i
ESTIMASI PARAMETER MODEL SEEMINGLY UNRELATED REGRESSION (SUR) DENGAN RESIDU BERPOLA AUTOREGRESSIVE
ORDE SATU MENGGUNAKAN METODE PARK
oleh
KHAMSATUL FAIZATI M0108052
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA 2012
commit to user
ii
iii ABSTRAK
Khamsatul Faizati, 2012. ESTIMASI PARAMETER MODEL SEEMINGLY UNRELATED REGRESSION (SUR) DENGAN RESIDU BERPOLA AUTOREGRESSIVE ORDE SATU (AR(1)) MENGGUNAKAN METODE PARK. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret Surakarta.
Data panel merupakan gabungan antara data cross section dan data time series. Penerapan data ini dalam sistem persamaan regresi linear, yang merupakan salah satu bahasan dari model regresi linear multivariat, dapat menimbulkan masalah pada korelasi residu regresi. Salah satu masalah tersebut adalah korelasi antar pengamatan dan antar persamaan. Suatu sistem persamaan yang dapat mengatasi masalah korelasi residu antar persamaan untuk menghasilkan estimator model regresi adalah model SUR. Jika dalam sistem tersebut, setiap persamaan regresi mempunyai pola residu antar pengamatan yaitu AR(1) maka model yang sesuai dengan keadaan ini adalah model SUR dengan residu berpola AR(1).
Tujuan dari skripsi ini adalah menurunkan ulang estimasi parameter model SUR dengan residu berpola AR(1) menggunakan metode Park. Metode ini merupakan penerapan dari metode Generalized Least Square (GLS). Hasil estimasi parameter yang diperoleh adalah
dengan dan merupakan bentuk transformasi Prais-Winsten. Kata kunci: model SUR, AR(1),GLS, metode Park, Prais-Winsten.
iv ABSTRACT
Khamsatul Faizati, 2012. PARAMETER ESTIMATION OF SEEMINGLY UNRELATED REGRESSION (SUR) MODEL WITH FIRST-ORDER AUTOREGRESSIVE (AR(1)) PATTERN RESIDUAL USING PARK METHOD. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Panel data is a combination of cross section data and time series data. The application of these data in the system of linear regression equations, which is one of discussion of the multivariate linear regression model, it can cause problems on the correlation of regression residual. One of the problems is the correlation among observations and equations. A system of equations that can overcome the problem of residual correlation among equations to produce the estimator of regression model is SUR model. If in such a system, each regression equation has residual pattern between observation AR(1), the model corresponding to this situation is SUR model with AR(1) pattern residual.
The purpose of this final project is to generate parameter estimation of SUR model with AR(1) pattern residual using Park method. This method is the application of Generalized Least Square (GLS) method. The result of the
parameter estimation is with and
are Prais-Winsten transformation.
Key words: SUR model, AR(1),GLS, Park method, Prais-Winsten.
v MOTO
Maka sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan, sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan. Maka apabila engkau telah selesai (dari
sesuatu urusan), tetaplah bekerja keras (untuk urusan yang lain), dan hanya kepada Tuhanmulah engkau berharap.
(QS. Al-Insyirah :5-8)
Sesungguhnya Allah beserta orang-orang yang sabar (QS.Al-Anfaal :46)
vi
PERSEMBAHAN
Karya sederhana ini saya persembahkan kepada Bapak dan Ibu yang tercinta
Saudara-saudara dan keponakan-keponakan yang tersayang Pembaca yang budiman.
vii
KATA PENGANTAR
Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah
yang senantiasa melimpahkan rahmat-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Selama proses penyusunan skripsi, penulis menyadari bahwa skripsi ini tidak akan terwujud tanpa dukungan dan bimbingan dari banyak pihak. Maka dalam hal ini penulis megucapkan terima kasih kepada :
1. Ibu Dra. Sri Sulistijowati H, M.Si dan Bapak Drs. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc., Ph.D. yang telah memberikan bimbingan selama menyelesaikan skripsi.
2. Teman-teman angkatan 2008 yang selalu menularkan semangatnya. 3. Semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian skripsi ini.
Akhirnya penulis berharap semoga penulisan skripsi ini dapat bermanfaat bagi penulis pada khususnya dan pembaca pada umumnya.
Surakarta, Oktober 2012
Penulis
viii DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PENGESAHAN ... ii ABSTRAK ... iii ABSTRACT ... iv MOTO ... v PERSEMBAHAN ... vi
KATA PENGANTAR ... vii
DAFTAR ISI ... viii
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1Latar Belakang ... 1
1.2 Perumusan Masalah... 2
1.3 Tujuan Penelitian... 3
1.4 Manfaat Penelitian... 3
BAB II LANDASAN TEORI ... 4
2.1. Tinjauan Pustaka ... 4
2.1.1. Data Panel ... 5
2.1.2. Harga Harapan ... 5
2.1.3. Variansi dan Kovariansi ... 6
2.1.4. Matriks dan Operasi Matriks ... 7
2.1.5. Sistem Persamaan Regresi Linear ... 9
2.1.6. Model Seemingly Unrelated Regression (SUR) ... 10
2.1.7. Autoregressive ... 12
2.1.8. Ordinary Least Square (OLS) ... 14
2.1.9. Generalized Least Square (GLS) ... 14
2.1.10. Koefisien Determinasi ... 15
2.2. Kerangka Pemikiran ... 16
BAB III METODE PENELITIAN ... 17
commit to user
ix
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 18
4.1. Model SUR dengan Gangguan Autokorelasi ... 18
4.2. Matriks Variansi Kovariansi Model ... 19
4.3. Estimasi Parameter. ... 24 4.4. Contoh Kasus. ... 27 BAB V PENUTUP ... 31 4.1. Kesimpulan ... 31 4.2. Saran ... 32 DAFTAR PUSTAKA ... 33 LAMPIRAN
commit to user
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Menurut Gujarati (2004), analisis regresi berkaitan dengan studi ketergantungan satu atau lebih variabel pada satu atau lebih variabel yang lain dengan maksud untuk memprediksi nilai yang terbentuk dari fungsi nilai-nilai tetap yang diketahui. Variabel-variabel tersebut dikategorikan menjadi variabel independen yang biasa dinotasikan dengan dan variabel dependen yang dinotasikan dengan . Jika hubungan antara variabel tersebut linear, maka disebut model regresi linear.
Yan dan Su (2009) menuliskan dua tipe regresi linear yaitu regresi linear sederhana dan regresi linear ganda. Regresi linear sederhana adalah regresi yang memodelkan hubungan linear antara dua variabel, dan . Sedangkan regresi linear ganda adalah regresi yang memodelkan hubungan linear antara satu variabel dan lebih dari satu variabel . Menurut Johnson dan Wichern (2007), regresi linear multivariat adalah regresi yang memodelkan hubungan antara beberapa variabel dan beberapa variabel .
Dalam proses estimasi parameter model regresi, tipe data menjadi perhatian utama. Salah satu tipe data yang diamati dalam regresi linear multivariat adalah data panel. Data ini dihasilkan dari proses penggabungan antara data cross section dan data time series. Data ini diperoleh dengan mengamati beberapa subyek pada satu satuan waktu dan perubahan subyek tersebut selama waktu tertentu.
Residu dalam model regresi linear selalu diasumsikan bersifat homoskedastik dan serially uncorrelated. Penerapan data panel, yang merupakan gabungan dari data time series dan cross section, dalam regresi linear multivariat akan menimbulkan masalah dalam sifat residu tersebut. Korelasi residu menjadi tiga macam, yaitu korelasi residu antar waktu, korelasi residu antar subyek, dan korelasi residu antar keduanya. Masalah residu tersebut akan berpengaruh dalam matriks variansi-kovariansi yang berakibat pada estimasi parameter model regresi.
2
Menurut Davidson dan Mackinnon (1999), sistem persamaan regresi linear merupakan bahasan dari model regresi linear multivariat yang terdiri atas beberapa persamaan regresi linear. Dalam sistem ini, setiap subyek dalam data panel dapat dibentuk menjadi sebuah persamaan regresi linear sehingga korelasi residu antar subyek dan antar waktu dalam data panel dapat diartikan sebagai korelasi residu antar persamaan dan antar pengamatan dalam sistem. Model SUR merupakan sistem persamaan regresi linear yang dapat mengatasi masalah korelasi residu antar persamaan dimana korelasi residu antar pengamatan sudah tidak berkorelasi untuk menghasilkan estimator model regresi. Dalam skripsi ini akan dikaji tentang estimasi parameter dari sistem persamaan regresi ketika residu setiap persamaan berkorelasi antar persamaan dan antar pengamatan. Bentuk korelasi residu antar pengamatan dalam skripsi ini adalah autoregressive orde satu (AR(1)). Oleh karena itu, model yang sesuai dengan keadaan ini adalah model SUR dengan residu berpola AR(1).
Menurut Messemer dan Parks (2004), estimator metode Park didesain sebagai estimator untuk sistem persamaan dengan residu berkorelasi antar pengamatan dan antar persamaan. Pada model SUR yang residunya berpola AR(1), proses estimasi parameternya tidak dapat dilakukan menggunakan metode Ordinary Least Square (OLS) karena tidak memenuhi asumsi nonautokorelasi dalam estimator OLS (Gujarati, 2004). Oleh karena itu, metode Park bisa mengatasi masalah tersebut. Dalam skripsi ini, penulis tertarik untuk menurunkan ulang estimasi parameter model SUR dengan residu berpola AR(1) menggunakan metode Park.
1.2. Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian di atas, permasalahan yang dibahas dalam skripsi ini adalah bagaimana menurunkan ulang estimasi parameter model Seemingly Unrelated Regression (SUR) dengan residu berpola Autoregressive orde satu menggunakan metode Park.
3
1.3. Tujuan Penelitian
Tujuan dari skripsi ini adalah menurunkan ulang estimasi parameter model Seemingly Unrelated Regression (SUR) dengan residu berpola Autoregressive orde satu menggunakan metode Park.
1.4. Manfaat Penelitian
Manfaat yang diharapkan dari skripsi ini adalah menambah wawasan dan pengetahuan mengenai model Seemingly Unrelated Regression (SUR) dengan residu berpola Autoregressive orde satu dan estimasi parameter dengan metode Park. Selain itu, dapat digunakan sebagai acuan bagi praktisi untuk menggunakan metode Park dalam mengestimasi parameter model SUR yang mempunyai residu berpola AR(1).
BAB II LANDASAN TEORI
Bab ini terdiri dari dua subbab, yaitu tinjauan pustaka dan kerangka pemikiran. Pada tinjauan pustaka diberikan hal-hal yang mendasari penulisan skripsi ini, yaitu pengertian dan teori yang berkaitan dengan estimasi parameter model Seemingly Unrelated Regression (SUR) dengan residu berpola Autoregressive orde satu (AR(1)). Melalui kerangka pemikiran digambarkan langkah dan arah penulisan untuk mencapai tujuan penulisan.
2.1 Tinjauan Pustaka
Estimator suatu parameter model regresi dapat dihasilkan menggunakan metode maksimum likelihood. Frasher et al. (2005) telah menggunakan metode ini untuk mengestimasi parameter model SUR. Metode lainnya adalah metode Ordinary Least Square (OLS). Estimator metode ini harus memenuhi asumsi-asumsi dalam metode OLS, salah satunya asumsi homoskedastis (residu tidak berkorelasi). Adanya korelasi residu antar persamaan dalam model SUR menyebabkan metode ini tidak dapat digunakan. Zellner (1962) menganjurkan metode GLS dua langkah untuk mengestimasi parameter model SUR karena metode ini sudah mempertimbangkan matriks variansi-kovariansi residu dalam estimasi parameter model. Metode GLS dapat dilakukan jika matriks variansi-kovariansi residu dalam model SUR non-singular. Takada et al. (1995) meneliti estimator model SUR ketika matriks variansi-kovariansinya singular. Di sisi lain, Alaba et al. (2010) membandingkan estimasi parameter model SUR dengan OLS satu-satu (setiap persamaan dalam model diestimasi satu per satu) dan GLS. Hasil penelitiannya menyimpulkan bahwa estimator model SUR dengan metode GLS lebih baik dari pada metode OLS satu-satu karena standar eror OLS lebih besar.
Estimasi parameter model SUR dengan metode GLS telah dikaji ulang oleh Muflichah (2012). Adanya korelasi residu antar pengamatan dalam skripsi ini menyebabkan invers dari matriks variansi kovariansi sulit untuk ditentukan sehingga metode GLS tidak bisa langsung digunakan. Metode Park merupakan
5
penerapan dari metode GLS yang dapat mengatasi masalah korelasi residu antar waktu pengamatan dalam model SUR. Oleh karena itu, model SUR dengan residu berpola AR(1) dapat diestimasi menggunakan metode Park.
Teori-teori relevan dan mendukung yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut meliputi data panel, harga harapan, variansi dan kovariansi, matriks dan operasi matriks, sistem persamaan regresi linear, model Seemingly Unrelated Regression (SUR), autoregressive, Ordinary Least Square (OLS), Generalized Least Square (GLS) dan koefisien determinasi.
2.1.1 Data Panel
Gujarati (2004) memberikan tiga tipe data yang sering digunakan dalam analisis yaitu data time series, data cross section dan data panel. Data time series merupakan suatu himpunan pengamatan yang dikumpulkan pada interval waktu tertentu seperti harian, mingguan, dan sebagainya. Data cross-section merupakan suatu data yang dikumpulkan dari beberapa subyek yang diamati pada satu satuan waktu. Sedangkan data panel merupakan gabungan data yang mempunyai unsur-unsur data time series dan data cross-section yang diamati sepanjang waktu. Data ini dikumpulkan dari beberapa subyek sejenis, seperti keluarga, perusahaan, negara, dan lain-lain yang diukur pada satu satuan waktu dan diamati pada interval waktu tertentu.
2.1.2 Harga Harapan
Harga harapan disebut juga mean adalah rata-rata terbobot dan merupakan ukuran pusat suatu distribusi probabilitas. Harga harapan variabel random diskrit adalah jumlahan dari hasil perkalian setiap harga variabel random dengan probabilitas dari harga variabel random tersebut. Jika variabel randomnya kontinu, maka operasi yang digunakan adalah operasi integral. Definisi tentang harga harapan variabel random diambil dari Bain dan Engelhardt (1992).
Definisi 2.1 Jika X adalah variabel random diskrit dengan fungsi densitas probabilitas (fdp) f(x), maka harga harapan dari X didefinisikan sebagai
6
Definisi 2.2 Jika X adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas probabilitas f(x), maka harga harapan dari X didefinisikan sebagai
Teorema 2.1 Jika X adalah variabel random dengan fdp dan adalah fungsi bernilai real yang domainnya meliputi nilai yang mungkin untuk X, maka
Menurut Neter et al. (1990) ; Bain dan Engelhardt (1992), harga harapan mempunyai sifat-sifat sebagai berikut.
Jika dan adalah variabel random, a dan c adalah konstanta, maka 1.
2. 3. 4. 5.
2.1.3 Variansi dan Kovariansi
Variansi merupakan ukuran penyebaran variabel random dalam suatu distribusi. Bain dan Engelhardt (1992) mendefinisikan variansi dan kovariansi sebagai berikut.
Definisi 2.3 Variansi dari variabel random X adalah
Teorema 2.2 Jika adalah suatu variabel random, maka
7
Sifat-sifat variansi menurut Neter et al. (1990) sebagai berikut 1.
2.
dengan a dan c adalah konstanta.
Definisi 2.4 Kovariansi dari pasangan variabel random dan didefinisikan sebagai
Teorema 2.3 Jika dan adalah variabel random dan a,b adalah konstanta, maka
1. ,
2.
3. .
Teorema 2.4 Jika X dan Y adalah variabel random, maka
dan ketika dan independen.
2.1.4 Matriks dan Operasi Matriks
Menurut Anton dan Rorres (2005), matriks adalah susunan segi empat siku-siku yang terdiri dari entri (unsur) berupa bilangan-bilangan. Matriks ini biasanya dinyatakan dengan sebuah huruf besar bercetak tebal. Berikut diberikan beberapa sifat matriks.
Definisi 2.5 Jika A adalah matriks , maka transpos dari A, dinyatakan
dengan , didefinisikan sebagai matriks yang didapatkan dengan
mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom dari A.
Toerema 2.5 Sifat dari transpos matriks. Jika A dan B adalah matriks berukuran dan suatu skalar , maka
1. 2. 3.
8 4.
Definisi 2.6 Jika adalah matriks bujur sangkar, dan jika terdapat matriks
yang ukurannya sama sedemikian rupa sehingga , maka disebut
invertible dan disebut invers dari . Jika matriks tidak dapat didefinisikan, maka dinyatakan sebagai matriks singular.
Teorema 2.6 Jika adalah matriks yang invertible, maka juga invertible dan
Teorema 2.7 Jika dan adalah matriks-matriks yang invertible dengan ukuran yang sama, maka invertible dan
Teorema 2.8 Jika A adalah matriks berukuran , maka pernyataan pernyataan di bawah ini ekuivalen.
a. adalah orthogonally diagonalizable, dengan P matriks
orthogonal, , dan D matriks diagonal.
b. simetris,
Sebagai pendukung dalam skripsi ini, digunakan operasi matriks khusus yang dikenal sebagai perkalian Kronecker. Perkalian Kronecker dari 2 buah matriks akan menghasilkan matriks dalam bentuk partisi yang masing-masing submatriksnya adalah entri dari matriks pertama dikalikan matriks kedua.
Definisi 2.7 (Schott,2005) Jika adalah matriks berukuran dan adalah matriks berukuran , maka perkalian Kronecker antara matriks dan ,
dituliskan dengan , adalah
Teorema 2.9 (Schott,2005) Misal , , dan adalah matriks dan dan adalah vektor, maka
1.
9 2.
3.
4. , jika dan berukuran sama
5. , jika A dan B berukuran sama
6. 7.
8. , jika dan nonsingular.
Turunan dari suatu matriks juga diperlukan dalam penurunan estimasi parameter. Sifat-sifat turunan suatu matriks diambil dari Schott (2005).
Definisi 2.8 Matriks adalah matriks fungsi dari . Matriks dapat diturunkan terhadap jika semua entri dalam matriks dapat diturunkan terhadap . Teorema 2.10 Jika dan adalah matriks fungsi dari , d adalah turunan matriks fungsi terhadap dan adalah matriks konstan, maka
1. 2. 3. 4.
2.1.5 Sistem Persamaan Regresi Linear
Dalam suatu sistem persamaan regresi linear, diasumsikan bahwa terdapat M persamaan dan T pengamatan yang masing-masing persamaan mempunyai satu variabel dependen dan variabel independen dengan persamaan regresi sebagai berikut :
dengan .
10
Bentuk matriks dari persamaan regresi ke- dituliskan sebagai
dengan
sehingga masing-masing persamaan dapat dinyatakan sebagai
Persamaan-persamaan tersebut dapat diringkas dalam satu matriks dengan menyusun M persamaan dalam bentuk
(2.3) dengan
Berdasarkan persamaan (2.3), diasumsikan bahwa terdapat korelasi residu antar persamaan sehingga estimasi parameternya dapat diselesaikan menggunakan model Seemingly Unrelated Regression (SUR).
2.1.6 Model Seemingly Unrelated Regression (SUR)
Model SUR merupakan model regresi linear multivariat yang diperkenalkan oleh Zellner pada tahun 1962. Model ini mengandung T pengamatan pada setiap M variabel dependen dengan variabel-variabel tersebut sejenis dan diukur pada satu waktu yang sama (cross section). Model ini digunakan ketika residu berautokorelasi antar persamaan untuk menghasilkan estimasi model. Persamaan (2.3) merupakan model SUR dengan asumsi
11 dan
dengan adalah matriks variansi kovariansi model SUR (Greene, 2002). Semua pengamatan digunakan untuk mengestimasi parameter dari persamaan dan diasumsikan juga bahwa residu tidak berkorelasi antar pengamatan sehingga
.
Matriks variansi-kovariansi antara persamaan ke- dan persamaan ke- diberikan oleh
sehingga
dengan merupakan perkalian Kronecker antara yang dijelaskan dalam subbab 2.1.4. Matriks variansi kovariansi model SUR dapat dituliskan
dengan matriks variansi kovariansi residu untuk semua persamaan regresi pada waktu pengamatan ke-t adalah
Hal yang penting untuk dilakukan sebelum mengestimasi parameter model SUR adalah menguji apakah struktur variansi kovariansi residu merupakan struktur SUR. Menurut Greene (2002); Ullah dan Su (2006), untuk menguji
12
apakah ada korelasi residu antar persamaan digunakan statistik hitung Lagrange Multiplier yaitu
dengan untuk semua dan
(struktur SUR). Dengan tingkat signifikansi , diperoleh daerah kritis yaitu
ditolak jika .
2.1.7 Autoregressive
Model SUR dapat digunakan ketika residu berkorelasi antar persamaan. Dalam sistem persamaan regresi linear, residu pada masing-masing persamaan kadang-kadang berkorelasi antar persamaan dan antar waktu.
Menurut Sembiring (2003), uji yang digunakan untuk menentukan bahwa data tidak berkorelasi adalah statistik Durbin-Watson. Uji tersebut didasarkan pada statistik
dengan , sisa pada pengamatan ke- . Rentangan nilai d adalah . Nilai d akan kecil (dekat dengan 0) jika selisih kecil, jadi berkorelasi positif. Nilai d akan besar (dekat dengan 4) jika selisih besar, jadi berkorelasi negatif. Jika tidak ada korelasi maka nilai d akan dekat dengan 2. Dalam skripsi ini, diasumsikan bahwa bentuk korelasi antar waktu pengamatan adalah autoregressive orde satu (AR(1)) sehingga model sistem ini dapat disebut sebagai Model SUR dengan residu berpola AR(1).
Proses autoregressive adalah suatu proses regresi pada dirinya sendiri. Menurut Cryer (1986) bentuk umum suatu proses autoregressive orde p (AR(p)) adalah
13
Nilai merupakan kombinasi linear dari p nilai dirinya sendiri sebelum waktu ditambah suatu bentuk perubahan baru , dengan independen terhadap
Model proses AR(1) adalah
dengan adalah koefisien parameter, , dan adalah variabel random dengan mean nol dan variansi konstan, .
Selanjutnya, untuk menguji apakah residu benar-benar berpola AR(1), digunakan plot Partial Autocorrelation Function (PACF). PACF pada lag k didefinisikan sebagai korelasi antara dua prediksi eror, yaitu,
dengan ketentuan . Model Autoregressive dikatakan AR(1) jika
Menurut Cryer (1986), suatu data dapat dikatakan stasioner jika data tersebut stasioner terhadap mean dan variansi. Selain model Autoregressive, model untuk data stasioner yang lain adalah Moving Average dan Autoregressive Moving Average.
Model Moving Average dengan order , atau proses MA , didefinisikan sebagai berikut
dimana independen dan berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi , adalah parameter Moving Average dan adalah mean yang konstan. Proses
Moving Average orde satu (MA ) adalah
dengan .
Model Autoregressive Moving Average (ARMA( )) merupakan kombinasi dari model Autoregressive (AR( )) dan model Moving Average (MA( )). Bentuk umum dari model ARMA(p,q) adalah
14
Model ARMA(p,q) dikatakan stasioner jika dan .
Model ARMA(1,1) dapat ditulis sebagai
dengan dan .
2.1.8 Ordinary Least Square (OLS) Bentuk umum model regresi linear dalam matriks adalah
. Residu dalam model di atas dapat dituliskan sebagai
Weisberg (2005) menuliskan fungsi jumlah kuadrat residu sebagai
yang merupakan fungsi dari . Estimator OLS, , dari diperoleh dengan meminimumkan fungsi , yaitu menurunkan terhadap parameter kemudian menyamakan dengan nol.
Dalam skripsi ini, parameter model SUR dengan residu berpola AR(1) diestimasi menggunakan metode Park. Metode ini menggunakan OLS untuk mengestimasi setiap persamaan. Hasil estimasi digunakan untuk memperoleh residu yang akan digunakan untuk mengestimasi parameter AR(1).
2.1.9 Generalized Least Squares (GLS)
Greene (2002) memberikan bentuk umum model regresi linear tergeneralisir dalam matriks adalah
(2.5)
dengan asumsi dan dimana merupakan matriks
simetris definit positif, sehingga berdasarkan Teorema 2.8, dapat difaktorkan dalam
dimana kolom-kolom dari C adalah vektor-vektor eigen dari dan nilai-nilai eigen dari disusun dalam matriks diagonal . Misalkan adalah matriks
15
diagonal dengan elemen diagonal ke- adalah , dan maka
. Misalkan pula maka .
Metode GLS sudah mempertimbangkan matriks variansi-kovariansi pada model. Dalam metode ini, didefinisikan fungsi jumlah kuadrat tergeneralisir. Untuk memperoleh fungsi ini, persamaan (2.5) dikalikan dengan P sehingga
atau
Vektor residu persamaan (2.6) adalah
dan fungsi jumlah kuadrat tergeneralisir
Menurut Greene (2002), prinsip metode GLS meminimumkan dengan cara menurunkan terhadap parameter kemudian menyamakan dengan nol.
2.1.10 Koefisien Determinasi
Menurut Sembiring (2003), koefisien determinasi dapat digunakan untuk mengukur kecocokan data dengan model. Koefisien determinasi didefinisikan
dengan adalah nilai taksiran dari variabel dependen, adalah nilai rata-rata dari variabel dependen dan adalah nilai pengamatan pada variabel random.
Nilai koefisien determinasi, , berkisar antara sampai . Semakin dekat dengan maka makin baik kecocokan model dengan data, sebaliknya jika makin dekat dengan maka makin jelek kecocokan model tersebut.
Besar dipengaruhi oleh banyaknya variabel independen dalam model. Jika jumlah variabel independen lebih dari satu, maka digunakan -adjusted yang didefinisikan sebagai
16
dengan adalah banyaknya pengamatan dan banyaknya parameter.
2.2 Kerangka Pemikiran
Model SUR digunakan dalam analisis regresi multivariat ketika residu berkorelasi antar persamaan. Namun, dalam regresi multivariat residu masing-masing persamaan kadang-kadang juga berkorelasi antar waktu pengamatan, seperti berpola AR(1). Model regresi multivariat ini dapat dikatakan sebagai model SUR dengan residu berpola AR(1). Estimasi parameter model SUR menggunakan metode GLS lebih baik daripada metode OLS satu-satu, namun adanya korelasi antar waktu menyebabkan metode GLS kurang sesuai untuk estimasi parameter model SUR dengan residu berpola AR(1). Oleh karena itu, metode Park yang merupakan penerapan metode GLS dan estimatornya didesain sebagai estimator dari sistem persamaan yang residunya berkorelasi antar persamaan dan antar waktu pengamatan (Messemer dan Park, 2004) sesuai untuk mengestimasi model SUR dengan residu berpola AR(1). Setelah estimator model didapatkan, kemudian diaplikasikan dalam contoh kasus.
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur dengan pengumpulan bahan melalui buku buku referensi dan karya ilmiah yang meliputi hasil-hasil penelitian dan jurnal yang berkaitan dengan model SUR dan metode Park.
Langkah langkah penelitian adalah sebagai berikut 1. mengkonstruksi model SUR dengan residu berpola AR(1), 2. menentukan estimasi parameter model,
a. menentukan matriks variansi-kovariansi model beserta inversnya, b. mengestimasi parameter model dengan metode generalized least
square dengan membentuk kemudian menentukan nilai
minimumnya,
c. menentukan estimasi parameter setiap persamaan regresi model dengan metode OLS untuk memperoleh residu yang akan digunakan untuk estimasi koefisien korelasi AR(1),
d. menentukan langkah-langkah penerapan metode Park dalam data. 3. menerapkan dan mengambil kesimpulan dari suatu contoh kasus.
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan diturunkan ulang cara melakukan estimasi terhadap parameter model SUR dengan residu berpola AR(1) serta penerapannya. Pembahasan di sini mengacu pada Messemer dan Park (2004), Dey et al. (2008) dan Greene (2002).
4.1 Model SUR dengan Gangguan Autokorelasi
Persamaan regresi ke- dari model SUR yang terdiri dari persamaan regresi dapat dituliskan sebagai
dengan adalah vektor observasi terurut pada variabel dependen adalah matriks observasi pada variabel independen adalah vektor parameter
adalah vektor residu .
persamaan regresi tersebut dapat disusun dalam matriks blok yang dituliskan sebagai
dengan
Jika residu dalam masing-masing persamaan pada model SUR memiliki pola AR(1), maka bentuk hubungan residu untuk persamaan ke- ,
dengan adalah residu pengamatan ke- pada periode , adalah parameter AR(1), dan adalah residu AR(1) yang tidak berkorelasi antar pengamatan.
19
4.2 Matriks Variansi Kovariansi Model
Estimasi parameter model SUR dengan residu berpola AR(1) dilakukan dengan mengestimasi parameter dalam persamaan . Metode yang akan digunakan untuk mengestimasi adalah metode Park. Langkah pertama dalam estimasi parameter adalah menentukan matriks variansi kovariansi model SUR.
Model SUR mengasumsikan bahwa
atau untuk
yaitu, residu pengamatan tidak berkorelasi antar waktu. Akan tetapi, residu pengamatan dalam skripsi ini berkorelasi antar waktu pengamatan dengan pola korelasi tersebut adalah AR(1). Bentuk hubungan residu untuk persamaan ke- ,
dengan , dan jika . Variansi residu
adalah
Residu diasumsikan stasioner ( ) sehingga diperoleh
Dengan cara yang sama, kovariansi antara persamaan ke- dan persamaan ke- dapat diperoleh.
Residu AR(1), , diasumsikan independen terhadap residu pengamatan
sehingga , dan
diperoleh
20
Misalkan , dan asumsi kestasioneran
maka
atau
Nilai kovariansi antara persamaan ke- dan persamaan ke- untuk satu periode waktu pengamatan yang berbeda diperoleh
Untuk dua periode waktu pengamatan yang berbeda,
sehingga untuk suatu satuan waktu yang berbeda diperoleh
Matriks variansi kovariansi model SUR dengan residu berpola AR(1) adalah
21 dengan
Langkah selanjutnya adalah menentukan invers dari matriks variansi kovariansi residu model SUR dalam skripsi ini, yaitu . Variansi kovariansi persamaan ke- berdasarkan persamaan (4.2) dan (4.3),
Untuk memudahkan dalam menentukan , didefinisikan matriks dengan
invers dari adalah
dengan
22
Berdasarkan persamaan (4.5) dan persamaan (4.6) diperoleh
23 atau
dan untuk persamaan ke-i dan persamaan ke-j,
Jika matriks dari M persamaan disusun dalam matriks blok dan W dengan
dan
maka berdasarkan persamaan (4.3), (4.7) dan (4.8) diperoleh
atau
Kedua sisi baik kanan dan kiri dalam persamaan (4.9) diinverskan,
24
4.3 Estimasi Parameter
Estimator parameter model diperoleh dengan mengestimasi parameter menggunakan metode GLS, yaitu dengan mencari nilai minimum dari
. Fungsi merupakan suatu fungsi kuadrat dari dengan koefisien positif sehingga fungsi ini mempunyai titik ekstrim minimum. Oleh karena itu, titik ekstrim minimum dari fungsi kuadrat dicapai ketika . Nilai dari persamaan dalam bentuk matriks adalah
Langkah-langkah estimasi parameter adalah 1. Menentukan fungsi
2. Menurunkan terhadap
3. Meminimumkan fungsi dengan cara persamaan disamakan dengan nol
Persamaan (4.10) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.12) diperoleh
commit to user
25 Estimator dapat juga ditulis dengan
(4.13)
Greene (2002) menjelaskan transformasi Prais-Winsten untuk menghilangkan autokorelasi pada data. Jika diketahui pasangan data time series [ ] dan adalah koefisien korelasi maka transformasi Prais-Winsten dari data tersebut adalah
dan
Hasil transformasi yang diperoleh sama dengan perkalian matriks dan . Misalkan dan maka persamaan (4.13) dapat ditulis sebagai
Setiap persamaan regresi linear dalam model SUR diestimasi parameternya masing-masing untuk menentukan pola autokorelasi residu. Metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter tiap persamaan adalah metode OLS. Setelah dilakukan estimasi parameter, akan diperoleh nilai residu tiap waktu dari masing-masing persamaan. Residu dalam skripsi ini diasumsikan berpola AR(1). Estimator untuk koefisien korelasi AR(1), , diperoleh berdasarkan residu tersebut. Bentuk umum model regresi linear dalam bentuk matriks adalah
26
yang merupakan fungsi dari . Prinsip OLS adalah meminimumkan fungsi , yaitu menurunkan terhadap parameter kemudian menyamakan dengan nol
diperoleh estimator OLS, , dari adalah
(4.17) Estimator OLS tersebut diterapkan dalam setiap persamaan pada model SUR. Hasil estimasi digunakan untuk memperoleh estimator dari koefisien korelasi. Bentuk korelasi residu pengamatan persamaan ke- adalah
Menurut Greene (2002), estimator untuk adalah
Langkah-langkah estimasi parameter menggunakan metode Park adalah 1. mengestimasi parameter setiap persamaan dengan persamaan (4.17), 2. menghitung residu dan estimator yaitu berdasarkan residu berpola
AR(1) dengan persamaan (4.18),
3. untuk setiap persamaan, data ditransformasi menggunakan transformasi Prais-Winsten yang dituliskan dalam persamaan (4.14) dan persamaan (4.15),
4. parameter model SUR diestimasi dengan menggunakan data hasil transformasi dan persamaan (4.16).
27
4.4 Contoh Kasus
Contoh data yang digunakan dalam kasus skripsi ini adalah data investasi dari dua perusahaan yaitu Perusahaan A dan Perusahaan B. Masing-masing perusahaan diambil 20 waktu pengamatan, dengan dua variabel yang diamati adalah
: investasi,
: nilai pasar perusahaan (nilai saham di bursa efek).
Semua variabel dalam satuan juta dollar. Data yang diperoleh dapat dilihat pada Lampiran 3.
Model yang diestimasi adalah
untuk dan .
Estimasi parameter model tersebut dengan metode OLS dan nilai statistik Durbin Watson adalah
statistik Durbin-Watson = 2,95782
statistik Durbin-Watson = 2,85406
Nilai statistik Durbin-Watson kedua perusahaan tidak mendekati 2, berarti residu kedua perusahaan mengalami autokorelasi. Dari hasil estimasi tersebut, dihitung nilai residu pengamatan kedua perusahaan. Residu tersebut mempunyai pola stasioner (Lampiran 4).
Gambar 1 menunjukkan plot Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF) untuk residu perusahaan A. Dapat dilihat bahwa lag 1 kedua plot keluar dari garis interval kepercayaan 5%, itu berarti residu perusahaan dapat berpola AR(1), MA(1), dan ARMA(1,1). MSE dari AR(1) lebih kecil daripada MA(1) dan ARMA(1,1) sehingga residu berpola AR(1) dengan estimasi koefisien korelasi (Lampiran 5).
28
Gambar 1. Plot ACF dan PACF residu perusahaan Diamond Match
Gambar 2 menunjukkan plot Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF) untuk residu perusahaan B. Dapat dilihat bahwa lag 1 kedua plot keluar dari garis interval kepercayaan 5%, itu berarti residu perusahaan dapat berpola AR(1), MA(1), dan ARMA(1,1). MSE dari AR(1) lebih kecil daripada MA(1) dan ARMA(1,1) sehingga residu berpola AR(1) dengan estimasi koefisien korelasi (Lampiran 5).
Gambar 2. Plot ACF dan PACF residu perusahaan American Steel
Selanjutnya data ditransformasi menggunakan transformasi Prais-Winston. Hasil transformasi dapat dilihat dalam Lampiran 6. Data hasil transformasi digunakan untuk mengestimasi parameter model dengan metode generalized least square. Hasil estimasi yang diperoleh ditunjukkan dalam Tabel 1.
29
Tabel 1. Estimasi Parameter Model SUR
Perusahaan Parameter Nilai estimasi p-value
A (intercept) 0,0000
0,0000
B (intercept) 0,0000
0,0000
Matriks koefisien korelasi residu model adalah
Hipotesis null untuk Model SUR adalah untuk (struktur variansi kovariansi bersifat heteroskedastis dan tidak ada korelasi residu antar persamaan) dengan nilai statistik Lagrange Multiplier,
Daerah kritis khi-kuadrat untuk dan adalah
3,8415. Karena , dapat disimpulkan bahwa ditolak, artinya model ini memenuhi struktur SUR (terdapat korelasi residu antar persamaan).
Dari Tabel 1, diperoleh persamaan investasi untuk dua perusahaan adalah sebagai berikut
dan .
Nilai p-value dari parameter kedua perusahaan adalah 0,000 lebih kecil dari tingkat signifikansi , berarti bahwa nilai estimator parameter kedua perusahaan signifikan (sesuai/cocok) dengan data. Nilai Adjusted R-squared diperoleh sebesar 0,999, artinya 99,9% variasi variabel dependen (Y) dapat dijelaskan oleh variabel independen nilai pasar perusahaan ( ), dan sisanya dipengaruhi oleh variabel lain.
30
Pada perusahaan A, nilai investasi menurun sebesar 13,99 juta dolar ketika nilai pasar perusahaan tidak berpengaruh. Apabila nilai pasar perusahaan mengalami peningkatan sebesar 1 juta dolar akan mengakibatkan nilai investasi meningkat sebesar dolar.
Pada perusahaan B, nilai investasi meningkat sebesar 33,32 juta dolar ketika nilai pasar perusahaan tidak berpengaruh. Apabila nilai pasar perusahaan mengalami peningkatan sebesar 1 juta dolar akan mengakibatkan nilai investasi meningkat sebesar dolar.
BAB V PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan uraian dalam pembahasan dapat ditarik kesimpulan bahwa model SUR memiliki bentuk umum masing-masing persamaan ke- adalah
dengan residu berpola AR(1) mempunyai bentuk untuk persamaan ke- ,
Metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter model SUR dengan residu berpola AR(1) adalah metode Park. Langkah-langkah estimasi parameter menggunakan metode Park adalah
1. mengestimasi parameter setiap persamaan dengan
2. menghitung residu dan estimator yaitu berdasarkan residu berpola AR(1) dengan
3. untuk setiap persamaan, data ditransformasi menggunakan transformasi Prais-Winsten. Jika diketahui pasangan data time series [ ] dan adalah estimator dari maka transformasi Prais-Winsten dari data tersebut adalah
4. parameter model SUR diestimasi dengan menggunakan data hasil transformasi dan persamaan
32 5.2 Saran
Skripsi ini mengkaji ulang tentang teori estimasi parameter model SUR dengan residu berpola AR(1). Oleh karena itu dapat dilakukan penelitian dengan menerapkan teori ini dalam studi kasus. Metode yang digunakan pada skripsi ini adalah metode Park, untuk itu dapat dilakukan penelitian lain dengan metode yang berbeda.
