung langsung, misal lintasan 𝑥 − 𝑦 − 𝑧, artinya 𝑥 ∙ 𝑧 = 𝑧 ∙ 𝑦 = 0 dengan 𝑧 ∈ 𝑍(𝑅)^∗− {𝑥, 𝑦}, atau lintasan 𝑥 − 𝑧₁− 𝑧₂− 𝑦, yang artinya 𝑥 ∙ 𝑧₁ = 𝑧₁∙ 𝑧₂ = 𝑧₂∙ 𝑦 = 0 dengan 𝑧₁, 𝑧₂ ∈ 𝑍(𝑅)^∗− {𝑥, 𝑦}

Teorema 2.4[6] Diberikan ring komutatif 𝑅, maka Γ(𝑅) terhubung dengan diameter yang tidak lebih dari tiga (𝑑𝑖𝑎𝑚(Γ(𝑅)) ≤ 3).

Pembahasan sifat graf pembagi-nol dalam ring komutatif membutuhkan pengertian ideal maksimal. ideal penghilang dan ring lokal. Suatu ideal 𝑀 dari ring 𝑅, 𝑀 ⊆ 𝑅, dikatakan ideal maksimal jika terdapat ideal 𝐼 sedemikian hingga 𝑀 ⊆ 𝐼, maka 𝐼 = 𝑀 atau 𝐼 = 𝑅 [5]. Himpunan dari semua anggota ring,𝑥 ∈ 𝑅, sedemikian hingga 𝑥𝐴 = 0 dengan 𝐴 ideal dari 𝑅 disebut sebagai ideal penghilang dari 𝐴 dinotasikan dengan 𝐴𝑛𝑛(𝐴). Suatu ring 𝑅 yang memiliki tepat satu ideal maksimal dinamakan sebagai ring lokal

Berdasarkan Teorema 2.4 bahwa jika graf terhubung Γ(𝑅) memiliki suatu sikel, maka menurut Proposisi 2.2, graf Γ(𝑅) memiliki girth 𝑔(Γ(R)) ≤ 7. Berikut ini adalah teorema yang menunjukkan bahwa suatu ring berhingga komutatif 𝑅dengan ideal maksimal tak nol, atau ring berhingga komutatif yang berbentuk direct product memiliki panjang sikel terpendek maksimal adalah 4.

Teorema 2.3[6] Misalkan 𝑅 adalah ring berhingga komutatif dengan ideal maksimal tak nol, atau 𝑅 ring direct product berhingga komutatif. Jika Γ(𝑅) memiliki sikel, maka 𝑔(Γ(𝑅)) ≤ 4.

Graf Pembagi-nol Bintang

Pandang 𝐺 sebagai suatu graf yang memiliki sifat simpul 𝑎 yang terhubung dengan setiap simpul lainya. Graf tersebut dapat berupa graf lengkap atau graf bintang.

Teorema 3.1 Diberikan suatu ring komutatif 𝑅. Γ(𝑅) memiliki suatu simpul yang terhubung dengan setiap simpul lainya jika dan hanya jika 𝑅 ≅ 𝑍₂ × 𝐴, dimana 𝐴 adalah daerah integral, atau 𝑍(𝑅) adalah ideal penghilang

Bukti. (⇒)diketahui Γ(𝑅) memiliki suatu simpul yang terhubung dengan setiap simpul lainya.

Maka terdapat 𝑎 ∈ 𝑍(𝑅)^∗ dengan 𝑎 ∼ 𝑏, dimana 𝑏 ∈ 𝑍(𝑅)^∗− {𝑎}. Artinya 𝑎 adalah ideal dari 𝑍(𝑅). Relasi 𝑎 ∼ 𝑏 berarti bahwa 𝑎 ∙ 𝑏 = 0, ∀𝑏 ∈ 𝑍(𝑅)^∗− {𝑎}, akibatnya 𝑍(𝑅) adalah suatu ideal penghilang.

Misalkan 𝑅 ≅ 𝑅₁× 𝑅₂ dengan (1, 0) adalah salah satu simpul yang terhubung dengan setiap simpul yang lain, (1, 0) ∈ 𝑍(𝑅). Andaikan 𝑐 ∈ 𝑅₁− {1} dan (𝑐, 0) ∈ 𝑍(𝑅), maka (1, 0)(𝑐, 0) = 0, akibatnya 𝑐 = 0. Hal ini menunjukan bahwa (1, 0) adalah satu satunya simpul yang terhubung dengan setiap simpul yang lain, sehingga 𝑅₁ ≅ 𝑍₂.

Misalkan 𝑅₂ adalah ring komutatif dengan pembagi-nol 𝑎 dan 𝑏. Karena 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍(𝑅₂), maka (1, 𝑎) dan (1, 𝑏) adalah pembagi-nol dari 𝑅 dengan keterhubungan dalam Γ(𝑅) adalah sebagai berikut.

(1, 𝑎) ∙ (0, 𝑏) = 0 (1, 𝑏) ∙ (0, 𝑎) = 0

Tetapi (1, 𝑎) ∙ (1, 0) ≠ 0 dan (1, 𝑏) ∙ (1, 0) ≠ 0. Akibatnya terdapat simpul yang tidak terhubung dengan (1, 0), maka 𝑅₂ bukanlah ring yang memiliki pembagi-nol, melainkan adalah suatu daerah integral.

(⇐) diketahui 𝑅 ≅ 𝑍₂× 𝐴 dengan 𝐴 adalah Daerah integral.

Ambil sebarang 𝑎 ∈ 𝐴 − {0, 1} sedemikian hingga keterhubungan dalam Γ(𝑅) adalah (1, 0) ∙ (0, 1) = 0

(1, 0) ∙ (0, 𝑎) = 0

Dari keterhubungan tersebut terlihat bahwa terdapat suatu simpul yang terhubung dengan setiap simpul lainya, yaitu (1, 0).

Diketahui 𝑍(𝑅) adalah ideal penghilang, maka terdapat suatu ideal 𝑎 sedemikian hingga 𝑎 ∙ 𝑏 = 0,

∀𝑏 ∈ 𝑍(𝑅) − {𝑎}. Artinya 𝑎 adalah simpul yang terhubung dengan setiap simpul 𝑏. █

Bukti pada Teorema 3.1 menjelaskan bahwa jika dalam suatu graf pembagi-nol Γ(𝑅) terdapat suatu simpul 𝑥 yang terhubung dengan setiap simpul lainya, maka 𝑥 adalah suatu ideal prima dari 𝑅, atau 𝑍(𝑅) adalah suatu ideal penghilang.

Misalkan 𝑅 adalah ring lokal dengan ideal maksimal tak-nol 𝑀. Jika terdapat bilangan positif terkecil 𝑘 dengan 𝑀^𝑘= 0, maka 𝑍(𝑅) = 𝑀 = 𝐴𝑛𝑛(𝑥), untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑀^𝑘−1. Jadi jika |𝑅/𝑀| ≥ 3, maka terdapat paling sedikit dua simpul yang terhubung dengan setiap simpul lainya.

Jika 𝑅 adalah ring lokal berhingga, maka terdapat suatu simpul dalam Γ(𝑅) yang terhubung dengan setiap simpul yang lain jika dan hanya jika 𝑅 ≅ 𝑍₂× 𝐴, dimana 𝐴 adalah daerah integral, atau 𝑍(𝑅) adalah ideal prima dari 𝑅. Selanjutnya jika dim 𝑅 = 0, maka 𝑅 ≅ 𝑍₂ × 𝐹, dimana 𝐹 adalah lapangan berhingga, atau {0} adalah ideal prima dari 𝑅.

Akibat 3.2 Diberikan 𝑅 ring komutatif berhingga. Terdapat suatu simpul dalam 𝛤(𝑅) yang

lapangan berhingga atau 𝑅 adalah ring lokal. Untuk setiap bilangan prima 𝑝 dan integer 𝑛 ≥ 1, maka |𝛤(𝑅)| = |𝐹| = 𝑝^𝑛 jika 𝑅 ≅ 𝑍₂ × 𝐹, sedangkan |𝛤(𝑅)| = 𝑝^𝑛− 1 jika 𝑅 adalah ring lokal.

Lemma berikut menjelaskan model ring dimana bentuk graf pembagi-nolnya memiliki tepat satu simpul yang terhubung dengan setiap simpul yang lain.

Lemma 3.3 Diberikan 𝑅, ring komutatif berhingga. Jika Γ(𝑅) memiliki tepat satu simpul yang terhubung dengan setiap simpul lainya dan tidak ada lagi simpul lain yang berhubungan, maka 𝑅 ≅ 𝑍₂× 𝐹, dimana 𝐹 adalah lapangan berhingga dengan |𝐹| ≥ 3, atau 𝑅 adalah ring lokal dengan ideal maksimalnya 𝑀 memenuhi 𝑅/𝑀 ≅ 𝑍₂, 𝑀³ = 0, dan |𝑀²| ≤ 2, sehingga |Γ(𝑅)|

adalah 𝑝^𝑛 atau 2^𝑛− 1, untuk bilangan prima 𝑝 dan integer 𝑛 ≥ 1

Teorema dan lemma diatas telah menjelaskan mengenai bentuk ring yang menghasilkan graf dengan simpul yang terhubung dengan simpul lain, atau bisa disebut sebagai simpul pusat. Adanya simpul pusat memang merupakan salah satu ciri dari graf bintang, tapi satu ciri yang tidak boleh terlupakan adalah tidak adanya keterhubungan dalam graf tersebut selain dengan simpul pusat.

Seperti pada suatu ideal penghilang, 𝑅 = 𝑎𝑛𝑛(𝑎), dimana 𝑎 ∈ 𝑅. Jelas bahwa ∀𝑏 ∈ 𝑅, maka 𝑎 ∙ 𝑏 = 0, sehingga 𝑎 adalah simpul pusat dari Γ(𝑅), tetapi ada kemungkinan terdapat 𝑐 ∈ 𝑅 dengan 𝑏 ∙ 𝑐 = 0. Dengan demikian, graf pembagi-nol bintang tidak dapat terbentuk. Teorema berikut menunjukan bahwa graf pembagi-nol bintang hanya dapat dibentuk dari ring 𝑅 ≅ 𝑍₂× 𝐹, dimana 𝐹 adalah field berhingga.

Teorema 3.4 Diberikan 𝑅 adalah ring komutatif berhingga dengan |Γ(𝑅)| ≥ 4.

Γ(𝑅) adalah graf bintang jika dan hanya jika 𝑅 ≅ 𝑍₂× 𝐹, dimana 𝐹 adalah lapangan berhingga.

Bukti. (⇒) diketahui Γ(𝑅) adalah graf bintang

andaikan 𝑅 ≇ 𝑍₂× 𝐹, dimana 𝐹 adalah lapangan berhingga, maka berdasarkan Akibat 3.2 dan Lemma 3.3, 𝑅 adalah ring lokal dengan ideal maksimal 𝑀.

Diberikan 𝑀 = 𝑎𝑛𝑛(𝑥) dan ambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑀^∗− {𝑥} yang berbeda. karena 𝑀² = {0, 𝑥}, maka 𝑎𝑏 = 𝑎𝑐 = 𝑎𝑑 = 𝑥 dan tidak ada relasi pembagi-nol lainya, sehingga

𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑑 = 0 𝑎(𝑏 − 𝑐) = 𝑎(𝑏 − 𝑑) = 0

𝑏 − 𝑐 = 𝑏 − 𝑑 = 𝑥

Sehingga 𝑐 = 𝑑 hal ini kontradiksi dengan permisalan bahwa 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 adalah berbeda.

Maka haruslah 𝑅 ≅ 𝑍₂ × 𝐹, dimana 𝐹 adalah lapangan berhingga.

(⇐) diketahui 𝑅 ≅ 𝑍₂× 𝐹, dimana 𝐹 adalah lapangan berhingga.

Berdasarkan definisi graf pembagi-nol, maka didapat keterhubungan dalam Γ(𝑅) adalah [1, 0] ∙ [0, 𝑎] = 0, ∀𝑎 ∈ 𝐹, 𝑎 ≠ 0, artinya simpul [1, 0] bertetangga dengan [0, 𝑎]. Sehingga Γ(𝑅) adalah graf bintang.█

Contoh 3.5

Ring komutatif 𝑅 ≅ 𝑍₂× 𝑍₇ dengan anggotanya sebagai berikut.

𝑍₂ × 𝑍₇ = {(0.0), (0.1), (0.2), (0.3), (0.4), (0.5), (0.6), (1.0), (1.1), (1.2), (1.3), (1.4),

(1.5), (1.6)}

Berdasarkan definisi graf pembagi-nol, maka 𝑍₂× 𝑍₇ memiliki pembagi-nol sebanyak 7, yaitu (0.1), (0.2), (0.3), (0.4), (0.5), (0.6), dan (1.0).

Berikut adalah daftar ketetanggaan dari Γ(𝑍₂× 𝑍₇).

(1.0) ∼ (0.1), (1.0) ∼ (0.2),(1.0) ∼ (0.3),(1.0) ∼ (0.4),(1.0) ∼ (0.5),(1.0) ∼ (0.6)

Sehingga graf pembagi-nol yang terbentuk dari Γ(𝑍₂× 𝑍₇) adalah graf bintang yang ditunjukan pada Gambar 2 berikut.

Gambar 2 Γ(𝑍₂× 𝑍₇)

Graf Pembagi-nol Lengkap

Suatu graf dikatakan lengkap jika setiap simpulnya terhubung dengan setiap simpul yang lain, artinya untuk sebarang dua simpul yang berbeda pasti terdapat suatu sisi yang menghubungkan keduanya. Berdasarkan definisi tersebut, Γ(𝑅) adalah graf lengkap jika 𝑥 ∙ 𝑦 = 0, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍(𝑅), 𝑥 ≠ 𝑦, dengan kata lain setiap anggota dari pembagi-nol 𝑍(𝑅) selalu terhubung dengan diameter satu. Berikut diberikan teorema mengenai model ring yang dapat menghasilkan bentuk graf lengkap.

Teorema 4.1 Diberikan ring komutatif 𝑅. Γ(𝑅) adalah graf lengkap jika dan hanya jika 𝑅 ≅ 𝑍₂× 𝑍₂ atau 𝑥 ∙ 𝑦 = 0, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍(𝑅)

Bukti. (⇒) diketahui Γ(𝑅) adalah graf lengkap, berdasarkan definisi jelas bahwa 𝑥 ∙ 𝑦 = 0, ∀𝑥 𝑦 ∈ (𝑅), 𝑥 ≠ 𝑦. andaikan terdapat 𝑥 ∈ 𝑍(𝑅) dan 𝑥² ≠ 0, maka 𝑥² ≠ 𝑥 atau 𝑥² = 𝑥.

Misalkan 𝑥² ≠ 𝑥, maka 𝑥²𝑥 = 0 dan 𝑥⁴ = 0, sehingga;

𝑥²𝑥 + 𝑥²𝑥² = 0 𝑥²(𝑥 + 𝑥²) = 0

Dari persamaan diatas jelas bahwa 𝑥 + 𝑥² ∈ 𝑍(𝑅), sehingga 𝑥 + 𝑥² = 𝑥 atau 𝑥 + 𝑥² ≠ 𝑥.

Jika 𝑥 + 𝑥² = 𝑥, maka 𝑥² = 0, hal ini kontradiksi dengan yang dimisalkan yaitu 𝑥² ≠ 0.

Selanjutnya misalkan 𝑥 + 𝑥² ≠ 𝑥, maka

(𝑥 + 𝑥²)𝑥 = 0 𝑥²+ 𝑥²𝑥 = 0

Karena 𝑥²𝑥 = 0, akibatnya 𝑥² = 0, kontradiksi lagi, maka haruslah𝑥² = 𝑥. Berdasarkan Teorema

Sehingga 𝑅 ≅ 𝑍₂× 𝑍₂.

(⇐) diketahui 𝑅 ≅ 𝑍₂× 𝑍₂

maka 𝑅 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. keterhubungan dalam 𝑅 adalah (1, 0) ∙ (0, 1) = 0, sehingga Γ(𝑅) adalah graf lengkap. █

Jika dalam suatu 𝑍(𝑅) setiap elemen selalu terhubung dengan setiap elemen lain dan 𝑅 ≇ 𝑍₂× 𝑍₂, maka 𝑍(𝑅) adalah ideal dari 𝑅 dengan 𝑍(𝑅)² = 0. Oleh karena itu 𝑍(𝑅) = 𝑛𝑖𝑙(𝑅) adalah ideal prima dari 𝑅. Teorema berikut memberi penjelasan bahwa graf lengkap juga dapat digambar dengan menggunakan ring lokal dengan karakternya adalah bilangan prima 𝑝 atau 𝑝².

Teorema 4.2 diberikan 𝑅 adalah ring komutatif berhingga. Jika Γ(𝑅) merupakan graf lengkap, maka 𝑅 ≅ 𝑍₂× 𝑍₂ atau 𝑅 adalah ring lokal dengan 𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑅 = 𝑝 atau 𝑝² dan |Γ(𝑅)| = 𝑝^𝑛− 1 untuk bilangan prima 𝑝 dan integer 𝑛 ≥ 1

Bukti. berdasarkan Teorema 4.1, jelas bahwa Γ(𝑍₂× 𝐹) lengkap jika dan hanya jika 𝐹 = 𝑍₂. Misalkan 𝑅 ≇ 𝑍₂ × 𝑍₂, berdasarkan Akibat 3.2, 𝑅 adalah ring lokal dengan ideal makasimal 𝑀 dan 𝑀² = 0.

Karena 𝑅 ≇ 𝑍₂× 𝑍₂ dan Γ(𝑅) adalah graf lengkap, maka setiap elemen dalam 𝑍(𝑅) haruslah merupakan nilpotent, sehingga 𝑍(𝑅)² = 𝑀² = 0 mengakibatkan 𝑍(𝑅) adalah ideal prima dari 𝑅.

Oleh karena itu 𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑅 = 𝑝^𝑚, 𝑚 ≥ 1.

Jika 𝑚 ≥ 3, maka akan terdapat pembagi-nol yang tidak terhubung dengan suatu pembagi-nol yang lainya dalam 𝑅. Sehingga karakter dari 𝑅 tidak lain adalah 𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑅 = 𝑝 atau 𝑝².

Dari Akibat 3.2 banyaknya simpul dari graf pembagi-nol dari ring lokal tersebut adalah |Γ(𝑅)| = 𝑝^𝑛− 1. █

Contoh 4.3

𝑅 ≅ 𝑍_𝑝² , untuk bilangan prima 𝑝. Karena elemen dari 𝑅 merupakan himpunan bilangan bulat modulo 𝑝² dan prima, maka 𝑝² = 0 dan tidak ada faktor lain dari 𝑝² selain 𝑝. Sehingga didapat

𝑚𝑝 ∙ 𝑛𝑝 = 0

dimana 𝑚, 𝑛 adalah suatu bilangan bulat, artinya jika kita kalikan sebarang 2 elemen kelipatan 𝑝 di 𝑅, hasilnya adalah nol. Sehingga 𝑍(𝑅) = {𝑝, 2𝑝, 3𝑝, … , 𝑛𝑝}, dimana 𝑝 adalah bilangan prima.

Karena untuk setiap elemen di 𝑍(𝑅) merupakan annihilator (penghilang), maka setiap simpul di Γ(𝑅) terhubung dengan setiap simpul lainnya. Sehingga Γ(𝑅) adalah graf pembagi-nol lengkap dengan |Γ(𝑅)| = 𝑝 − 1.

Misalkan 𝑅 ≅ 𝑍₂₅, maka 𝑍(𝑅) = {5, 10, 15, 20} sehingga ketetanggaan dalam Γ(𝑍₂₅) adalah sebagai berikut.

5 ∼ 10, 5 ∼ 15,5 ∼ 20, 10 ∼ 15, 10 ∼ 20, 15 ∼ 20

Dengan demikian graf pembagi-nol yang terbentuk adalah graf lengkap yang ditunjukan pada Gambar 3 berikut.

Gambar 3 Γ(𝑍₂₅)

Suatu graf lengkap bipartit adalah graf yang simpulnya dibagi menjadi 2 partisi dan dua simpul bertentangga jika keduanya berada pada partisi yang berbeda. graf ini dinotasikan dengan 𝐾_𝑚,𝑛.

Sebagian besar ring yang dapat diimplemenrasikan dalam Γ(𝑅) adalah bentuk direct produk berhingga. misalkan 𝑅 ≅ 𝑅₁× 𝑅₂, maka 𝑅 dapat berupa graf lengkap bipartite dengan 𝑅₁, 𝑅₂ adalah daerah integral. Misalkan 𝑅₂ bukan merupakan daerah integral, artinya terdapat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅₂ dengan 𝑥 ∙ 𝑦 = 0, maka akan ada keterhubungan dalam satu partisi yang sama, yaitu (0, 𝑥) dengan (0, 𝑦).

Dengan adanya pembagi-nol dalam suatu partisi akan memicu munculnya simpul simpul lain yang membuat definisi graf lengkap bipartite tidak terpenuhi, seperti (1, 𝑦), (2, 𝑦), … , (𝑚, 𝑦) keseluruhan simpul tersebut terhubung dengan (0, 𝑥), dan sebagainya. Sebagai contoh 𝑍₃× 𝑍₆, terdapat 2, 3 ∈ 𝑍₆ dan 2 ∙ 3 = 0, sehingga dalam satu partisi terdapat keterhubungan yaitu (0,2) ∼ (0,3), hal ini menyebabkan 𝑍₃× 𝑍₆ tidak memenuhi syarat sebagai graf lengkap bipartite.

Akibat 4.4 Diberikan 𝑅 ring komutatif berhingga. Γ(𝑅) adalah graf lengkap bipartite dengan

|Γ(𝑅)| = 𝑚 + 𝑛 − 2 jika dan hanya jika 𝑅 ≅ 𝑍_𝑚× 𝑍_𝑛, dimana 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑃, 𝑃 adalah bilangan prima.

Contoh 4.5

Ring komutatif 𝑅 ≅ 𝑍₃ × 𝑍₅ dengan anggota sebagai beikut.

𝑍₃× 𝑍₅ = {(0.0), (0.1), (0.2), (0.3), (0.4), (1.0), (1.1), (1.2), (1.3), (1.4), (2.0), (2.1), (2.2), (2.3), (2.4)}

Ring tersebut memiliki pembagi-nol yaitu (1.0), (2.0), (0.1), (0.2), (0.3), dan (0.4) dengan ketetanggaan dalam Γ(𝑍₃× 𝑍₅) adalah sebagai berikut.

(1, 0) ∼ (0, 1), (1, 0) ∼ (0, 2),(1, 0) ∼ (0, 3),(1, 0) ∼ (0, 4),(2, 0) ∼ (0, 1),(2, 0) ∼ (0, 2) (2, 0) ∼ (0, 3),(2, 0) ∼ (0, 4)

Dengan demikian 𝑍₃× 𝑍₅ merupakan graf lengkap bipartite yang ditunjukan pada Gambar 4

Gambar 4 Γ(𝑍₃× 𝑍₅)

Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan pada bab 3 dan 4, maka dapat ditarik beberapa kesimpulan berikut:

1. Γ(𝑅) adalah Graf Bintang, atau disebut Graf Pembagi-nol Bintang dengan 𝑅≅ 𝑍₂× 𝐹 , dimana adalah 𝐹 lapangan berhingga.

2. Γ(𝑅) adalah Graf Lengkap atau Graf Pembagi-nol Lengkap, dengan 𝑅≅ 𝑍₂× 𝑍₂, atau 𝑅 adalah Ring Lokal dengan 𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑅 = 𝑝 atau 𝑝².

3. Γ(𝑅) adalah graf lengkap bipartite dengan |𝛤(𝑅)| = 𝑚 + 𝑛 − 2 jika dan hanya jika 𝑅 ≅ 𝑍_𝑚× 𝑍_𝑛 dimana 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑃, dengan 𝑃 adalah bilangan prima.

Daftar Pustaka

[1] Beck, I. 1988. Coloring of Commutative Rings, Journal of Algebra, 116, 208-226.

[2] Anderson, D. D. dan M. Naseer. 1993. Beck’s Coloring of a Commutative Rings, Journal of Algebra. 159, 500-514.

[3] Hartsfied, Nora, dan Gerhard Ringel. 1994. Pearls in Graph Theory a Comprehensive Introduction. Academic Press, Inc

[4] Diestel, R. 2000. Graph Theory. Springer-Verlag, New York.

[5] Ganesan, N. 1964. Properties Of Rings With a Finite Number of Zero-Divisor. math. Ann.

157, 215 – 218.

[6] Anderson, D. F. dan Phillip S. Livingston. 1999. The Zero-Divisor Graph of a Commutative Ring, Journal of Algebra, volume 217, 434 – 447. Mathematic Departement, The University of Tennessee, Knoxville.