Proposisi Majemuk

(1)

PROPOSISI M

(2)

Ekspresi L

Ekspresi Logika

ogika

•

• Perangkai Perangkai logika logika digunakan digunakan untukuntuk

mengkombinasikan proposisi-proposisi

atomik menjadi proposisi majemuk.

•

• Ekspresi logika adalah proposisi-proposisiEkspresi logika adalah proposisi-proposisi

yang dibangun dengan variabel-variabel

logika yang berasal dari pernyataan atau

argumen.

(3)

Ekspresi L

Ekspresi Logika (lanjutan)

ogika (lanjutan)

•

• Setiap ekspresi logika dapat bersifat atomik atau majemukSetiap ekspresi logika dapat bersifat atomik atau majemuk

tergantung dari variabel proposional yang membentuknya

bersama perangkai yang relevan.

•

• Proposisi majemuk dapat menyebabkan terjadinyaProposisi majemuk dapat menyebabkan terjadinya

ambiguitas, atau kesalahan penafsiran.

•

• Untuk menghindarinya maka proposisi majemuk yangUntuk menghindarinya maka proposisi majemuk yang

akan dikerjakan terlebih dahulu akan diberi tanda kuru

akan dikerjakan terlebih dahulu akan diberi tanda kurung.ng.

•

• Proposisi-proposisi dengan perangkai-perangkai yangProposisi-proposisi dengan perangkai-perangkai yang

berada

berada di di dalam dalam tanda tanda kurung kurung disebutdisebut fpe fpe (( fully fully

parenthesized expression

(4)

Contoh-1

Jika Dewi rajin belajar, maka ia lulus ujian

dan mendapat hadiah istimewa

Pernyataan tersebut dapat diubah menjadi variabel

proposional:

A = Dewi rajin belajar

B = Dewi lulus ujian

C = Dewi mendapat hadiah istimewa

Maka ekspresi logikanya berubah menjadi:

A

(5)

Contoh-1

•

• Persoalannya: terdapat dua kemungkinanPersoalannya: terdapat dua kemungkinan

(A

(AB)B) ∧∧C atau AC atau A(B(B∧∧C)C)

•

• Kedua Kedua kemungkinan kemungkinan tersebut tersebut dapatdapat

menghasilkan nilai kebenaran yang berbeda

•

• Mana ekspresi logika yang tepat?Mana ekspresi logika yang tepat?

•

• (A(AB)B) ∧∧CC

•

(6)

(A



B)

∧∧

C

Pernyataan tersebut dapat dibaca

Pernyataan tersebut dapat dibaca “Dewi“Dewi

mendapat hadiah

mendapat hadiah istimewa”istimewa” tidaktidak

berhubungan

berhubungan dengandengan “Dewi“Dewi rajin rajin belajar”, belajar”,

yang menjadi akibat

yang menjadi akibat “Dewi“Dewi rajin rajin belajar” belajar”

hanya

(7)

A

_

(B

∧∧

C)

Pernyataan tersebut dapat dibaca

Pernyataan tersebut dapat dibaca “Dewi“Dewi lulus lulus

ujian”

ujian” dan dan “Dewi“Dewi mendapat hadiah mendapat hadiah istimewa”istimewa”

merupakan akibat dari

merupakan akibat dari “Dewi“Dewi rajin rajin belajar” belajar”..

Ekspresi inilah yang lebih tepat untuk

mewakili peryataan tersebut

(8)

Skema

•

• Skema Skema merupakan merupakan satu satu cara cara untukuntuk

menyederhanakan suatu proposisi majemuk yang

rumit dengan memberikan huruf tertentu untuk

menggantikan satu subekspresi ataupun

sub-subekspresi.

subekspresi.

•

• Suatu ekspresi logika tertentu, misal (ASuatu ekspresi logika tertentu, misal (A∧∧B) dapatB) dapat

diganti dengan P, sedangkan (A

diganti dengan P, sedangkan (A∨∨B) dapat digantiB) dapat diganti

Q. Jadi P berisi variabel proposional A dan B,

demikian juga Q.

•

• Dalam hal ini, P maupun Q bukan variabelDalam hal ini, P maupun Q bukan variabel

proposional

(9)

Skema (

lanjutanlanjutan

)

•

• Contoh: P = (AContoh: P = (A∧∧B) dan Q = (AB) dan Q = (A∨∨B)B)

(P

(PQ) = ((AQ) = ((A∧∧B)B)  (A (A∨∨B))B))

•

• Perhatikan bahwa:Perhatikan bahwa: –

– Ekspresi apa saja yang berbentuk (¬P) Ekspresi apa saja yang berbentuk (¬P) disebut Negasidisebut Negasi –

– Ekspresi apa saja yang berbentuk (PEkspresi apa saja yang berbentuk (P∧∧Q) disebut KonjungsiQ) disebut Konjungsi

–

– Ekspresi apa saja yang berbentuk (PEkspresi apa saja yang berbentuk (P∨∨Q) disebut DisjungsiQ) disebut Disjungsi

–

– Ekspresi apa saja yang berbentuk (PEkspresi apa saja yang berbentuk (PQ) disebut ImplikasiQ) disebut Implikasi (

(conditional conditional )) –

– Ekspresi apa saja yang berbentuk (P↔Q) Ekspresi apa saja yang berbentuk (P↔Q) disebut Ekuivalensidisebut Ekuivalensi (

(10)

Menganalisis

Proposisi M

Proposisi Majemuk

ajemuk

Contoh:

[1]

[1] Jika Jika Joko Joko lulus lulus sarjana sarjana teknikteknik

informatika,

informatika, orang orang tuanya tuanya akanakan

senang,

senang, dan dan dia dia dapat dapat segera segera bekerja,bekerja,

tetapi jika dia tidak lulus, semua

usahanya akan sia-sia

(11)

Analisis(skop

Analisis(skop kiri &

kiri &

skop kanan)

[1.1]

[1.1] Jika Jika Joko Joko lulus lulus sarjana sarjana teknikteknik

informatika, orang tuanya akan senang

dan dia dapat segera bekerja

dengan

[1.2]

[1.2] Jika Jika dia dia tidak tidak lulus, lulus, semua semua usahanyausahanya

akan sia-sia

(12)

Sub proposisi skop kiri

[1.1.1]

[1.1.1] Jika Jika Joko Joko lulus lulus sarjana sarjana teknikteknik

informatika

dengan

[1.1.2]

[1.1.2] Orang Orang tuanya tuanya akan akan senang, senang, dan dan diadia

dapat segera bekerja

(13)

Sub sub proposisi skop kiri

[1.1.2.1]

[1.1.2.1] Orang Orang tuanya tuanya akan akan senangsenang

dengan

[1.1.2.2]

(14)

Sub proposisi skop kanan

[1.2.1]

[1.2.1] Jika Jika dia dia tidak tidak luluslulus

dengan

[1.2.2]

[1.2.2] Semua Semua usahanya usahanya akan akan sia-siasia-sia

•

• Teknik memilah-milah kalimat menjadiTeknik memilah-milah kalimat menjadi

proposisi-proposisi atomik disebut

proposisi-proposisi atomik disebut ParsingParsing

•

• Hasilnya dapat diwujudkan dalam bentukHasilnya dapat diwujudkan dalam bentuk

Par

(15)

Parse Tree

•

• Parse Parse TreeTree diubah menjadi diubah menjadi fpe fpe sebagai sebagai

berikut:

o

o A = Joko Lulus sA = Joko Lulus sarjana teknik informatikaarjana teknik informatika o

o B = Orang tua Joko senangB = Orang tua Joko senang o

o C = Joko bekerjaC = Joko bekerja o

o D = Usaha Joko sia-siaD = Usaha Joko sia-sia •

• Pernyataan tersebut ditulis:Pernyataan tersebut ditulis:

(A

(16)

Contoh-2

•

• Jika anda mengambil mata kuliah logika, dan anda tidakJika anda mengambil mata kuliah logika, dan anda tidak

memahami proposisi, maka anda tidak lulus mata kuliah

tersebut

•

• Variabel proposisi:Variabel proposisi:

o

o A = Anda mengambil mata kuliah logikaA = Anda mengambil mata kuliah logika

o

o B = Anda memahami proposisiB = Anda memahami proposisi

o

o C = Anda lulus mata kuliahC = Anda lulus mata kuliah •

• Ekspresi logika:Ekspresi logika:

(A

(17)

Aturan Pengurutan

•

• Untuk Untuk menjaga menjaga kebenaran kebenaran sebuahsebuah

pernyataan

pernyataan maka maka setiapsetiap

operator/penghubung diberikan aturan yang

lebih tinggi

•

• Aturan pengurutan (precedence rules)Aturan pengurutan (precedence rules)

adalah aturan yang digunakan untuk

memprioritaskan penafsiran suatu hasil

yang digunakan memastikan proses

pengerjaan subekspresi

(18)

Hierarki

Hierarki Hierarki ke ke Perangkai Perangkai Simbol Nama Simbol Nama 1 1 ¬¬ Negasi Negasi 2 2 ∧∧ KonjungsiKonjungsi 3 3 ∨∨ DisjungsiDisjungsi 4 4 →→ ImplikasiImplikasi 5 5 ↔↔ EkuivalensiEkuivalensi

(19)

Contoh-3

• • ¬p¬p ∨∨ q q ≡≡ (¬p) (¬p) ∨∨ qq • • p p ∧∧ qq ∨∨ rr ≡≡ (p (p ∧∧ q)q) ∨∨ rr • • p p →→ q q ∨∨ rr ≡≡ p p →→ (q (q ∨∨ r)r) • • p p ↔↔ q q →→ r r ≡≡ p p ↔↔ (q (q →→ r) r)

(20)

Latihan-1

Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut menjadi

ekspresi logika berupa proposisi

ekspresi logika berupa proposisi majemuk:majemuk:

1.

1. Jika tikus itu waspada dan bergerak cepat, makaJika tikus itu waspada dan bergerak cepat, maka

kucing atau anjing itu tidak mampu

menangkapnya.

2.

2. Andi membeli saham dan properti untukAndi membeli saham dan properti untuk

investasinya, atau dia dapat menanamkan uang di

deposito bank dan menerima bunga uang

(21)

Latihan-2

Beri tanda kurung pada ekspresi berikut agar

tidak ambigu. tidak ambigu. 1. 1. AA ∧∧ BB ∧∧ CC →→ D D 2. 2. AA ∨∨ BB ∨∨ CC →→ ¬D ¬D 3. 3. ¬A¬A ∧∧ BB →→ ¬C ¬C ∨∨ DD

(22)

Latihan-3

Jika nilai A dan B adalah T, sedangkan C dan

D adalah F, carilah nilai kebenaran dari

ekspresi logika berikut:

1.

1. AA ∧∧ (B(B ∨∨ C)C)

2.

2. ((A((A ∨∨ B)B) ∧∧ C)C) ∨∨ ¬((A ¬((A ∨∨ B)B) ∧∧ (B(B ∨∨

D))

3.

3. (¬(A(¬(A ∧∧ B)B) ∨∨ ¬C) ¬C) ∨∨ (((¬A (((¬A ∧∧ B)B) ∨∨ ¬D) ¬D) ∧

(23)

Tautologi, Kontradiksi

& Contingent

(24)

Tautologi

•

• Tautologi :Tautologi :



Proposisi majemuk yang selalu bernilai benar (true)Proposisi majemuk yang selalu bernilai benar (true)

tidak perduli apa nilai kebenaran proposisi penyusunnya.



Jika pada tabel kebenaran untuk semua pasangan nilaiJika pada tabel kebenaran untuk semua pasangan nilai

variabel-variabel proposional yang ada bernilai benar

(T).



(25)

Contoh-4

• • ¬(A¬(A ∧∧ B)B) ∨∨ BB • • (A(A ∧∧ B)B) →→ (C (C ∨∨ (¬B (¬B →→ ¬C)) ¬C)) •

• Jika ¬(AJika ¬(A ∧∧ B)B) ∨∨ B B adalah adalah tautologi, tautologi, buktikanbuktikan

¬((A

¬((A ∨∨ B)B) ∧∧ C)C) ∨∨ C C juga juga tautologitautologi

•

• Jika Tono pergi kuliah maka Tini juga pergiJika Tono pergi kuliah maka Tini juga pergi

kuliah, jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah.

Dengan

Dengan demikiandemikian, jika Tono pergi kuliah atau, jika Tono pergi kuliah atau

Siska tidur, maka Tini pergi kuliah

(26)

Kontradiksi

•

• Merupakan kebalikan dari tautologiMerupakan kebalikan dari tautologi

•

• Proposisi majemuk yang selalu bernilaiProposisi majemuk yang selalu bernilai

false tidak perduli apapun

•

• Jika pada semua pasangan dari nilaiJika pada semua pasangan dari nilai

kebenaran menghasilkan nilai F

•

• Contoh:Contoh:



 p p ∧∧ ¬p¬p 

(27)

Contingent

•

• Proposisi majemuk selain tautologi danProposisi majemuk selain tautologi dan

kontradiksi

•

• Jika Jika pada pada semua semua tabel tabel kebenarankebenaran

menghasilkan nilai F dan T

•

• Suatu ekspresi logika yang mempunyai nilaiSuatu ekspresi logika yang mempunyai nilai

benar

benar atau atau salah salah di di dalam dalam tabeltabel

kebenarannya.

(28)

Contoh-5

• • ((A((A ∧∧ B)B) →→ C)C) →→ AA • • ((A((A → B)→ B) ∧∧ (¬B → C)) → (¬C → A)(¬B → C)) → (¬C → A)

(29)

Latihan

1.

1. Tantukan apakah ekspresi logika berikutTantukan apakah ekspresi logika berikut

ini termasuk tautologi, kontradiksi atau

contingent. contingent. • • AA → (B → A)→ (B → A) • • (A(A ∧∧ B)B) ∧∧ ¬ B¬ B •

• (¬ ¬A(¬ ¬A → A) ↔ ((A → B)→ A) ↔ ((A → B) ∧∧ ¬ ¬ B)B) •

(30)

Latihan

2.

2. Jika (AJika (A ∨∨ ¬A) adalah tautologi, buktikan ¬A) adalah tautologi, buktikan

bahwa

bahwa ekspresi ekspresi logika logika berikut berikut ini ini adalahadalah

tautologi

•

• (A(A →→ B) B) ∨∨ ¬(A ¬(A →→ B) B)

•

• ¬A¬A ∨∨ ¬¬A ¬¬A

•