Praktikum-MATLAB

(1)

PENGENALAN MATLAB PADA SISTEM KONTROL

II.. TTuujjuuaan Pn Peerrccoobbaaaann

1.

1. MengenalMengenal dandan dapatdapat mengoperasikanmengoperasikan program program MATLABMATLAB pada pada PC.PC. 2.

2. MemilikiMemiliki keterampilanketerampilan dasar dasar menggunakanmenggunakan MATLABMATLAB untuk untuk operasioperasi aljabar aljabar matriks

matriks sederhana.sederhana. 3.

3. MengenalMengenal fungsifungsi_‐_‐fungsifungsi dalamdalam MATLAB.MATLAB. 4.

4. MemahMemahami penggunami penggunaan MatLab dalam anaaan MatLab dalam analisilisis dan desain sists dan desain sistem controlem control..

II

II.. BaBahahan n PePercrcobobaaaann

1.

1. KoKompmpututer er 2.

2. ProgrProgram am (Soft(Software) ware) MatLaMatLab.b.

II

III.I. DaDasar Tsar Teoreorii

3.1. Pengenalan MATLAB 3.1. Pengenalan MATLAB

Ma

Matltlab ab adadalalah ah sisingkngkatatan an dadari ri MAMATrTrix ix LALABorBoratatorory, y, memerurupapakan kan babahashasaa pemrograman yang dikembangkan

pemrograman yang dikembangkan oleh The Mathwork Inc. oleh The Mathwork Inc. yang hadir dengyang hadir dengan fungsian fungsi dan karakteristik yang berbeda dengan bahasa pemrograman lain yang sudah ada dan karakteristik yang berbeda dengan bahasa pemrograman lain yang sudah ada le

lebibih h dadahuhulu lu seseperperti ti DelDelphphi, i, BaBasisic c mamaupupun un C+C++. +. MaMatltlab ab memerurupapakan kan bahbahasasaa pemrograman

pemrograman level level tinggi tinggi yang yang dikhususkan dikhususkan untuk untuk kebutuhan kebutuhan komputasi komputasi teknis,teknis, vi

visusualalisisasasi i dadan n pempemrorogrgramaman an sesepepertrti i komkomputputasasi i mamatetemamatitik, k, ananalalisisis is dadatata,, pengembangan

pengembangan algoritma, algoritma, simulasi simulasi dan dan pemodelan pemodelan dan dan grafik-grafik grafik-grafik perhitunganperhitungan Pada awalnya Matlab dibuat untuk memberikan kemudahan mengakses data matrik Pada awalnya Matlab dibuat untuk memberikan kemudahan mengakses data matrik pada proyek

pada proyek LINPACK dan LINPACK dan EISPACK. Saat EISPACK. Saat ini matlab ini matlab memiliki ratusan fungsi memiliki ratusan fungsi yangyang dapat digunakan sebagai problem solver mulai dari simple sampai masalah-masalah dapat digunakan sebagai problem solver mulai dari simple sampai masalah-masalah yang kompleks dari berbagai disiplin ilmu.

yang kompleks dari berbagai disiplin ilmu. Dal

Dalam am lilingkungkungan ngan perpergurguruan uan tintinggi ggi tektekniknik, , MatMatlab lab mermerupaupakan kan perperangkangkatat standar untuk memperkenalkan dan mengembangkan penyajian materi matematika, standar untuk memperkenalkan dan mengembangkan penyajian materi matematika,

(2)

rekayasa dan kelimuan. Di industri, MATLAB merupakan perangkat pilihan untuk rekayasa dan kelimuan. Di industri, MATLAB merupakan perangkat pilihan untuk penelitian dengan produktifitas yang tinggi,

penelitian dengan produktifitas yang tinggi, pengembangan dan analisanya.pengembangan dan analisanya. Kegunaan MatLab secara umum adalah sebagai berikut:

Kegunaan MatLab secara umum adalah sebagai berikut: a) Matematika dan komputasi,

a) Matematika dan komputasi, b) Perkembangan algoritma, b) Perkembangan algoritma,

c) Pemodelan, simulasi, dan pembuatan prototype, c) Pemodelan, simulasi, dan pembuatan prototype, d) Analisa data, eksplorasi dan visualisasim

d) Analisa data, eksplorasi dan visualisasim

e) Pembuatan aplikasi, termasuk pembuatan antaramuka grafis. e) Pembuatan aplikasi, termasuk pembuatan antaramuka grafis.

3.1.1. Karakteristik MATLAB : 3.1.1. Karakteristik MATLAB :

•

• _{Bahasa pemrogramannya didasarkan pada matriks (baris dan kolom).}_{Bahasa pemrogramannya didasarkan pada matriks (baris dan kolom).} •

• _Lam_Lambat_{bat (di}_(diban_bandin_dingkan_{gkan deng}_dengan_{an For}_Fortra_tran_{n ata}_atau_{u C)}_{C) kar}_karena_{ena bah}_bahasa_asanya_{nya lan}_langsu_gsung_ng

diartikan. diartikan.

•

• _Automatic_{Automatic memory}_{memory management}_{management , misalnya kita tidak harus mendeklarasikan}_{, misalnya kita tidak harus mendeklarasikan}

arrays

arrays terlebih dahulu.terlebih dahulu.

•

• _{Tersusun rapi.}_{Tersusun rapi.} •

• _{Waktu pengembangannya lebih cepat dibandingkan dengan Fortran atau C.}_{Waktu pengembangannya lebih cepat dibandingkan dengan Fortran atau C.} •

• _{Dapat diubah ke bahasa C lewat MATLAB Compiler.}_{Dapat diubah ke bahasa C lewat MATLAB Compiler.} •

• _{Tersedia banyak toolbox untuk aplikasi-aplikasi khusus.}_{Tersedia banyak toolbox untuk aplikasi-aplikasi khusus.}

Beberapa kelebihan Matlab jika dibandingkan dengan program lain seperti Beberapa kelebihan Matlab jika dibandingkan dengan program lain seperti Fortran, dan Basic adalah :

Fortran, dan Basic adalah : 1.

1. Mudah dalam memaMudah dalam memanipulnipulasi struktasi struktur matriur matriks dan perhitungaks dan perhitungan berbagai operasn berbagai operasii matriks yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, invers dan fungsi matriks yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, invers dan fungsi matriks lainnya.

matriks lainnya. 2.

2. MenyediMenyediakan fasiliakan fasilitas untuk memplot struktas untuk memplot struktur gambar (kekuatur gambar (kekuatan fasilitan fasilitas grafik tas grafik tiga dimensi yang sangat memadai).

tiga dimensi yang sangat memadai). 3.

3. Script pScript program yarogram yang dapat diubang dapat diubah sesuai denh sesuai dengan keingigan keinginan user.nan user. 4.

(3)

5.

5. KemampKemampuan interuan interface (misaface (misal dengan bahasa C, word dan matl dengan bahasa C, word dan mathematihematica).ca). 6.

6. DilDilengengkapi dengan kapi dengan tootoolbolbox, x, simsimuliulink, nk, stastatefteflow low dan dan sebsebagaagainyinya, a, serserta ta mulmulaiai me

melilimpmpahnahnya ya sosoururce ce codcode e di di ininteternrnet et yanyang g didibubuat at dadalalam m mamatltlabab( ( concontotohh too

toolbolbox x mismisalnalnya ya : : sigsignal nal proprocescessinsing, g, concontrotrol l syssystemtem, , neurneural al netnetworworks ks dandan sebagainya).

sebagainya).

3.1.2. Lingkungan Kerja MATLAB : 3.1.2. Lingkungan Kerja MATLAB :

Secara umum lingkungan kerja Matlab terdiri dari tiga

Secara umum lingkungan kerja Matlab terdiri dari tiga bagian yang pentingbagian yang penting yaitu:

yaitu: 1

1.. CCoommmmaannd d WWiinnddoowwss Wi

Windowndows s ini ini munmuncul cul perpertamtama a kalkali i ketketika ika kitkita a menmenjaljalankaankan n proprogragramm Matlab. Command windows digunakan untuk menjalankan perintah-perintah Matlab. Command windows digunakan untuk menjalankan perintah-perintah Matlab, memanggil tool Matlab seperti editor, fasilitas help, model simulink, Matlab, memanggil tool Matlab seperti editor, fasilitas help, model simulink, dan lain-lain. Ciri dari windows ini adalah adanya prompt (tanda lebih besar) dan lain-lain. Ciri dari windows ini adalah adanya prompt (tanda lebih besar) yang

yang menmenyatyatakaakan n MatMatlab lab siasiap p menmenerierima ma perperintintah. ah. PerPerintintah ah tertersebsebut ut dapdapatat berupa fungsi-fungsi bawaan (toolbox) Matlab itu sendiri.

berupa fungsi-fungsi bawaan (toolbox) Matlab itu sendiri.

•

• _Workspace:_{Workspace: Menampilkan}_{Menampilkan semua}_{semua variable}_{variable yang}_{yang pernah}_{pernah dibuat}_{dibuat meliputi}_meliputi

nama variable,

(4)

•

• _Command_{Command H}_Hiisstto_orry_y _{:: Me}_Mena_namp_mpiilk_lkan_an _pe_peri_rint_ntah_ah-p_-per_eriint_ntah_ah _yang_yang

telah

telah diketikkandiketikkan pada comma pada commandnd Window.Window.

2

2.. EEddiittoor Wr Wiinnddoowwss

Windows ini merupakan tool yang disediakan oleh Matlab yang berfungsi Windows ini merupakan tool yang disediakan oleh Matlab yang berfungsi sebagai editor script

sebagai editor script MatlaMatlab b (lis(listing ting perinperintah-petah-perintrintah ah yang yang harus dilakukanharus dilakukan oleh Matlab). Ada dua cara untuk membuka editor ini, yaitu:

oleh Matlab). Ada dua cara untuk membuka editor ini, yaitu: 1

1.. KKlliik k : : FFiillee, , llaallu u NNeew w ddaan n kkeemmuuddiiaan n MM--FFiillee 2

2.. KKeettiik k ppaadda a ccoommmmaannd d wwiinnddoowws s : : ””eeddiitt””

Secara formal suatu script merupakan suatu file eksternal yang berisi Secara formal suatu script merupakan suatu file eksternal yang berisi tulisan perintah MatLAb. Tetapi script tersebut bukan merupakan suatu fungsi. tulisan perintah MatLAb. Tetapi script tersebut bukan merupakan suatu fungsi. Ketika anda menjalankan suatu script, perintah di dalamnya dieksekusi seperti Ketika anda menjalankan suatu script, perintah di dalamnya dieksekusi seperti ketika dimasukkan langsung pada MatLAb melalui keyboard.

ketika dimasukkan langsung pada MatLAb melalui keyboard. M-f

M-filile e selselain ain dipdipakai akai sebsebagai agai penapenamaamaan n filfile e jugjuga a bisbisa a dipdipakaakai i untuntuk uk menamakan fungsi, sehingga fungsi fungsi yang kita buat di jendela editor bisa menamakan fungsi, sehingga fungsi fungsi yang kita buat di jendela editor bisa di simpan dengan ektensi .m sama dengan file yang kita panggi dijendela editor. di simpan dengan ektensi .m sama dengan file yang kita panggi dijendela editor. Saat kita menggunakan fungsi Matlab seperti inv, abs, cos, sin dan sqrt, matlab Saat kita menggunakan fungsi Matlab seperti inv, abs, cos, sin dan sqrt, matlab

(5)

menerima variabel berdasarkan variabel yang kita berikan. Fungsi M-file mirip menerima variabel berdasarkan variabel yang kita berikan. Fungsi M-file mirip dengan

dengan scriscript file dimanpt file dimana keduanya merupaa keduanya merupakan file teks dengkan file teks dengan ektensi .m .an ektensi .m . seb

sebagaiagaimanmana a scrscript ipt M-fM-fileile, , funfungsi gsi m-fm-file ile titidak dak dimdimasuasukkakkan n daldalam am jenjendeldelaa command window tetapi file tersendiri yang dibuat dengan editor teks.

command window tetapi file tersendiri yang dibuat dengan editor teks. Membentuk dan menjalankan M-File:

Membentuk dan menjalankan M-File:

•

•_{Klik menu}_{Klik menu}_File_File_{, pilih}_{, pilih} _New_New_{dan klik}_{dan klik}_M-File_M-File •

•_{Pada editor teks, tulis argumen atau perintah}_{Pada editor teks, tulis argumen atau perintah} •

•_Sim_Simpan_{pan den}_dengan_{gan car}_cara_{a kl}_klik_ik _File_File_,_{, pi}_pili_lih_h _Sa_Save_{ve As}_As _da_dan_{n be}_beri_{ri na}_nama_{ma de}_deng_ngan_an

ekstensi .m ekstensi .m

•

•_{Pastikan file yang akan dijalankan berada pada direktori aktif}_{Pastikan file yang akan dijalankan berada pada direktori aktif} •

•_{Misalkan file graf1.m berada di C:\MATLAB, maka lakukan perintah cd}_{Misalkan file graf1.m berada di C:\MATLAB, maka lakukan perintah cd} •

•_{>> cd c:\matlab}_{>> cd c:\matlab} •

•_{Kemudian jalankan file graf1.m dengan cara}_{Kemudian jalankan file graf1.m dengan cara} •

•_{>> graf1}_{>> graf1}

3

3.. FFiigguurre We Wiinnddoowwss Wi

Windowndows s ini ini mermerupaupakan kan hashasil il visvisualualisaisasi si dardari i scrscript ipt MatMatlablab. . MatMatlablab me

membmbererikikan an kemkemudaudahahan n bagbagi i prprogograrammmmer er ununtutuk k memengengedidit t wiwindondows ws ininii sekali

sekaligus gus membermemberikan ikan progrprogram am khusus untuk khusus untuk itu, sehingga itu, sehingga selaiselain n berfuberfungsingsi sebagai visualisasi output yang berupa grafik juga sekaligus menjadi media sebagai visualisasi output yang berupa grafik juga sekaligus menjadi media input yang interaktif.

(6)

•

•_{Simulink windows.}_{Simulink windows.}

Windows ini umumnya digunakan untuk mensimulasikan system kendali Windows ini umumnya digunakan untuk mensimulasikan system kendali berdasarkan

berdasarkan blok blok diagram diagram yang yang telah telah diketahui. diketahui. Untuk Untuk mengoperasikannyamengoperasikannya ketik “

ketik “simulink”simulink” pada command windows.pada command windows.

3.2. Karakter Spesial MatLab 3.2. Karakter Spesial MatLab

(7)

•

• _{Tanda % merupakan penanda komentar. Keterangan setelah tanda tersebut}_{Tanda % merupakan penanda komentar. Keterangan setelah tanda tersebut}

akan diabaikan dalam proses perhitungan. Contoh : akan diabaikan dalam proses perhitungan. Contoh :

y

y = = 22::22::88 % % y y = = [[22446688]];; y

y = = 22..0000 44..0000 66..0000 88..0000

•

• _{Tanda ; merupakan perintah pembatas yang tidak ditampilkan di jendela kerja,}_{Tanda ; merupakan perintah pembatas yang tidak ditampilkan di jendela kerja,}

merupakan pemisah kolom dan baris dalam matriks. Contoh : merupakan pemisah kolom dan baris dalam matriks. Contoh : A = [1 3 5 ; 5 3 1];

A = [1 3 5 ; 5 3 1];

•

• _{Tanda : merupakan pembatas jangkauan, contohnya :}_{Tanda : merupakan pembatas jangkauan, contohnya :}

B = [0:2:8] B = [0:2:8] B

B = = 00..0000 22..0000 4..04 000 66..0000 88..0000

•

• _{Tanda ` merupakan transpose matriks yang merupakan suatu vector kolom}_{Tanda ` merupakan transpose matriks yang merupakan suatu vector kolom}

X = [3 2 4 5;7 6 5 8] X = [3 2 4 5;7 6 5 8] X X= = 33..0000 22..0000 44..0000 55..0000 7 7..0000 66..0000 55..0000 88..0000 X=X ` X=X ` X X== 33..0000 77..0000 2 2..0000 66..0000 4 4..0000 55..0000 5 5..0000 88..0000 •

• _{Tanda ... digunakan untuk menuliskan baris perintah yang panjang contohnya:}_{Tanda ... digunakan untuk menuliskan baris perintah yang panjang contohnya:}

P

P = = sin(1sin(1) – sin() – sin(2) + si2) + sin(3) – sn(3) – sin(4) in(4) + sin(+ sin(5) + cos(5) + cos(6) + ... c6) + ... cos(7) – os(7) – cos(8) cos(8) ++ cos(9) – cos(10) + cos(11) + cos(12)

cos(9) – cos(10) + cos(11) + cos(12) P = 1.0273

P = 1.0273 Contoh

Contoh dan dan fungsi fungsi kode kode yang yang dapat dapat diketik diketik pada pada command wicommand windows ndows :: 1. >> help

1. >> help ↵↵ _{: Menunjukkan semua help topic di Matlab.}_{: Menunjukkan semua help topic di Matlab.}

2. >>what general

2. >>what general ↵↵ _{: Menunjukkan instruksi-instruksi yang tersedia di}_{: Menunjukkan instruksi-instruksi yang tersedia di}

direktori general, salah satunya adalah instruksi

(8)

3.

3. >>help >>help generalgeneral ↵↵ _{: Menunjukkan instruksi-instruksi yang tersedia di}_{: Menunjukkan instruksi-instruksi yang tersedia di}

direktori general , dan fungsinya secara umum. direktori general , dan fungsinya secara umum. 4

4.. >>>>hheellp p cclleeaar r ↵↵ _:_{: Menunj}_{Menunjukkan penjelasan detail}_{ukkan penjelasan detail}

untuk instruksi clear. untuk instruksi clear.

(Fungsinya untuk apa, syntaxnya untuk apa, fungsi lain (Fungsinya untuk apa, syntaxnya untuk apa, fungsi lain yang terkait apa)

yang terkait apa) 5

5. . >>> > hheellp p ooppss↵↵ _:_: _M_Meen_nu_un_njju_uk_kk_kaan_n _p_peen_nu_ulliissaan_n

operator2 di dalam Matlab. operator2 di dalam Matlab. 6

6.. >>>>ccllcc;; ↵↵

>>x >>x ↵↵

clc digunakan untuk membersihkan

clc digunakan untuk membersihkan layar, tetapi nilai variable yang tersimpanlayar, tetapi nilai variable yang tersimpan dimemori tidak akan hilang sehingga dapat ditampilkan kembali ke layer dengan dimemori tidak akan hilang sehingga dapat ditampilkan kembali ke layer dengan memanggil nama variabelnya.

memanggil nama variabelnya. 7.

7. >>>>clcleaear;r; ↵↵

>>x >>x ↵↵

clear digunakan untuk membersihkan layer sekaligus menghapus variable dari clear digunakan untuk membersihkan layer sekaligus menghapus variable dari memor

memori i sehinsehingga kita gga kita tidak dapat menampilkatidak dapat menampilkan n nilai variablnilai variable e ke ke layerlayer. . (muncu(muncull pesan

pesan ??? Undefined function or variable 'x'.??? Undefined function or variable 'x'.)) 8 8.. >>> x> x==44;; >> y=5; >> y=5; >> z=x+y; >> z=x+y; >> z >> z

Merupakan contoh barisan instruksi untuk melakukan penjumlahan. Merupakan contoh barisan instruksi untuk melakukan penjumlahan.

(9)

3.3.

3.3. Angka Angka dan dan Operasi Operasi AritmatikaAritmatika

Ada tiga jenis angka di MATLAB

Ada tiga jenis angka di MATLAB yaitu :yaitu : 1.

1. BilBilangangan an bulbulat at yaiyaitu tu bilbilangaangan n yang tidak yang tidak menmengandgandung ung desdesimaimal. l. ConContohtohnyanya:: >> xi = 10

>> xi = 10 2.

2. BilanBilangan real yaitgan real yaitu bilangan yanu bilangan yang mengandung mengandung desimag desimal contohnya :l contohnya : >> xr = 12.6054

>> xr = 12.6054 >

>> > rreeaallmmaaxx % % bbaattaas as attaas s bbiillaannggaan rn reeaal l ddi mi maattllaabb ans = 1.7977e+308

ans = 1.7977e+308 >

>> r> reeaallmmiinn % b% baattaas ms miinniimmuum bm biillaanngagan rn reeaal dl di mi matatllaabb ans = 2.2251e-308

ans = 2.2251e-308 3.

3. BilBilangangan an komkomplepleksks >> i >> i ans = 0 + 1.0000i ans = 0 + 1.0000i >> x = 1 + >> x = 1 + sqrt(3)*isqrt(3)*i x = 1.0000 + 1.7321i x = 1.0000 + 1.7321i >> >> A= A= [1 [1 j;-j*5 j;-j*5 2]2] A A= = 11..00000000 0 0 + + 11..00000000ii 0 0 - - 55..00000000i i 22..00000000 Beb

Beberaerapa pa pengpenggungunaan aan opeoperatrator or ariaritmtmatiatika ka antantara ara dua dua operoperand and (A (A dan dan B)B) ditunjukkan pada tabel berikut ini :

ditunjukkan pada tabel berikut ini :

O

Oppeerraassii SSiimmbbooll

P

Peennaammbbaahhaann ++ P

Peenngguurraannggaann --P

Peerrkkaalliiaann ** P

Peemmbbaaggiiaann / / aattaau u \\ perpangkatan

(10)

3.

3.4.4. VaVaririababel el PaPada da MaMatltlabab

Matlab memiliki tiga variabel sebagai nonnumbers yaitu: Matlab memiliki tiga variabel sebagai nonnumbers yaitu: 1

1.. ––IInnf f ((NNeeggaattiivve e IInnffiinniittyy)) 2

2.. IInnf f ((IInnffiinniittyy)) 3

3.. NNaan n ((NNoot t aan n nnuummbbeerr))

Matlab hanya memiliki dua jenis tipe data yaitu Numeric dan String. Dalam Matlab hanya memiliki dua jenis tipe data yaitu Numeric dan String. Dalam matlab setiap variabel akan disimpan dalam bentuk matrik. User dapat langsung matlab setiap variabel akan disimpan dalam bentuk matrik. User dapat langsung men

menuliuliskaskan n varvariabiabel el barbaru u tantanpa pa harharus us menmendekdeklarlarasiasikankannya nya terterleblebih ih dahdahulu ulu padpadaa command window. Contoh pembuatan variabel pada matlab:

command window. Contoh pembuatan variabel pada matlab:

Pen

Penamamaan aan vavaririababel el papada da mamatltlab ab berbersisifafat t cacaseseSeSensnsititif if kakarerena na ititu u peperlrluu diper

diperhatikahatikan n penggunpenggunaan huruf aan huruf besar dan besar dan kecil pada kecil pada penamapenamaan an variavariabel. Apabilabel. Apabila terdapat variabel lama dengan nama yang sama maka matlab secara otomatis akan terdapat variabel lama dengan nama yang sama maka matlab secara otomatis akan me-replace

me-replace variabel lama tersebut variabel lama tersebut dengan variabel baru yang didengan variabel baru yang dibuat user.buat user.

3.5 . Fungsi Pemrograman Dalam MATLAB 3.5 . Fungsi Pemrograman Dalam MATLAB 3.5.1. Fungsi Dasar

3.5.1. Fungsi Dasar

a.

a. FunFungsgsi i MaMatetemamatitika ka DaDasasar r Tabel 1.1a Fungsi Matematika Dasar Tabel 1.1a Fungsi Matematika Dasar

F

Fuunnggssii KKeetteerraannggaann

A

Abbss MMeenngghhiittuunng g nniillaai i aabbssoolluutt E

Exxpp MMeemmppeerroolleeh nh niillaai di daarri e pi e paannggkkaat bt biillaannggaan tn teerrtteennttu (u (e =e = 2.718282)

(11)

log

log Menghitung Menghitung logaritma logaritma natural natural (ln) (ln) suatu suatu bilanganbilangan S

Sqqrrtt MMeenngghhiittuunng g aakkaar r ppaannggkkaat t 2 2 ddaarri i ssuuaattu u bbiillaannggaann C

Ceeiill MMeemmbbuullaattkkaan bn biillaannggaan kn ke be biillaannggaan bn buullaat tt teerrddeekkaat mt meennuujjuu plus tak berhingga.

plus tak berhingga. F

Fiixx MMeemmbbuullaattkkaan bn biillaannggaan kn ke be biillaannggaan bn buullaat tt teerrddeekkaat mt meennuujjuu nol..

nol.. F

Flloooorr MMeemmbbuullaattkkaan bn biillaannggaan kn ke be biillaannggaan bn buullaat tt teerrddeekkaat mt meennuujjuu minus tak berhingga.

minus tak berhingga. G

Gccdd MMeenngghhiittuunng g nniillaai i ffaakkttoor r ppeemmbbaaggi i tteerrbbeessaar r

IIspspririmmee MeMengnghahasisillkakan n ttrurue e jjiika ka memerrupupakakan an bibillanangagan n prprimima.a. Log10

Log10 Menghitung Menghitung logaritma logaritma suatu suatu bilangan bilangan untuk untuk dasar dasar 10.10. Mod

Mod Menghitung Menghitung nilai nilai modulus.modulus. P

Prriimmeess MMeenngghhaassiillkkaan dn daaffttaar r bbiillaannggaann.. Rem

Rem Menghitung Menghitung nilai nilai remainder.remainder. R

Roouunndd MMeemmbbuullaattkkaan n bbiillaanngagan n kke e bbiillaannggan an bbuullaat t tteerrdedekkaatt.. b.

b. Fungsi TrigonometriFungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri banyak digunakan terkait dengan sudut. Nilai perhitungan Fungsi trigonometri banyak digunakan terkait dengan sudut. Nilai perhitungan yang dalam fungsi trigonometri sudut dalam

yang dalam fungsi trigonometri sudut dalam radianradian.. Tabel 1.1b Fungsi Trigonometri

Tabel 1.1b Fungsi Trigonometri

Fun

Funggssii KKeetteerraannggaann

S

Siinn MMeenngghhiittuunng g ssiinnuus s ssuuaattu u bbiillaannggaann, , ddiimmaanna a bbiillaannggaan n ddaallaamm radian.

radian. C

Cooss MMenengghhiittuunng g ccososiinnuus s ssuuaattu u bibillaanngagann, , ddiimmaanna a bbiillaanngagan n dadallaamm radian.

radian. T

Taann MMenengghhiittuunng g ttaanngegen n ssuuaattu u bbiillaannggaan, din, dimmanana a bbiillaannggaan n ddaallaamm radian.

radian. A

Accooss MMenengghhiittuunng g aarrccccososiinnuus s ((iinnvveerrs s ccooss) ) ssuauattu u bbiillaangngaan n yyaanngg menghasilkan sudut dalam radian, dimana bilangan harus antara menghasilkan sudut dalam radian, dimana bilangan harus antara -1 dan 1.

-1 dan 1. As

Asinin MeMengnghihitutung ang arcrcsisinunus sus suatatu biu bilalangngan yan yanang meg mengnghahasisilklkan san sududutut dalam radian, dimana bilangan harus antara -1 dan 1.

dalam radian, dimana bilangan harus antara -1 dan 1. Atan

Atan Menghitung Menghitung arctangensuatu arctangensuatu bilangan bilangan yang yang menghasilkan menghasilkan sudutsudut dalam radian.

(12)

Co

Coshsh MeMengnghihitutung ng cocosisinunus hs hipipererbolbolik ik dardari i susuatatu su sududut ut dadalalam rm radadiaian.n. Si

Sinhnh MeMengnghihitutung sng sininus us hihipeperbrbololik ik dadari ri susuatatu su sududut ut dadalalam rm radadiaian.n. Tanh

Tanh Menghitung Menghitung tangen tangen hiperbolik hiperbolik dari dari suatu suatu sudut sudut dalam dalam radian.radian. Co

Cosdsd MMenenghghiitutung cosng cosininus suus suatatu u bibillanangagan, din, dimamana bina billanangagan n dadallamam derajat.

derajat. Sin

Sind d MenMenghighituntung g sinsinus us suasuatu tu bilbilangaangan, n, dimdimana ana bilbilangaangan n daldalamam derajat.

derajat. Ta

Tandnd MMenenghghiitutung tang tangngen suen suatatu u bibilalangnganan, , didimmanana a bibilalangngan daan dallamam derajat. derajat. Sec Sec Menghitung Menghitung )) cos( cos( 1 1 x

x suasuatu tu bilbilangangan, an, dimdimana ana bilbilangangan an daldalamam radian. radian. Csc Csc Menghitung Menghitung )) sin( sin( 1 1 x

x suasuatu tu bilbilangaangan, n, dimdimana ana bilbilangaangan n daldalamam radian. radian. Cot Cot Menghitung Menghitung )) tan( tan( 1 1 x

x suasuatu tu bilbilangaangan, n, dimdimana ana bilbilangaangan n daldalamam radian.

radian. c.

c. FuFungngsi Asi Ananalilisisis Das Datata Mat

Matlab lab menmenyediyediakaakan n sejsejumlumlah ah funfungsi gsi penpentinting g untuntuk uk digdigunaunakan kan daldalam am menmeng- g-analisis data,

analisis data, antara lain antara lain ditunjukkan pada Tabel ditunjukkan pada Tabel 1.1c.1.1c. Tabel

Tabel 1.1c Fungsi 1.1c Fungsi Analisis Analisis DataData

Fun

Funggssii KKeetteerraannggaann

M

Maaxx MMeenngghhaassiillkkaan nn niillaai i tteerrbbeessaar r ddaarri i ssuuaattu vu veekkttoor r aattaau mu maattrriikkss M

Miinn MMeenngghhaassiillkkaan n nniillaai i tteerrbbeessaar r ddaarri i ssuuaattu u vveekkttoor r aattaau u mmaattrriikkss M

Meeaann MMeenngghhaassiillkkaan n nniillaai i mmeeaann D

Dllll ...

3.5.2. Vektor dan Matriks dalam Matlab 3.5.2. Vektor dan Matriks dalam Matlab a. Vektor a. Vektor Vektor baris : Vektor baris : >> v = [-2 sin(45) 4 6] >> v = [-2 sin(45) 4 6]

(13)

v = v =

-2.0000 0.8509 4.0000 6.0000 -2.0000 0.8509 4.0000 6.0000 >> length(v) % menghitung panjang vektor >> length(v) % menghitung panjang vektor ans = ans = 3 3 Vektor kolom : Vektor kolom : >> x = [6; 5 ; 9] >> x = [6; 5 ; 9] x = x = 6 6 5 5 9 9 b. Matriks b. Matriks

Dapat diasumsikan bahwa didalam matlab setiap data akan disimpan dalam Dapat diasumsikan bahwa didalam matlab setiap data akan disimpan dalam bentuk matriks. Dalam

bentuk matriks. Dalam membuat suatu dmembuat suatu data matriks pada ata matriks pada matlab, setiap isi matlab, setiap isi data harusdata harus dim

dimulaulai i dardari i kurkurung ung siksiku u ‘[‘ dan ‘[‘ dan diadiakhikhiri ri dengdengan an kurkurung ung siksiku u tuttutup up ‘]’‘]’. . UntUntuk uk mem

membuat buat varvariabiabel el dendengan gan datdata a yanyang g terterdirdiri i bebebeberaprapa a barbaris, is, gunagunakan kan tantanda da ‘t‘titiitik k koma’ (;) untuk memisahkan data tiap barisnya.

koma’ (;) untuk memisahkan data tiap barisnya. Ma

Matltlab ab memenynyediediakakan an bebeberberapapa a fufungngsi si yayang ng dadapat pat kikita ta gungunakakan an untuntuk uk menghasilkan bentuk-bentuk matriks yang diinginkan. Fungsi-fungsi tersebut antara menghasilkan bentuk-bentuk matriks yang diinginkan. Fungsi-fungsi tersebut antara lain:

lain:

•

• _zeros_{zeros : untuk membuat m}_{: untuk membuat matriks yang semua}_{atriks yang semua datanya bernilai 0}_{datanya bernilai 0} •

• _ones_{ones : matriks}_{: matriks yang semua datanya}_{yang semua datanya bernilai 1}_{bernilai 1} •

• _{rand :}_{rand : matriks}_{matriks dengan data}_{dengan data random dengan}_{random dengan menggunakan distribusi}_{menggunakan distribusi uniform}_uniform •

• _randn_{randn : matris}_{: matris dengan data random dengan m}_{dengan data random dengan menggunakan distribusi normal}_{enggunakan distribusi normal} •

• _eye_{eye : untuk}_{: untuk menghasilkan matri}_{menghasilkan matriks identitas}_{ks identitas}

Cara

Cara M M engenginpinputkautkan M n M atriatrik.k. Contoh :

(14)

Matrik A= Matrik A=                     9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 Ada

Ada 4 cara 4 cara untuk menginputkan matriuntuk menginputkan matrik yakni :k yakni :

Cara 1: Cara 1: >>a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] >>a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] Cara 2 : Cara 2 : >>a=[1

>>a=[1 2 2 3 3 enter enter 5 5 5 5 6 6 eenntteer r 7 7 8 8 99]];; Cara 3: Cara 3: >>a1=[1 2 3]; >>a1=[1 2 3]; >>a2=[4 5 6]; >>a2=[4 5 6]; >>a3=[7 8 9]; >>a3=[7 8 9]; >>a=[a1;a2;a3;]; >>a=[a1;a2;a3;]; >>a >>a Cara 4 : Cara 4 : >>a=input(‘Masukkan matrik= ‘); >>a=input(‘Masukkan matrik= ‘); >>Masukkan matrik=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] >>Masukkan matrik=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] >>disp(a) >>disp(a)

3.5.3. Operasi dan Fungsi pada Matriks 3.5.3. Operasi dan Fungsi pada Matriks

•

• _{Tabel 1.2. Operasi dan fungsi pada matriks yang sering digunakan :}_{Tabel 1.2. Operasi dan fungsi pada matriks yang sering digunakan :}

P

Peerriinnttaahh KKeetteerraannggaann CCoonnttoohh

D

Deet t MMeenngghhaassiillkkaan n ddeetteerrmmiinnaan n mmaattrriikkss DDeett((AA)) S

Siizze e MMeenngghhaassiillkkaan n uukkuurra a mmaattrriikkss SSiizzee((AA)) +

+ MMeennjjuummllaahhkkaan n mmaattrriikkss C C = = A A + + BB *

(15)

..** MMeennggaalliikkaan n eelleemmeen n ddeennggaan n eelleemmeenn,, dengan ketentuan memiliki ukuran yang dengan ketentuan memiliki ukuran yang sama

sama

C = A .* B C = A .* B

^

^ MMeemmaannggkkaattkkaan n mmaattrriikks s ddeennggaan n ssuuaattuu skalar

skalar

C = A^ k C = A^ k

..^^ MMeemmaannggkkaattkkaan n eelleemmeen n ppeer r eelleemmeenn matriks dengan skalar

matriks dengan skalar

C = A .^ k C = A .^ k

’’ TTrraannssppoosse e mmaattrriikks s AA’’ ..// MMeemmbbaaggi ei elleemmeen pn peer er elleemmeen dn deennggaann

ketentuan memiliki ukuran yang sama ketentuan memiliki ukuran yang sama

C = A ./ B C = A ./ B

\\ MMeenngghhaassiillkkaan n ssoolluussi i AAX X = = BB C C = = A A \ \ BB // MMeenngghhaassiillkkaan n ssoolluussi i XXA A = = B B C C = = A A / / BB IInnvv MMeenngghhaassiillkkaan n iinnvveerrs s mmaattrriikks s ddeennggaann

ke

ketetentntuan uan mamatrtrikiks s memerurupapakan kan mamatrtrikikss bujur sangkar bujur sangkar C = Inv(A) C = Inv(A) 3.6. Grafik Matlab 3.6. Grafik Matlab 3.6.1. Grafik 2 Dimensi 3.6.1. Grafik 2 Dimensi

•• CCoommmmaannd Pd Plloott >> Plot (X,Y,’ro’) >> Plot (X,Y,’ro’)

>> Plot (Nilai fungsi,fungsi,’warna_garis/data_point’) >> Plot (Nilai fungsi,fungsi,’warna_garis/data_point’) •

• ColoColors rs : b: b(blu(blue), e), r(rr(red), ed), g(grg(green), een), y(yey(yellowllow), m), m(mag(magentaenta),), c(cyan), k(black)

c(cyan), k(black) •

• MarMarkerkers : (o),(s : (o),(x),x),(*)(*),(,(.),.),(+)(+),(,(d),d),(s(s),),(p)(p),(,(h)h) •

• LiLine Sne Stytyle le : (: (-)-),(,(:):),(,(-.-.),),(- (- -)-),, Contoh 1 :

(16)

>>n = 25 >>n = 25 >>t = 0 : 1/n : 10 >>t = 0 : 1/n : 10 >>y = sin(t); >>y = sin(t); >>plot (t,y,’ro’) >>plot (t,y,’ro’)

>>title (‘Grafik Y = Sin(t) >>title (‘Grafik Y = Sin(t) >>grid >>grid >>xlabel(‘t’), >>ylabel(‘Amplitude’) >>xlabel(‘t’), >>ylabel(‘Amplitude’) Hasil Plot : Hasil Plot : Contoh 2

(17)

>>t=0:0.1:10; >>t=0:0.1:10; >>x=sin(t); >>x=sin(t); >>y=cos(t); >>y=cos(t); >>z=cos(2*t+10); >>z=cos(2*t+10); >>plot(t,x,'r-') >>plot(t,x,'r-') >>hold on >>hold on >>plot(t,y,'bo') >>plot(t,y,'bo') >>hold on >>hold on >>plot(t,z,'k--') >>plot(t,z,'k--') >>title('Mulitple Plot') >>title('Mulitple Plot') >>xlabel('t'),ylabel('Amplitude') >>xlabel('t'),ylabel('Amplitude') >>grid >>grid >>legend('x=Sin(t)',… >>legend('x=Sin(t)',… 'y=cos(t)','z=cos(2*t+10)') 'y=cos(t)','z=cos(2*t+10)') >>hold off >>hold off Hasil Plot : Hasil Plot :

Contoh 3 : Menampilkan 2 grafik dalam 2 bidang (terpisah) Contoh 3 : Menampilkan 2 grafik dalam 2 bidang (terpisah)

>> t=0:0.1:10; >> t=0:0.1:10; >> x=sin(t); >> x=sin(t); >> y=sin(t+30); >> y=sin(t+30); >> subplot(2,1,1) >> subplot(2,1,1) >> plot(t,x, >> plot(t,x,'r-''r-')) >> grid >> grid onon >>xlabel(

>>xlabel('t''t'),ylabel(),ylabel('Amplitude''Amplitude')) >> title(

(18)

>> subplot(2,1,2) >> subplot(2,1,2) >> plot(t,y, >> plot(t,y,'bo''bo')) >> grid >> grid onon >> xlabel(

>> xlabel('t''t'),ylabel(),ylabel('Amplitude''Amplitude')) >> grid

>> grid onon

>> title(

>> title('Grafik y = sin(t+30)''Grafik y = sin(t+30)')) >> hold

>> hold offoff Hasil Plot : Hasil Plot :

3.6.2. Grafik 3 Dimensi 3.6.2. Grafik 3 Dimensi

Matlab mempunyai heberapa fungsi tersendiri untuk memplot 3-D object. Matlab mempunyai heberapa fungsi tersendiri untuk memplot 3-D object. Fungsi

Fungsi-fung-fungsi si terscterscbut but adalaadalah h plot kurva plot kurva di di ruangaruangann (plot3)(plot3).. mesh surfacesmesh surfaces (mesh),(mesh),

surfaces

surfaces (surf)(surf) dan plot kontur dan plot kontur (countour)(countour). Juga . Juga ada dua ada dua fungsfungsi i untuuntuk k mempmemplotlot per

per mukmukaan aan yayang ng khukhu sussus,, spheresphere dada nn cylindercylinder.. UntuUntuk k IebiIebih h mengmengetaetahui hui 3-D3-D graphic, ketikkan

graphic, ketikkan help graph3dhelp graph3d Command Window.Command Window. Contoh :

(19)

>> n=25; >> n=25; >> x=0:1/n:3; >> x=0:1/n:3; >> plot3(x,sin(5*x),sin(5*x)); >> plot3(x,sin(5*x),sin(5*x)); >> grid >> grid Hasil Plot : Hasil Plot : 0 0 1 1 2 2 3 3 -1 -1 - 0 . 5 - 0 . 5 0 0 0. 0. 55 1 1 -1 -1 - 0 . 5 - 0 . 5 0 0 0. 0. 55 1 1

3.7. Matematika Dalam Teknik Kontrol 3.7. Matematika Dalam Teknik Kontrol 3.7.1. Fungsi Polinomial

3.7.1. Fungsi Polinomial

Matlab menyediakan fungsi operasi standar dari polinom, seperti akar Matlab menyediakan fungsi operasi standar dari polinom, seperti akar poli-nomial, evaluasi, dan turunan. Sebagai tambahan, fungsi-fungsi berikut diberikan nomial, evaluasi, dan turunan. Sebagai tambahan, fungsi-fungsi berikut diberikan untuk aplikasi lebih lanjut, seperti pencocokan kurva dan ekspansi fraksi parsial.

untuk aplikasi lebih lanjut, seperti pencocokan kurva dan ekspansi fraksi parsial.

Fungsi Keterangan

C

Coonnvv PPeerrkkaalliiaan n ppoolliinnoommiiaall D

Deeccoonnvv PPeemmbbaaggiiaan n ppoolliinnoommiiaall Poly

Poly Polinomial Polinomial dengan dengan akar-akar akar-akar tertentutertentu Polyder

Polyder Turunan Turunan polinomialpolinomial P

Poollyyffiitt PPeennccooccookkaan n kkuurrvva a ppoolliinnoommiiaall P

Poollyyvvaall EEvvaalluuaassi i ppoolliinnoommiiaall P

Poollyyvvaallmm EEvvaalluuaassi i mmaattrriik k ppoolliinnoommiiaall R

Reessiidduuee EEkkssppaannssi i ffrraakkssi i ppaarrssiiaall R

(20)

3.7.2. Transformasi 3.7.2. Transformasi

a). Transformasi Laplace a). Transformasi Laplace Contoh :

Contoh :

Tentukan transformasi laplace dari fungsi berikut ini : Tentukan transformasi laplace dari fungsi berikut ini :

f = 0,03(1-cos2t) f = 0,03(1-cos2t) Jawab :

Jawab : Command windows Command windows :: >> f = sym(‘1-cos2*t)’) >> f = sym(‘1-cos2*t)’) >> F = laplace(f)

>> F = laplace(f) Atau pada M-file : Atau pada M-file : Syms

Syms t t % % Untuk Untuk inisialisasi inisialisasi variabelvariabel f = 1-cos2*t f = 1-cos2*t laplace(g) laplace(g) b). Invers Laplace b). Invers Laplace Contoh : Contoh :

Tentukan invers transformasi laplace dari fungsi berikut : Tentukan invers transformasi laplace dari fungsi berikut :

F(s) = F(s) = 1 1 − − − − s s e e t t Jawab : Jawab : Command Windows : Command Windows : >> >> F F = = exp(-1)/(s-1)exp(-1)/(s-1) >> >> f f = = ilaplace(f)ilaplace(f) Atau pada M-File : Atau pada M-File : S

Syymms s ss % % UUnnttuuk k iinniissiiaalliissaassi i vvaarriiaabbeell F = exp(-1)/(s-1) F = exp(-1)/(s-1) ilaplace(F) ilaplace(F) 3.7.3. Differensial 3.7.3. Differensial Contoh : Contoh : a.

(21)

>> syms x; >> syms x; ↵↵ >> y=x^3+2*x^2+6*x+7; >> y=x^3+2*x^2+6*x+7; ↵↵ >> z=diff(y) >> z=diff(y) ↵↵

Akan muncul sebagai berikut : Akan muncul sebagai berikut :

z = z =

3*x^2+4*x+6 3*x^2+4*x+6

b.

b. Turunan kedua dari fungsi yTurunan kedua dari fungsi y >>z=diff(y,2)

>>z=diff(y,2) ↵↵

Akan muncul sebagai berikut : Akan muncul sebagai berikut :

z = z = 6*x+4 6*x+4 3.8. Kontrol PID 3.8. Kontrol PID PID Controlle

PID Controller r merupamerupakan kan salah satu jenis salah satu jenis pengatpengatur ur yang banyak yang banyak digunadigunakan.kan. Selain itu sistem ini mudah digabungkan dengan metoda pengaturan yang lain seperti Selain itu sistem ini mudah digabungkan dengan metoda pengaturan yang lain seperti Fuzzy dan

Fuzzy dan Robust. Sehingga akan mRobust. Sehingga akan menjadi suatu sienjadi suatu sistem pengatur yang stem pengatur yang semakin baik semakin baik Tulisan ini dibatasi pada sistem dengan

Tulisan ini dibatasi pada sistem dengan Unity Feedback SystemUnity Feedback System, yang gambarnya, yang gambarnya sebagai berikut :

sebagai berikut :

Gambar Block Diagram Untuk Unity Feedback System Gambar Block Diagram Untuk Unity Feedback System

3.8.1.

3.8.1. Tiga Jenis Controller dan karakteristiknya:Tiga Jenis Controller dan karakteristiknya:

1.

1. KontKontrolroler Proper Proporsorsionional (P)al (P) Pengaruh pada sistem : Pengaruh pada sistem :

•

• _{Menambah atau mengurangi kestabilan}_{Menambah atau mengurangi kestabilan} •

• _{Dapat memperbaiki respon transien khususnya :}_{Dapat memperbaiki respon transien khususnya : rise time, settling time.}_{rise time, settling time.}

C

Coonnttrroolllleerr PPllaanntt +

(22)

•

• _{Mengurangi waktu naik, tidak menghilangkan Error steady state}_{Mengurangi waktu naik, tidak menghilangkan Error steady state}

Untuk menghilangkan E

Untuk menghilangkan Essss, dibutuhkan K , dibutuhkan K PP besar, yang akan membuat sistembesar, yang akan membuat sistem lebih tidak stabil.

lebih tidak stabil. 2.

2. KontKontrolroler Iner Integtegral (ral (I)I) Pengaruh pada sistem : Pengaruh pada sistem :

•

• _{Menghilangkan Error Steady State}_{Menghilangkan Error Steady State} •

• _{Respon lebih lambat (dibanding P)}_{Respon lebih lambat (dibanding P)} •

• _{Dapat menimbulkan ketidakstabilan (karena menambah orde sistem)}_{Dapat menimbulkan ketidakstabilan (karena menambah orde sistem)}

3.

3. KontKontrolroler Derer Derivaivatitif (D)f (D) Pengaruh pada sistem : Pengaruh pada sistem :

•

• _Me_Memb_mber_erik_ikan_{an ef}_efek_{ek re}_redam_daman_{an pad}_pada_{a si}_sist_stem_{em yan}_yang_{g ber}_beros_osil_ilas_asi_{i se}_sehi_hing_ngga_{ga bi}_bisa_sa

memperbesar pemberian nilai memperbesar pemberian nilaiKp .Kp .

•

• _{Memperbaiki respon transien, karena memberikan aksi saat ada perubahan}_{Memperbaiki respon transien, karena memberikan aksi saat ada perubahan}

error. error.

•

• _{D hanya berubah saat ada perubahan error, sehingga saat ada error statis D}_{D hanya berubah saat ada perubahan error, sehingga saat ada error statis D}

tidak beraksi Sehingga D tidak boleh digunakan sendiri. tidak beraksi Sehingga D tidak boleh digunakan sendiri. Fungsi transfer dari PID controller akan tampak sebagai berikut : Fungsi transfer dari PID controller akan tampak sebagai berikut : K K PP++ s s K K _I_I + K + K DDs =s = s s K K s s K K s s K K I I P P D D ++ ++ 2 2 •

• _K_K_P_P_{= Proportional Gain}_{= Proportional Gain} •

• _K_K_II_{= Integral Gain}_{= Integral Gain} •

• _K_K_D_D_{= Derivatif Gain}_{= Derivatif Gain}

Tabel Respon PID Controller Terhadap Perubahan Konstanta Tabel Respon PID Controller Terhadap Perubahan Konstanta

Resp

Respon on LooLoopp Tertutup

Tertutup WWaakkttu u NNaaiikk OOvveerrsshhoooott WWaakkttu u TTuurruunn

Kesalahan Kesalahan

Keadaan Tunak Keadaan Tunak

K

Kpp MMeennuurruunn MMeenniinnggkkaatt PPeerruubbaahhaan n KKeecciill MMeennuurruunn K

Kii MMeennuurruunn MMeenniinnggkkaatt MMeenniinnggkkaatt HHiillaanngg K

(23)

3.9.

3.9. Simulasi SistemSimulasi Sistem 3.9

3.9.1..1. SiSimumulaslasi di dengengan an M-FM-Fileile

Unt

Untuk uk menmeng-ag-analnalisa isa suasuatu tu sissistemtem, , sofsoftwatware re hanyhanya a memmemerlerlukan ukan masmasukan ukan berberupaupa tra

transfnsfer er funfunctiction on yang yang ditdituliulis s daldalam am LapLaplaclace e TraTransfnsform orm (da(dalam lam s-s-domdomainain) ) ataatauu matriks. contoh, suatu sistem kontrol memiliki transfer function sebagai berikut : matriks. contoh, suatu sistem kontrol memiliki transfer function sebagai berikut :

10 10 5 5 1 1 )) (( ₂₂ + + + + = = s s s s s s H H

Ketikkan listing berikut pada M-File : Ketikkan listing berikut pada M-File :

num = [1]; num = [1]; den = [1 2 10]; den = [1 2 10]; step(num,den) step(num,den)

title(‘Open Loop Response’) title(‘Open Loop Response’)

Respon sistem terbuka (open loop response) dapat dilihat pada gambar di bawah ini : Respon sistem terbuka (open loop response) dapat dilihat pada gambar di bawah ini :

0 0 00..55 11 11..55 22 22..55 33 0 0 0.02 0.02 0.04 0.04 0.06 0.06 0.08 0.08 0 0..11 0.12 0.12 O

OpenpenLoopLoopRResponseesponse

T Tiimme(e(sec)sec)

A A m m p p l l i i t t u u d d e e

3.9.2.Simulasi dengan Simulink 3.9.2.Simulasi dengan Simulink

Pad

Pada a M-M-FiFile le kukurvrva a rerespspon on sisiststem em didibuabuat t dendengagan n memenggnggununakaakan n liliststiningg program,

program, sedangkan sedangkan pada pada simulink simulink kita kita bisa bisa menganalisa menganalisa sistem sistem dengandengan menggunakan block diagram.

menggunakan block diagram.

10 10 5 5 1 1 )) (( ₂₂ + + + + = = s s s s s s H H

(24)

Analisa dengan mennggunakan simulink: Analisa dengan mennggunakan simulink:

IV.

IV. TUGAS TUGAS DAN DAN JAWABANJAWABAN

1.

1. BuaBuatlatlah math matrikriks A dan B ors A dan B ordo 4x4do 4x4, dan te, dan tentuntukan :kan : >> A=[ 6 5 8 7 ; 4 6 7 4 ; 3 4 2 8 ; 8 4 6 2 ] >> A=[ 6 5 8 7 ; 4 6 7 4 ; 3 4 2 8 ; 8 4 6 2 ] A = A = 6 5 8 7 6 5 8 7 4 6 7 4 4 6 7 4 3 4 2 8 3 4 2 8 8 4 6 2 8 4 6 2 >> B=[ 5 4 6 7 ; 5 7 8 9 ; 8 6 4 2 ; 8 7 4 6 ] >> B=[ 5 4 6 7 ; 5 7 8 9 ; 8 6 4 2 ; 8 7 4 6 ] B = B = 5 4 6 7 5 4 6 7 5 7 8 9 5 7 8 9 8 6 4 2 8 6 4 2 8 7 4 6 8 7 4 6

aa.. IInnvveerrs s mmaattrriikks s A A ddaan n BB >> inv(A)

(25)

ans = ans = -0.0525 -0.1377 0.0623 0.2098 -0.0525 -0.1377 0.0623 0.2098 -0.3902 0.3508 0.1508 0.0607 -0.3902 0.3508 0.1508 0.0607 0.2820 -0.0098 -0.2098 -0.1279 0.2820 -0.0098 -0.2098 -0.1279 0.1443 0.1443 -0.1213 -0.1213 0.0787 0.0787 -0.0770-0.0770 >> inv(B) >> inv(B) ans = ans = 0.2809 -0.2697 0.0618 0.0562 0.2809 -0.2697 0.0618 0.0562 -0.4944 0.3146 0.0112 0.1011 -0.4944 0.3146 0.0112 0.1011 0.1180 0.1067 0.2360 -0.3764 0.1180 0.1067 0.2360 -0.3764 0.1236 0.1236 -0.0787 -0.0787 -0.2528 -0.2528 0.22470.2247 b. b. A x (B – 1)A x (B – 1) >> A*(B-1) >> A*(B-1) ans = ans = 149 130 110 119 149 130 110 119 117 117 107 95 107 95 9999 98 91 73 92 98 91 73 92 104 90 92 96 104 90 92 96 cc.. IInnvveerrs s A A x x BB >> inv(A)*B >> inv(A)*B ans = ans = 1.2262 1.2262 0.6689 0.6689 -0.3279 -0.3279 -0.2230-0.2230 1.4951 2.2246 1.3115 1.0918 1.4951 2.2246 1.3115 1.0918 -1.3410 -1.0951 0.2623 0.6984 -1.3410 -1.0951 0.2623 0.6984 0.1279 -0.3393 -0.0984 -0.3869 0.1279 -0.3393 -0.0984 -0.3869 d. d. AA22 >> A^2 >> A^2

(26)

ans = ans = 136 120 141 140 136 120 141 140 101 100 112 116 101 100 112 116 104 79 104 69 104 79 104 69 98 98 96 116 96 116 124124

ee.. EElleemmeen n mmaattrriikks s A A ddaan n B B ddeennggaan n 44 >> A=[ 4 4 4 4 ; 4 4 4 4 ; 4 4 4 4 ; 4 4 4 4 ] >> A=[ 4 4 4 4 ; 4 4 4 4 ; 4 4 4 4 ; 4 4 4 4 ] A = A = 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 >> B=[ 4 4 4 4 ; 4 4 4 4 ; 4 4 4 4 ; 4 4 4 4 ] >> B=[ 4 4 4 4 ; 4 4 4 4 ; 4 4 4 4 ; 4 4 4 4 ] B = B = 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

ff.. PPaannggkakattkkaan dn deennggaan 2 n 2 sseettiiaap mp maattrriikks A s A ddaan Bn B >> A.^2 >> A.^2 ans = ans = 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 >> B.^2 >> B.^2 ans = ans = 16 16 16 16 16 16 16 16

(27)

16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 g

g.. DDeetteerrmmiinnaan n mmaattrriikks s A A ddaan n BB >> det A >> det A ans = ans = 65 65 >> det B >> det B ans = ans = 66 66 2.

2. UbUbah peah perrsasamamaan lian linener r beberirikukut t mmenenjajadi pedi perrsasamamaan maan mattririks daks dan n cacariri nilai x1, x2, x3, dan x4 ! nilai x1, x2, x3, dan x4 ! b. b. 2x1 + x2 2x1 + x2 + 4x3 + 5x4 = 8+ 4x3 + 5x4 = 8 x1 x1 – – 2x2 2x2 - - 1x3 1x3 + + 5x4 5x4 = = 44 9x1 + 3x2 + 3x3 + 4x4 = 10 9x1 + 3x2 + 3x3 + 4x4 = 10 4x1 + 3x2 + 7x3 – 1x4 = 47 4x1 + 3x2 + 7x3 – 1x4 = 47 Jawab : Jawab : >> A = [2 1 4 5 ; 1 -2 -1 5 ; 9 3 3 4 ; 4 3 7 -1] >> A = [2 1 4 5 ; 1 -2 -1 5 ; 9 3 3 4 ; 4 3 7 -1] A = A = 2 1 4 5 2 1 4 5 1 1 -2 -2 -1 -1 55 9 3 3 4 9 3 3 4 4 3 7 -1 4 3 7 -1 >> B = [8;4;10;47] >> B = [8;4;10;47] B = B = 8 8 4 4

(28)

10 10 47 47 >> C = inv(A)*B >> C = inv(A)*B C = C = 5.9000 5.9000 -17.3000 -17.3000 10.0000 10.0000 -5.3000 -5.3000 >> x1=5.9000;x2=-17.3000;x3=10.0000;x4=-5.3000; >> x1=5.9000;x2=-17.3000;x3=10.0000;x4=-5.3000; >> B=[x1;x2;x3;x4] >> B=[x1;x2;x3;x4] B = B = 5.9000 5.9000 -17.3000 -17.3000 10.0000 10.0000 -5.3000 -5.3000 3.

3. BuBuat at tatampmpililan gan grarafifik plk plotot, s, stetem, m, babar, r, dadan sn statair ir dardari 2 i 2 pepersrsamamaaaan dan dalalamm 1 grafik! : 1 grafik! : A = (3x+2) A = (3x+2)33 Dimana : n = 5;Dimana : n = 5; B = 5x B = 5x33++4 4 x x = = 0 0 : : 11//n n : : 1100 Jawab : Jawab : - Bahasa programnya - Bahasa programnya n=5 n=5 x=0: 1/n :10 x=0: 1/n :10 A=(3*x+2).^3 A=(3*x+2).^3 B=(5*x.^3)+4 B=(5*x.^3)+4 plot(x,A,'bp') plot(x,A,'bp')

(29)

hold on hold on plot(x,B,'rs') plot(x,B,'rs') hold on hold on

title('Grafik Tugas Meri') title('Grafik Tugas Meri') xlabel('X'),ylabel('A dan B') xlabel('X'),ylabel('A dan B') grid grid legend('A=(3*x+2).^3','B=(5*x.^3)+4') legend('A=(3*x+2).^3','B=(5*x.^3)+4') hold off hold off Grafik Plot Grafik Plot - Bahasa programnya - Bahasa programnya n=5 n=5 x=0: 1/n :10 x=0: 1/n :10 A=(3*x+2).^3 A=(3*x+2).^3 B=(5*x.^3)+4 B=(5*x.^3)+4 stem(x,A,'bp') stem(x,A,'bp') hold on hold on stem(x,B,'rs') stem(x,B,'rs') hold on hold on

title('Grafik Tugas Meri') title('Grafik Tugas Meri') xlabel('X'),ylabel('A dan B') xlabel('X'),ylabel('A dan B')

(30)

grid grid legend('A=(3*x+2).^3','B=(5*x.^3)+4') legend('A=(3*x+2).^3','B=(5*x.^3)+4') hold off hold off Grafik Stem Grafik Stem Bahasa Programnya: Bahasa Programnya: n=5 n=5 x=0: 1/n :10 x=0: 1/n :10 A=(3*x+2).^3 A=(3*x+2).^3 B=(5*x.^3)+4 B=(5*x.^3)+4 bar(x,A,'bp') bar(x,A,'bp') hold on hold on bar(x,B,'rs') bar(x,B,'rs') hold on hold on

title('Grafik Tugas Meri') title('Grafik Tugas Meri') xlabel('X'),ylabel('A dan B') xlabel('X'),ylabel('A dan B') grid grid legend('A=(3*x+2).^3','B=(5*x.^3)+4') legend('A=(3*x+2).^3','B=(5*x.^3)+4') hold off hold off Grafik Bar Grafik Bar

(31)

Bahasa Programnya: Bahasa Programnya: n=5 n=5 x=0: 1/n :10 x=0: 1/n :10 A=(3*x+2).^3 A=(3*x+2).^3 B=(5*x.^3)+4 B=(5*x.^3)+4 stairs(x,A,'bp') stairs(x,A,'bp') hold on hold on stairs(x,B,'rs') stairs(x,B,'rs') hold on hold on

title('Grafik Tugas Meri') title('Grafik Tugas Meri') xlabel('X'),ylabel('A dan B') xlabel('X'),ylabel('A dan B') grid grid legend('A=(3*x+2).^3','B=(5*x.^3)+4') legend('A=(3*x+2).^3','B=(5*x.^3)+4') hold off hold off Grafik Stairs Grafik Stairs 4.

4. BaBagagaimimanana caa cara mra menenamampipilklkan dan dua fua funungsgsi si sininus dus dan can cososininus pus padadaa masing fungsi yang disajikan dalam grafik yang berbeda. Misalnya anda masing fungsi yang disajikan dalam grafik yang berbeda. Misalnya anda gunakan contoh kasus pada soal ke-3, fungsi pertama anda tampilkan pada gunakan contoh kasus pada soal ke-3, fungsi pertama anda tampilkan pada figure (1),sementara fungsi kedua anda tampilkan pada figure (2)!

figure (1),sementara fungsi kedua anda tampilkan pada figure (2)! Jawab:

(32)

- bahasa programnya - bahasa programnya n=5 n=5 x=0 : 1/n :10 x=0 : 1/n :10 A=(3*x+2).^3 A=(3*x+2).^3 B=(5*x.^3)+4 B=(5*x.^3)+4 C=sin(A) C=sin(A) D=cos(B) D=cos(B) figure(1) figure(1) plot(x,C,'b-') plot(x,C,'b-') hold on hold on title('Grafik Sinus') title('Grafik Sinus') xlabel('X'),ylabel('Fungsi Sinus') xlabel('X'),ylabel('Fungsi Sinus') grid grid figure(2) figure(2) plot(x,D,'r-') plot(x,D,'r-') hold on hold on title('Grafik Cosinus') title('Grafik Cosinus') xlabel('X'),ylabel('Fungsi Sinus') xlabel('X'),ylabel('Fungsi Sinus') grid grid hold off hold off

Grafik Soal No.3(Figure 1) Grafik Soal No.3(Figure 1)

(33)

Grafik Soal No.3(Figure 2) Grafik Soal No.3(Figure 2)

5.

5. TeTentntukukan an trtranansfsforormamasi si fufungngsi si lalaplplacace be bererikikutut:!:! aa.. ssyymms s tt F= (t^3 + 3*t^2 + 4*t F= (t^3 + 3*t^2 + 4*t + 3)+ 3) laplace(F) laplace(F) F = F = t^3+3*t^2+4*t+3 t^3+3*t^2+4*t+3 ans = ans = 6/s^4+6/s^3+4/s^2+3/s 6/s^4+6/s^3+4/s^2+3/s b. b. syms tsyms t F= 3*(2*t-3)+(t-3) F= 3*(2*t-3)+(t-3)

(34)

laplace(F) laplace(F) F = F = 7*t-12 7*t-12 ans = ans = 7/s^2-12/s 7/s^2-12/s cc.. ssyymms s tt F= (3*sin(5*t*(pi/180))) F= (3*sin(5*t*(pi/180))) laplace(F) laplace(F) F = F = 3*sin(1/36*t*pi) 3*sin(1/36*t*pi) ans = ans = 1/12*pi/(s^2+1/1296*pi^2) 1/12*pi/(s^2+1/1296*pi^2) d d.. ssyymms s tt F=(5*cos(3*t*(pi/180))) F=(5*cos(3*t*(pi/180))) laplace(F) laplace(F) F = F = 5*cos(1/60*t*pi) 5*cos(1/60*t*pi) ans = ans = 5*s/(s^2+1/3600*pi^2) 5*s/(s^2+1/3600*pi^2)

Tentukan transformasi Laplace balik dari fungsi-fungsi berikut: Tentukan transformasi Laplace balik dari fungsi-fungsi berikut: 1 1.. FF((ss) ) = = ((((ss22_{+3s +2)/(s}_{+3s +2)/(s}33_+5s_+5s22 _{+10.5s +9))}_{+10.5s +9))} Jawab : Jawab : syms s syms s F=((s^2 +3*s +2)/(s^3 +5*s^2 +10.5*s +9)) F=((s^2 +3*s +2)/(s^3 +5*s^2 +10.5*s +9)) ilaplace(F) ilaplace(F) F = F = (s^2+3*s+2)/(s^3+5*s^2+21/2*s+9) (s^2+3*s+2)/(s^3+5*s^2+21/2*s+9)

(35)

ans = ans = exp(-3/2*t)*cos(3/2*t)-1/3*exp(-3/2*t)*sin(3/2*t) exp(-3/2*t)*cos(3/2*t)-1/3*exp(-3/2*t)*sin(3/2*t) 2 2.. FF((ss) ) = = ((((ss++11))//((ss33_+6s_+6s22_+11s+6))_+11s+6)) Jawab : Jawab : syms s syms s F=((s+1)/(s^3+6*s^2+11*s+6)) F=((s+1)/(s^3+6*s^2+11*s+6)) ilaplace(F) ilaplace(F) F = F = (s+1)/(s^3+6*s^2+11*s+6) (s+1)/(s^3+6*s^2+11*s+6) ans = ans = -exp(-3*t)+exp(-2*t) -exp(-3*t)+exp(-2*t) 3 3.. FF((ss) ) = = ((((44ss++55))//((ss22_+5s+18.5))_+5s+18.5)) Jawab : Jawab : syms s syms s F=((4*s+5)/(s^2+5*s+18.5)) F=((4*s+5)/(s^2+5*s+18.5)) ilaplace(F) ilaplace(F) F = F = (4*s+5)/(s^2+5*s+37/2) (4*s+5)/(s^2+5*s+37/2) ans = ans = 4*exp(-5/2*t)*cos(7/2*t)-10/7*exp(-5/2*t)*sin(7/2*t) 4*exp(-5/2*t)*cos(7/2*t)-10/7*exp(-5/2*t)*sin(7/2*t) 4 4.. FF((ss) ) = (= (((ss22_-16)/(s_-16)/(s33_+8s_+8s22_+24s+32))_+24s+32)) Jawab : Jawab : syms s syms s F==((s^2-16)/(s^3+8*s^2+24*s+32)) F==((s^2-16)/(s^3+8*s^2+24*s+32)) ilaplace(F) ilaplace(F) ans = ans = 0 0 ans = ans =

(36)

4*exp(-5/2*t)*cos(7/2*t)-10/7*exp(-5/2*t)*sin(7/2*t) 4*exp(-5/2*t)*cos(7/2*t)-10/7*exp(-5/2*t)*sin(7/2*t) 6.

6. Buatlah gambar M-Buatlah gambar M-file dan file dan simulink grafisimulink grafik keluaran sik keluaran sinyal dari nyal dari TF persamaanTF persamaan berikut : berikut : G(s) = s+2/2s G(s) = s+2/2s22_+3s_+3s G(s) = 2s+1/5s G(s) = 2s+1/5s22_+2s+1_+2s+1 Jawab : Jawab : V. ANALISA V. ANALISA

Pada praktikum kali ini, sebelum melakukan percobaan kami diperkenalkan Pada praktikum kali ini, sebelum melakukan percobaan kami diperkenalkan dengan yang namanya Matlab, daerah lingkungan kerjanya, karakter-karakter spesial dengan yang namanya Matlab, daerah lingkungan kerjanya, karakter-karakter spesial matlab yang juga perlu kita ketahui serta cara-cara meimplentasikan fungsi, vektor, matlab yang juga perlu kita ketahui serta cara-cara meimplentasikan fungsi, vektor, matriks maupun grafik ke dalam matlab. Matlab adalah bahasa pemograman yang matriks maupun grafik ke dalam matlab. Matlab adalah bahasa pemograman yang berbeda

(37)

lain-lain-lain, matlab lain, matlab memilmemiliki iki kelebikelebihan han sendirsendiri i yaitu dapat yaitu dapat menyelmenyelesaikaesaikan n persoapersoalanlan kom

komputputasi asi tekteknisnis, , visvisualualisaisasi si dan dan pemrogpemrogramraman an sepseperterti i komkomputputasi asi matmatemaematiktik,, analisis data, pengembangan algoritma, simulasi dan pemodelan dan grafik-grafik analisis data, pengembangan algoritma, simulasi dan pemodelan dan grafik-grafik perhitungan.

perhitungan.

Matlab memiliki aturan/kaidah sendiri dalam penulisan perintah programnya Matlab memiliki aturan/kaidah sendiri dalam penulisan perintah programnya mis

misalnalnya ya kitkita a ingingin in memmembuat buat perpersamsamaan aan matmatrikriks s makmaka a kitkita a harharus us menmengawgawalialinyanya dengan tanda [ dan diakhiri tanda ] serta tanda ; sebagai pemisah baris satu dan baris dengan tanda [ dan diakhiri tanda ] serta tanda ; sebagai pemisah baris satu dan baris selanjutnya. Dan untuk mengetahui invers atau determinan dari matriks tersebut kita selanjutnya. Dan untuk mengetahui invers atau determinan dari matriks tersebut kita ttininggggal al beberriikakan n peperriintntah ah iinv nv atatau au dedett. . BuBukakan n hahanynya a mamattririksks, , bibissa a jjugugaa turunan,integral,laplace, laplace balik dan lain-lain.

turunan,integral,laplace, laplace balik dan lain-lain. Sel

Selain ain dapadapat t menmenyelyelesaesaikaikan n perperhithitungaungan n matmatematematik,ik,MatMatLab Lab jugjuga a dapdapatat menyajikan data input dalam tampilan Grafik. Grafik yang disajikan dapat berupa 3D menyajikan data input dalam tampilan Grafik. Grafik yang disajikan dapat berupa 3D atau 2D berupa pl

atau 2D berupa plot, stem, bar atot, stem, bar atau stair. au stair. TergaTergantung bagaintung bagaimana input yang kimana input yang kitata berikan.

berikan. Bahkan Bahkan matlab matlab juga juga dapat dapat bermanfaat bermanfaat untuk untuk pengoperasian pengoperasian fungsi fungsi laplacelaplace da

dan n memembmbuauat t didiagagraram m blblokok. . PIPID D cocontntrorollller er yayang ng memerurupapakakan n sasalalah h sasatu tu jejeniniss pengaturan

pengaturan yang yang dilakukan dilakukan dapat dapat disimulasikan disimulasikan dengan dengan metode metode Simulink Simulink padapada matlab.Setelah melakukan banyak percobaan diatas saya baru mengerti bahwa dalam matlab.Setelah melakukan banyak percobaan diatas saya baru mengerti bahwa dalam penulisan

penulisan perintah perintah program program pada pada matlab matlab diperlukan diperlukan ketelitian ketelitian yang yang sangat sangat tinggitinggi karena salah sedikit saja maka pesan error akan ditampilkan , tapi disini matlab karena salah sedikit saja maka pesan error akan ditampilkan , tapi disini matlab lagi-lagi memliki kelebihan ketika mengalami kesalahan atau error maka matlab akan lagi memliki kelebihan ketika mengalami kesalahan atau error maka matlab akan memberitahu kita baris mana yang mengalami kesalahan penulisan program tersebut, memberitahu kita baris mana yang mengalami kesalahan penulisan program tersebut, sehingga kita tidak susah lagi untuk mencari kesalahan dimana yang terjadi.

sehingga kita tidak susah lagi untuk mencari kesalahan dimana yang terjadi.

VI. KESIMPULAN VI. KESIMPULAN

1.

1. SoSoftftwaware re MAMATLTLAB AB mamampmpu u memenynyelelesesaiaikakan n pepersrsoaoalalan n kokompmpututasasi i teteknknisis,, visual

visualisasi dan isasi dan pemrogpemrograman seperraman seperti komputati komputasi matematsi matematik, analisiik, analisis data,s data, pengembangan

pengembangan algoritma, algoritma, simulasi simulasi dan dan pemodelan pemodelan dan dan grafik-grafik grafik-grafik perhitungan.

(38)

2.

2. MatMatLab memilLab memiliki sensiki sensititiviivitas yang tinggtas yang tinggi i daldalam am menmengeksgeksekuekusi input yangsi input yang dimasukan.

dimasukan. 3.

3. MATMATLAB mamLAB mampu mensipu mensimulmulasiasikan suatkan suatu data masuku data masukan dengaan dengan tampin tampilan 2lan 2 dimensi dan 3 dimensi.

dimensi dan 3 dimensi. 4.

4. FaFasisililitatas s SiSimumulilink nk WiWindndowows s papada da MAMATLTLAB AB sasangngat at memembmbanantu tu dadalalamm simulasi kontrol (PID Controller).

simulasi kontrol (PID Controller). 5.

5. SofSoftwatware re MATMATLABLAB, , MatMatrix Laborrix Laboratoatory, dikemry, dikembanbangkan berdagkan berdasarsarkan metodekan metode matrik (penggunaan baris dan kolom).

(39)

DAFTAR PUSTAKA DAFTAR PUSTAKA

Korps Asisten Dasar Sistem Kendali. 2009. Modul Praktikum Dasar Sistem Kendali. Korps Asisten Dasar Sistem Kendali. 2009. Modul Praktikum Dasar Sistem Kendali.

Inderalaya : Universitas Sriwijaya Inderalaya : Universitas Sriwijaya http://

http:// www.google.co.id/pengoprasian programwww.google.co.id/pengoprasian program matlabmatlab. Diakses tanggal 28 mei. Diakses tanggal 28 mei 2009.

2009.

http://www.members.ivcos.co.uk/roadevil/article.php?sid=2beton .

http://www.members.ivcos.co.uk/roadevil/article.php?sid=2beton .Diakses tanggal 28Diakses tanggal 28 mei 2009.

mei 2009. Http://www.

Http://www.rtcuifm@yexa.eng-ui.ac.id rtcuifm@yexa.eng-ui.ac.id ). ). Diakses tanggal 28 mei 2009.Diakses tanggal 28 mei 2009. http://www.blogspot.com/elektronika.