1
p4tkmatematika.org
͞KEINDAHAN MATEMATIKA͟
Materi ini saya pilih dengan tujuan agar pembaca dapat lebih memahami makna matematika sebagai sebuah ilmu yang dikenal sebagai pelayan ilmu pengetahuan (servant of
sciences), ratu ilmu pengetahuan (queen of sciences), bahasa ilmu pengetahuan (language
of sciences), yang hidup untuk menghidupkan ilmu-ilmu lain, dan merupakan salah satu dari
ilmu-ilmu dasar (basic sciences).
Pengertian Matematika.
Banyak definisi mengenai matematika, tergantung kepada latar belakang dan pemahaman pembuat definisi sendiri. Beberapa definisi matematika antara lain:
a. Matematika adalah ilmu yang menyelidiki secara deduktif mengenai konsep relasi spasial dan bilangan termasuk geometri, aritmetika, dan aljabar sebagai bagian utamanya (Oxford English Dictionary, 1933).
b. Matematika adalah ilmu yang mempelajari pengukuran, sifat-sifat, dan relasi kuantitas dan himpunan menggunakan bilangan dan simbol (American Heritage Dictionary, 2000).
c. Mathematics is the logical and abstract study of pattern (Stewart dalam Suzuki, 2010),
matematika adalah ilmu yang mempelajari mengenai logika dan pola abstrak.
d. Matematika adalah ilmu yang mempelajari mengenai klasifikasi dan semua pola yang
mungkin (Walter Warwick Sawyer, 1955). Yang dimaksud pola di sini adalah keteraturan yang bisa diterima akal. Pola juga diartikan sebagai urutan dan struktur. e. Matematika adalah ilmu yang mempelajari mengenai struktur, urutan dan relasi dalam
penghitungan, pengukuran, dan bentuk suatu obyek (Encyclopedia Britannica).
Disamping itu, banyak matematikawan yang mendefinisikan bahwa matematika adalah ilmu yang mempelajari mengenai teorema-teorema dan sistem aksiomatis.Definisi ini sedikit problematik karena belum mencakup topik-topik matematika yang bersifat eksploratif dan eksperimen baik yang dikerjakan secara manual oleh matematikawan sebelum abad ke-20, maupun yang dilakukan dengan komputer oleh matematikawan mulai abad ke-20.
Mengapa ada orang senang belajar matematika? Paling kurang seorang belajar matematika karena:
a. menghargai keindahan matematika, khususnya keindahan logika dan pola abstrak. b. menikmati penemuan pola abstrak dalam penelitiannya khususnya pola yang cukup
sulit.
c. mempunyai aplikasi dan peran yang luas di berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi termasuk matematika sendiri.
d. dapat mengungkap berbagai fenomena alam dan fenomena dalam kehidupan
sehari-hari
e. merupakan ilmu yang konsisten, tidak ada kontradiksi di dalamnya.
2
p4tkmatematika.org
bersifat universal di seluruh dunia, misalnya penemuan rumus abc dalam penyelesaian persamaan kuadrat dan penemuan rumus kosinus oleh Al Khawarizmi berlaku untuk seluruh dunia. Begitu pula semua penemuan penelitian misalnya disertasi doktor Matematika, unsur kebaharuannya berlaku secara universal di manapun.
Menurut Suzuki (2010) yang dikerjakan dalam matematika adalah Proof (Bukti),
Extension (Perluasan), Application (Terapan), Characterization (Karakterisasi, Ciri-ciri), dan
Existence (Eksistensi), yang biasa disingkat PEACE. Namun demikian menurut saya, yang
dikerjakan dalam matematika juga Abstraction (abstraksi) dan Generalization (generalisasi):
PEACE-AG.
Proof (Bukti): Setiap penelitian matematika melibatkan bukti, yang biasanya
dilakukan dengan dasar-dasar dan kebenaran logika matematika. Dalam matematika bukti adalah sejumlah proses untuk meyakinkan mengenai benar atau tidaknya suatu pernyataan matematika. Pernyataan matematika dapat berbentuk implikasi atau biimplikasi, yang biasanya dapat berupa Proposisi, Lemma, atau Teorema.Bukti dapat dilakukan secara deduktif atau induktif. Beberapa metode pembuktian antara lain: bukti langsung (direct proof), induksi matematika (mathematical induction), kontrapositif (contrapositive),kontradiksi (contradiction), konstruksi (construction).
Extension (Perluasan): Contoh perluasan dalam analisis matematika. Perluasan
Linear Kontinu/Continuous linear extension: Di dalam analisis fungsional didefinisikan suatu transformasi linear kontinu T pada A, dengan A himpunan bagian dari suatu ruang (vektor) bernorma lengkap X. Jika A himpunan bagian padat (dense) dari X, maka kita dapat memperluas transformasi linear T tersebut pada X. Prosedur ini disebut Extension
(Perluasan).
Application (Aplikasi-Terapan) : Pada awalnya matematika diaplikasikan sebagai alat
bantu untuk lebih memahami ilmu seperti fisika dan rekayasa. Tetapi pada akhirnya ilmu fisika dan rekayasa juga turut mendorong perkembangan bagian dari metematika, khususnya matematika analisis dan terapan. Istilah aplikasi terkadang sulit untuk diklasifikasikan secara matematis, karena banyak sekali bagian dari matematika yang dapat diaplikasikan. Karena itu banyak matematikawan yang lebih suka menyebut istilah aplikasi
dikaitka de ga i teraksi ya de ga bida g ate atika, isal ya ”mathematical analysis
and its application” atau ”applied analysis”, ”mathematical statistics and its application”
atau ”applied statistics”, dll. Melalui Aplikasi i ilah pera Mate atika di bida g IPTEK
menjadi penting. Bahkan sejak abad ke-20 peran Matematika berkembang diberbagai bidang IPTEK seperti: ilmu fisika, kimia, biologi, farmasi, ekonomi, ilmu komputer, ilmu-ilmu rekayasa, ilmu-ilmu sosial.
Characterization (Karakterisasi-Ciri) : Contoh: Karekterisasi konvergen dalam
ukuran: fn→f dalam ukuran pada himpunan E jika dan hanya jika untuk setiap ε>0, terdapat bilangan K sehingga ukuran himpunan {x E:|f(x−fk(x)|>ε}<ε untuk semua k≥K. Contoh lain :
Characterization of distributive sets by generalized annihilators.
Characterizations of supercompact spaces.
Existence (eksistensi): Jika paling kurang dapat ditemukan satu solusi dari suatu
problem tertentu, biasanya dikatakan bahwa solusi masalah tersebut ada (eksis). Seringkali matematikawan berusaha mencari suatu bukti eksistensi solusi suatu problem, yang
3
p4tkmatematika.org
tu ggal, ya g bisa ya ditua gka dala ”uniqueness theorem” teore a ketu ggala .
Contoh:
Existence and uniqueness of periodic solutions of linear differential equations in Banach spaces.
Existence of periodic solutions to the third-order nonlinear differential equation.
Abstraction (abstraksi): Dalam matematika abstraksi adalah suatu proses ekstraksi
(mencari sari pati) dari suatu konsep matematika, menghilangkan bentuk ketergantungan kepada obyek real (nyata) yang sebelumnya mungkin terkait. Biasanya hasil abstraksi mempunyai aplikasi yang lebih luas. Banyak bidang dalam matematika mulai mempelajari konsep pada masalah real, sebelum aturan-aturan dan konsep inti diidentifikasi dan didefinisikan pada struktur abstrak. Abstraksi merupakan proses yang dari dulu hingga sekarang masih tetap berlangsung, dan menunjukkan perkembangan dan kemajuan yang pesat hampir di semua bidang matematika. Misalnya konsep Integral Lebesgue, semula didefinisikan pada garis real R, kemudian diabstrakkan menjadi konsep Integral Lebesgue pada ruang terukur (X,A, ). Di sini himpunan semua bilangan real R diganti dengan sebarang himpunan tak kosong X, koleksi semua himpunan terukur pada R diganti dengan aljabar sigma A, ukuran pada R diganti dengan ukuran (measure) yang didefinisikan pada A. Contoh-contoh abstraksi terus berkembang, misalnya di bidang geometri menjadi geometri proyektif, aljabar menjadi aljabar abstrak, teori optimasi pada ruang Euclide dimensi n
menjadi teori optimasi pada ruang Banach, dll.
Generalization (generalisasi): Dalam matematika generalisasi adalah suatu proses
modifikasi suatu proposisi atau teorema sehingga memperoleh sifat yang lebih umum, dan proposisi atau teorema yang lama menjadi kejadian khususnya. Sebuah teorema atau konsep dapat digeneralisasi dengan mengurangi asumsi. Perbedaan antara ekstensi dan abstraksi dalam matematika terkadang tidak kentara. Contoh-contoh:
Generalization of convergence theorems in Riemann Integral to Lebesgue Integral.
On the generalized boundary value problem.
Matematika merupakan disiplin ilmu otonom, dapat berdiri sendiri, satu dari ilmu-ilmu pengetahuan yang mempunyai kekuatan kreatif akal manusia yang paling jelas. Matematika memainkan peran fundamental dalam ilmu pengetahuan modern, mempunyai pengaruh kuat baginya dan dipengaruhi pula olehnya dalam berbagai cara. Dalam matematika ada dua konsep yang seringkali menjadi perbedaan dalam matematika, yaitu matematika murni (pure mathematics) dan matematika terapan (applied mathematics). Hendaknya kita memandang keduanya sebagai satu keping mata uang, sama, hanya berbeda cara pandang dari kedua sisinya, dan tidak perlu dipertentangkan, bahkan saling menguatkan.
4
p4tkmatematika.org
Dari sisi aplikasi, matematika dapat mengungkap fenomena-fenomena alam, masalah kehidupan sehari-hari dan masalah dalam ilmu pengetahuan dan teknologi.Dalam 4 abad terakhir kepentingan praktis matematika dalam ilmu pengetahuan dan teknologi (IPTEK) tak terbantahkan lagi, karena sebagian besar ilmuwan sangat menyadari makna matematika sebagai ilmu alat, sebagai pelayan, dan sebagai bahasa bagi ilmu-ilmu lainnya. Oleh karenanya diperbagai universitas di dunia, matematika dipandang mempunyai peran yang sangat penting pada hampir semua bidang IPTEK, seperti ilmu fisika, kimia, biologi, farmasi, ekonomi, ilmu komputer, ilmu-ilmu rekayasa, ilmu-ilmu sosial, dll. Secara umum peran matematika dalam IPTEK adalah:
a. Matematika memainkan peran fundamental dalam memformulasikan masalah dalam
IPTEK dengan model matematika.
b. Sekarang semua cabang matematika, termasuk yang dahulu dianggap murni, dapat diaplikasikan dalam mendukung kemajuan IPTEK.
c. Karena tidak semua model matematika yang diformulasikan dari masalah dalam IPTEK
dapat diselesaikan secara analitik, mengakibatkan komputasi sain (computational
science) melalui simulasi numerik menjadi bagian yang sangat penting dalam peran
matematika.
Sebagai penutup.Seorang Matematikawan Amerika Serikat (Hardy, 1940) mengatakan bahwa matematikawan bagaikan pelukis atau pembuat puisi, semuanya pembuat pola. Berikut contoh puisi matematika yang dibuat oleh Mutiara Hikmah, siswa SD Kelas IV SDN 08 Talang Jawa Tanjung Enim, pada kongres IndoMS 2008, yang membentuk pola menarik dan cantik.
Ada juga tanaman pisang, rambutan dan nanas
Diameter kebahagiaan terukir disebuah senyuman puas Dalam rumah sederhana segi empat
Terdapat kamar bujur sangkar sebanyak empat
Keliling kamar kutambahkan setiap sisinya yang berjumlah empat Luas kamarku adalah hasil dari sisi kuadrat
Genting tanah liat menghiasi atap rumahku Tampak bangunan segitiga dari depan rumahku Keliling segitiga tambahkan setiap sisi atap rumahku Luas segitiga alas kali tinggi dibagi dua sisi atap rumahku
Terdapat sebuah lukisan pemandangan yang terpanjang Di ruang tamuku yang berbentuk persegi panjang
Bila ditambahkan setiap sisi ku dapatkan keliling persegi panjang Luas persegi panjang hasil perkalian lebar dan panjang
5
p4tkmatematika.org
Agar memperoleh ilmu yang bermanfaat Dan menjadi orang berguna di masyarakat.
Akhirnya saya menyampaikan terima kepada segenap peserta upacara yang telah dengan tekun mengikuti amanat ini. Saya minta maaf apabila dalam amanat ini terdapat banyak kekurangan dan ada hal-hal yang kurang berkenan. Sekian dan terima kasih.
