45
KENDALI LINEAR QUADRATIC REGULATOR (LQR) PADA
MOTOR INDUKSI 3 PHASA DENGAN DIRECT TORQUE CONTROL (DTC)
Ilham
Teknik Informatika STMIK AKBA
Abstrak:
Dalam penelitian ini dikembangkan metode pengaturan kecepatan motor induksi 3 phasa menggunakan kendali LQR dan DTC. Dengan menggunakan metode LQR dan DTC memungkinkan untuk mengontrol torka dan fluks stator secara langsung. Estimasi putaran rotor, torka dan fluks dilakukan oleh DTC yang diberi input tegangan dan arus stator.estimsi kecepatan motor akan dibandingkan dengan kecepatan referensi untuk menghasilkan error. Error dan delta error kecepatan putar sebagai masukan pada kendali LQR.Hasil yang diperoleh melalui simulasi menunjukkan respon kecepatan putar yang cepat dalam kondisi start, perubahan beban dan perubahan set point. Pada kondisi perubahan beban, respon kecepatan hampir tidak mengalami perubahan kecepatan atau bisa dikatakan respon kecepatan kokoh bila ada gangguan, maksimum overshoot sebesar 4,6735 % untuk torsi beban 30 N.m dengan peak time 0,007 detik dan settingtime sebsar 0,111 detik. Untuk kecepatan referensi 1450 rpm errornya sebesar 0,03 % kecepatan referensi 725 rpm errornya sebesar 0.03 % kecepatan 725 rpm errornya 0,08 dan untuk kecepatan referensi 362,5 rpm errornya 0,027 % terhadap kecepatan aktual motor.
Kata Kunci: Motor Induksi ,LQR, DTC, Kecepatan putar
1.
Pendahuluan
Pada jaman teknologi yang begitu maju saat ini, sistem kendali memiliki peranan penting dalam kehidupan manusia dan dalam perkembangan ilmu dan teknologi. Sistem kendali dalam kehidupan manusia memberikan sangat banyak kemudahan. Hal ini banyak ditemui dalam dunia industri seperti proses-proses dalam pabrik dan industri modern.Untuk menunjang perkembangan infrastruktur industri modern yang lebih efisien dan handal, terutama mesin-mesin canggih yang digunakan dalam proses produksi harus dalam kondisi dan performa yang benar-benar sempurna untuk menjaga kuantitas dan kualitas produksi [1]. Aplikasi sistem kendali dalam kehidupan manusia memberikan sangat banyak kemudahan.Hal ini banyak ditemui dalam dunia industri seperti proses-proses dalam pabrik dan industri modern.Sebagai contoh, Pengendalian automatik sangat diperlukan dalam operasi-operasi di industri untuk pengendalian tekanan, temperatur, kelembaban, viskositas, aliran proses produksi, pengerjaan dengan mesin perkakas, penanganan dan perakitan bagian-bagian mekanik dalam industri manufaktur, dan sebagainya. Motor induksi 3 phasa saat ini banyak digunakan pada industri dengan berbagai aplikasi [2]. Hal ini disebabkan karena motor induksi 3 phase memiliki keunggulan diantaranya handal, tidak ada kontak antara stator dan rotor kecuali bearing, tenaga yang besar, daya listrik rendah dan hampir tidak ada perawatan [3]
Banyak alternatif pengendalian yang dapat digunakan dalam mengendalikan kecepatan motor induksi, antara lain
dengan pengaturan frekuensi dan jala-jala, vektor kontrol dan lain-lain[4]. Namun model pengontrolan yang belum pernah digunakan dalam pengontrolan motor-motor induksi adalah dengan menggabungkan (Hibrid) antara kendali LQR dan DTC, yang selama ini lebih familiar digunakan pada motor-motor DC.
Tujuan dari penelitian ini adalah menggabungkan pengendaliDTC (Direct Torque Control) dan LQR (Linear Quadratic Regulator) sebagai kontrol putaran motor induksi untuk berbagai kondisi yaitu kondisi start, steady state dan perubahan setting point pada beban torsi motor.
2.
DQ Model Motor Induksi
Secara konvensional untuk menganalisa model motor induksi 3 phasa dikembangkan berdasarkan model trafo dengan mengasumsikan tegangan sumber adalah sinusoidal dan kondisi steady state [5].Dalam operasi riil ditemui permasalahan tegangan sumber yang tidak sinusoidal danada perubahan beban. Karena itu dibutuhkan model lain yang lebih fleksibel untuk menganalisis motor induksi. Motor induksi dalam koordinat dq digunakan untuk menganalisis motor dan lebih fleksibel. Persamaan tegangan motor induksi dengan tegangan simetri dalam koordinat dq [6] dan Fluksi yang tercakup dalam kumparan [7]. Persamaan-persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks [8], Torka elektromagnetik motor induksi dapat ditentukan dengan :
46
Persamaan dinamisdari mesin induksi dinyatakan oleh(2)
Dengan,
adalah torka beban
adalah torka elektromagnetik J adalah momen inersia (kg.m)
r adalah kecepatan angular rotor (rad/dt)
Untuk lebih memudahkan dalam menghitung tegangan dan arus dalam bentuk d-q dan sebaliknya kita dapat menggunakan transformasi matriks kombinasi Clarke-Park
[8] yakni :
[
( ) ( )
( ) ( )
]
[
( ) ( )
( ) ( ) ]
[ ] [
]dan[ ] [ ]
Dimana :
√
√ ( )
√ ( )
Diagram dari model motor induksi dapat dilihat pada gambar 1.
Gambar 1. Rangkaian ekivalen dq motor induksi
3.
Persamaan State Space Motor Induksi
Dari beberapa model matematika diatas, persamaan-persamaan tersebut dapat disederhanakan untuk mendapatkan model state space yang kemudian digambarkan dalam bentuk vector matriks persamaan state (keadaan). Bentuk persamaan state space motor induksi khususnya tipe squirrel-cage (sangkar tupai) yang digunakan dalam penelitian ini.
Dari Persamaan tegangan motor induksi dengan tegangan simetri dalam koordinat d-q [6] dan Fluksi yang tercakup dalam kumparan[7] dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut :
Dengan
| | | |
Dan
adalah matriks impedansi yang dinyatakan oleh :[ ]
[
]
[ ]
Dengan :
Dimana Ls dan Lr adalah induktansi sendiri untuk stator dan rotor dan Lm adalah induktansi bersama antara stator dan rotor sedangkan :
Bentuk simulasi, persamaan diatas kemudian direpresentasikan dalam state-variable untuk arus sebagai berikut :
[ ] [ ] ([ ] [ ])[ ] [ ] [ ] Dimana :
47
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
Setelah membuat model simulasi dari motor induksi 3 phasa [2] maka perlu dilakukan Validasi untuk melihat respon motor yang dihasilkan sesuai dengan karakteristik motor yang sebenarnya sesuai dengan parameter-parameter pada tabel 1.
Tabel 1. Parameter-parameter motor induksi
Daya 7,5 HP/kW
5,6 kW
Tegangan, V 380 Volt(L-L,rms)
Fasa (F) 3 phasa
Tahanan Stator, Rs 1,77 Ohm
Tahanan Rotor, Rr 1,34 Ohm
Reaktansi Stator, Xs 5,25 Ohm
Reaktansi Rotor, Xr 4,57 Ohm
Reaktansi Gandeng, Xm 1,39 Ohm
Momen Inersia Motor, J 0.025 Kg.m2
Jumlah kutub, P 4 buah
Frekuensi,f 50 Hertz
Slip, S 3 Persen
Koefisien gesek,B 0.01 N.m.sec/rad
Arus beban Penuh, I 4 Ampere
Slip beban penuh (s) 1,72 Ohm
4. Perancangan Sistem
Dalam penelitian ini sistem yang akan dikendalikan adalah motor induksi 3 phasa jenis rotor sangkar tupai
(Squirrel-cage). Adapun model sistem motor induksi 3 phasa kendaliLQR dan DTC dapat dilihat pada gambar 2.
Gambar 2. Simulasi motor induksi 3 phasa dengan pengendali LQR dan DTC
Dari gambar 7 dapat dilihat dalam perancangan sistem kendali kecepatan motor induksi terbagi atas beberapa bagian yaitu :
1. Motor induksi
2. Inverter3 phasa dan switching PWM 3. Kalkulasi rotor flux, Teta, Iqs*, Id* 4. Kendali LQR
5. DTC
5. Prinsip Dasar Vektor Kontrol
Vektor kontrol adalah suatu metode pengaturan kumparan medan pada motor induksi, dimana dari sistem coupling dirubah menjadi sistem decoupling. Dengan sistem ini arus penguatan dan arus beban motor dapat dikontrol secara terpisah, sehingga torsi dan fluks juga dapat diatur secara terpisah, seperti halnya motor dc. Implementasi flux vektor pada motor induksi 3 phasa membutuhkan perhitungan/simulasi pada orientasi stator, rotor dan torsi. Untuk memudahkan simulasi motor dari kondisi transient sampai stabil, maka koordinat abc pada motor diubah ke dalam model bayangan/vektor ke bentuk dq [7] dan [8].
6.
Inverter 3 phasa dan Switching PWM
(SPWM)
Inverter sebagai rangkaian penyaklaran elektronik dapat mengubah sumber tegangan searah menjadi tegangan bolak-balik dengan besar tegangan dan frekuensi dapat diatur [10].Untuk menjalankan motor AC 3 fasa kendali LQR diperlukan rangkaian daya sebagai media pengasutan.Teknik PWM inverter sangat tepat digunakan sebagaiimplementasi perancangan model.Rangkaian daya inverter tiga fasa tiga lengan (three-leg inverter) yang memiliki enam buah saklar dan sumber tegangan DC. Suatu konverter DC to AC jenis sumber tegangan (voltage-type inverter) harus memenuhi dua syarat, yaitu saklar yang terletak pada satu lengan tidak boleh konduksi secara bersamaan hingga menimbulkan arus hubung singkat, dan arus sisi AC harus selalu dijaga kontinuitasnya. Hal ini dapat dilihat pada gambar 3.
48
Rangkaian inverter terkendali arus dimodelkan dengan blokUniversalBridge dari piranti elektronika daya (Power electronic device).
Regulator arus dibangun dengan blok-blok Simulink, yang terdiri dari tiga pengendali histerisis. Arus-arus motor disediakan oleh keluaran pengukuran dari blok motor induksi 3 phasa yang dapat dilihat pada gambar 4.
Gambar 4. Regulator arus
Konversi antara kerangka referensi abc-dq dan dq-abc dieksekusi oleh blok-blok abc-dq dan dq-abc, seperti yang diperlihatkan pada gambar 5 dan 6.
Gambar 5. Transformasi abc-dq
Gambar 6. Transformasi dq-abc
Fluks rotor dihitung dengan blok kalkulasi fluks seperti ditunjukkan pada gambar 7.
Gambar 7. Kalkulasi Fluks (Phir)
Posisi fluks rotor ( ) dihitung dengan blok kalkulasi Teta, seperti pada gambar 8.
Gambar 8. Kalkulasi Theta
Arus referensi sumbu q stator (iq*) dihitung dengan blok kalkulasi iq* seperti pada gambar 9.
Gambar 9. Kalkulasi arus referensi sumbu q (iq*)
Arus referensi sumbu d stator (id*) dihitung dengan blok kalkulasi id* seperti pada gambar 10.
Gambar 10. Kalkulasi arus referensi sumbu d (id*)
7.
Metode Linear Quadratic Regulator
Sistem optimal adalah sistem yang mempunyai unjuk kerja terbaik (best performance) terhadap suatu acuan tertentu.Sistem kendali optimal memerlukan adanya suatu kriteria optimasi yang dapat meminimumkan hasil pengukuran dengan deviasi perilaku sistem terhadap perilaku idealnya [9].
Metode optimasi dengan linear quadratic regulator (LQR) adalah denganmenentukan sinyal masukan yang akan memindahkan suatu state sistem linier dari kondisiawal x(t0)
menuju ke suatu kondisi akhir x(t) yang meminimumkan suatu indeks unjuk kerja performansi kuadratis. Cost functional yang dimaksud adalah waktu integral dari bentuk kuadratis pada vektor keadaan (state) x dan vektor masukan
u seperti pada persamaan :
[ ]
dimana Q adalah matriks semi definit positif dan R adalah matriksdefinit positif. Dengan dasar seperti diatas, variasi parameter dari masalah perancanganlinear quadratic regulator dapat ditentukan, juga untuk kondisi akhir, yang mungkin dapat berpengaruh pada cost function.
Prinsip penggunaan metode LQR adalah memperoleh sinyal kendali optimal dari umpan balik keadaan (state feedback) u= -[k].[x]. Matrik umpan balik k diperoleh dengan memecahkan persamaan Riccati. Salah satu kendala penggunaan metode LQR adalah pemecahan persamaan Riccati yang tidak mudah jika diselesaikan secara manual, karenanya dibutuhkan bantuan komputer, dalam hal ini dengan paket program Matlab.
49
[X]’ = [A][X] + [B][U]
[Y] = [C][X] + [D][U]
Gambar 11.Representasi sistem dalam bentuk persamaan ruang keadaan.
Berdasarkan gambar 11, maka persamaan ruang keadaan dapat dituliskan sebagai berikut:
̇
Pengendali LQR ini dirancang untuk mengendalikan kecepatan pada motor induksi 3 phase. pada tahap penerapannya menggunakan simulasi Matlab untuk memperoleh bahan informasi desain kendali LQR.
Untuk melakukan perancangan pengendali menggunakan metode LQR pada pengendali kecepatan motor induksi 3 phase dilakukan pertama-tama adalah menghitung matriks keadaan yang dipergunakan dalam perancangan pengendali. perhitungan dilakukan dengan menggunakan program Matlab, adapun matriks keadaan mengacu pada matriks impedansi , sehingga diperoleh:
[
]
[
]
[
]
[ ]
Dimana:
( ) (3)
Pembuktian Keterkendalian Sistem (Controllability)
Matriks keterkendalian (controlability matrix):
[ | | ( ) ] (4)
Dengan menggunakan program Matlab matriks keterkendalian diperoleh dengan cara sebagai berikut [10]: C = ctrb (A,B);
Rank (C) Ans = 4
Nilai determinan yang diperoleh tidak sama dengan nol karena matriks keterkendalian memiliki full rank yaitu sebesar 4. Dengan demikian dapat disimpulkan sistem dapat dikendalikan (controllable).
Pembuktian Keteramatan Sistem (Observability)
Matriks keteramatan (observability matrix):
[ | | |( )( ) ] (5)
Dengan menggunakan program Matlab matriks keteramatan diperoleh dengan cara sebagai berikut:
O = obsv (A,C); Rank (O) Ans = 4
Nilai determinan yang diperoleh tidak sama dengan nol karena matriks keteramatan memiliki full rank yaitu sebesar 4. Dengan demikian dapat disimpulkan sistem dapat diamati (observable).
8.
Penentuan Matriks Bobot
Matriks bobot adalah matriks Q dan R. Pemilihan matriks Q dan R dilakukan dengan cara coba-coba (trial and error). Dengan syarat, matriks Q adalah matriks simetris, semidefinit positif dan real (Q > 0). Matriks Q merupakan matriks berordo4×4 yang ditulis sebagai persamaan
[
]
(6) Matriks Q adalah matriks diagonal dengan komponen-komponennya q, dan bila diadakan pemisahan akan diperoleh matriks identitas yang dikalikan dengan konstanta q.Penentuan dimensi matriks Q didasarkan pada jumlah state matriks A [11].
50
Matriks R adalah matriks diagonal dengan komponen-komponennya r, dan bila diadakan pemisahan akan diperoleh matriks identitas yang dikalikan dengan konstanta r.
Untuk menghitung besarnya nilai penguatan (gain) optimal K digunakan bantuan program Matlab. Untuk mendapatkan gain K terlebih dulu harus memilih matriks bobot Q dan R. Pemilihan matriks bobot Q dan R ini berdasarkan nilai sisa relatif yang paling kecil. Perhitungan nilai sisa relatif tersebut dapat dilakukan dengan cara coba-coba (trial and error).Yaitu dengan mengubah-ubah nilai matriks Q.
Setelah mendapatkan nilai matriks Q dan Matriks R maka nilai (gain) optimal K dapat diperoleh dengan memasukkan perintah lqr(A,B,Q,R,N) pada program Matlab, Adapun Blok diagram Kendali LQR pada penelitian ini ditunjukkan pada gambar 12.
Gambar 12.Blok diagram kendali LQR
Rangkaian LQR ini merupakan Gain yang terdiri dari 4 input dan 1 output mengacu pada nilai (gain) optimal K. Untuk rangkaian Kendali LQR menggunakan rangkaian Op-Amp LM 348.
7. Kendali Direct Torque Control
Pada motor induksi dengan tipe rotor sangkar untuk waktu tetap rotor menjadi sangat besar, fluks bocor berubah perlahan dibanding dengan perubahan fluks bocor stator. Oleh karena itu pada keadaan perubahan cepat fluks rotor cenderung tidak berubah. Perubahan cepat dari torsi elektromagnetik dapat dihasilkan dari putaran fluks stator, sebagai arah torsi. Dengan kata lain fluks stator dapat seketika mempercepat atau memperlambat dengan menggunakn vektor tegangan stator yang sesuai. Torsi dan fluks kontrol bersama-sama dan decouple dicapai dengan pengaturan langsung dari tegangan stator, dari error respon torsi dan fluks. DTC biasanya digunakan sesuai vector tegangan dalam hal ini untuk memelihara torsi dan fluks stator dengan dua daerah histerisis. Untuk menentukan putaran motor dapat digunakan persamaan rangkaian dan arus motor diukur pada reference frame yang dapat dipilih dalam stator frame, persamaan tegangan stator dalam kerangka stator referensi diberikan [12] dengan persamaan :
̅ ̅ ̅ (8)
Dengan demikian fluks lingkages dalam koordinat stator reference frame dihitung berdasarkan
̅ ∫( ̅ ̅ ) (13)
̅ ∫( ̅ ̅ ) (14)
Sehingga besarnya fluks stator adalah
√( ) ( ) (15)
(
) (16)
Frekuensi listrik dihitung dengan mendiffrensialkan sudut vector fluks rotor yaitu :
(
) (17)
Persamaan turunan dari (10) adalah :
̇ ̇ ̇ (18) Dan persamaan kecepatan rotornya adalah :
( ) (19)
Gambar 13. Blok diagram DTC
Direct Torque Control pertama kali dikembangkan oleh Takahasi dan Noguchi tahun 1986. Dasar dari metode DTC adalah perubahan torsi sebanding dengan slip antara fluks stator dan fluks rotor pada kondisi fluks bocor stator tetap [13].
8. Hasil Simulasi Dan Analisa
Hasil simulasi kendali LQR pada motor induksi 3 phasa dengan DTC menggunakan simulink matlab dengan data sebagai berikut : sampling time 100s, fluks referensi diambil pada harga nominal
51
Respon Putaran MOTOR terhadap Perubahan Torsi Beban dan Perubahan Referensi
Wm.Aktual (rad/det)
Respon Error Torsi, Torsi Reference dan Torsi Estimasi
DT perubahan referensi putaran dan bila terjad perubahan beban.
Gambar 15. Respon Putaran Motor untuk setiap kondisi
Gambar 15 : merupakan respon putaran motor saat start, perubahan referensi kecepatan dan perubahan beban,
Over-shoot yang dihasilkan pada saat start, perubahan
referensi kecepatan dan perubahan beban serta waktu yang dibutuhkan untuk mencapai kondisi steady state dapat dilihat pada table berikut :
Tabel 2. Respon Putaran Motor
Gambar 16. Arus Stator untuk setiap kondisi
Gambar 16. merupakan arus stator pada setiap kondisi perubahan yang terjadi, daerah t1 menunjukkan saat putaran
38,09 rad/detik pada saat beban nol (motor tanpa beban), daerah t2 menunjukkan saat putaran motor 76,18 rad/detik
pada beban nol, dan daerah t3 menunjukkan saat putaran
76,18 rad/detik untuk beban penuh 31,63 N.m. Tabel 3. Respon arus stator
Daerah Parameter terukur
Putaran Arus
t1 38,09 rad/det. 5,10 A
t2 38,09 rad/det. 5,10 A
t3 76,18 rad/det. 8,2 A
Untuk kondisi transient dan perubahan referensi kecepatan overshoot arus yang terjadi sebesar 40, 29 Ampere dan 10,5 ampere
Gambar 17. Merupakan output tengangan inverter yang menjadi input tegangan bagi motor induksi 3 phasa,
Gambar 17. Tegangan Motor pada saat perubahan referensi kecepatan dan Torsi beban
Tabel 4. Respon Tegangan Motor
Terlihat bahwa pada saat perubahan referensi kecepatan menjadi lebih cepat frekuensi tegangan motor juga semakin besar ( )
Gambar 18. Merupakan respon dari torka elektromagnetik dimana pada saat start dan perubahan setting kecepatan terjadi ripple torka sebesar 310 N,m dan 280 N.m
Gambar 18. Torka Elektromagnetik
Kondisi Parameter terukur
Overshoot (iss)
Start 9,43 rad/det 0,12
Perubahan referensi kecepatan 15,74 rad/det. 0,12
Perubahan beban (torsi) 4,85 rad/det. 0,12 Putaran Parameter terukur
Periode (T) Vm
52
Gambar 19. Fluks stator terhadap koordinat sumbu d dan q
Pada gambar 19, terlihat bahwa kecepatan putaran motor induksi pada saat terjadi perubahan torsi beban. Dari gambar 5 kecepatan putar motor dikendalikan oleh LQR dan DTC
9. K
esimpulan
Dari hasil simulasi yang dilakukan maka dapat ditarik kesimpulan :
1. Pada saat start motor dengan beban nol dan putaran 0,5 putaran nominal (38,09 rad/det) terjadi overshoot 9,43 rad.det(19,84%), rise time 0,007875 detik dan settling time 0,12 detik.
2. Pada saat motor terjadi perubahan putaran referensi naik 100% menjadi 76,18 rad/det. dengan beban nol terjadi overshoot 15,74 rad.det(17,12%), rise time 0,0094 detik dan settling time 0,12 detik.
3. Pada saat motor diberi beban penuh 31,63 N.m dan putaran (76,18 rad/det) terjadi overshoot 4,45 rad.det(5,51%), rise time 0, detik peak time 0,0086 detik dan settling time 0,12 detik.
Daftar Pustaka
[1] Endro Wahjono. Soebagio.Fuzzi Logic Direct Torque Control Untuk Motor Induksi Yang digunakan Pada
kendaraan Listrik (Electrik Vehicle).Politeknik Elektronika Negeri Surabaya. 2009.
[2] Oktavianus Kati. Pengendali Sliding Mode Control (SMC) Motor Induksi 3 Phasa dengan Direct Torque
Control (DTC Menggunakan Algoritma Genetika.
Universitas Hasanuddin. 2011.
[3] Ching-Chang Wong, shih-Yu Chang. Parameter Selection in The Sliding Mode Control Design Using
Genetic Algorithms. Tamkang Journal of Sience and Engineering. Vol. 1, No. 2, pp. 115-122. 1998.
[4] Jeremia Purba.Simulasi Pengaturan Kecepatan Motor Induksi Tiga Phasa Dengan Direct Torque Control
Dengan Menggunakan Matlab 7.0.1. Universitas Sumatera Utara. 2009.
[5] Epyk Sunarno, Soebagio, Mauridhi Heri Purnomo.
Pengaturan Kecepatan Motor Induksi Tanpa Snesor
Kecepatan dengan Metoda Direct Torque control
Menggunakan Observer Recurrent Neural Network.
Politeknik Elektronika Negeri Surabaya.2009
[6] Panji Kurniawan. Perancangan Dan Simulasi Metode Direct Torque Control (DTC) Untuk Pengatuan
Kecepatan Motor Induksi 3 Phasa. Institute Teknologi Sepuluh November Surabaya.2009.
[7] Era Purwanto, Ananto Mukti Wibowo, Soebagio, Mauridhi Hery Purnomo. Pengembangan Metoda Self
Tuning Parameter PID Controller Dengan
Menggunakan Genetic Algorithm Pada Pengaturan
Motor Induksi Sebagai Penggerak Mobil Listrik.
Seminar Nasional Aplikasi Teknologi Informasi (SNATI). ISSN: 1907-5022. 2009.
[8] M. Abid, Y. Ramdani, A. Aissaoui, A. Zeblah. Sliding Mode Speed and Flux control of an Induction Machine.
Journal of Cybernetics and Informatics. ISSN:1336-4774. Vol. 6. 2006.
[9] Lewis, F.L. Optimal Control. Kanada: John Wiley & Sons, Inc.1996.
[10] Wahyu, Thomas dan Agung, Wahyu. 2003. Analisis dan Desain Sistem Kontrol dengan MATLAB. Yogyakarta : Penerbit ANDI.
[11]Heru Dibyo Laksono. Simulasi Tingkah Laku Kecepatan Motor DC di titik Operasi Mempergunakan Metoda
Linear Quadratic Regulator (LQR). Jurusan Teknik Elektro Universitas Andalas Padang.. No. 29 Vol.2 thn. XV April 2008.
[12] Soebagio, Model mesin AC pada koordinat d-qn, Materi Kuliah Mesin Listrik Lanjut, ITS, 2006
[13] D. Casadei, Giovanni Serra, “FOC and DTC: two
variable scheme for induction motors torque control”,
