Integral Tak Tentu

(1)

TUG

TUGAS AS INTEINTEGRALGRAL

Maret 20, 2009 oleh

Maret 20, 2009 oleh ipitsopiyatiipitsopiyati

INTEGRAL INTEGRAL 1. Anti Turunan (Integral Tak tentu)

1. Anti Turunan (Integral Tak tentu)

Kita telah mengkaji pendiferensialan (penurunan) maka kebalikan dari turunan disebut Kita telah mengkaji pendiferensialan (penurunan) maka kebalikan dari turunan disebut anti pendiferensialan (anti penurunan).

anti pendiferensialan (anti penurunan). Definisi:

Definisi:

Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I – yakni, jika F’(x) = f(x) Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I – yakni, jika F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I. (Jika x suatu titik ujung dari I, F’(x) hanya perlu berupa turunan satu sisi. untuk semua x dalam I. (Jika x suatu titik ujung dari I, F’(x) hanya perlu berupa turunan satu sisi. NOTASI UNTUK ANTI TURUNAN. Karena kita telah memakai lambang Dx untuk operasi NOTASI UNTUK ANTI TURUNAN. Karena kita telah memakai lambang Dx untuk operasi penentuan suatu turunan, adalah wajar untuk memakai Ax untuk operasi pencarian anti turunan. penentuan suatu turunan, adalah wajar untuk memakai Ax untuk operasi pencarian anti turunan.

Jadi Ax (x

Jadi Ax (x22_{) = 1/3 x}_{) = 1/3 x}33 _{+ C.}_{+ C.}

Kemudian Leibniz memakai lambang ∫ … dx disebut dengan notasi Leibniz, ditulis: Kemudian Leibniz memakai lambang ∫ … dx disebut dengan notasi Leibniz, ditulis: ∫ x

∫ x22_{dx = 1/3 x}_{dx = 1/3 x}33 _{+ C.}_{+ C.} Teorema A

Teorema A

(Aturan pangkat). Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka (Aturan pangkat). Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka ∫ x ∫ xr r _{dx = (x}_{dx = (x}r+1r+1_{) / (r + 1) + C.}_{) / (r + 1) + C.} Teorema B Teorema B ∫ sin x dx = -cos x + C ∫ sin x dx = -cos x + C ∫ cos x dx = sin x + C ∫ cos x dx = sin x + C

Banyak lagi yang dapat dikatakan mengenai cari penulisan (notasi). Dengan mengikuti Banyak lagi yang dapat dikatakan mengenai cari penulisan (notasi). Dengan mengikuti Leibniz, kita sering memakai istilah integral tak tentu sebagai ganti anti turunan. Anti penurunan Leibniz, kita sering memakai istilah integral tak tentu sebagai ganti anti turunan. Anti penurunan adalah juga mengintegralkan. Dalam lambang ∫ f(x) dx, ∫ disebut tanda integral dan f(x) disebut adalah juga mengintegralkan. Dalam lambang ∫ f(x) dx, ∫ disebut tanda integral dan f(x) disebut integran.

integran. Teorema C Teorema C

(Kelinieran dari ∫ … dx). Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan (Kelinieran dari ∫ … dx). Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta. Maka:

andaikan k suatu konstanta. Maka: (i) ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx

(i) ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx

(ii) ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx

(ii) ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx; dan tak + ∫ g(x) dx; dan tak tentu?tentu? (iii) ∫ [f(x) – g(x)] dx = ∫ f(x) dx

(iii) ∫ [f(x) – g(x)] dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx– ∫ g(x) dx Teorema D

Teorema D (Atur

(Aturan an Pangkat yang diperumumPangkat yang diperumum). ). AndaiAndaikan g kan g suatu fungsi yang suatu fungsi yang dapat didiferdapat didiferensialensialkan dari kan dari r r suatu bilangan rasional yang bukan –1, maka :

suatu bilangan rasional yang bukan –1, maka : ∫ [g(x)]

∫ [g(x)]r r _{g’(x) dx = {[g(x)]}_{g’(x) dx = {[g(x)]}r+1r+1_{/r+1} + C}_{/r+1} + C} Contoh soal:

Contoh soal:

1) Cari anti turunan yang umum

1) Cari anti turunan yang umum dari f(x) = 2xdari f(x) = 2x3/43/4 Penyelesaian : Penyelesaian : ∫ 2x ∫ 2x3/43/4_{dx = (2x}_{dx = (2x}3/4+13/4+1_{)/(3/4 + 1) = (2x}_{)/(3/4 + 1) = (2x}7/47/4_{) / (7/4) = 8/7 x}_{) / (7/4) = 8/7 x}7/47/4_{+ C}_{+ C} 2) Cari ∫ (2x 2) Cari ∫ (2x22 _{+ 6x) dx}_{+ 6x) dx} Penyelesaian : Penyelesaian : ∫ (2x ∫ (2x22 _{+ 6x) dx =}_{+ 6x) dx =} _∫_∫ _2x_2x22 _{dx +}_{dx +} _∫_∫ _{6x dx}_{6x dx} = 2 = 2∫ ∫ _x_x22 _{dx + 6}_{dx + 6} _∫_∫ _{x dx}_{x dx} = 2 (1/3 x = 2 (1/3 x33 _{+ C}_{+ C1}_{1) + 6 (1/2 x}_{) + 6 (1/2 x}22 _{+ C}_{+ C2}₂₎₎ = 2/3 x = 2/3 x33 _{+ 3x}_{+ 3x}22 _{+ (2C}_{+ (2C1} 1 + 6C+ 6C22)) = 2/3 x = 2/3 x33 _{+ 3x}_{+ 3x}22 _{+ C}_{+ C} 3) Cari ∫ (x 3) Cari ∫ (x33 _{+ 2x)}_{+ 2x)}1515_(3x_(3x22 _{+ 2) dx}_{+ 2) dx} Penyelesaian : Penyelesaian :

(2)

Andaian g(x) = x

Andaian g(x) = x33 _{+ 2x maka g’(x) = 3x}_{+ 2x maka g’(x) = 3x}22 _{+ 2. Jadi menurut teorema D}_{+ 2. Jadi menurut teorema D} ∫ (x

∫ (x33 _{+ 2x)}_{+ 2x)}1515_(3x_(3x22_{+ 2) dx = ∫ [g(x)]}_{+ 2) dx = ∫ [g(x)]}1515_{g’(x) dx = [g(x)]}_{g’(x) dx = [g(x)]}1616_{/16 + C}_{/16 + C} = (x

= (x33 _{+ 2x)}_{+ 2x)}1616 _{/ 6 + C}_{/ 6 + C}

2. Pengantar untuk Persamaan Diferensial 2. Pengantar untuk Persamaan Diferensial Dalam pasal sebelumnya, ditulis

Dalam pasal sebelumnya, ditulis ∫ f(x) dx = F (x) +

∫ f(x) dx = F (x) + CC dan ini benar asalkan

dan ini benar asalkan F’(xF’(x) = ) = f(x)f(x). Dalam bahasa . Dalam bahasa diferdiferensial F’(x) = f(x) setara dengan ensial F’(x) = f(x) setara dengan dF(x) =dF(x) = f(x) dx

f(x) dx

Apakah suatu persamaan diferensial itu? Apakah suatu persamaan diferensial itu? Metode 1 Bil

Metode 1 Bilamana persamaan berbentuamana persamaan berbentuk k dy/dx = dy/dx = g(x), kita amati bahwa g(x), kita amati bahwa y harus y harus berupa suatuberupa suatu anti turunan dari g(x), yakni y =

anti turunan dari g(x), yakni y = ∫ ∫ _{g(x) dx. Contoh: y =}_{g(x) dx. Contoh: y =} ∫ ∫ _{2x dx = x}_{2x dx = x}22 _{+ C.}_{+ C.}

Metode 2 Pikirkan dy/dx sebagai suatu hasil bagi dua diferensial. Bilamana kedua ruas dari Metode 2 Pikirkan dy/dx sebagai suatu hasil bagi dua diferensial. Bilamana kedua ruas dari

dy/dx = 2x dikalikan dengan dx, diperoleh dy/dx = 2x dikalikan dengan dx, diperoleh dy = 2x dx

dy = 2x dx

selanjutnya kedua ruas diintegralkan dan disederhanakan. selanjutnya kedua ruas diintegralkan dan disederhanakan. ∫ dy = ∫ 2x dx ∫ dy = ∫ 2x dx y + C y + C11 = x= x22+ C+ C22 y = x y = x22 _{+ C}_{+ C2} 2– C– C11 y = x y = x22 _{+ C}_{+ C} Masalah Gerak Masalah Gerak

Ingat bahwa jika s(t), v(t) dan a(t) masing-masing menyatakan posisi, kecepatan, dan percepatan, Ingat bahwa jika s(t), v(t) dan a(t) masing-masing menyatakan posisi, kecepatan, dan percepatan, pada saat t dari suatu benda yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat, maka

pada saat t dari suatu benda yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat, maka v(t) = s’(t) = ds/dt v(t) = s’(t) = ds/dt a(t) = v’(t) = dv/dt = d a(t) = v’(t) = dv/dt = d22_s/dt_s/dt22 Contoh soal: Contoh soal:

1. Selesaikan persamaan diferensial dy/dx = (2x + 4x 1. Selesaikan persamaan diferensial dy/dx = (2x + 4x22_{) / y}_{) / y}22

Kemudian cari penyelesaian bilamana x = 0 dan y = 2. Kemudian cari penyelesaian bilamana x = 0 dan y = 2. Penyelesaian: Penyelesaian: y y22 _{dy = (2x + 4x}_{dy = (2x + 4x}22_{) dx}_{) dx} jadi, jadi, ∫ y ∫ y22 _{dy = ∫ (2x + 4x}_{dy = ∫ (2x + 4x}22_{) dx}_{) dx} 1/3 y 1/3 y33 _{+ C}_{+ C1} 1 = x= x22 + 4/3 x+ 4/3 x33 + C+ C22 y y33 _{= 3x}_{= 3x}22 _{+ 4 x}_{+ 4 x}33 _{+ (3C}_{+ (3C} 2 2 – 3C– 3C11)) y y33 _{= 3x}_{= 3x}22 _{+ 4 x}_{+ 4 x}33 _{+ C}_{+ C} y = y = 33_√3x_√3x22 _{+ 4 x}_{+ 4 x}33 _{+ C}_{+ C} syarat x = 0, y = 2 syarat x = 0, y = 2 2 = 2 = 33_√C_√C 8 = C 8 = C Jadi Jadi y = y = 33_√3x_√3x22 _{+ 4 x}_{+ 4 x}33 _{+ 8}_{+ 8}

kemudian untuk pengecekan : kemudian untuk pengecekan : dy/dx = 1/3 (3x

dy/dx = 1/3 (3x22 _{+ 4x}_{+ 4x}33 _{+ 8 )}_{+ 8 )}-2/3-2/3_{(6x + 12x}_{(6x + 12x}22₎₎ = (2x + 4x

= (2x + 4x22_{) / (3x}_{) / (3x}22 _{+ 4x}_{+ 4x}33 _{+ 8 )}_{+ 8 )}2/32/3 pada ruas kanan diperoleh pada ruas kanan diperoleh

(2x + 4x

(2x + 4x22_{) / (y}_{) / (y}22_{) = (2x + 4x}_{) = (2x + 4x}22_{) / (3x}_{) / (3x}22 _{+ 4x}_{+ 4x}33 _{+ 8 )}_{+ 8 )}2/32/3 Ditulis dalam

(3)

APLI

APLIKASKASI I TURTURUNAUNANN

Maret 14, 2009 oleh

Maret 14, 2009 oleh ipitsopiyatiipitsopiyati

APLIKASI TURUNAN APLIKASI TURUNAN 1.

1. MaMaksksimimum dum dan Man Mininimimumum Misalkan kita mengetahui fungsi

Misalkan kita mengetahui fungsi f f dan domain (daerah asal) S seperti pada Gambar A. makadan domain (daerah asal) S seperti pada Gambar A. maka

kita akan

kita akan menentmenentukanukan f f memiliki nilai maksimum atau minimum pada S. Anggap saja bahwamemiliki nilai maksimum atau minimum pada S. Anggap saja bahwa

nilai

nilai-nilai tersebu-nilai tersebut t ada dan ada dan ingin mengetahingin mengetahui ui lebih lanjut dimana dalam S lebih lanjut dimana dalam S nilainilai-nila-nilai i itu berada.itu berada.

Pada akhirnya kita dapat menentukan

Pada akhirnya kita dapat menentukan nilai-nilai maksimum dan minimum.nilai-nilai maksimum dan minimum.

Definisi : Definisi :

Andaikan S, daerah asal

Andaikan S, daerah asal f f , memuat titik C, kita katakana bahwa:, memuat titik C, kita katakana bahwa: 1.

1. f f (c) adalah nilai maksimum(c) adalah nilai maksimumf f pada S jikapada S jika f f (c)≥(c)≥f f (x) untuk semua x di S(x) untuk semua x di S 2.

2. f f (c) adalah nilai minimum(c) adalah nilai minimum f f pada S jikapada S jika f f (c)≤(c)≤f f (x) untuk semua x di S(x) untuk semua x di S 3.

3. f f (c) adalah nilai ekstrim(c) adalah nilai ekstrim f f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimumpada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimum

Teorema A Teorema A (Teorem

(Teorema a EksistenEksistensi si Maks-MiMaks-Min).n). JikaJika f f kontinu pada selang tertutup [a,b], makakontinu pada selang tertutup [a,b], maka f f mencapaimencapai

nilai maksimum dan nilai minimum.

nilai maksimum dan nilai minimum. Terjadinya Nilai-Nilai Ekstrim : Terjadinya Nilai-Nilai Ekstrim :

Biasanya fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan mempunyai suatu

selang

selang I I sebagai daerah asalnya. Tetapi selang ini boleh berupa sebarang dan sembilan tipe yangsebagai daerah asalnya. Tetapi selang ini boleh berupa sebarang dan sembilan tipe yang

dibahas 1.3. beberapa dari selang ini memuat

dibahas 1.3. beberapa dari selang ini memuattitk-titik ujungtitk-titik ujung; beberapa tidak. Misalnya; beberapa tidak. Misalnya I I = [a,b]= [a,b]

memuat titik-titik ujung dua-duanya; (a,b) hanya memuat titik ujung kiri; (a,b) tidak memuat titk

ujung satupun. Nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yan didefinisikan pada selang tertutup sering

kali terjadi pada titik-titik ujung. (Lihat Gambar B)

Jika c sebuah titik pada mana

Jika c sebuah titik pada mana f f ’(c’(c) ) = = 0 0 disdisebut c ebut c tittitik ik stastasiosionerner. . PadPada a tititik stasiotik stasionerner,,

grafik

grafik f f mendatar karena garis singgung mendatar. Nilai-nilai ekstrim terjadi pada titik-titikmendatar karena garis singgung mendatar. Nilai-nilai ekstrim terjadi pada titik-titik

stasioner. (Gambar C )

(4)

Ji

Jika ka c c adadalalah ah titittik ik dadallam am dadarrii I I dimanadimana f f ’ ’ ttiidadak k adada, a, didisesebubut t c c titittik ik sisingngulularar.. Grafik

Grafik f f mempumempunyai sudut nyai sudut tajatajam, m, garis singgung vertikal. garis singgung vertikal. NilaiNilai-nila-nilai i ekstrekstrim im dapat terjadi padadapat terjadi pada titik-titik singular. (Gambar D) walaupun dalam masalah-masalah praktis

titik-titik singular. (Gambar D) walaupun dalam masalah-masalah praktis sangat langka.sangat langka.

Teorema B Teorema B (Teorem

(Teorema a titik kritis)titik kritis). Andaikan. Andaikan f f didefinisikan pada selangdidefinisikan pada selang I I yang memuat titik c. Jikayang memuat titik c. Jika f f (c)(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu :

adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu : i. titik ujung I

i. titik ujung I

ii. titik stasioner dari f (f’(c) = 0) ii. titik stasioner dari f (f’(c) = 0)

iii. titik singular dari f (f’ (c) tidak ada) iii. titik singular dari f (f’ (c) tidak ada)

Mengingat teorema A dan B, untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu Mengingat teorema A dan B, untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu

fungsi kontinu f f padapada selang tertutup I . selang tertutup I .

Langkah 1 : Carilah titik-titik kritis dari f pada Langkah 1 : Carilah titik-titik kritis dari f pada II

Langkah 2 : hitunglah f pada setiap titik kritis, yang terbesar adalah nilai maksimum dan yang Langkah 2 : hitunglah f pada setiap titik kritis, yang terbesar adalah nilai maksimum dan yang terkecil adalah nilai minimum.

(5)

soal : soal : Carilah nilai- nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x

Carilah nilai- nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x22_{+ 4x pada [-3, 1]}_{+ 4x pada [-3, 1]} Penyelesaian:

Penyelesaian:

Menurunkan fungsinya f’(x) = 2x + 4 Menurunkan fungsinya f’(x) = 2x + 4 Kemudian mencari titik kritis f’(x) = 0 Kemudian mencari titik kritis f’(x) = 0 2x + 4 = 0

2x + 4 = 0 X = -2 X = -2

Berarti titik-titik kritis yang di dapat -3, -2, 1 maka : Berarti titik-titik kritis yang di dapat -3, -2, 1 maka :

f(-3) = -3 f(-3) = -3 f(-2) = -4 f(-2) = -4 f(1) = 5 f(1) = 5

Jadi nilai maksimum adalah 5 (dicapai pada 1) dan nilai minimum adalah -4 (dicapai pada -2) Jadi nilai maksimum adalah 5 (dicapai pada 1) dan nilai minimum adalah -4 (dicapai pada -2) 2.Kemonotonan dan Kecekungan

2.Kemonotonan dan Kecekungan

Definisi : Definisi :

Andaikan

Andaikan f f terdefinisi pada selangterdefinisi pada selang I I (terbuka, tertutup atau tak satupun). Kita katakan bahwa :(terbuka, tertutup atau tak satupun). Kita katakan bahwa :

1.

1. f f adalah naik padaadalah naik pada I I jika untuk setiap pasang bilangan xjika untuk setiap pasang bilangan x11 dan xdan x22dalamdalam I I , x, x11< x< x22→→ f(xf(x11) <) <

f(x

f(x22))

2.

2. f f adalah turun padaadalah turun pada I I jika untuk setiap pasang bilangan xjika untuk setiap pasang bilangan x11dan xdan x22 dalamdalam I I , x, x11 > x> x22 →→ f(xf(x11) >) >

f(x

(6)

3.

3. f f monoton murni padamonoton murni padaI I jika ia naik padajika ia naik pada I I atau turun padaatau turun padaI I

Teorema A Teorema A

(Teorema Kemonotonan)

(Teorema Kemonotonan). Andaikan. Andaikan f f kontinu pada selangkontinu pada selang I I dan dapat dideferensialkan padadan dapat dideferensialkan pada

setiap titik dalam dari

setiap titik dalam dari I I

1.

1. JikaJikaf’ f’ (x) > 0 untuk semua titik dalam x dari(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I,I,makamaka f f naik padanaik padaI I

2.

2. JikaJikaf’ f’ (x) < 0 untuk semua titik dalam x dari(x) < 0 untuk semua titik dalam x dari I,I,makamaka f f turun padaturun pada I I

Turunan Pertama dan Kemonotonan Turunan Pertama dan Kemonotonan

In

Ingagat t kekembmbalali i babahwhwa a tutururunanan n perpertatamama f’ f’ (x(x) ) memembmbereri i kikita ta kekemimiriringangan n dadari ri gagaririss

singgung

singgung f f dititik x, kemudian jikadititik x, kemudian jika f’ f’ (x) > 0, garis singgung naik ke kanan, serupa, jika(x) > 0, garis singgung naik ke kanan, serupa, jika f’ f’ (x) < 0,(x) < 0,

garis singgung jatuh ke kanan. (Gambar A)

Turunan Kedua dan Kecekungan Turunan Kedua dan Kecekungan

Sebuah fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang sangat

bergoyang (Gambar B), maka kita perlu mempelajari bagaimana garis

singgung berliku saat kita bergerak sepanjang grafik dari kiri ke kanan. Jika

secara tetap berlawanan arah putaran jarum jam, kita katakan bahwa grafik

cekung ke atas, jika garis singgung berliku searah jarum jam, grafik cekung

ke bawah

Definisi: Definisi: Andaikan

Andaikan f f ttererdedeffererenensisial al papada da sesellanang g teterrbubukaka I I = = ((aa,,bb)). . jjiikkaa f’ f’ nnaaiik k ppaaddaa I I ,, f f (dan(dan

grafiknya)

grafiknya) cekung ke atascekung ke atas disana; jikadisana; jika f’ f’ turun padaturun pada I I ,, f f cekung ke bawahcekung ke bawah pada pada I. I.

Teorema B Teorema B

(7)

(Teorema kecekungan).

(Teorema kecekungan). AndaikanAndaikan f f terdeferensial dua kali pada selang terbuka (a,b).terdeferensial dua kali pada selang terbuka (a,b). 1.

1. JikaJikaf’’ f’’ (x) > 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka(x) > 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka f f cekung ke atas pada (a,b)cekung ke atas pada (a,b) 2.

2. JikaJikaf’’ f’’ (x) < 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka(x) < 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka f f cekung ke bawah pada (a,b)cekung ke bawah pada (a,b) Titik Balik

Titik Balik

Andaikan

Andaikan f f kontinu di c, kita sebut (c,kontinu di c, kita sebut (c, f f (c)) suatu titik balik dari grafik(c)) suatu titik balik dari grafik f f jikajika f f cekung kecekung ke

atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. grafik dalam Gambar C atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. grafik dalam Gambar C menunjukkan sejumlah kemungkinan.

menunjukkan sejumlah kemungkinan. Gambar

Gambar

soal : soal :

Jika f(x) = x

Jika f(x) = x33 _{+ 6x}_{+ 6x}22_{+ 9x + 3 cari dimana f naik dan dimana turun?}_{+ 9x + 3 cari dimana f naik dan dimana turun?}

Penyelesaian: Penyelesaian: Mencari turunan f Mencari turunan f f’(x) = 3x f’(x) = 3x22_{+ 12x + 9}_{+ 12x + 9} = 3 (x = 3 (x22 _{+ 4x + 3)}_{+ 4x + 3)} = 3 (x+3)(X+1) = 3 (x+3)(X+1)

(8)

Kita perlu menentukan (

Kita perlu menentukan ( x x +3) (+3) ( x x +1) > 0 dan (+1) > 0 dan ( x x +3) (+3) ( x x + 1) < 0 terdapat titik pemisah + 1) < 0 terdapat titik pemisah -3 dan -1,-3 dan -1,

membagi sumbu

membagi sumbu x xatas tiga selang ( -∞, atas tiga selang ( -∞, -3), (-3, -1) dan (-1, ∞). Dengan -3), (-3, -1) dan (-1, ∞). Dengan memakai titik uji -4, -2,memakai titik uji -4, -2,

0 didapat

0 didapat f f `(`( x x) > 0 pada pertama dan akhir selang dan) > 0 pada pertama dan akhir selang dan f f `(`( x x) < 0 pada selang tengah.) < 0 pada selang tengah.

Jadi, f naik pada (-∞, -3] dan [-1, ∞) dan turun pada [-3, -1] Jadi, f naik pada (-∞, -3] dan [-1, ∞) dan turun pada [-3, -1] Grafik Grafik f f (-3) = 3(-3) = 3 f f (-1) = -1(-1) = -1 f f (0) = 3(0) = 3

3.Maksimum dan Minimum Lokal 3.Maksimum dan Minimum Lokal Definisi :

Definisi :

Andaikan S, daerah asal

Andaikan S, daerah asal f f , memuat titik c. kita katakan bahwa :, memuat titik c. kita katakan bahwa : 1.

1. f( f( c) nilai maksimum lokalc) nilai maksimum lokalf f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikiansedemikian sehingga

sehinggaf f (c) adalah nilai maksimum(c) adalah nilai maksimumf f pada (a,b)pada (a,b)∩∩ SS 2.

2. f f (c) nilai minimum lokal(c) nilai minimum lokalf f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikiansedemikian sehingga

sehinggaf f (c) adalah nilai minimum(c) adalah nilai minimumf f pada (a,b)pada (a,b) ∩∩ SS 3.

3. f f (c) nilai ekstrim lokal(c) nilai ekstrim lokal f f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal

Teorema titik kritis pada dasarnya berlaku sebagaimana dinyatakan dengan nilai ekstrim Teorema titik kritis pada dasarnya berlaku sebagaimana dinyatakan dengan nilai ekstrim diganti oleh nilai ekstrim lokal, bukti pada dasarnya sama. Jika turunan adalah positif pada salah diganti oleh nilai ekstrim lokal, bukti pada dasarnya sama. Jika turunan adalah positif pada salah satu pihak dari titik kritis dan negative pada pihak lainnya, maka kita mempunyai ekstrim lokal. satu pihak dari titik kritis dan negative pada pihak lainnya, maka kita mempunyai ekstrim lokal. GAMBAR MAKS.LOKAL DAN MINIM LOKAL

(9)

Teorema A Teorema A

(Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal)

(Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal). Andaikan. Andaikan f f kontinu pada selang terbuka (a,b)kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.

yang memuat titik kritis c. 1.

1. JikaJikaf’ f’ (x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) danf’ f’ (x) < 0 untuk semua x dalam (c,b),(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka

maka f f (c) adalah nilai maksimum lokal(c) adalah nilai maksimum lokalf f

2.

2. JikaJikaf’ f’ (x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) danf’ f’ (x) < 0 untuk semua x dalam (c,b),(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka

maka f f (c) adalah nilai minimum lokal(c) adalah nilai minimum lokalf f

3.

3. JikaJikaf’ f’ (x) bertanda sama pada kedua pihak c, (x) bertanda sama pada kedua pihak c, makamakaf f (c) bukan nilai ekstrim lokal(c) bukan nilai ekstrim lokal f f .. Teorema B

Teorema B

(Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal).

(Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal). AndaikanAndaikan f f ’ dan’ dan f’’ f’’ ada pada setiap titik dalamada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan

selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’ f’ (c) = 0(c) = 0 i.

i. JikaJika f’’ f’’ (c) < 0,(c) < 0, f f (c) adalah nilai maksimum lokal(c) adalah nilai maksimum lokal f f ii. Jika

ii. Jika f’’ f’’ (c) > 0,(c) > 0, f f (c) adalah nilai minimum lokal(c) adalah nilai minimum lokal f f soal :

soal :

Cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x

Cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x22_{– 8x + 7 pada (-∞,∞)}_{– 8x + 7 pada (-∞,∞)} penyelesaian:

penyelesaian:

fungsi polinom kontinu dimana-mana dan turunannya, f’(x) = 2x – 8, ada untuk semua x. jadi fungsi polinom kontinu dimana-mana dan turunannya, f’(x) = 2x – 8, ada untuk semua x. jadi satu-satunya titik kritis untuk f adalah penyelesaian

satu-satunya titik kritis untuk f adalah penyelesaian tunggal dari f’(x) = 0 yakni x tunggal dari f’(x) = 0 yakni x = 4 karena= 4 karena f’(x) = 2(x-4) < 0 untuk x<0, f turun pada (-∞,4) dank arena 2(x – 4)>0 untuuk x>0, f naik pada f’(x) = 2(x-4) < 0 untuk x<0, f turun pada (-∞,4) dank arena 2(x – 4)>0 untuuk x>0, f naik pada [4,∞) karena itu, f(4) = -9 adalah

[4,∞) karena itu, f(4) = -9 adalah nilai minimum lokal f, karena 4 adnilai minimum lokal f, karena 4 adalah satu-satunya bilanganalah satu-satunya bilangan kritis, tidak terdapat nilai ekstrim lain. Ditunjukkan oleh

(10)

4.Lebih Banyak Masalah Maks-Min

Masalah yang dipelajari dalam pasal 4.1, biasanya menganggap bahwa himpunan pada Masalah yang dipelajari dalam pasal 4.1, biasanya menganggap bahwa himpunan pada mana kita ingin memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi berupa selang tertutup. mana kita ingin memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi berupa selang tertutup. Tetapi, selang-selang yang uncul dalam praktek tidak selalu tertutup; kadang-kadang terbuka Tetapi, selang-selang yang uncul dalam praktek tidak selalu tertutup; kadang-kadang terbuka atau bahkan setengah terbuka., setengah tetutup. Kita masih tetap menangani masalah ini jika ita atau bahkan setengah terbuka., setengah tetutup. Kita masih tetap menangani masalah ini jika ita mener

menerapkan secara benar apkan secara benar teori yang dikembangkteori yang dikembangkan dalam an dalam pasal 4.3. pasal 4.3. Ingat dalam hati bahwaIngat dalam hati bahwa maksimum (minimum) tanpa kata sifat tambahan

maksimum (minimum) tanpa kata sifat tambahan berarti maksimum (minimum) global.berarti maksimum (minimum) global. Langkah-langkahnya:

Langkah-langkahnya:

1) Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variabel-variabel yang sesui untuk 1) Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variabel-variabel yang sesui untuk

besaran-besaran kunci besaran-besaran kunci

2) Tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan (diminimumkan) dalam 2) Tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan (diminimumkan) dalam

bentuk variabel-variabel tersebut bentuk variabel-variabel tersebut

3) Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari 3) Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari

variabel-variabel ini dan karenanya enyataka Q sebagai fungsi dari satu variabel-variabel, misalnya x variabel ini dan karenanya enyataka Q sebagai fungsi dari satu variabel, misalnya x 4) Tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebuah selang

4) Tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebuah selang

5) Tentukan titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling sering, titik-titik 5) Tentukan titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling sering, titik-titik

kritis kunci berupa titik-titik stasioner dimana dQ/dx = kritis kunci berupa titik-titik stasioner dimana dQ/dx = 00

6) Gunakan teori bab ini untuk memutuskan titik kritis mana yang memberika maksimum 6) Gunakan teori bab ini untuk memutuskan titik kritis mana yang memberika maksimum

atau minimum atau minimum soal :

soal :

Cari (jika mungkin) nilai maksimum dan minimum dari

(11)

Penyelesaian : Penyelesaian : f f `(`( x x) = 3) = 3 x x22 – 6x = x(3– 6x = x(3_x_x – 6)– 6) x=0 dan x= 2 x=0 dan x= 2 f f (2) =(2) =00 f f ((00) =) = 44

fungsi memiliki nilai maksimum 4 (pada 0)

fungsi memiliki nilai maksimum 4 (pada 0) dan nilai minimum 0 (pada 2)dan nilai minimum 0 (pada 2)

5.Penerapan Ekonomik

Dalam mempelajari banyak masalah ekonomi sebenarnya kita menggunakan konsep kalkulus. Dalam mempelajari banyak masalah ekonomi sebenarnya kita menggunakan konsep kalkulus. Misalkan dalam suatu perusahaan, PT ABC. Jika ABC menjual x satuan barang tahun ini, ABC Misalkan dalam suatu perusahaan, PT ABC. Jika ABC menjual x satuan barang tahun ini, ABC akan mampu membebankan harga, p(x) untuk setiap satuan. Kita tunjukkan bahwa p tergantung akan mampu membebankan harga, p(x) untuk setiap satuan. Kita tunjukkan bahwa p tergantung pada x. pendapatan total yang diharapkan ABC diberikan oleh R(x) = x p(x), banyak satuan kali pada x. pendapatan total yang diharapkan ABC diberikan oleh R(x) = x p(x), banyak satuan kali

harga tiap satuan. harga tiap satuan. Untuk mempro

Untuk memproduksikaduksikan n dan memasarkan x dan memasarkan x satuansatuan, , ABC akan ABC akan mempumempunyai biaya total C(x). Ininyai biaya total C(x). Ini b

biaiasansanya ya jujumlmlah ah dadari ri bibiayaya a tetetatap p diditatambmbah ah biaybiaya a vavaririabablele. . KoKonsep nsep dadasar sar ununtutuk k sebsebuauahh perusahaan adalah total laba P(x), yakni slisih antara pendapatan dan biaya.

perusahaan adalah total laba P(x), yakni slisih antara pendapatan dan biaya. P(x) = R(x) – C(x) = x p(x) – C(x)

P(x) = R(x) – C(x) = x p(x) – C(x)

Umumnya, sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya. Umumnya, sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya. Pada dasarnya suatu produksi akan

Pada dasarnya suatu produksi akan berupa satuan-berupa satuan-satuan diskritsatuan diskrit. Jadi . Jadi R(x), C(x) dan R(x), C(x) dan P(x) padaP(x) pada umumnya didefinisikan hanya untuk x= 0,1,2,3,…..dan sebagai akibatnya, grafiknya akan terdiri umumnya didefinisikan hanya untuk x= 0,1,2,3,…..dan sebagai akibatnya, grafiknya akan terdiri dar

dari i tittitik-tik-tititik ik disdiskrikrit. t. AgaAgar r kitkita a dapdapat at memmemperpergunagunakan kan kalkalkulkulus, us, tititiktik-ti-titik tik tertersebusebut t kitkitaa hub

hubungkungkan an satsatu u samsama a lailainsehnsehingingga ga memmembentbentuk uk kurkurva. va. DenDengan gan demdemikiikian, an, R,CR,C, , dan dan P P dapadapatt dianggap ebagai fungsi yang dapat dideferensialkan.

dianggap ebagai fungsi yang dapat dideferensialkan. Penggunaaan Kata Marjinal

Penggunaaan Kata Marjinal An

Andadaikikan an ABABC C memengngetetahahui ui fufungngsi si bibiayayananya ya C(C(x) x) dadan n ntntuk uk sesemementntarara a didirerencncananakakanan memproduksi 2000 satuan tahun in. ABC ingin menetapan biaya tambahan tiap satuan. Jika memproduksi 2000 satuan tahun in. ABC ingin menetapan biaya tambahan tiap satuan. Jika fungsi biaya adalah seperti pada gambar A, Direktur Utama ABC menanyakan nilai ∆C/∆X pada fungsi biaya adalah seperti pada gambar A, Direktur Utama ABC menanyakan nilai ∆C/∆X pada saat ∆x = 1. tetapi kita mengharapkan bahwa ini akan sangat dekat terhadap nilai Lim

(12)

Pad

Pada a saasaat t x x = = 2002000. 0. ini disebini disebut ut biabiaya ya marmarjijinalnal. . KitKita a menmengenagenalnylnya a sebsebagai dc/dxagai dc/dx, , turturunn Cunn C terhadap x. dengan demikian, kita definisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal terhadap x. dengan demikian, kita definisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal dR/dx, dan keuntungan marjinal sebagai dP/dx.

dR/dx, dan keuntungan marjinal sebagai dP/dx.

soal : soal :

andaikan C(x) = 6700 + 4,15x + 30x

andaikan C(x) = 6700 + 4,15x + 30x1/21/2_{rupiah. Cari biaya rata-rata tiap satuan dan}_{rupiah. Cari biaya rata-rata tiap satuan dan}_{biaya marjinal}_{biaya marjinal} dan hitung mereka bilamana x = 4000

dan hitung mereka bilamana x = 4000 penyelesaian : penyelesaian : Biaya rata-rata : C(x)/x = (6700 + 4,15x Biaya rata-rata : C(x)/x = (6700 + 4,15x + 30x+ 30x1/21/2_{) /x}_{) /x} Biaya marjinal : dC/dx = 4,15 + Biaya marjinal : dC/dx = 4,15 + 30x30x-1/2-1/2 Pada X = 400 diperoleh Pada X = 400 diperoleh Biaya rata-rata = 22,4 x 400 = 8960 Biaya rata-rata = 22,4 x 400 = 8960 Biaya marjinal = 4,9 x 400 = 1960 Biaya marjinal = 4,9 x 400 = 1960

Ini berarti bahwa rata-rata biaya tiap satuan adalah Rp. 8960 untuk memproduksi 400satuan yang Ini berarti bahwa rata-rata biaya tiap satuan adalah Rp. 8960 untuk memproduksi 400satuan yang pertama, untuk memproduksi satu satuan tambahan diatas 400 hanya memerlukan biaya Rp. pertama, untuk memproduksi satu satuan tambahan diatas 400 hanya memerlukan biaya Rp.

1960. 1960.

6.Limit di Ketakhinggaan, Limit

6.Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak TerhinggaTak Terhingga

Definisi-definisi Cermat Limit bila x→ ± ∞ Definisi-definisi Cermat Limit bila x→ ± ∞

Dalam analogi dengan definisi, kita untuk limit-limit biasa, kita membuet definii berikut. Dalam analogi dengan definisi, kita untuk limit-limit biasa, kita membuet definii berikut.

Definisi: Definisi:

(Limit bila x → ∞). Andaikan f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa (Limit bila x → ∞). Andaikan f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε >0, terdapat bilangan M yang

Lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε >0, terdapat bilangan M yang x→∞

x→∞

berpadanan sedemikian sehingga berpadanan sedemikian sehingga

(13)

X > M → │f(x) - L│ < ε X > M → │f(x) - L│ < ε Definisi:

Definisi:

(Limit bila x → -∞). Andaikan f terdefinisi pada ( -∞, c] untuk suatu bilangan c. kita katakan (Limit bila x → -∞). Andaikan f terdefinisi pada ( -∞, c] untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε >0, terdapat bilangan M yang

bahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε >0, terdapat bilangan M yang x→ -∞

x→ -∞

berpadanan sedemikian sehingga berpadanan sedemikian sehingga

X < M → │f(x) – L│ < ε X < M → │f(x) – L│ < ε Definisi:

Definisi:

(Limit-limit tak- terhingga). Kita katakan bahwa Lim f(x) = ∞ jika untuk

(Limit-limit tak- terhingga). Kita katakan bahwa Lim f(x) = ∞ jika untuk tiap bilangantiap bilangan x→c

x→c++

positif M, berpadanan suatu δ>0 demikian sehingga positif M, berpadanan suatu δ>0 demikian sehingga

0 < x – c < δ→ f(x) > M 0 < x – c < δ→ f(x) > M

Hubungan Terhadap Asimtot Hubungan Terhadap Asimtot

Garis x = c adalah asimtot vertical dari grafik y = f(x). misalkan garis x = 1 adalah asimtot tegak. Garis x = c adalah asimtot vertical dari grafik y = f(x). misalkan garis x = 1 adalah asimtot tegak. Sama halnya garis-garis x = 2 dan x = 3 adalah asimtot vertical. Dalam nafas yang serupa, garis Sama halnya garis-garis x = 2 dan x = 3 adalah asimtot vertical. Dalam nafas yang serupa, garis y = b adalah asimtot horizontal

y = b adalah asimtot horizontal dari grafik y = f(x) jikadari grafik y = f(x) jika Lim f(x) = b atau Lim f(x) = b

Lim f(x) = b atau Lim f(x) = b x→∞ x→ -∞

x→∞ x→ -∞

Garis y = 0 adalah as

Garis y = 0 adalah asimtot horizontal.imtot horizontal.

soal : soal : . lim 3x . lim 3x22_{- 2x + 6 / 6x}_{- 2x + 6 / 6x}22 _{– 5x -9}_{– 5x -9} x→ ~ x→ ~ lim 3x lim 3x22_/x_/x22 _{– 2x/x}_{– 2x/x}22 _{+ 6/x}_{+ 6/x}22_{/ 6x}_{/ 6x}22_/x_/x33 _{– 5x/x}_{– 5x/x}22_{+ 9/x}_{+ 9/x}22_{= 3/6 = 1/2}_{= 3/6 = 1/2} x→ ~ x→ ~ 7.Penggamb

7.Penggambaran Grafik aran Grafik CanggihCanggih

Kalkulus menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik secara baik, khususnya Kalkulus menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik secara baik, khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan cirri-ciri grafik. Kita dapat menempatka dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan cirri-ciri grafik. Kita dapat menempatka titik-titik maksimum lokal, titik-titik minimum lokal, dan titik-titik balik. Kita dapat menentukan titik-titik maksimum lokal, titik-titik minimum lokal, dan titik-titik balik. Kita dapat menentukan secara persis dimana grafik naik atau dimana cekung ke atas.

secara persis dimana grafik naik atau dimana cekung ke atas. POLINOM

POLINOM. Polinom derajat 1 atau 2 jelas untuk di gambar grafiknya, yang berderajat 50. Polinom derajat 1 atau 2 jelas untuk di gambar grafiknya, yang berderajat 50 hampir mustahil. Jika derajatnya cukup ukurannya, misalka 3 sampai 6. kita dapat memakai hampir mustahil. Jika derajatnya cukup ukurannya, misalka 3 sampai 6. kita dapat memakai alat-alat dari kalkulus dengan manfaat besar.

alat dari kalkulus dengan manfaat besar. FUNGSI RASIONAL

FUNGSI RASIONAL. Fungsi rasional, merupakan hasil bagi dua fungsi polinom, lebih rumit. Fungsi rasional, merupakan hasil bagi dua fungsi polinom, lebih rumit untuk digrafikkan disbanding polinom. Khususnya kita dapat mengharapkan perilaku yang untuk digrafikkan disbanding polinom. Khususnya kita dapat mengharapkan perilaku yang dramatis dimanapun penyebut nol.

dramatis dimanapun penyebut nol. RINGKASAN METODE

RINGKASAN METODE. Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak terdapat pengganti untuk. Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak terdapat pengganti untuk akal sehat. Tetapi, dalam banyak hal prosedur berikut akan sangat membantu.

akal sehat. Tetapi, dalam banyak hal prosedur berikut akan sangat membantu. Langkah 1 :

(14)

Buat analisis pendahuluan sebagai berikut : Buat analisis pendahuluan sebagai berikut :

a. Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah di bidang a. Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah di bidang

yang dikecualikan. yang dikecualikan.

b. Uji kesemetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (apakah fungsi genap atau ganjil?) b. Uji kesemetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (apakah fungsi genap atau ganjil?)

c. Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat. c. Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat.

d. Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titk kritis dan untuk mengetahui d. Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titk kritis dan untuk mengetahui

tempat-tempat grafik naik dan turun. tempat grafik naik dan turun.

e. Uji titik-titik kritis untuk maksimum atau minimum lokal. e. Uji titik-titik kritis untuk maksimum atau minimum lokal.

f. Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung f. Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung

ke bawah dan untuk melokasikan titik-titik balik. ke bawah dan untuk melokasikan titik-titik balik. g. Cari asimtot-asimtot.

g. Cari asimtot-asimtot. Langkah 2 :

Langkah 2 :

Gambarkan beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan titik balik) Gambarkan beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan titik balik) Langkah 3 : Langkah 3 : Sketsakan grafik. Sketsakan grafik. soal : soal : Sketsakan grafik f(x) = (2x Sketsakan grafik f(x) = (2x55_{– 30x}_{– 30x}33_)/108_)/108 penyelesaian : penyelesaian :

karena f(-x) = -f(x), f adalah fungsi ganjil, oleh karena itu grafiknya simetri terhadap titik asal. karena f(-x) = -f(x), f adalah fungsi ganjil, oleh karena itu grafiknya simetri terhadap titik asal. Dengan menetapkan f(x) = 0 berarti {2x

Dengan menetapkan f(x) = 0 berarti {2x55_{– 30x}_{– 30x}33_{}/108 = 0 dan x}_{}/108 = 0 dan x}33_(2x_(2x22 _{– 30)/108 = 0}_{– 30)/108 = 0}

kita temukan perpotongan sumbu x adalah 0 dan

kita temukan perpotongan sumbu x adalah 0 dan±± √√₁₅₁₅ ≈≈ _{3,85 Kemudian kita deferensialkan}_{3,85 Kemudian kita deferensialkan}

f’(x) = (10x

f’(x) = (10x44_{– 90x}_{– 90x}22_{)/108 = {10x}_{)/108 = {10x}22 _(x_(x22_-9)}/108_-9)}/108

kita peroleh titik kritis -3, 0, 3 kita peroleh titik kritis -3, 0, 3 f(-3) = 3 f(-3) = 3 f(0) = 0 f(0) = 0 f(3) = 12 f(3) = 12

(15)

kemudian kita deferensialkan kembali f”(x) = (40x

kemudian kita deferensialkan kembali f”(x) = (40x33 _{-180x)/108 = {x(40x}_{-180x)/108 = {x(40x}22_-180)}/108_-180)}/108

kita peroleh x = -2.1 x = 2.1 x = 0 kita peroleh x = -2.1 x = 2.1 x = 0 f(-2.1) = 1.8 f(-2.1) = 1.8 f(2.1) = -1.8 f(2.1) = -1.8 f(0) = 0 f(0) = 0

8.Teorema Nilai Rata-Rata

Teo

Teoremrema a nilnilai ai ratrata-ra-rata ata adaladalah ah bidbidang ang kalkalkulkulus us – – titidak dak begbegitu itu penpentinting, g, tettetapi api serisering ng kalkalii

mem

membanbantu tu melmelahiahirkarkan n teoteoremrema-ta-teoreorema ema lailain n yanyang g cukcukup up berberartarti. i. DalDalam am bahabahasa sa geogeometmetri,ri,

teorema nilai rata-rata mudah dinyatakan dan dipahami. Teorema mengatakan bahwa jika grafik

sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak vertikal pada setiap titik antara A dan B,

maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis singgung di

titik C sejajat talibusur AB. Dalam Gambar 1, hanya terdapat satu titik C yang demikian, dan

dalam Gambar 2 terdapat beberapa.

GAMBAR 1 dan 2

Teorema A

(Te

(Teoremorema a NilaNilai i ratarata-rat-rata a untuntuk uk TuruTurunannan)). Jika. Jika f f kontinu pada selang tertutup [a,b] dankontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdeferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam

terdeferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam

(a,b) dimana

(16)

f

f (b) – (b) – f f (a) / b – a =(a) / b – a = f’ f’ (c)(c) atau secara setara, dimana atau secara setara, dimana f

f (b) – (b) – f f (a) =(a) = f’ f’ (c) (b-a)(c) (b-a) Teorema B

Teorema B Ji

Jika ka F’F’(x(x) ) = = G’G’(x(x) ) untuntuk uk sesemumua a –x –x daldalam am (a,(a,b)b), , mamaka ka teterdrdapapat at kokonstnstananta ta C C sedsedememikikiaiann sehingga F(x) = G(x) + C

sehingga F(x) = G(x) + C Untuk semua x dalam (a,b) Untuk semua x dalam (a,b)

soal: soal:

Cari bilangan c yang dijamin oleh teorema Nilai rata-rata untuk f(x) = x

Cari bilangan c yang dijamin oleh teorema Nilai rata-rata untuk f(x) = x22 _{– 3 pada [1,3]}_{– 3 pada [1,3]} penyelesaian : penyelesaian : f’(x) = 2x f’(x) = 2x dan {f(3) – f(1)}/ 3 – 1 = {6 – (-2)}/2 = 8/2 = 4 dan {f(3) – f(1)}/ 3 – 1 = {6 – (-2)}/2 = 8/2 = 4 jadi kita harus menyelesaikan 2C = 4 maka C = 2 jadi kita harus menyelesaikan 2C = 4 maka C = 2 jawaban tunggal adalah C = 2

jawaban tunggal adalah C = 2

Ditulis dalam

Ditulis dalamUncategorizedUncategorized| Bertanda| Bertanda djdj,,wuiwui||Tinggalkan sebuah komentar »Tinggalkan sebuah komentar » Jawaban: c