BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Konsep Kemiskinan
Kemiskinan dapat dilihat dari dua sisi yaitu kemiskinan absolut dan kemiskinan
relatif. Kemiskinan absolut dan kemiskinan relatif adalah konsep kemiskinan yang
mengacu pada kepemilikan materi dikaitkan dengan standar kelayakan hidup
seseorang atau keluarga. Kedua istilah itu menunjuk pada perbedaan sosial (social
distinction) yang ada dalam masyarakat berangkat dari distribusi pendapatan. Perbedaannya adalah bahwa pada kemiskinan absolut ukurannya sudah terlebih
dahulu ditentukan dengan angka-angka nyata (garis kemiskinan) dan atau indikator
atau kriteria yang digunakan, sementara pada kemiskinan relatif kategori kemiskinan
ditentukan berdasarkan perbandingan relatif tingkat kesejahteraan antar penduduk.
2.1.1 Kemiskinan Absolut
Kemiskinan absolut atau mutlak berkaitan dengan standar hidup minimum suatu
masyarakat yang diwujudkan dalam bentuk garis kemiskinan (poverty line) yang
sifatnya tetap tanpa dipengaruhi oleh keadaan ekonomi suatu masyarakat. Garis
Kemiskinan (poverty line) adalah kemampuan seseorang atau keluarga memenuhi
kebutuhan hidup standar pada suatu waktu dan lokasi tertentu untuk melangsungkan
hidupnya. Pembentukan garis kemiskinan tergantung pada definisi mengenai standar
hidup minimum. Kemiskinan abosolut ini bisa diartikan dari melihat seberapa jauh
perbedaan antara tingkat pendapatan seseorang dengan tingkat pendapatan yang
dibutuhkan untuk memenuhi kebutuhan dasarnya. Tingkat pendapatan minimum
2.1.2 Kemiskinan Relatif
Kemiskinan relatif pada dasarnya menunjuk pada perbedaan relatif tingkat
kesejahteraan antar kelompok masyarakat yang berada dilapisan terbawah dalam
persentil derajat kemiskinan suatu masyarakat digolongkan sebagai penduduk miskin.
Dalam kategori seperti ini, yang digolongkan sebagai miskin sebenarnya sudah dapat
mencukupi hak dasarnya, namun tingkat keterpenuhannya berada dilapisan terbawah.
Kemiskinan relatif memahami kemiskinan dari dimensi ketimpangan antar
kelompok penduduk. Pendekatan ketimpangan tidak berfokus pada pengukuran garis
kemiskinan, tetapi pada besarnya perbedaan antara 20 atau 10 persen masyarakat
paling bawah dengan 80 atau 90 persen masyarakat lainnya. Kajian yang berorientasi
pada pendekatan ketimpangan tertuju pada upaya memperkecil perbedaan antara yang
berada dibawah (miskin) dan yang makmur dalam setiap dimensi statifikasi dan
diferensiasi sosial. Ketimpangan merupakan suatu permasalahan yang berbeda dengan
kemiskinan.
Dalam hal mengidentifikasi dan menentukan sasaran penduduk miskin, maka
garis kemiskinan relatif cukup untuk digunakan dan perlu disesuaikan terhadap tingkat
pembangunan negara secara keseluruhan. Garis kemiskinan relatif tidak dapat dipakai
untuk membandingkan tingkat kemiskinan antar negara dan waktu karena tidak
mencerminkan tingkat kesejahteraan yang sama.
2.2 Ukuran Kemiskinan
Untuk mengetahui jumlah penduduk miskin, sebaran dan kondisi kemiskinan
diperlukan pengukuran kemiskinan yang tepat sehingga upaya untuk mengurangi
kemiskinan melalui berbagai kebijakan dan program pengurangan kemiskinan akan
efektif. Pengukuran kemiskinan yang dapat dipercaya menjadi instrument yang
tangguh bagi pengambil kebijakan dalam memfokuskan perhatian pada kondisi hidup
orang miskin. Pengukuran kemiskinan yang baik akan memungkinkan dalam
antar waktu dan menentukan target penduduk miskin dengan tujuan untuk
menguranginya (World Bank, Introduction to Poverty Analysis, 2002 dalam Badan
Pusat Statistik, 2008).
Metode penghitungan penduduk miskin yang dilakukan BPS sejak pertama
kali hingga saat ini menggunakan pendekatan yang sama yaitu pendekatan kebutuhan
dasar (basic needs approach). Dengan pendekatan ini, kemiskinan didefinisikan
sebagai ketidakmampuan dalam memenuhi kebutuhan dasar. Dengan kata lain,
kemiskinan dipandang sebagai ketidakmampuan dari sisi ekonomi untuk memenuhi
kebutuhan makanan maupun non makanan yang bersifat mendasar. Berdasarkan
pendekatan itu indikator yang digunakan adalah Head Count Index (HCI) yaitu jumlah
dan persentase penduduk miskin yang berada di bawah garis kemiskinan (poverty
line).
Selain head count index (𝑃0) terdapat juga indikator lain yang digunakan
untuk mengukur tingkat kemiskianan, yaitu indeks kedalaman kemiskinan (poverty
gap index) atau (𝑃1) dan indeks keparahan kemiskinan (distributionally sensitive
index) atau (𝑃2) yang dirumuskan oleh Foster-Greer-Thorbecke (Badan Pusat Statistik, 2008). Metode penghitungan ini merupakan dasar penghitungan persentase
penduduk miskin untuk seluruh Kabupaten/Kota.
Rumus yang digunakan adalah:
𝑷∝ =𝑵 𝟏 𝒁 − 𝒀𝒁 𝒊 ∝
(𝟐.𝟏) 𝑸
𝒊=𝟏
Keterangan :
𝑍 = Garis kemiskinan
𝑖 = Rata-rata pengeluaran per kapita penduduk yang berada di bawah garis kemiskinan
𝑄 = Banyak penduduk yang berada di bawah garis kemiskinan
𝑁 = Jumlah penduduk
𝛼 = 0 ; Poverty head count index (𝑃0) 𝛼 = 1 ; Poverty gap index (𝑃1)
𝛼 = 2 ; Poverty distributionally sensitive index (𝑃2)
Head count index (𝑃0) merupakan jumlah persentase penduduk yang berada dibawah garis kemiskinan. Semakin kecil angka ini menunjukkan semakin
berkurangnya jumlah penduduk yang berada dibawah garis kemiskinan. Demikian
juga sebaliknya, bila angka (𝑃0) besar maka menunjukkan tingginya jumlah
persentase penduduk yang berada di bawah garis kemiskinan.
Poverty Gap Index (𝑃1) merupakan ukuran rata-rata kesenjangan pengeluaran
masing-masing penduduk miskin terhadap garis kemiskinan. Angka ini
memperlihatkan jurang (gap) antara pendapatan rata-rata yang diterima penduduk
miskin dengan garis kemiskinan. Semakin kecil angka ini menunjukkan secara
rata-rata pendapatan penduduk miskin sudah semakin mendekati garis kemiskinan.
Semakin tinggi angka ini maka semakin besar kesenjangan pengeluaran penduduk
miskin terhadap garis kemiskinan atau dengan kata lain semakin tinggi nilai indeks
menunjukkan kehidupan ekonomi penduduk miskin semakin terpuruk.
Distributionally Sensitive Index (𝑃2) memberikan gambaran mengenai
penyebaran pengeluaran di antara penduduk miskin. Angka ini memperlihatkan
sensitivitas distribusi pendapatan antar kelompok miskin. Semakin kecil angka ini
menunjukkan distribusi pendapatan di antara penduduk miskin semakin merata.
Tabel 2.1
Daerah A memiliki (𝑃0) yaitu sebesar 0,4, hal ini menunjukkan bahwa daerah
tersebut penduduk miskinnya mencapai 0,4 atau sebesar 40 persen. Bila dilihat dari
Indeks kedalaman kemiskinan (poverty gap index) atau (𝑃1) daerah A dapat dilihat
(𝑃1) adalah sebesar 0,2 dan bila dilihat dari indeks keparahan kemiskinan
2.3 Variabel Kesejahteraan Masyarakat yang Mempengaruhi Kemiskinan
2.3.1 Produk Domestik Regional Bruto (PDRB)
Menurut Badan Pusat Statistik (BPS) pengertian produk domestik regional bruto
(PDRB) atas dasar harga konstan yaitu jumlah nilai produksi atau pengeluaran atau
pendapatan yang dihitung menurut harga suatu tahun dasar tertentu. Indikator ini
sangat bermanfaat untuk mengukur tingkat kehidupan masyarakat dan lebih tepat
dipergunakan dibandingkan pendapatan per kapita. Dengan cara menilai kembali atau
mendefinisikan berdasarkan harga-harga pada tingkat dasar dengan menggunakan
indeks harga konsumen. Penghitungan atas dasar konstan berguna untuk melihat
pertumbuhan ekonomi secara keseluruhan atau sektoral, juga untuk melihat perubahan
struktur perekonomian suatu daerah dari tahun ke tahun.
Sesuai dengan uraian tersebut diatas, cara perhitungan PDRB dapat dinyatakan dengan
rumus:
𝑃𝐷𝑅𝐵= 𝐾𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑠𝑖+𝑇𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛 (2.2)
Sedangkan untuk menghitung perubahan-perubahan yang terjadi (laju pertumbuhan)
PDRB dapat dinyatakan dengan rumus:
𝐿𝑃𝐷𝑅𝐵 = 𝑃𝐷𝑅𝐵𝑡 − 𝑃𝐷𝑅𝐵𝑡−1 𝑃𝐷𝑅𝐵𝑡−1
× 100% (2.3)
Keterangan :
𝐿𝑃𝐷𝑅𝐵𝑡 = Nominal Laju PDRB tahun tertentu
𝑃𝐷𝑅𝐵𝑡 = Nominal PDRB tahun tertentu
2.3.2 Pendidikan
Upaya pembangunan di bidang pendidikan bertujuan untuk peningkatan sumber daya
manusia. Pendidikan mempunyai peranan penting bagi suatu bangsa dan merupakan
salah satu sarana untuk meningkatkan kecerdasan dan keterampilan manusia. Kualitas
sumber daya manusia antara lain sangat tergantung dari kualitas pendidikan.
Pentingnya pendidikan tercermin dalam UUD’45 dan GBHN yang mengatakan bahwa
kehidupan bangsa. Dengan demikian program pendidikan mempunyai andil besar
terhadap kemajuan bangsa, ekonomi maupun sosial
Keadaan pendidikan penduduk secara umum dapat diketahui dari beberapa
indikator seperti angka partisipasi sekolah, tingkat pendidikan yang ditamatkan dan
angka melek huruf. Tingkat pendidikan sangat diperlukan untuk meningkatkan
kesejahteraan penduduk. Keadaan seperti ini sesuai dengan hakikat pendidikan itu
sendiri yakni merupakan usaha sadar untuk mengembangkan kepribadian dan
kemampuan di dalam dan di luar sekolah yang berlangsung seumur hidup.
2.3.3 Ketenagakerjaan
Gambar 2.1 dengan jelas dapat dilihat skema mengenai keadaan penduduk suatu
Negara dengan segala potensinya untuk menghasilkan.
Gambar 2.1
Penduduk Dan Tenaga Kerja
P
PDUK PUK
AK BAK
IRT L
S
Em Un
SM BP
Berdasarkan Gambar 2.1, dapat pula dirumuskan beberapa persamaan.
𝑃 = 𝑃𝑈𝐾+𝑃𝐷𝑈𝐾 (2.4) 𝑃𝑈𝐾= 𝐴𝐾+𝐵𝐴𝐾 (2.5) 𝐴𝐾 =𝐸𝑚+𝑈𝑛 (2.6) 𝐵𝐴𝐾= 𝑆+𝐼𝑅𝑇+𝐿 (2.7) 𝐸𝑚 =𝐵𝑃+𝑆𝑀 (2.8) 𝑆𝑀 =𝑆𝑃𝐾+𝑆𝑃𝑇𝐾 (2.9)
Keterangan:
P = Penduduk
PUK = Penduduk Usia Kerja, di Indonesia dengan batasan 10 tahun ke atas
PDUK = Penduduk Di Luar Usia Kerja
Ak = Angkatan Kerja, yaitu penduduk dalam usia kerja yang sudah bekerja dan
sedang mencari pekerjaan.
BAK = Bukan Angkatan Kerja, yaitu penduduk dalam usia kerja yang tidak bekerja
dan belum ingin bekerja.
S = Sekolah
IRT = Ibu Rumah Tangga
L = Lainnya, yaitu penduduk yang cacat mental atau sebab lain sehingga tidak
produktif.
Em = Bekerja
Un = Unemployment, yaitu penduduk yang menganggur karena belum mendapat pekerjaan disebut juga pengangguran terbuka.
BP = Bekerja Penuh, yaitu penduduk yang memiliki jam kerja lebih dari 35 jam
per minggu
SM = Setengah Menganggur, yaitu penduduk yang bekerja di bawah 35 jam per
minggu
SPK = Setengah Penganggur Kentara, yaitu penduduk yang memiliki jam kerja
sedikit. Menurut SAKERNAS kurang dari 14 jam per minggu disebut
setengah penganggur kritis, sedangkan antara 14 – 35 jam disebut setengah
penganggur.
SPTK = Setengah Penganggur Tak Kentara, yaitu penduduk yang memilliki
Hanya membandingkan Em (bekerja) dan Un (menganggur) disebut
pendekatan labor force approach atau pendekatan angkatan kerja, sedangkan melihat
lebih teliti di antara penduduk yang bekerja penuh atau setengah menganggur disebut
labor utilization approach. Pendekatan kedua lebih menggambarkan keadaan yang realistis tentang produktivitas penduduk.
Dalam konsep labor force approach telah disebutkan adanya angkatan kerja yang belum bekerja dan sedang/ingin mencari pekerjaan. Jumlah penduduk yang
sedang mencari pekerjaan ini dalam pengertian ekonomi disebut pengangguran
terbuka (open unemployment). Sebagai indikator biasanya dihitung persentasenya terhadap angkatan kerja dengan rumus:
𝑂𝑈= 𝑈𝑛
𝐴𝐾× 100% (2.10)
Keterangan:
OU = Open Unemployment Un = Unemployment AK = Angkatan Kerja
2.4 Analisis Regresi
Analisis regresi merupakan sebuah alat statistik yang memberikan penjelasan tentang
pola hubungan (model) antara dua variabel atau lebih. Analisis regresi, dikenal dua
jenis variabel yaitu variabel respons yaitu variabel yang keberadaannya dipengaruhi
oleh variabel lainnya dan dinotasikan dengan 𝒴 dan variabel bebas yang
keberadaannya tidak dipengaruhi oleh variabel lainnya dan dinotasikan dengan 𝒳.
2.5 Analisis Regresi Linier Berganda
dari dua peubah. Regresi linier berganda juga merupakan regresi di mana variabel
terikatnya (𝒴) dihubungkan atau dijelaskan lebih dari satu variabel, mungkin dua, tiga
dan seterusnya variabel bebas. Bentuk umum dari persamaan regresi linier berganda
dapat ditulis sebagai berikut :
𝒴𝑖 =𝛽0+𝛽1𝒳𝑖1 +𝛽2𝒳𝑖2+𝛽3𝒳𝑖3+ … +𝛽𝑘𝒳𝑖𝑘 +ℯ𝑖 (2.11)
Dengan 𝑖= 1, 2, 3,…,𝑛 dan errornya diasumsikan identik, independent dan
berdistribusi normal dengan mean nol dan varians konstan. Asumsi-asumsinya dapat ditulis sebagai berikut :
adalah himpunan konstanta yang paling tidak memiliki satu anggota yang
nilainya 0
Dengan asumsi-asumsi di atas, hasil estimasi dengan metode kuadrat terkecil dapat
ditulis sebagai berikut :
Turunan pertama dari fungsi ini dapat ditentukan sebagai berikut.
𝛿𝑆 𝛿𝛽𝑗 = 0
dengan 𝑗 = 1, 2, 3,…,𝑘. Proses ini akan menghasilkan persamaan dengan k faktor
𝛿𝑆
atau dapat dituliskan menjadi 𝑘 persamaan normal seperti berikut ini :
𝛽0𝑛 +𝛽1 𝒳1 +𝛽2 𝒳2 +𝛽3 𝒳3 +⋯+𝛽𝑘 𝒳𝑘 = 𝒴
Penyelesaian dari persamaan 2.12 akan memberikan hasil estimasi berdasarkan
metode OLS (ordinary least square), yang akan bersifat BLUE (Best Linier Unbiass Estimated).
Dengan menggunakan notasi matriks, model linier di atas dapat dituliskan secara lebih
Model regresi pada persamaan (2.11) disebut model regresi global karena
model regresi global mengasumsikan hubungan antara variabel respon dengan
variabel prediktor adalah tetap, sehingga parameter yang diestimasi nilainya sama
untuk semua tempat dimana data tersebut diamati.
Pengujian kesesuaian model secara serentak dilakukan dengan analisis varians
dengan hipotesis sebagai berikut.
𝐻0: 𝛽1, 𝛽2, 𝛽3,…,𝛽𝑘 = 0
Tabel 2.2 Sidik Ragam
𝐒𝐮𝐦𝐛𝐞𝐫𝐊𝐞𝐫𝐚𝐠𝐚𝐦𝐚𝐧 𝐃𝐞𝐫𝐚𝐣𝐚𝐭
𝐛𝐞𝐛𝐚𝐬
𝐉𝐮𝐦𝐥𝐚𝐡 𝐊𝐮𝐚𝐝𝐫𝐚𝐭 (JK)
𝐊𝐮𝐚𝐝𝐫𝐚𝐭 𝐓𝐞𝐧𝐠𝐚𝐡 (KT)
𝑅 𝛽1,𝛽2,𝛽3,𝛽4,𝛽5, 𝛽6 𝛽0
𝑛 𝐴𝑖𝑦𝐵𝑖𝑦
𝑛
𝑖=1
1
6 𝐴𝑖𝑦𝐵𝑖𝑦
6
𝑖−1
𝑅 𝛽1 𝛽0 ,𝛽2,𝛽3,𝛽4,𝛽5,𝛽6 1 𝐴1𝑦𝐵1𝑦 𝐴1𝑦𝐵1𝑦
𝑅 𝛽2 𝛽0 ,𝛽1,𝛽3,𝛽4,𝛽5,𝛽6 1 𝐴2𝑦𝐵2𝑦 𝐴2𝑦𝐵2𝑦
𝑅 𝛽3 𝛽0 ,𝛽1,𝛽2,𝛽4,𝛽5,𝛽6 1 𝐴3𝑦𝐵3𝑦 𝐴3𝑦𝐵3𝑦
𝑅 𝛽4 𝛽0 ,𝛽1,𝛽2,𝛽3,𝛽5,𝛽6 1 𝐴4𝑦𝐵4𝑦 𝐴4𝑦𝐵4𝑦
𝑅 𝛽5 𝛽0 ,𝛽1,𝛽2,𝛽3,𝛽4,𝛽6 1 𝐴5𝑦𝐵5𝑦 𝐴5𝑦𝐵5𝑦
𝑅 𝛽6 𝛽0 ,𝛽1,𝛽2,𝛽3,𝛽4,𝛽5 1 𝐴6𝑦𝐵6𝑦 𝐴6𝑦𝐵6𝑦
Galat 𝑛 − 𝑘
𝒴𝑖− 𝒴 𝑖 2
6
𝑖=1
𝑆2= 1
𝑛 −7 𝒴𝑖− 𝒴 𝑖
2 𝑛
𝑖=1
Total 𝑛
𝒳12 𝑛
Statistik uji dalam pengujian tersebut adalah :
𝐹𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 =𝐾𝑇𝐾𝑇𝑅𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖𝐺𝑎𝑙𝑎𝑡
dengan keputusan 𝐻0 di tolak jika 𝐹𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 di mana 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 (𝛼,𝑘,𝑛−𝑘).
Adapun nilai koefisien determinasinya dapat dicari dengan perumusan :
𝑅2 = 𝐽𝐾𝑅𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖
𝐽𝐾𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
Pengujian secara parsial dilakukan untuk mengetahui parameter apa saja yang
signifikan terhadap model. Hipotesis dari pengujian ini adalah:
𝐻0:𝛽𝑗 = 0
𝐻1:𝛽𝑗 ≠ 0, dengan 𝑗 = 1, 2, 3,…,𝑘
Statistik uji yang digunakan secara parsial adalah :
𝑡𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 =𝑆(𝛽𝛽𝑘 𝑘)
.
dengan keputusan 𝐻0 di tolak jika 𝑡𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 di mana 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 (𝛼,𝑘,𝑛−𝑘).
2.6 Metode Doolittle Dipersingkat (Abbreviated Doolittle Method)
Masalah pendugaan dalam regresi berganda adalah menyangkut penyelesaian
persamaan normal yang merupakan gugus persamaan simultan dalam parameter
model yang akan diduga.
Dalam pembahasan tentang model regresi berganda, terutama mengenai
pendugaan parameter model, maka untuk memperoleh jawaban bagi gugus persamaan
normal perlu mengetahui bagaimana cara membalik suatu matriks setangkup (𝒳′𝒳)
menjadi matriks kebalikan (𝒳′𝒳)−1 . Untuk gugus persamaan normal yang banyak
sehingga membentuk matriks berukuran besar, maka proses pembalikan matriks
menjadi tidak mudah, untuk itu diperlukan suatu metode pengerjaannya dapat
dilakukan secara teratur. Salah satu metode yang memenuhi syarat adalah metode
Metode ini dilaporkan pertama kali oleh M. H. Doolittle, seoran ahli yang
bekerja di kantor penelitian Geodesi, pada tanggal 9 November 1878. Sejak metode
ini dilaporkan oleh Doolittle melalui papernya pada tanggal 9 November 1878, maka
telah banyak digunakan untuk membantu memecahkan persamaan normal dalam
regresi ganda. Metode ini bersifat umum, sehingga dapat dipakai untuk menyelesaikan
k buah persamaan normal (k dapat menggambil nilai berapa saja, jadi bisa digunakan untuk memecahkan katakanlah 10, 25, 100, dan seterusnya). Dengan menggunakan
fasilitas komputasi yang sederhana, seperti kalkulator, peneliti telah dapat
menggunakan metode ini untuk menyelesaikan gugus persamaan normal dalam regresi
ganda. Keuntungan dari penggunaan metode ini tidak hanya dalam pembalikan
matriks setangkup, tetapi juga dapat menghitung berbagai jumlah kuadrat untuk
pengujian hipotesis tentang parameter model yang diidentifikasi. Secara jelas dapat
dikemukakan bahwa metode Doolittle dapat digunakan untuk memperoleh jawaban
berikut:
1. Koefisien penduga parameter model (koefisien regresi b). 2. Jumlah kuadrat yang berkaitan dengan koefisien regresi. 3. Ragam dugaan regresi di antara pasangan koefisien regresi. 4. Peragam dugaan di antara pasangan koefisien regresi.
5. Elemen-elemen dari invers matriks (𝒳′𝒳) (untuk pembalikan matriks setangkup.
Adapun tahapan perhitungan untuk mendapatkan persamaan garis linier
berganda dengan metode Doolittle Dipersingkat dalam penelitian ini adalah sebagai
berikut:
1. Persiapan awal
Persiapan awal ini disebut juga forward solution yaitu untuk mendapatkan besaran-besaran yang diperlukan berdasarkan pengolahan baris-baris matriks
𝒳’𝒳 dan 𝒳′𝒴 serta matriks identitas I seperti teladan untuk model regresi linier berganda yang melibatkan 6 peubah bebas 𝒳1,𝒳2,𝒳3,𝒳4 ,𝒳5,𝒳6 yang akan
menjelaskan peubah tidak bebas 𝒴 dengan model pengamatan : 𝒴𝑖 =𝛽0+𝛽1𝒳1+𝛽2𝒳2+𝛽3𝒳3+𝛽4𝒳4+𝛽5𝒳5+𝛽6𝒳6+ℯ𝑖
Tabel 2.3
Ilustrasi Penggunaan Metode Doolittle Dipersingkat Untuk Matriks Setangkup (𝐁𝐞𝐫𝐮𝐤𝐮𝐫𝐚𝐦𝟕𝐱𝟕) yang Berkaitan dengan Persamaan Normal Regresi
𝒳′𝒳
Baris 𝑏0 𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4 𝑏5 𝑏6 𝒳′𝒴 I
(0) 𝑎00 𝑎01 𝑎02 𝑎03 𝑎04 𝑎05 𝑎06 𝑔0 1 0 0 0 0 0 0 𝑇0
(1) 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14 𝑎15 𝑎16 𝑔1 1 0 0 0 0 0 𝑇1
(2) 𝑎22 𝑎23 𝑎24 𝑎25 𝑎26 𝑔2 1 0 0 0 0 𝑇2
(3) 𝑎33 𝑎34 𝑎35 𝑎36 𝑔3 1 0 0 0 𝑇3
(4) 𝑎44 𝑎45 𝑎46 𝑔4 1 0 0 𝑇4
(5) 𝑎55 𝑎56 𝑔5 1 0 𝑇5
(6) 𝑎66 𝑔6 1 𝑇6
(7) = (0) 𝐴00 𝐴01 𝐴02 𝐴03 𝐴04 𝐴05 𝐴06 𝐴0𝑦 1 0 0 0 0 0 0 𝑇7
(8) = 5 𝐴00
1 𝐵01 𝐵02 𝐵03 𝐵04 𝐵05 𝐵06 𝐵0𝑦 𝐵00′ 0 0 0 0 0 0 𝑇8
(9) = (1)− 𝐴01(6) 𝐴11 𝐴12 𝐴13 𝐴14 𝐴15 𝐴16 𝐴1𝑦 𝐴10′ 1 0 0 0 0 0 𝑇9 (10) = 7
𝐴11
1 𝐵12 𝐵13 𝐵14 𝐵15 𝐵16 𝐵1𝑦 𝐵10′ 𝐵11′ 0 0 0 0 0 𝑇10
(11) = (2)− 𝐴02(6)− 𝐴12(8) 𝐴22 𝐴23 𝐴24 𝐴25 𝐴26 𝐴2𝑦 𝐴′20 𝐴21′ 1 0 0 0 0 𝑇11 (12) = 9
𝐴22
1 𝐵23 𝐵24 𝐵25 𝐵26 𝐵2𝑦 𝐵20′ 𝐵21′ 𝐵22′ 0 0 0 0 𝑇12
13 = 3 − 𝐴03 6 − 𝐴13 8 − 𝐴23(10)
𝐴33 𝐴34 𝐴35 𝐴36 𝐴3𝑦 𝐴′30 𝐴31′ 𝐴32′ 1 0 0 0
𝐴33
(15) = 4 − 𝐴04 6 𝐴14 8 −
𝐴24(10)− 𝐴34(12) 𝐴44 𝐴45 𝐴46 𝐴4𝑦 𝐴′40 𝐴41′ 𝐴42′ 𝐴43′ 1 0 0
𝑇15
(16) = 13 𝐴44
1 𝐵45 𝐵46 𝐵4𝑦 𝐵40′ 𝐵41′ 𝐵42′ 𝐵43′ 𝐵44′ 0 0 𝑇16
17 = 5 − 𝐴05 6 𝐴15 8 − 𝐴25 10 − 𝐴35 12 − 𝐴45 14
𝐴55 𝐴56 𝐴5𝑦 𝐴′50 𝐴51′ 𝐴52′ 𝐴53′ 𝐴54′ 1 0 𝑇17
(18) = 15 𝐴55
1 𝐵56 𝐵5𝑦 𝐵50′ 𝐵51′ 𝐵52′ 𝐵53′ 𝐵54′ 𝐵55′ 0 𝑇18
19 = 6 − 𝐴06 6 𝐴16 8 − 𝐴26 10 − 𝐴36 12 − 𝐴46 14 − 𝐴56 16
𝐴66 𝐴6𝑦 𝐴′60 𝐴61′ 𝐴′62 𝐴63′ 𝐴64′ 𝐴′65 0 𝑇19
(20) = 1 𝐴66
2. Penentuan Koefisien Regresi
Penyelesaian langkah maju (forward solution) dari metode Doolittle dipersingkat (Tabel 2.3) menghasilkan persamaan :
1 𝛽0+ 𝐵01 𝛽1+ 𝐵02 𝛽2+ 𝐵03 𝛽3+ 𝐵04 𝛽4+ 𝐵05 𝛽5+ 𝐵06 𝛽6=𝐵0𝑦
1 𝛽1+ 𝐵12 𝛽2+ 𝐵13 𝛽3+ 𝐵14 𝛽4+ 𝐵15 𝛽5+ 𝐵16 𝛽6 =𝐵1𝑦
1 𝛽2+ 𝐵23 𝛽3+ 𝐵24 𝛽4+ 𝐵25 𝛽5+ 𝐵26 𝛽6 =𝐵2𝑦
1 𝛽3+ 𝐵34 𝛽4+ 𝐵35 𝛽5+ 𝐵36 𝛽6 =𝐵3𝑦 (2.14)
1 𝛽4+ 𝐵45 𝛽5+ 𝐵46 𝛽6 = 𝐵4𝑦
1 𝛽5+ 𝐵56 𝛽6 =𝐵5𝑦
1 𝛽6 =𝐵6𝑦
Sehingga solusi kebalikannya (backward solution) untuk mendapatkan koefisien regresi adalah:
𝛽6 =𝐵6𝑦
𝛽5 =𝐵5𝑦 − 𝐵56 𝛽6
𝛽4 = 𝐵4𝑦 − 𝐵45 𝛽5− 𝐵46 𝛽6
𝛽3 =𝐵3𝑦 − 𝐵34 𝛽4− 𝐵35 𝛽5− 𝐵36 𝛽6 (2.15)
𝛽2 =𝐵2𝑦 − 𝐵23 𝛽3− 𝐵24 𝛽4− 𝐵25 𝛽5− 𝐵26 𝛽6
𝛽1= 𝐵1𝑦 − 𝐵12 𝛽2− 𝐵13 𝛽3− 𝐵14 𝛽4− 𝐵15 𝛽5− 𝐵16 𝛽6
𝛽0 =𝐵0𝑦 − 𝐵01 𝛽1− 𝐵02 𝛽2− 𝐵03 𝛽3− 𝐵04 𝛽4− 𝐵05 𝛽5− 𝐵06 𝛽6
Dengan demikian, model dugaan yang diperoleh untuk model pengamatan
diatas adalah model dugaan :
𝒴 𝑖 =𝛽0+𝛽1𝒳1+𝛽2𝒳2+𝛽3𝒳3+𝛽4𝒳4 +𝛽5𝒳5+𝛽6𝒳6 (2.16)
3. Penentuan matriks Kebalikan 𝒳′𝒳−1
Jika matriks 𝐶= (𝑐𝑖𝑗)𝒳′𝒳−1 , maka perhitungan unsur matriks ini dapat
diperoleh melalui hubungan:
𝑐𝑖𝑗 = 𝐴′𝑘𝑖 𝐵𝑘𝑗′ 6
𝑘=0
(2.17)
Misalnya:
𝑐32 =𝐴03′ 𝐵02′ +𝐴′13𝐵12′ +𝐴23′ 𝐵22′ +𝐴′33 𝐵32′ +𝐴43′ 𝐵42′ +𝐴′53𝐵52′ +𝐴63′ 𝐵62′ .
Kecuali unsur matriks baris terakhir yang dapat dibaca langsung dari tabel,
yaitu 𝑐40 =𝐵40′ ,𝑐41 = 𝐵41′ dan seterus
4. Tabel Sidik Ragam Perhatikan bahwa:
𝐴𝑖𝑦𝐵𝑖𝑦 = 1
𝑛 𝒴𝑖
𝑛
𝑖=1 2
(2.18)
atau yang selama ini dikenal dengan istilah Faktor Koreksi (FK). Dengan
menggunakan Tabel Sidik Ragam yang biasa dikenal, maka Jumlah Kuadrat
Regresi dapat dihitung berdasarkan Jumlah Kuadrat sumber keragaman ke 1,
2, 3, 4, 5 dan 6 pada Tabel 2.3, sedangkan Jumlah Kuadrat Total dapat
dihitung berdasarkan jumlah kuadrat total pada Tabel 2.3 dikurangi FK.
5. Dugaan Ragam Koefisien Regresi
Untuk menentukan dugaan ragam setiap koefisien regresi digunakan
hubungan
𝑠𝑏2𝑖 =𝑐
𝑖𝑖𝑠2 (2.19)
dengan peragam
𝑠𝑏𝑖 ,𝑏𝑗 =𝑐𝑖𝑗𝑠2 (2.20)
