BAB I PENDAHULUAN. Gambar 1.1 tegangan bidang pada (a) pelat dengan lubang (b) pelat dengan irisan (Daryl L. Logan : 2007) Universitas Sumatera Utara

(1)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Umum

Balok tinggi adalah elemen struktur yang dibebani sama seperti balok biasa dimana besarnya beban yang signifikan dipikul pada sebuah tumpuan dengan gaya tekan yang menggabungkan pembebanan dan reaksi. Sebagai hasilnya, distribusi tegaangannyatidak lagi linier dan deformasi geser menjadi signifikan jika dibandingkan pada lenturan murni.

Ada banyak cara dalam menganalisis sebuah balok tinggi, misalnya

metode finite difference, metode elastisitas dua dimensi, metode analisis tegangan. Metode elemen hingga (finite element method ) dapat digunakan untuk

menganalisis tegangan yang timbul dan menghitung deformasi pada balok tinggi. Tegangan-tegangan yang dihasilkan dapat dipakai sebagai gambaran untuk menempatkan tulangan pada perencanaan balok tinggi.

Menurut Daryl L. Logan (2007), tegangan bidang didefensisikan sebagai keadaan yang mana tegangan normal dan tegangan geser yang mengarah tegak lurus terhadap bidang diasumsikan sama dengan nol. Sementara regangan bidang didefenisikan sebagai keadaan yang mana regangan normal pada bidang x-y, 𝜀𝜀_𝑧𝑧 dan regangan geser , 𝛾𝛾_{𝑥𝑥𝑧𝑧}dan , 𝛾𝛾_{𝑦𝑦𝑧𝑧} diasumsikan sama dengan nol. Asumsi dari regangan bidang secara realistis pada bidang yang memanjang kearah x dengan potingan melintang konstan dan diberi pembebanan yang bereaksi hanya pada arah x dan/ atau arah y dan tidak bervariasi pada arah z.

Gambar 1.1 tegangan bidang pada (a) pelat dengan lubang (b) pelat dengan irisan (Daryl L. Logan : 2007)

(2)

Gambar 1.2 regangan bidang pada (a) dam yang mengalami beban horizontal (b) pipa yang mengalami beban vertikal (Daryl L. Logan : 2007)

Konsep dari kondisi tegangan dan regangan dua dimensi dan hubungan antara tegangan/regangan untuk tegangan bidang dan regangan bidang perlu diketahui pada penyusunan dan aplikasi dari matriks kekakuan untuk tegangan/ regangan bidang dengan elemen segitiga.

Pertama sekali dilustrasikan keadaan tegangan dua dimensi berdasarkan gambar berikut :

Gambar 1.3 keadaan tegangan dua dimensi (Daryl L. Logan : 2007)

Elemen sangat kecil dengan sisi dx dan dy yang telah mengalami tegangan normal 𝜎𝜎_𝑥𝑥 dan 𝜎𝜎_𝑦𝑦 masing-masing berperan pada arah sumbu x dan y ( disini pada permukaan vertikal dan horizontal). Sedangkan gaya geser 𝜏𝜏_{𝑥𝑥𝑦𝑦}berperan pada tepi sumbu y ( permukaan vertikal ) dalam arah y dan gaya geser 𝜏𝜏_{𝑦𝑦𝑥𝑥}berperan pada tepi sumbu x( permukaan vertikal ) dalam arah y. Momen keseimbangan dari elemen menghasilkan 𝜏𝜏_{𝑥𝑥𝑦𝑦} yang sama besarnya dengan 𝜏𝜏_{𝑦𝑦𝑥𝑥}. Oleh karena itu tiga tegangan-tegangan yang secara bebas ada dan diwakili oleh vektor matriks kolom.

(3)

{𝜎𝜎} =� 𝜎𝜎𝑥𝑥

𝜎𝜎𝑦𝑦

𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦

�

Tegangan yang diberikan dari persamaan diatas akan dinyatakan dalam derajat kebebasan perpindahan pada suatu titik. Oleh karena itu setelah

perpindahan nodal ditentukan maka tegangan- tegangan dapat langsung dievaluasi.

Berdasarkan konsep tegangan, tegangan-tegangan utama dimana tegangan minimum dan maksimum pada bidang dua dimensi dapat diperoleh dari

persamaan berikut : 𝜎𝜎1 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 +₂𝜎𝜎𝑦𝑦 +��𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎₂ 𝑦𝑦� 2 +𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦2 =𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 𝜎𝜎1 =𝜎𝜎𝑥𝑥+₂ 𝜎𝜎𝑦𝑦 − ��𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎₂ 𝑦𝑦� 2 +𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦2 = 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

Juga sudut utama 𝜃𝜃_𝑝𝑝 yang mendefinisikan keadaan normal yang arahnya tegak lurus terhadap bidang dimana tegangan maksimum atau minimum berperan dapat dicari melalui persamaan :

𝑡𝑡𝑚𝑚𝑚𝑚2𝜃𝜃𝑝𝑝 =_𝜎𝜎2𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑥𝑥− 𝜎𝜎𝑦𝑦

Metode elemen hingga dapat dipandang sebagai perluasan metode perpindahan ( yang dikenal pada konstruksi rangka ) ke masalah kontinum berdimensi duadan tiga, seperti plat, stuktur selaput (shell) dan lain-lain.Dalam metode ini, kontinum sebenarnya diganti dengan sebuah struktur ideal ekivalen yang terdiri dari elemen – elemen diskrit.

Pada dasarnya struktur dengan system diskrit ini sama dengan system generalized, yaitu bilajumlah elemen-elemen yang membangun struktur tersebut mendekati tak berhingga. Pemecahan sistem iniberupa persamaan aljabar yang dinyatakan dalam bentuk matiks, sedangkan untuk sistem generalized pemecahan berupa persamaan diferensial.

(4)

Ada dua tipe elemen yang paling umum digunakan yaitu elemen berbentuk segi empat dan berbentuk segitiga, Dalam tulisan ini akan dibahan mengenai pemakaian elemen segitiga.

Gambar 1.4 model elemen segitiga

Masing – masing titik pada elemen mempunyai 2 derajat kebebasan (two degree of freedom ) . maka untuk elemen segitiga total derajat kebebasannya menjadi 6 ( u1, v1, u2, v2, u3, v3 ). Serta gaya- gaya yang sesuai adalah ( Fx2, Fy1, Fx2, Fy2, Fx3, Fy3 )

Berdasarkan JR William Weaver dan Paul R Johnston. (1993), Matriks Kekakuan elemen segitiga (Constant Strain Triangle) dapat dinyatakan sebagai :

[𝑘𝑘] =𝑡𝑡𝐴𝐴 [𝐵𝐵]𝑇𝑇_[_𝐷𝐷_][_𝐵𝐵_]

Dimana :

[k] = matriks kekakuan struktur,

t = tebal elemen,

𝐴𝐴= luasan elemen,

[B] = matriks gabungan,

(5)

Dalam tulisan ini yang akan dihitung adalah tegangan bidang dan asusmsi yang digunakan adalah :

𝜎𝜎𝑧𝑧 = 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧 = 𝜏𝜏𝑦𝑦𝑧𝑧 = 0

Hubungan antara tegangan dan regangan adalah :

𝜎𝜎𝑥𝑥 = ₍₁_{− 𝑣𝑣}𝐸𝐸 ₂₎�𝜀𝜀𝑥𝑥+𝑣𝑣𝜀𝜀𝑦𝑦�

𝜎𝜎𝑦𝑦 = ₍₁_{− 𝑣𝑣}𝐸𝐸 ₂₎�𝜀𝜀𝑦𝑦 +𝑣𝑣𝜀𝜀𝑥𝑥�

𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 = ₂₍₁_{− 𝑣𝑣}𝐸𝐸 ₎ =𝛾𝛾𝑥𝑥𝑦𝑦 =𝐺𝐺𝛾𝛾𝑥𝑥𝑦𝑦

Dimana : E = merupakan modulus elastisitas bahan

v = angka poisson.

G = modulus geser

Matriks elastisitas [D] didapat dari kondisi tegangan dan regangan dua dimensi, didapat matriks :

{𝜎𝜎} = [𝐷𝐷]{𝜀𝜀}

[𝐷𝐷] =₁_{− 𝑣𝑣}𝐸𝐸 ₂�

1 𝑣𝑣 0

𝑣𝑣 1 0

0 0 1− 𝑣𝑣₂ �

Matriks gabungan [B] didapat dari hubungan antara regangan/ perpindahan dan tegangan / regangan. Regangan yang berhubungan dengan perpindahan dengan elemen dua dimensi dinyatakan dalam matriks dibawah ini :

(6)

{𝜀𝜀} = ₂1_{𝐴𝐴 �}𝛽𝛽0𝑚𝑚 𝛾𝛾0𝑚𝑚 𝛽𝛽0𝑚𝑚 𝛾𝛾𝑚𝑚 𝛽𝛽𝑚𝑚 𝛾𝛾𝑗𝑗 0 𝛽𝛽𝑚𝑚 0 𝛾𝛾𝑚𝑚 0 𝛾𝛾𝑚𝑚 𝛽𝛽𝑗𝑗 𝛾𝛾𝑚𝑚 𝛽𝛽𝑚𝑚 � ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝛿𝛿_𝑣𝑣𝑚𝑚_𝑚𝑚 𝛿𝛿𝑗𝑗 𝑣𝑣𝑗𝑗 𝛿𝛿𝑚𝑚 𝑣𝑣𝑚𝑚⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ Atau : {𝜀𝜀} = [𝛽𝛽𝑚𝑚 𝛽𝛽𝑗𝑗 𝛽𝛽𝑚𝑚]� 𝑑𝑑𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑚𝑚 � Dimana : [𝛽𝛽𝑚𝑚] =₂1_𝐴𝐴� 𝛽𝛽𝑚𝑚 0 0 𝛾𝛾𝑚𝑚 𝛾𝛾𝑚𝑚 𝛽𝛽𝑚𝑚 � �𝛽𝛽𝑗𝑗� =₂1_𝐴𝐴� 𝛽𝛽𝑗𝑗 0 0 𝛾𝛾𝑗𝑗 𝛾𝛾𝑗𝑗 𝛽𝛽𝑗𝑗 � [𝛽𝛽𝑚𝑚] =₂1_𝐴𝐴� 𝛽𝛽𝑚𝑚 0 0 𝛾𝛾𝑚𝑚 𝛾𝛾𝑚𝑚 𝛽𝛽𝑚𝑚 �

Kemudian matriks diatas disederhanakan menjadi :

{𝜀𝜀} = [𝐵𝐵]{𝑑𝑑} [𝐵𝐵] =�𝐵𝐵𝑚𝑚𝐵𝐵𝑗𝑗𝐵𝐵𝑚𝑚�

Sehingga hubungan dari matriks kekakuan elemen segitiga dapat dijabarkan menjadi : [𝑘𝑘] =𝑡𝑡𝐴𝐴 [𝐵𝐵]𝑇𝑇_[_𝐷𝐷_][_𝐵𝐵_] [𝑘𝑘] =𝑡𝑡𝐴𝐴 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡𝛽𝛽₀𝑚𝑚 𝛽𝛽𝑗𝑗 0 𝛾𝛾𝑚𝑚 0 𝛾𝛾𝑚𝑚 𝛽𝛽𝑚𝑚 𝛾𝛾𝑗𝑗 0 𝛾𝛾𝑗𝑗 𝛽𝛽𝑗𝑗 𝛽𝛽𝑚𝑚 0 𝛾𝛾0𝑚𝑚 𝛾𝛾𝑚𝑚 𝛽𝛽𝑚𝑚⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ � 𝛽𝛽𝑚𝑚 0 𝛽𝛽𝑗𝑗 0 𝛽𝛽𝑚𝑚 0 0 𝛾𝛾𝑚𝑚 0 𝛾𝛾𝑗𝑗 0 𝛾𝛾𝑚𝑚 𝛾𝛾𝑚𝑚 𝛽𝛽𝑚𝑚 𝛾𝛾𝑚𝑚 𝛽𝛽𝑗𝑗 𝛾𝛾𝑚𝑚 𝛽𝛽𝑚𝑚 � �₁_{− 𝑣𝑣}𝐸𝐸 ₂� � 1 𝑣𝑣 0 𝑣𝑣 1 0 0 0 1− 𝑣𝑣₂ �

Dimana: [k] = sebuah fungsi variasi dari koordinat titik x dan y, dan dapat disimbolkan dengan 𝛾𝛾dan 𝛽𝛽.

E = merupakan modulus elastisitas bahan .

(7)

Setelah kita mendapatkan matriks kekakuan [k], maka nilai kekakuan setiap elemen dapat digabungkan kedalam matriks kekakuan global.

{𝑍𝑍} = [𝐾𝐾]{𝑑𝑑}

Dimana: {𝑍𝑍} = matriks gaya

{𝑑𝑑} = matriks perpindahan

Dengan didapatkannya nilai perpidahan, maka kita bisa mencari nilai tegangan, melalui persamaan matriks :

{𝜎𝜎} = [𝐷𝐷][𝐵𝐵]{𝑑𝑑}

Secara umum, penjabaran persamaan diatas menjadi

� 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 �=₍₁_{− 𝑣𝑣}𝐸𝐸 ₂₎� 1 𝑣𝑣 0 𝑣𝑣 1 0 0 0 1− 𝑣𝑣₂ � 𝑥𝑥 � 1 2𝐴𝐴� � 𝛽𝛽1 0 𝛽𝛽3 0 𝛽𝛽2 0 0 𝛾𝛾1 0 𝛾𝛾3 0 𝛾𝛾2 𝛾𝛾1 𝛽𝛽1 𝛾𝛾3 𝛽𝛽3 𝛾𝛾2 𝛽𝛽2 � ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧𝑑𝑑_𝑑𝑑1𝑥𝑥 1𝑦𝑦 𝑑𝑑3𝑥𝑥 𝑑𝑑3𝑦𝑦 𝑑𝑑2𝑥𝑥 𝑑𝑑2𝑦𝑦⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎫

(8)

1.2 Latar Belakang Masalah

Dalam menghitung tegangan pada balok tinggi dapat dikerjakan melalui berbagai metode.Secara eksak nilai tegangan dapat dicari tetapi membutuhkan waktu yang lama dan pendalaman pada rumus yang dipakai. Salah satu metode lain yang bisa dipakai untuk mencari tegangan pada balok tinggi dapat

menggunakan metode elemen hingga ( finite element method ).

Untuk melakukan analisis ini dipergunakan elemen segitiga yaitu dengan membuat garis fiktif yang sedemikian rupa sehingga membentuk elemen-elemen segitiga dan masing-masing nodal diberi nomor-nomor yang berurutan. Tetapi dalam perhitungannya akan mejadi lama jika dilakukan secara manual. Maka diperlukan alat bantu yang dapat mempermudah pekerjaan dalam menyelesaikan perhitungan tersebut, oleh karena itu penulis memakai program Microsoft Excel yang nantinya nilai tegangan yang didapat akan dibandingkan dengan

menggunakan metode Heft 240.

Metode Heft 240 dipergunakan untuk mendapatkan tegangan dengan prosedur dan tabel-tabel yang sudah ditetapkan untuk berbagai kondisi perletakan dan pembebanan.

(9)

Dibawah ini adalah model balok tinggi yang akan dianalisis : 3000 mm 3000 mm 500 mm 400 kN 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 400 kN

Gambar 1.6 model balok tinggi

Kemudian struktur diatas akan dihitung dengan menggunakan elemen segitiga.

(10)

3000 mm 500 mm 400 kN 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 400 kN

Gambar 1.7 pembagian elemen segitiga

3000 mm 500 mm 400 kN 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 500 mm 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 6 12 13 14 400 kN 15 16 17 18 19 21 22 23 24 25 20 26 27 28 29 30 31 32 33 35 36 37 38 39 34 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

(11)

1.3 Aplikasi

1.3.1 Transfer girder

Balokgirderadalah balok diantara dua penyangga (pier atauabutment ) yang berfungsi untuk mendukung balok lainnya yang lebih kecil dalam suatu konstruksi, umumnya merupakan balok I, tetapi juga bisa berbentuk box, ataupun bentuk lainnya. Pada balok tinggi sebagai transfer girder adalah ketika balok tinggi mengambil peranan balok girder ini dengan menyalurkan pembebanan yang dipikul dari struktur diatasnya ke perletakan.

Contoh bangunannya adalah Brunswick Building, dimana setiap beban pada kolom-kolom perimeter yang berjarak disalurkan melalui balok tinggi pada sebuah kolom berasr berjarak pada lantai dasar.

Gambar 1.9Brunswick Building 1.3.2 Bangunan bentang lebar tanpa kolom

(12)

(c)

Gambar 1.10(a) Biological Station of Garducho(b) penulangan balok tinggi memanjang (c) melintang

1.3.3 PemasanganDinding Precast Pada Bangunan Tanpa Kolom

(13)

Gambar 1.12 pemasangan struktur precast

1.4 Tujuan

Tujuan dari tugas akhir ini adalah untuk membandingkan perhitungan tegangan pada balok tinggi dengan metode elemen hingga (finite element method ) dengan hasil metode heft 240.

1.5 Batasan Masalah

Pada analisa ini, penulis membatasi permasalahan untuk penyederhanaan sehingga tujuan dari penulisan tugas akhir ini dapat dicapai, yaitu :

1. Model struktur bangunan adalah balok tinggi ( h= L )dengan panjang 3 meter, lebar3 meter dan tebal 0,5 meter.

2. Beban yang bekerja adalah beban vertikal statis ekivalen sebesar 400 kN yang bekerja pada balok dengan perletakan sederhana ( sendi-rol).

3. Menganalisa tengangan yang terjadi akibat beban terpusat.

Analisa struktur yang dilakukan adalah dengan finite element method untuk dua dimensi.

4. Sebagai perbandingan dari nilai tegangan yang diperoleh dengan metode elemen hingga akan dikontrol dengan metode Heft 240.

(14)

1.6 Metode Pembahasan

Metode yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini adalah analisa dengan mengumpulkan data-data dan keterangan dari buku yang berhubungan dengan pembahasan tugas akhir ini serta masukan – masukan dari dosen pembimbing. Perhitungan dan pemasukan matriks – matriks finite element method dilakukan dengan bantukan program Microsoft Excel 2010. Sedangkan sebagai perbandingan nilai tegangan yang didapatkan dengan menggunakan metode Heft 240.