LAMPIRAN
A. Potensial Membran
Solusi persamaan Laplace untuk kulit bola adalah (Turcu et al, 1989):
= − − cos ≥ (A1a)
= − − cos < < (A1b)
= − cos ≤ (A1c)
dimana = − dengan merupakan ketebalan kulit bola. Penggunaan persamaan Laplace memerlukan syarat-syarat batas untuk mendapatkan potensial membran sebagai fungsi dari variabel posisi di dalam sistem koordinat bola. Parameter , , , dan dihitung menggunakan syarat batas potensial pada permukaan:
− − cos = − cos
− = −
− = −
( − ) = −
− = (A2b)
dimana = . Sehingga didapatkan:
= ( )
Untuk mendefinisikan kuantitas baru yang menggambarkan potensial pada kulit bola,
dengan menyamakan persamaan A5 dan A6, didapatkan: dimana dapat dimasukkan ke dalam bentuk yang lebih praktis yaitu:
∆ = cos( − ) (A9)
dengan mempertimbangkan bahwa dan lebih kecil daripada , maka parameter dan diberikan oleh:
=
( ) / = (A10)
= cos =
= cos (A12)
Diketahui = 0, maka:
= cos
= cos
= cos
= cos (A13)
Hasil perhitungan potensial membran:
Diketahui: ℎ= 5 × 10 , = 0,5 × 10 , = = 0,01, = 2,66 × 10 ⁄ . , = 7,08 × 10 ⁄ . , = = 3,7571, = 0,5.
Pada frekuensi = log 10 =
× , ,
cos 0 = 1,4986
Pada frekuensi = log 10 =
× , ,
cos 0 = 1,4860
Pada frekuensi = log 10
Dari persamaan diatas didapatkan gaya per satuan volume sebesar:
Eliminasi dan dengan menggunakan persamaan Maxwell ∇ ∙ = dan
× = + sehingga persamaan (B3) menjadi: = (∇ ∙ ) + ( ∇× − ) ×
= (∇ ∙ ) + ( ∇× − ) × (B4)
Diketahui ( × ) = × + × dan persamaan Maxwell
∇× = − maka persamaan (B4) menjadi:
= (∇ ∙ ) + ( × (∇× ) − × )
= (∇ ∙ ) + ( × (∇× ) − ( × ) + × (∇× ) )
= (∇ ∙ ) + [ × (∇× ) ] − ( × )− [ × (∇× ) ]
= (∇ ∙ ) − [ × (∇× ) ] + [ × (∇× ) ] − ( × )
= [ (∇ ∙ ) − × (∇× ) ] + [ × (∇× ) ] − ( × ) (B5) Berdasarkan identitas vektor ∇( ∙ ) = × (∇× ) + × (∇× ) + ( ∙ ∇) + ( ∙ ∇) , maka:
∇( ∙ ) = × (∇× ) + × (∇× ) + ( ∙ ∇) + ( ∙ ∇)
∇( ) = × (∇× ) + × (∇× ) + ( ∙ ∇) + ( ∙ ∇)
∇( ) = 2 × (∇× ) + 2( ∙ ∇)
∇( ) = 2( × (∇× ) + ( ∙ ∇) )
Subsitusi persamaan (B6a) dan (B6b) kedalam persamaan (B5) sehingga dapat dituliskan:
= (∇ ∙ ) −( ∇( )−( ∙ ∇) ) + ∇( )−( ∙ ∇) −
( × )
= (∇ ∙ ) −( ∇( ) − ( ∙ ∇) ) + ∇( ) − ( ∙ ∇) −
( × )
= (∇ ∙ ) − ∇( ) + ( ∙ ∇) + ∇( )− ( ∙ ∇) −
( × )
= (∇ ∙ ) + ( ∙ ∇) − ∇( ) + ∇( )− ( ∙ ∇) −
( × )
= [ (∇ ∙ ) + ( ∙ ∇) ] + [ (∇ ∙ ) + ( ∙ ∇) ] − ∇ +
− ( × ) (B7)
Persamaan (B7) dapat diselesaikan dengan menggunakan stress tensor dalam medan elektromagnetik yang dikenal dengan Maxwell stress tensor yaitu:
= − + ( − ) (B8)
dimana I adalah unit tensor. Dengan mengabaikan medan magnet ( = 0), persamaan (B8) diatas menjadi:
= − (B9)
∇ ∙ = (∇ ∙ ) + ( ∙ ∇) − ∇ (B10)
Sehingga gaya per satuan luas dengan mengabaikan medan magnet pada persamaan (B7) adalah:
= [ (∇ ∙ ) + ( ∙ ∇) ] − ∇( ) = (∇ ∙ ) + ( ∙ ∇) − ∇
= ∇ ∙ (B11)
Subsitusi persamaan (B11) ke dalam persamaan (B2) sehingga diperoleh: = ∫( + × )
= ∫
= ∫(∇ ∙ ) (B12)
Berdasarkan teorema divergensi ∫(∇ ∙ ) = ∫ ∙ maka persamaan (B12) menjadi:
= ∫(∇ ∙ ) = ∫ ∙ (B13)
Secara fisis, adalah gaya per unit area atau stress yang bekerja pada permukaan membran.
C. Traksi Listrik
Traksi listrik yang diberikan pada membran (Vlahovska et al, 2009):
= ̂ ∙ ⟦ ⟧ (C1)
= 8 [ 1 + 3 cos( 2 ) ] ̂ − 2 − sin( 2 )
= [ 1 + 3 cos( 2 ) ] ̂+ sin( 2 ) (C3) Pada kasus medan listrik, tekanan listrik dapat ditulis sebagai:
= ( ) −( ) − −
= [−2( + ) + 5 −2 ∞ + 5 + 2( ∞) ] (C4) dan traksi listrik tangensial adalah:
= + ( ) sin
= [ ( + ) + 2 + ∞ + 2 −( ∞) ] (C5)
dimana = [ ] , = [ ], = [ ], dan = [ ]. []
dan [ ] menunjukkan bagian real dan imaginer. dan dihitung dengan menggunakan rumus:
= ∞ (C6a)
= ∞( ) (C6b)
dengan = + dan = 1 + .
Hasil perhitungan traksi listrik pada komponen normal (tekanan listrik) dan traksi listrik pada komponen tangensial (traksi listrik tangensial):
Diketahui: = 30 × 10 / , = 30 × 10 / , = 10 ×
Pada frekuensi = log 10
= 0,5 + log 10 × 1 = 0,5001 = 1 + log 10 = 1,0001
= × 1,0001 × ,
, × , = 0,0023
= ( , , ) , × ,
, × , = 1,0228
= −2( 0,0023 ) + 5 × 1,0228 −2 × × 1,0228 +
2 = 0,0937
= ( 0,0023 ) + 2 × 1,0228 + × 1,0228− =
0
Pada frekuensi = log 10
= 0,5 + log 10 × 1 = 0,5010
= 1 + log 10 = 1,001
= × 1,001 × ,
, × , = 0,0228
= ( , , ) , × ,
, , = 1,0176
= −2( 0,0228 ) + 5 × 1,0176 −2 × × 1,0176 +
= ( 0,0228 ) + 2 × 1,0176 + × 1,0176− =
−0,0041
Pada frekuensi = log 10
= 0,5 + log 10 × 1 = 0,5 = 1 + log 10 = 1,01
= × 1,01 × ,
, × , = 0,2105
= ( , , ) , × ,
, × , = 0,9702
= −2( 0,2105 ) + 5 × 0,9702 −2 × × 0,9702 +
2 = 0,0898
= ( 0,2105 ) + 2 × 0,9702 + × 0,9702− =
−0,03
Pada frekuensi = log 10 = 0,5 + log 10 × 1 = 0,6
= 1 + log 10 = 1,1
= × 1,1 × ,
, × , = 1,1683
= ( , , ) , × ,
= −2( 1,1683 ) + 5 × 0,7047 −2 × × 0,7047 +
2 = 0,0522
= ( 1,1683 ) + 2 × 0,7047 + × 0,7047− =
−0,0464
Pada frekuensi = log 10 = 0,5 + log 10 × 1 = 1,5
= 1 + log 10 = 2
= × 2 × ,
, × = 2,0179
= ( , ) , × ,
, × = 0,2666
= −2( 2,0179 ) + 5 × 0,2666 −2 × × 0,2666 +
2 = −0,005
= ( 2,0179 ) + 2 × 0,2666 + × 0,2666 − =
0,0681
Pada frekuensi = log 10 = 0,5 + log 10 × 1 = 10,5
= × 11 × ,
, × = 2,0562
= ( , ) , × ,
, × = 0,0419
= −2( 2,0562 ) + 5 × 0,0419 −2 × × 0,0419 +
2 = −0,0024
= ( 2,0562 ) + 2 × 0,0419 + × 0,0419− =
0,0154
Pada frekuensi = log 10
= 0,5 + log 10 × 1 = 100,5
= 1 + log 10 = 101
= × 101 × ,
, × = 2,0479
= ( , ) , × ,
, × = 0,0045
= −2( 2,0479 ) + 5 × 0,0045 −2 × × 0,0045 +
2 = 0
= ( 2,0479 ) + 2 × 0,0045 + × 0,0045− =
Pada frekuensi = log 10
= 0,5 + log 10 × 1 = 1000,5 = 1 + log 10 = 1001
= × 1001 ×
, × = 2,0468
= ( , ) , ×
, × = 0
= −2( 2,0468 ) + 5 × 0 −2 × × 0 + 2 = 0
= ( 2,0468 ) + 2 × 0 + × 0− = 0
D. Traksi Membran
Traksi membran yang dinyatakan dalam bentuk ekspansi (Vlahouska et al, 2009), yaitu:
= + (D1)
Pada komponen tangensial:
= +
= ( 0 + (−√6 ) )
= −√6
Pada komponen normal:
= +
= ( + 1) ( −1) ( + 2) = 24 (D2a)
= 0 (D2b)
Traksi ketegangan membran adalah:
= 2 + ( −1) ( + 2) ( + 2) (D3a)
= − ( + 1) = √6 (D3b)
Ketegangan membran ditentukan dari komponen tekanan tangensial,
= [
Persamaan kontinuitas (kekekalan massa)
+ ( . ) = 0 atau + ( . ) = 0 (E1) Pada koordinat bola :
Dalam koordinat bola :
Persamaan gerak (kekekalan momentum)
= −∇ − ∇ + => = + ( ∇)
Pada koordinat bola :
Untuk ∅ −momentum
F. Traksi Hidrodinamik
Traksi hidrodinamik diberikan pada permukaan dengan vektor normal adalah ∙ .
= . = (F1)
Traksi harmonik yang berkaitan dengan medan kecepatan didefinikan oleh (Vlahouska et al, 2009):
, (Blawzdziewicz et al, 2000). Medan kecepatan untuk daerah ekstraseluler adalah:
= ( 2− + ) + [ ( + 1) ] ( 1− ) (F3a)
= ( 2− ) ( ( 1− ) + ( + ( 2− ) ) (F3b) dan medan kecepatan untuk daerah intraseluler adalah:
= ( 3 + ) ( ( 1− ) + ( + 3−( + 1) ) (F3d) Untuk bola, = 1 dan = 2, medan kecepatan dapat disimpulkan menjadi:
±
= (F4)
dengan adalah vektor harmonik bola. Oleh karenanya ± adalah tangensial dan ± adalah normal untuk bola.
G. Deformasi Membran
Deformasi membran ditentukan dari kondisi kinematik dimana permukaan bergerak dari komponen normal medan kecepatan (Vlahouska et al, 2009).
= + .∇ (G1)
dimana = ( = 1) = ( = 1) ,maka persamaan diatas menjadi:
= + (G2)
Karena = 0 maka,
= (G3)
dimana adalah medan kecepatan normal.
= + (Γ + Γ ) (G4)
Diketahui:
Γ = −( + 2) ( −1) [ ( + 1) ] ( , , ) (G5a)
Γ = −144( 32 + 23 + 16 ) (G5b)
Γ = −24( 32 + 23 + 16 ) (G5d) ( , , ) = ( 4 + 3 + 2 ) + (−5 + 3 + 2 ) + 4(−2 + + )
( , , ) = 32 + 23 + 16 (G5e)
Sehingga medan kecepatan normal menjadi:
= + (−144( 32 + 23 + 16 ) + (−24( 32 + 23 +
16 ) ) )
= − ( 24( 32 + 23 + 16 ) [ 6 + ]
= − [ ] (G6)
dimana Ca adalah bilangan kapiler dan adalah ketegangan membran. Parameter viskositas permukaan = bisa diabaikan karena viskositas permukaan untuk lipid bilayer relatif kecil dimana ~ 10 / sehingga persamaan (G6) menjadi
= − [ ] (G7)
Kecepatan normal pada persamaan (G5) dan perubahan bentuk pada persamaan (G3) termasuk ketegangan membran yang belum diketahui diperlihatkan pada persamaan berikut ini:
= [ Γ ]
Stress listrik secara langsung hanya mempengaruhi membran dalam bentuk ellipsoidal dengan mode = 2 dan = 0. Stress listrik berkontribusi langsung untuk mengubah bentuk membran yang berasal dari mode elongation f20.
Daerah membran, , adalah luasan daerah yang diperlukan untuk mengisi volume cairan intraseluler yaitu sebesar 4 2 ditambah dengan area berlebih.
= (4 + Δ) 2 (G9)
dimana Δ adalah area berlebih yang didistribusikan kedalam semua bentuk mode:
Δ= −4 = ∑ ( ) ( ) (−1) (G10)
dimana ( ) = ( ) ( )
∗ = (−1) (G11)
Deformasi membran maksimum yang sesuai dengan elongation dimana semua daerah berlebih disimpan dalam mode f20
= ± ∆ (G12)
Tanda positif digunakan untuk deformasi prolate.
Ketika membran dikenai sebuah medan listrik, cairan yang berada didalam membran akan menghasilkan aliran elektrohidrodinamik dengan simetri yang sama dengan stress listrik. Kecepatan cairan yang sesuai yang memberikan kontribusi untuk deformasi membran
= − ( )
( , , ) [ 2 + ( + 1) ]
= − √ [ 2 + √6 ]
= 8 √ (G13)
Evaluasi bentuk sangat bergantung pada ketegangan membran . Pada kondisi seimbang = 0 dan bentuk membran stasioner diberikan oleh:
= − [ ] (G14)
dengan diketahui bilangan kapiler Ca = 1, maka:
[ ]
[ ]
= 8 √
24[ 6 + ] = 8 √6 −
= 8 √
[ ]
= √
[ ] (G15)
Hasil perhitungan deformasi membran: Diketahui: = 100
Pada frekuensi = log 10
= √ × ,
[ ] = 0,0014
= 1 + × 0,0014 = 1,0009
Pada frekuensi = log 10
= √ × , ,
[ ] = 0,0014
= 1 + × 0,0014 = 1,0009
Pada frekuensi = log 10
= √ × , ,
[ ] = 0,0014
Pada frekuensi = log 10
= √ × , ,
[ ] = 0
= 1 + × 0 = 1,0006
Pada frekuensi = log 10
= √ × ( , ) ,
[ ] = 0
= 1 + × 0 = 0,9998
Pada frekuensi = log 10
= √ × ( , ) ,
[ ] = 0
= 1 + × 0 = 1
Pada frekuensi = log 10
= √ × ,
[ ] = 0
= 1 + × 0 = 1
Pada frekuensi = log 10
= √ ×
[ ] = 0
