Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, serta diakhiri dengan sistematika penulisan.
1.1 Latar Belakang Masalah
Konsep himpunan memegang peranan yang sangat penting dalam matemati- ka. Beberapa contoh himpunan yang telah dikenal secara umum misalnya himpunan semua bilangan asli (notasi : N), himpunan semua bilangan bulat (notasi : Z), serta himpunan semua bilangan real (notasi : R). Telah dikenal pula operasi-operasi bi- langan pada himpunan-himpunan ini, antara lain operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dll. Suatu himpunan yang dilengkapi dengan beberapa operasi secara umum disebut sebagai sistem matematika. Contoh dari sistem matematika an- tara lain (R, +), (R, +, ·), dan (N, maks). Sistem matematika beserta sifat-sifatnya merupakan obyek penting di dalam matematika khususnya aljabar.
Setiap sistem dengan sifat-sifat tertentu memiliki nama-nama tersendiri di da- lam ilmu aljabar abstrak. Salah satunya adalah sistem yang dilengkapi dengan satu operasi biner yang bersifat assosiatif dinamakan semigrup. Misalnya himpunan bi- langan asli yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan akan bersifat assosiatif, se- hingga sistem(N, +) membentuk semigrup. Sistem yang telah disebutkan merupakan sistem yang terbentuk dari satu himpunan dengan satu operasi. Diperhatikan pada ka- sus himpunan bilangan asli dapat ditemukan 3 operasi, yaitu penjumlahan, maks, dan min dimana ketiga operasi ini bersifat assosiatif sehingga sistem(N, +, maks, min) membentuk sistem baru, yaitu tripel semigrup.
Di pihak lain, teori tentang himpunan fungsi-fungsi dan operasi fungsi me- miliki peranan peting dalam aljabar modern dan banyak dikembangkan. Beberapa operasi natural pada himpunan fungsi menjadi menarik untuk ditelaah, diantaranya operasi superposisi, yaitu substitusi suatu fungsi ke fungsi yang lain sehingga dipero- leh fungsi baru dari komposisi dua fungsi ini. Misalkan f dang masing-masing adalah fungsi-fungsi tiga variabel yang memetakanR3keR dengan f(x, y, z) = 2x + y dan
1
g(x, y, z) = z − x. Dan misalkan fdang dikomposisikan sebagai berikut:
(f + g)(x, y, z) = f(x, y, g(x, y, z)) = f(x, y, z − x) = 2x + y (f ∗ g)(x, y, z) = f(x, g(x, y, z), z) = f(x, z − x, z) = 2x + z − x = x + z (f · g)(x, y, z) = f(g(x, y, z), y, z) = f(z − x, y, z) = 2(z − x) + y = 2z − 2x + y Dapat dibuktikan bahwa operasi+, ·, dan, ∗ bersifat assosiatif terhadap himpunan se- mua fungsi tiga variabel (fungsi terner) dalam R, sehingga himpunan semua fungsi terner dalamR yang dilengkapi dengan tiga operasi ini membentuk semigrup tripel.
ApabilaR diganti dengan sebarang himpunan berhingga Ω, maka didapatkan semi- grup tripel atas fungsi terner pada himpunanΩ. Sifat-sifat tripel semigrup ini menarik untuk diteliti. Dalam skripsi ini sifat-sifat khusus yang akan digali antara lain terkait elemen pengenol kiri, keisomorfisan, ideal, serta kongruensi.
Kemudian apabila didefinisikan operasi (uner) kuasi komplemen pada semi- grup tripel ini yang sifatnya dapat dianalogikan dengan hukum de Morgan menge- nai komplemen dari irisan atau gabungan himpunan dan juga didefinisikan tiga buah fungsi proyeksi sebagai elemen identitas dari ketiga operasi binernya maka sistem ini juga merupakan semigrup tripel namun lebih kompleks. Oleh karena itu sistem ini juga menarik untuk diteliti sifat-sifatnya dimana sistem ini masih terikat dengan sifat-sifat semigrup tripel atas fungsi terner.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian yang diberikan pada latar belakang, rumusan masalahnya adalah sebagai berikut:
1. Bagaimana sifat-sifat semigrup tripel atas fungsi terner?
2. Bagaimana sifat-sifat semigrup tripel de Morgan atas fungsi terner?
1.3 Maksud dan Tujuan
Penelitian ini merupakan kaji ulang terhadap suatu jurnal A Characterization of Triple Semigroup of Ternary Functions and de Morgan Triple Semigroup of Ternary Functions (J. Pashazadeh dan Yu. M. Movsisyan) sehingga tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Memahami konsep-konsep semigrup tripel dan semigrup tripel de Morgan atas fungsi terner,
2. Mempelajari semigrup yang lebih khusus yaitu semigrup tripel atas fungsi ter- ner dan semigrup tripel de Morgan atas fungsi terner,
3. Mengetahui sifat-sifat dari semigrup tripel dan semigrup tripel de Morgan atas fungsi terner.
1.4 Tinjauan Pustaka
Penelitian ini merupakan kaji ulang terhadap satu jurnal utama yaitu jurnal hasil karya J. Pashazadeh dan Yu. M. Movsisyan (2009). Mengingat beberapa pem- buktian teorema dalam jurnal tersebut kurang lengkap, penulis berusaha melengkapi dengan mengacu pada sumber-sumber lain penunjang tema ini.
Pengertian dan sifat-sifat himpunan, relasi ekuivalensi, fungsi, serta kardinali- tas dari suatu himpunan dirujuk dari buku karangan Herstein (1975), Fraleigh (2003), dan Gallian (1990). Konsep mengenai pengertian dan sifat-sifat semigrup dirujuk dari referensi utama karya John M. Howie (1995). Dalam buku karangan Howie ini dibahas mengenai definisi semigrup, macam-macam semigrup, semigrup komutatif, monoid juga mengenai relasi ekuivalensi dan relasi kongruensi pada semigrup berikut sifat-sifatnya. Homomorfisma semigrup dan sifat-sifatnya juga dibahas oleh Howie.
Menurut Pashazadeh (2009) penelitian tentang komposisi fungsi seperti yang diuraikan dalam latar belakang telah diprakarsai oleh Mann pada tahun 1944 untuk operasi biner. Selanjutnya Pashazadeh juga menulis artikel mengenai sebuah sistem aljabar yang isomorfis kepada beberapa himpunan dengan operasi yang tertutup dan dilengkapi dengan fungsi komposisi serta operasi kuasi-komplemen uner. Dengan berbekal hal di atas, selanjutnya penulis berusaha menyusun kembali artikel tentang tripel semigrup dan tripel semigrup de Morgan atas fungsi terner, sehingga tulisan ini menjadi sistematis.
1.5 Metodologi Penelitian
Di dalam skripsi ini dibahas mengenai beberapa sifat dari semigrup tripel atas fungsi terner. Konsep-konsep dasar yang terlebih dahulu dipelajari adalah konsep
operasi biner, konsep himpunan, serta konsep semigrup, yang meliputi operasi biner, fungsi, kardinalitas, elemen identitas semigrup, elemen nol semigrup, ideal semigrup, homomorfisma semigrup, dan kongruensi semigrup.
Metode atau langkah-langkah yang dipelajari dalam penelitian ini adalah se- bagai berikut. Pertama-tama mempelajari konsep semigrup tripel, kemudian dilan- jutkan dengan mendefinisikan operasi biner di dalamnya. Dari ketiga operasi biner yang didefinisikan dicari sifat-sifat operasinya. Kemudian memulai untuk mencari salah satu sifat semigrup tripel atas fungsi terner, yaitu elemen nol kiri. Dilanjutkan dengan menganalisis sifat lain, yaitu sifat keisomorfisannya berdasar dari sifat-sifat operasi biner dan himpunan fungsi. Selanjutnya digali mengenai kongruensi serta ideal dari semigrup tripel. Kemudian dipelajari juga sifat-sifat semigrup tripel de Morgan yang dilengkapi dengan operasi kuasi komplemen dimana tujuan utamanya adalah mencari sifat keisomorfisan sistem ini. Terlebih dahulu dicari sifat-sifat opera- si binernya apabila dikenai operasi kuasi komplemen, kemudian didefinisikan fungsi proyeksi dan digali sifatnya apabila dikenakan operasi kuasi komplemen. Dari si- ni dicari syarat perlu dan cukup keisomorfisannya dengan memperhatikan kaitannya dengan keisomorfisan semigrup tripel atas fungsi terner.
1.6 Sistematika Penulisan
Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut.
BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang penulisan, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka, dan metodologi penelitian.
BAB II DASAR TEORI
Pada bab ini diuraikan tentang definisi-definisi dasar mengenai relasi, fungsi, opera- si, transformasi, komposisi fungsi, semigrup, ideal semigrup, serta relasi ekuivalensi dalam semigrup.
BAB III SIFAT-SIFAT SEMIGRUP TRIPEL ATAS FUNGSI TERNER
Pada bab ini diberikan definisi, sifat-sifat, serta teorema yang berkaitan dengan semi- grup tripel atas fungsi terner.
BAB IV SIFAT-SIFAT SEMIGRUP TRIPEL DE MORGAN ATAS FUNGSI TERNER
Pada bab ini dibahas tentang definisi, sifat-sifat, serta teorema yang berkaitan dengan semigrup tripel de Morgan atas fungsi terner dan operasi kuasi- komplemen yang didefinisikan padanya.
BAB V PENUTUP
Bab ini berisikan kesimpulan yang diperoleh dari materi yang telah dipaparkan pada bab-bab sebelumnya.
