PEMBAHASAN. dengan: r : premi risiko atas sekuritas

dengan: ( )i f

E r −r : premi risiko atas sekuritas individual.

( )m f

E r −r : premi risiko atas portofolio pasar.

i

β : risiko sistematis. [Bodie, Kane, dan Marcus, 2002]

Arbitrage Pricing Theory (APT)

Arbitrage Pricing Theory (APT) memprediksi Garis Pasar Sekuritas (SML) yang mengaitkan imbal hasil yang diharapkan dengan risiko. APT yang dikemukakan oleh Ross (1976) didasarkan pada tiga proposisi, yaitu:

(i) imbal hasil sekuritas dapat dijelaskan dengan sebuah model faktor;

(ii) terdapat cukup banyak sekuritas untuk menghilangkan risiko istimewa (idiosyncratic) dengan diversifikasi;

(iii)pasar sekuritas yang berfungsi dengan baik tidak memungkinkan terjadinya peluang arbitrase secara terus-menerus. APT akan berlaku ketika hasil sekuritas menyebar asimetris.

Model rumus APT adalah sebagai berikut:

( )

i i i i

r=E r +βF+e dengan:

i

r : imbal hasil dari aset berisiko.

( )

i

E r : imbal hasil yang diharapkan dari aset berisiko.

i

β : risiko sistematis. F : faktor makroekonomi.

i

e : risiko istimewa perusahaan. [Bodie, Kane, dan Marcus, 2002]

PEMBAHASAN

Sebaran Imbal Hasil Aset

Menurut Bodie, Kane, dan Marcus, 2002, penilaian saham didasarkan pada ekspektasi arus kas masa depan, sedangkan harga keseimbangan terjadi pada ekspektasi imbal hasil yang wajar sehingga dapat meminimumkan risiko. Ragam imbal hasil dari ekspektasi muncul dari kesalahan perkiraan berkaitan dengan faktor-faktor ekonomi yang mempengaruhi arus kas. Dampak dari kesalahan perkiraan membuat imbal hasil akan mendekati sebaran normal.

Imbal hasil yang menyebar normal mempunyai dua ciri penting. Pertama, sebaran normal adalah simetris yang digambarkan oleh dua parameter, rataan dan ragam. Ciri ini berakibat bahwa risiko dari imbal hasil investasi yang terdistribusi secara normal digambarkan secara penuh oleh ragamnya. Kedua, rata-rata tertimbang dari variabel-variabel yang terdistribusi normal juga akan terdistribusi secara normal. Oleh karena itu, jika imbal hasil saham individu menyebar normal maka imbal hasil dari portofolio apapun akan menyebar normal juga dan ragam akan menunjukkan risikonya. Karena alasan ini, asumsi normalitas dianjurkan.

Pada sebaran normal, nilai ekstrim sering muncul terutama untuk nilai ekstrim negatif yang ada terlalu besar. Untuk menggambarkan nilai ekstrim negatif ini dilakukan dengan cara menghitung sebaran asimetris, yaitu dengan

menghitung rataan ragam pangkat tiga yang biasa disebut momen ketiga dari sebaran. Dalam statistik, nilai momen disebut kecondongan (skewness), dan kecondongan itu merupakan ukuran asimetris.

Komponen ragam spherical mencakup kedua ciri penting dari imbal hasil yang menyebar normal. Selain itu, komponen sebaran spherical dapat digunakan untuk mengkonstruksi model asimetris dari hasil sekuritas. Dalam model ini, pemilihan rataan ragam portofolio biasanya tidak optimal untuk investor penolak risiko (risk-averse), sehingga CAPM Sharpe-Lintner tidak berlaku. Karena APT menggunakan asumsi sebaran asimetris maka APT berlaku dalam model pemilihan rataan ragam portofolio tersebut.

Perhatikan model dari imbal hasil sekuritas berikut ini:

, 1, 2,...,

i i i i

z% =µ +b y%+ε% i= N (1) dengan z%i adalah imbal hasil sekuritas i, µi nilai harapan dari imbal hasil sekuritas i, bi sensitivitas sekuritas i terhadap faktor makroekonomi, y% komponen makroekonomi, dan ε%i adalah pengaruh dari peristiwa spesifik perusahaan yang tidak diantisipasi. y%

merupakan vektor acak dari ε%=

(

ε%1,...,ε%N

)

yang mengikuti sebaran spherical gabungan

dengan matriks karakteristik W,

(

)

|ξ Sp 0,

ε −% W . Selain itu, y% juga merupakan peubah acak dengan sebaran nonspherical. Jika ε%i tidak berkorelasi, maka Persamaan (1) disebut model faktor tunggal (single-factor model).

Menurut Simaan dengan mengutip Ross (1978), Persamaan (1) merupakan hasil dari tiga dana yang dipisahkan jika dan hanya jika terdapat peubah acak u%, vektor acak δ%, vektor c, dan dua dana X1 dan X2

sedemikian sehingga ε%j=c uj%+δ%j, dengan (i) E

( )

δ =%j 0 untuk j=1,...,n;

(ii) E⎣⎡δ%j|t y2%+t u2%⎤⎦=0 untuk semua skalar 1

t dan t2;

(iii) δ%X1≡δ%X2≡0 untuk e'X1=e'X2=1

dengan e=

(

1,...,1 '

)

.

Persamaan (1) memungkinkan sekuritas individual menunjukkan kecondongan dan tidak berlakunya pemisahan dua dana, yaitu nilai harapan dan risiko spesifik dari perusahaan. Dua teorema berikut mengeksploitasi beberapa sifat sebaran dari vektor acak Z yang memuat µ, V, dan b.

Teorema 1.

Fungsi karakteristik dari vektor acak Z yang memenuhi Persamaan (1) diberikan oleh

( )

=exp

(

) ( ) ( )

ε y

Z

Φ t it'µ Φ_% t Φ_% t'b (2) dengan Φε%

( )

t dan Φ δy%

( )

merupakan fungsi

karakteristik dari vektor spherical ε% dan gangguan nonspherical y%.

Bukti.

Karena Z|y Sp

(

µ +by%,W

)

dan berdasarkan definisi sebaran spherical, maka:

( )

{

(

)

}

(

)

|y =exp i y g

Z

Φ _% t t' µ + b% t'Wt .

Fungsi karakteristik dari

(

z%1,...,z%n,y%

)

adalah

( )

{

}

,y δ =Eexp i +i yδ Z Φ _% t, t'Z %

{

}

(

exp |

)

E E⎡ i i yδ y ⎤ = _⎣ t'Z+ % % _⎦

{

}

| exp y E i i y f dtδ ∞ −∞ ⎡ ⎤ = _⎢ + _⎥ ⎣

∫

t'Z % t% ⎦

{ }

{ }

| exp exp y E i yδ i f dt ∞ −∞ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ %

∫

t'Z t% ⎦

{ }

exp E i yδ = ⎡_⎣ % ΦZ⎤_⎦

{ }

{

(

)

}

(

)

exp exp E⎡ i yδ i y g ⎤ = _⎣ % t' µ b+ % t'Wt _⎦

{ } {

} (

)

exp exp E i yδ i i y g = ⎡_⎣ % t'µ+ t'b% t'Wt ⎤_⎦

{ } { } {

} (

)

exp exp exp

E i yδ i i y g = ⎡_⎣ % t'µ t'b% t'Wt ⎤_⎦

{

} (

)

exp i yδ i i y g f dyy ∞ −∞ =

_∫

%+ t'µ+ t'b% t'Wt _%

{ } (

)

{

}

exp i g exp i yδ i y f dyy ∞ −∞ = t'µ t'Wt

_∫

%+ t'b% _%

{ } (

)

{

(

)

}

exp i g exp i δ y f dyy ∞ −∞ = t'µ t'Wt

_∫

+t'b % _%

{ } (

) (

)

exp i g y δ = t'µ t'Wt Φ_% +t'b

{ }

_{{ } (}

( )

)

exp exp y i i ε _δ = t'µ Φ t Φ +t'b t∆ % %

{ }

_{

( )

_{( )}

_}

( )

exp exp 0 y i i ε = t'µ Φ t Φ t t % %

{ } ( ) ( )

exp i ε y = t'µ Φ_% t Φ_% t Jadi,

( )

( )

( )

{ } ( ) (

)

{ } ( ) ( )

, , , , 0 exp 0 exp y y y y i i ε ε δ = = = + = Z Z Z Φ t Φ t Φ t t'µ Φ t Φ t'b t'µ Φ t Φ t'b % % % % % % ƒ terbukti Teorema 2.

Jika E y

( )

% =0 dan Var

( )

ε% berhingga, maka tiga momen yang pertama berturut-turut diberikan sebagai berikut:

( )

E Z =µ (3)

( )

_' 2

y

Var Z =kW+bbσ_% =V (4) dengan k suatu konstanta positif

(

)(

)(

)

( )

3 jkl j j k k l l j k l S E z z z b b b E y µ µ µ = − − − = % % % % (5) Bukti.

Gunakan E

( )

Z =µ pada Persamaan (1). Momen kedua dan ketiga akan diperoleh menggunakan fungsi karakteristik dari Z yang diberikan sebagai berikut:

( )

( )

{ } ( ) ( )

(

)

log log exp i ε y = = Z Z ψ t Φ t t'µ Φ_% t Φ_% t'b

( )

( )

( )

( )

log log y y i i ε ε = + + = + + t'µ Φ t Φ t'b t'µ ψ t ψ t'b % % % %

( )

( )

( )

0 r r r t d V Var i dt − − = = _Z = ψZ t

( )

( )( )

2 2 0 ' Z t d i dt dt − = = ψ t

( )

( )( )

2 2 0 1 ' Z t d dt dt i ₌ = ψ t

( )

( )( )

( )

2 2 0 1 ' 1 t d dt dt ₌ = − Z ψ t

( )

( )( )

2 0 ' t d dt dt ₌ = − ψZ t

( )

( )( )

(

( )

)

2 " 0 0 ' y t t d dt dt = = = − ψZ t +_bb' −_{ψ t'b} %

( )

( )( )

(

( )

)

2 " 0 0 '_t y d dt dt ₌ = − ψZ t + − bb' ψ_%

( )

( )

0 r r jkl r t d S i dt − − = = ψZ t

( )

3 3 0 j k _{l t} d i dt dt dt − = = ψZ t

( )

_{( )}

3 3 3 ''' ₀ 0 j k l y _t j k _{l t} d i i b b b dt dt dt ε − − = = = ψ% t + ψ t'b %

( )

_{( )}

3 3 3 ''' 0 0 j k l y j k _{l t} d i i b b b dt dt dt ε − − = = ψ% t + ψ %

( )

3 j k l b b b E y = % ƒ terbukti

Pendugaan Parameter Sebaran

Berdasarkan dua teorema di atas, sebaran bersama Z bergantung pada vektor rataan µ, vektor nonspherical b, dan matriks karakteristikWdisamping kebergantungannya pada k dan parameter sebaran y%, namun pemisahan dana dan himpunan efisien hanya bergantung pada µ, V dan b. Vektor rataan dan matriks koragam memberikan penduga momen bagi µ dan V. Kecondongan Z bergantung pada b dan proporsional terhadap kecondongan y%. Simaan (1986) mengusulkan menggunakan momen ketiga marjinal dari Z

untuk memberikan penduga bi pada kondisi 3 E y⎡ ⎤_{⎣ ⎦}berikut:

(

)

( )

1/ 3 3 1 1 1/ 3 3 1 T t t t i Z Z T b E y = ⎡ ₋ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ =

∑

% % .

Tujuan menduga himpunan efisien adalah menentukan sebaran dari y% untuk memperoleh kecondongan tetap (seperti sebaran eksponensial). Karena pengurutan dari portofolio efisien tidak bergantung pada sebaran y%, pemilihan portofolio dapat sebarang. Pendekatan alternatif untuk menentukan sebaran y% bergantung pada bentuk parameter yang menentukan kecondongan dan momen keempat dari y%

(seperti sebaran gamma) dan menggunakan momen keempat dari Z untuk menghasilkan penduga momen y% dan penduga momen

3 E y⎡ ⎤_{⎣ ⎦}% .

Sebaran dari gangguan spherical dan sebaran y% memungkinkan penurunan penduga kemungkinan maksimum (Maksimum Likelihood Estimator) untuk semua atau beberapa parameter. Simaan (1990) menggunakan campuran metode momen dan metode penduga kemungkinan maksimum untuk menduga parameter y% dan parameter lainnya (µ, b, dan W). Metode momen digunakan untuk menentukan penduga µ, b, dan Wsebagai fungsi dari parameter y%, kemudian parameter dipilih untuk memaksimumkan fungsi kemungkinan tersebut.

Pemilihan Portofolio

Dalam melakukan investasi tersedia banyak pilihan jenis sekuritas bagi investor. Semua jenis sekuritas menjanjikan imbal hasil bagi pemiliknya terutama sekuritas berisiko. Semakin tinggi risiko suatu sekuritas biasanya makin tinggi imbal hasil yang dijanjikan perusahaan sekuritas. Bagi investor hal ini cukup membingungkan, karena investor harus memilih sekuritas yang menguntungkan dari sekuritas yang tersedia. Dua parameter yang penting dalam membuat keputusan adalah imbal hasil dan risiko. Masalah yang dihadapi investor ini dipecahkan oleh Harry Markowitz dalam Journal of Finance pada tahun 1952 yang berjudul Portfolio Selection. Markowitz memperkenalkan suatu pendekatan modern untuk menyeleksi portofolio dengan melihat tingkat imbal hasil dan risiko suatu sekuritas

didasarkan pada analisis fundamental. Jadi dengan adanya pemilihan portofolio Markowitz, investor dapat mengabaikan informasi tentang perusahaan sekuritas, kebijakannya, dan pangsa pasar portofolio, dan hanya melihat pada beberapa perhitungan statistik.

Beberapa formulasi dapat mereduksi masalah pemilihan portofolio ke dalam suatu masalah pemrograman kuadratik yang bergantung pada parameter sebaran penduga dari imbal hasil aset yang diamati. Masalah tersebut dapat dikonversi melalui teorema-teorema berikut ini.

Teorema 3.

Sebaran dari imbal hasil pada sebarang portofolio X, E U⎡_⎣

(

Z'X

)

⎤_⎦, adalah fungsi dari X'µ, X'b, dan X'WX.

Bukti.

Misalkan B=b'X. Berdasarkan Teorema 2, 2

y W σ = +

V bb'. Untuk menurunkan dana yang merentang himpunan efisien, yaitu himpunan portofolio yang memaksimumkan imbal hasil yang diharapkan dan meminimumkan risiko, dapat dibandingkan dengan dana yang merentang himpunan efisien rataan-ragam, cukup dibuktikan bahwa fungsi karakteristik dari X'Z bergantung pada X hanya melalui parameter X'µ, X'b, dan X'WX.

( )

( )

(

)

(

)

(

) ( )

(

)

(

2

)

(

)

exp exp y y i i g ε δ δ δ δ δ δ δ δ = = = Z'X Z Φ Φ X X'µ Φ X'b Φ X X'µ X'WX Φ X'b % % %

(

, ,

)

h = X'µ X'b X'WX (6) ƒ terbukti Akibat 3.1.

Utilitas yang diharapkan dari sebarang imbal hasil portofolio ditentukan oleh rataan, ragam, dan kecondongannya.

Akibat 3.1 ini diperoleh dengan melakukan pengamatan terhadap sebaran dari imbal hasil portofolio. Utilitas yang diharapkan mungkin akan bergantung pada parameter sebaran dari sebaran nonspherical

y%, tetapi itu akan tetap ditentukan oleh X'µ,

X'VX, dan X'b untuk semua X karena kontrol sebaran portofolio dari investor

berakhir dengan mengendalikan X'µ, X'VX, dan X'b.

Teorema 4.

Misalkan X'µ=E dan X'b=B. Utilitas yang diharapkan E U⎡_⎣

(

X'Z

)

⎤_⎦ adalah suatu fungsi tak naik dari komponen ragam spherical.

Bukti teorema dapat dilihat pada Teorema 4 di Hanoch dan Levy (1969)

Akibat 4.1.

Untuk sebarang fungsi utilitas konkaf terdapat pasangan

(

E B,

)

sedemikian sehingga masalah portofolio ekuivalen dengan masalah pemrograman kuadratik berikut:

1 min 2 x X'WX dengan kendala: , , 1 E B = = = X'µ X'b X'e (7) Bukti.

Misalkan U sebarang fungsi utilitas konkaf dan X * merupakan solusi dari masalah portofolio untuk U. Didefinisikan pasangan

(

E B,

)

dengan E=µ'X * dan B=b'X * serta µ merupakan imbal hasil yang diharapkan, b vektor nonspherical, dan e pengaruh spesifik perusahaan. Dari definisi

X * didapatkan

(

)

(

)

E U⎡_⎣ Z'X * ⎤_⎦≥E U⎡_⎣ Z'X ⎤_⎦. Karena E U⎡_⎣

(

X'Z

)

⎤_⎦ monoton tak naik dalam

X'WX untuk suatu X'µ dan X'b sehingga diperoleh bentuk ≤ X *'XW* X'WX untuk

{

| E k, B, 1

}

∈ = = = X X X'µ X'b X'e dengan

kbilangan positif real.

Jadi X * merupakan solusi dari masalah portofolio.

Sehingga X * adalah solusi dari masalah pemrograman kuadratik (7).

Dalam menghadapi masalah pemilihan portofolio di atas, jika dilakukan short sales dalam pembentukan portofolio berisiko maka portofolio berisiko yang hanya terdiri atas sebuah aset menjadi tidak efisien. Tetapi jika short sales tidak dilakukan maka sekuritas tunggal mungkin berada pada frontier, yaitu grafik ragam terendah yang dicapai untuk nilai harapan dari imbal hasil portofolio tertentu.

Himpunan Efisien

Dari begitu banyak sekuritas yang tersedia, investor tidak harus mengevaluasi semuanya, cukup mengevaluasi himpunan bagian dari portofolio yang tersedia pada himpunan efisien. Yang dimaksud himpunan efisien adalah himpunan portofolio-portofolio yang menawarkan maksimum nilai harapan dari imbal hasil untuk tingkat risiko yang berbeda dan menawarkan minimum risiko untuk tingkat nilai harapan dari imbal hasil yang berbeda. Himpunan portofolio seperti ini disebut himpunan efisien atau eficient frontier.

Frontier berarti yang terdepan, dalam hal ini frontier berisi portofolio dengan ragam minimum yang dapat dicapai pada suatu nilai harapan imbal hasil tertentu. Dengan mengolah himpunan data dari nilai harapan imbal hasil, ragam, dan koragam tiap sekuritas berisiko, kita dapat menghitung bobot-bobot sekuritas dalam portofolio yang membuat ragam portofolio menjadi minimum untuk nilai harapan dari imbal hasil yang ditargetkan.

Pembatasan short sales bukan menjadi satu-satunya kendala untuk memberikan suatu karakterisasi himpunan portofolio efisien. Menurut Simaan dengan mengutip Dybvig (1985) dan Markowitz (1959, 1987) menunjukkan bahwa himpunan efisien rataan-ragam terdiri atas segmen-segmen yang parabolik atau segmen-segmen garis horizontal dan kekakuan dalam himpunan efisien. Short sales dilakukan untuk memberikan pemisahan tiga dana yang merentang himpunan efisien sebagai suatu fungsi parameter sebaran bersama. Teorema berikut ini menurunkan himpunan efisien dalam ruang portofolio baik untuk kepentingannya sendiri dan untuk pengembangan analisis pembentukan harga aset modal (CAP) pada bagian selanjutnya.

Teorema 5.

Ketika imbal hasil sekuritas mengikuti sebaran nonspherical sebagaimana diberikan

oleh Persamaan (1), himpunan efisien direntang oleh tiga dana berikut:

= -1 1 -1 V µ a e'V µ', = -1 2 -1 V e a e'V e', dan = -1 3 -1 V b a e'V b'

dengan V=Var

( )

Z . Jika ada suatu aset bebas risiko dengan tingkat imbal hasil RF maka himpunan efisien direntang oleh aset bebas risiko:

(

)

(

)

= -1 F -1 F V µ - R e a e'V µ - R e ' dan a3. Bukti.

(i) Berdasarkan Akibat 4.1 untuk sebarang fungsi utilitas terdapat E dan B sedemikian sehingga portofolio optimal menyelesaikan Persamaan (7). Karena B=X'b dan

2 y σ = −

W V bb' _%, fungsi objektif dalam

Persamaan (7) dapat dituliskan sebagai berikut:

2 - σy

= 2

X'WX X'VX B _%

Penulisan fungsi objektif dalam bentuk kuadratik di V memberikan keuntungan dalam penurunan dana efisien dalam bentuk yang dapat dibandingkan terhadap dana efisien rataan-ragam. Lagrangian dan syarat turunan pertamanya adalah

(

)

(

)

(

)

2 1 2 3 1 1 2 2 1 y L E B σ δ δ δ = − + − + − + − 2 X'VX B X'µ X'e X'b %

(

)

2 2

(

)

1 1 1 2 2 σy δ E = X'VX− X'b _%+ −X'µ +δ2

(

1−X'e

)

+δ3

(

B−X'b

)

(

)

2 1 2 3 0 y dL dX=VX− X'b σ%b−δµ−δ e−δb= VX B− σ%y2b−δ1µ−δ2e−δ3b=0 (8)

(

2

)

1 2 3 y 0 δ δ δ σ − − − + = VX µ e B _% b (9) VX=δ1µ+δ2e+

(

δ3+Bσy2%

)

b 1 2 3 δ δ δ = + + -1 -1 -1 -1 V VX V µ V e V b =δ1 +δ2 +δ3 -1 -1 -1 X V µ V e V b

Misalkan 1 1 λ δ = _-1 e'V µ, 2 2 λ δ = _-1 e'V e, dan 3 3 λ δ = _-1

e'V b. Maka solusi dari masalah

X

adalah =λ1 +λ2 +λ3

-1 -1 -1

-1 -1 -1

V µ V e V b

X

e'V µ e'V e e'V b

dan λ λ1+ 2+λ3=1.

Karena W matriks koragam, maka Wdefinit positif. Dengan demikian X adalah titik minimum global dari bentuk kuadratik

X'WX.

(ii) Andaikan terdapat aset tanpa risiko dengan imbal hasil RF. Misalkan x0 menyatakan investasi dalam sekuritas ini. Persamaan (7) berbentuk sebagai berikut:

(

2

)

1 min 2 y x − σ 2 X'VX B _% dengan kendala: 0 0 , , 1 F x R E B x + = = + = X'µ X'b X'e

Lagrangian dan syarat turunan pertamanya adalah

(

)

(

)

(

)

2 1 0 2 0 3 1 1 2 2 1 y F L E x R x B σ δ δ δ = − + − − + − − + − 2 X'VX B X'µ X'e X'b %

(

)

2 1 1 1 0 2 2 2 0 3 3 1 1 2 2 y F E x R x B σ δ δ δ δ δ δ δ δ = − + − − + − − + − 2 X'VX X'b X'µ X'e X'b % 2 1 2 3 0 y dL b dX=VX X'b− σ% −δµ−δe−δb= 2 1 2 3 0 yb σ δ δ δ − − − − = VX B _% µ e b (*) 1 2 0 0 F dL R dx = −δ −δ = (10) δ2= −δ1RF

Substitusikan Persamaan (10) ke (*). Maka akan diperoleh

(

)

2 1 1 3 0 yb RF σ δ δ δ − − − − − = VX B _% µ e b

(

)

(

2

)

1 RF 3 y 0 δ δ σ − − − + = VX µ e _%B b (11)

(

)

(

2

)

1 RF 3 y δ δ σ = − + + VX µ e B _% b VX=δ1

(

µ−RFe

)

+δ3b

(

)

1 RF 3 δ δ = − + -1 -1 -1 V VX V µ e V b = δ1

(

−RF

)

+ δ3 -1 -1 X V µ e V b Misalkan

(

1

)

1 F R λ δ = − -1 e'V µ e dan 2 3 λ δ = _-1

e'V b. Maka akan diperoleh

(

)

(

)

1 2 λ λ = + -1 -1 F -1 -1 F V µ - R e V b X

e'V µ - R e e'V b dan

0 1 1 2 x = − −λ λ .

ƒ terbukti Himpunan efisien rataan-ragam terletak pada suatu garis lurus dalam ruang portofolio, sedangkan himpunan efisien dalam masalah ini terletak pada suatu bidang dalam ruang portofolio. Sebagai catatan a2 adalah

portofolio dengan ragam minimum global dan imbal hasil pada a3 memberikan imbal hasil

korelasi maksimum dengan faktor kecondongan y%. Hal ini juga merupakan portofolio yang dapat memaksimumkan dan meminimumkan kecondongan X'b untuk suatu ragam X'VX yang diberikan.

Pembentukan Harga Aset Modal (CAP)

Model dari pembentukan harga aset modal yang biasa disebut CAPM ini merupakan suatu alat untuk memprediksi keseimbangan imbal hasil yang diharapkan dari suatu aset berisiko. CAPM memprediksi nilai harapan imbal hasil berdasarkan asumsi bahwa seluruh investor menggunakan daftar input yang sama kemudian dimasukkan ke dalam model Markowitz. Ketika seluruh investor dapat meminjam dan memberi pinjaman dana pada tingkat bebas risiko, maka seluruh investor akan mempunyai titik portofolio yang optimal. Ketika pinjaman dibatasi, maka suku bunga pinjaman lebih tinggi daripada suku bunga pemberian pinjaman sehingga portofolio pasar tidak lagi merupakan portofolio optimal dan efisien bagi seluruh investor. Jika portofolio pasar tidak lagi efisien secara rataan-ragam, maka hubungan antara imbal hasil dan beta dari CAPM tidak lagi membentuk keseimbangan pasar. Oleh karena itu, diperlukan pengembangan model CAPM tiga momen yang melibatkan

kecondongan dari suatu aset berisiko dalam pasar persaingan sempurna.

Berikut ini akan diberikan asumsi-asumsi yang berkenaan dengan perusahaan, investor dan pasar modal.

(i) Perusahaan: Ada N Perusahaan

(

i=1, 2,...,N

)

. Perusahaan i menawarkan sejumlah nisaham.

(ii) Investor: Ada sebanyak M investor. Semua investor percaya bahwa sebaran bersama dari imbal hasil (unit-unit tambahan rate of returns) pada persediaan N menyebar nonspherical sebagaimana disebutkan dalam Persamaan (1). Setiap investor diasumsikan untuk mengalokasikan kekayaan awal untuk memaksimumkan nilai harapan dari kekayaan utilitas. (iii)Pasar: Yang termasuk pasar disini adalah

pasar aset sempurna tanpa pajak, biaya transaksi, atau pembatasan pada short sales. Diasumsikan ada keseimbangan pasar modal tetap yang pareto-optimal. Menurut Persamaan (9), permintaan investor ke-k untuk aset risiko memenuhi

1 2 3 1 0 N k k k k ij j i i j v x λ µ λ λ b = − − − =

∑

(12) untuk i=1,...,N dan k=1,...,M dengan xik adalah banyaknya uang yang diinvestasikan oleh investor k pada perusahaan i. Untuk semua aset pasar, permintaan keseluruhan oleh semua investor untuk saham dari perusahaan i,

1 M k i k x =

∑

, harus sama dengan nilai total dari perusahaan

i i i n p =Π , yaitu 1 M k i i k x = =

∑

Π untuk i=1,...,N. (13) Dari Persamaan (12) dan Persamaan (13) diperoleh 1 2 3 1 1 1 1 0 N M M M k k k ij j i i j k k k v λ µ λ λ b = = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −_{⎜ ⎟} −_{⎜ ⎟ ⎜}− _⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

Π

∑

∑

∑

untuk i=1,...,N. (14) Persamaan (14) dapat diselesaikan untuk menentukan nilai perusahaan

(

Π1,...,ΠN

)

'=Π. Sebagai catatan bahwa

(

)

' ' 1 1 ,..., ,..., ' ' ' N m xm xNm e e ⎛ ⎞ =_{⎜ ⎟} = ⎝ ⎠ Π Π X Π Π

adalah portofolio pasar. Portofolio tersebut dan himpunan ragam minimumnya menggunakan Persamaan (9).

Tradeoff Hasil Aset

Misalkan 1 / ' M k j j k e λ λ = =

∑

Π untuk 1, 2, 3 j= dan

(

)

1 cov , N ij jm i m im j v x z σ = = =

∑

% Z'X .

Persamaan (14) dapat ditulis dalam bentuk berikut:

1 2 3 0

im i bi

σ −λ µ λ λ− − = untuk i=1,...,N (15) Jika Persamaan (15) dikalikan dengan xim, untuk seluruh i dan misalkan Em =µ'Xm dan

m m B =b'X , maka diperoleh 2 1 2 3 0 m Em Bm σ −λ −λ λ− = (16.1) Misalkan 2 / i im m β =σ σ dan γ =i b Bi/ m untuk 0 m

B ≠ . Ada dua dana X0 dan Xp yang memenuhi syarat berikut: (i) β =0 0 dan

0 0

γ = , (ii) β =p 0 dan γ =p 1. Misalkan 0=E0

µ'X dan µ'Xp =Ep. γ =p 1 berakibat p= m

b'X b'X . Jika Persamaan (15) dikalikan dengan xi0 dan lainnya dengan xip, untuk semua i dan memenuhi sifat portofolio X0 dan Xp, maka diperoleh

1E0 2 0 λ λ − − = (16.2) 1Ep 2 3Bm 0 λ λ λ − − − = (16.3)

Jika Persamaan (16.1) diselesaikan melalui (16.3) untuk

(

λ λ λ1, 2, 3

)

dan substitusikan nilai tersebut ke dalam Persamaan (15) maka akan didapatkan persamaan harga berikut:

0 0

i E i Em Ep i Ep E

µ = +β ⎡_⎣ − ⎤_⎦+γ ⎡_⎣ − ⎤_⎦ (17) Berdasarkan definisi, Ep adalah imbal hasil yang diharapkan pada suatu portofolio dengan sensitivitas nol untuk ragam pasar dan sensitivitas satu untuk kecondongan pasar.

Dengan demikian,

(

Em−Ep

)

mencerminkan premi yang ditempatkan pada risiko ragam pada portofolio pasar. Di sisi lain, E0 adalah imbal hasil yang diharapkan pada portofolio dengan sensitivitas nol untuk ragam maupun kecondongan portofolio pasar. Maka

(

Ep−E0

)

adalah premi diskon yang

ditempatkan pada kecondongan pasar. Diberikan harga pasar pada ragam dan kecondongan portofolio pasar. Imbal hasil yang diharapkan pada suatu aset bergantung pada E0 dan sensitivitas aset untuk ragam maupun kecondongan portofolio pasar. Jika ada imbal hasil aset tak berisiko, RF, menggantikan E0 dalam Persamaan Pembentukan Harga (17) maka akan menjadi persamaan berikut:

(

) (

)

(

)

i RF i Em RF i i Ep RF

µ − =β − + β γ− − .

(18) Persamaan (18) berubah menjadi CAPM Sharp-Lintner jika (i) Ep−RF =0 atau (ii)

0 i i

β γ− = , ∀i. Syarat pertama dipenuhi jika investor pasar netral terhadap kecondongan dan tidak menempatkan premi ataupun diskon pada kecondongan portofolionya. Syarat kedua berlaku ketika setiap sekuritas mempunyai sensitivitas yang sama terhadap ragam dan kecondongan pada portofolio pasar.

Tanda Premi Kecondongan

Harga pasar nonspherical yang positif atau negatif menjadi suatu pertanyaan empiris dan tidak dapat ditentukan sebelumnya. Parameter nonspherical dapat menentukan momen ganjil maupun momen genap. Oleh karena itu, kontribusi dari kecondongan pada utilitas yang diharapkan menyisakan kontribusi momen yang lebih tinggi pada utilitas yang diharapkan. Simaan mengutip Kraus dan Litzenberger (1976) berpendapat bahwa investor penolak risiko lebih memilih kecondongan. Hal ini membatasi pilihan investor terhadap toleransi risiko linear. Jika mengabaikan momen yang lebih tinggi untuk investor penolak risiko maka sensitivitas potensial dari momen yang lebih tinggi untuk kecondongan dan kebergantungan utilitas yang diharapkan pada momen yang lebih tinggi itu menyisakan pemilihan investor penolak risiko untuk kecondongan. Hal ini dapat ditunjukkan dalam contoh berikut.

Contoh.

Perhatikan fungsi utilitas kekayaan berikut:

( )

(

)

4

U w = − A w− − untuk 0< <w A. Catatan bahwa untuk 0< <w A, U'>0,

'' 0

U < , U(3)>0, U(4)<0, dan U( )n =0 untuk n>4. Asumsikan bahwa faktor kecondongan y% mengikuti sebaran eksponensial yang digantikan dengan rataan nol dan ragam satu. Untuk sebaran ini,

3 2 E y⎡ ⎤ =_{⎣ ⎦} dan 4 9 E y⎡ ⎤ =_{⎣ ⎦} . Andaikan

(

0,

)

N

ε W dan misalkan kekayaan saat ini adalah satu. Misalkan X portofolio dengan imbal hasil berikut:

(

)

p

r y ε E By ε

= = + + = + +

X'Z% _% X'µ X'b _% X'_{% % %} .

Keempat momen pertama dari r% adalah

( )

( )

( )

(

)

1 2 2 3 3 3 3 4 4 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 4 4 , , 2 , 6 9 6 3 6 3 p p p p p p M E M M B E y B M B E y B Ey E E B B B B B σ ε ε σ σ σ = = = = = + + ⎡ ⎤ = + − + _⎣ − _⎦ = + % % % %

Persamaan yang terakhir menggunakan normalitas dari ε%p untuk menentukan

( )

4 p E ε%

sebagai 3

(

Var

( )

ε%p

)

2 dan fakta bahwa

( )

( )

2 2

p y

Var r% =Var ε% +σ B . M4 ditentukan oleh ragam dan kecondongan dari imbal hasil portofolio. Dengan perluasan Taylor pada U di sekitar rataan, diperoleh

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

2 (3) (4) 3 4 4 2 2 4 3 4 1 " 2 1 1 6 24 6 3 8 6 p p p E U w U E U E U E M U E M A E A E A E B B σ σ σ = + + + = − − − − − + − −

Utilitas yang diharapkan dalam contoh ini meningkat dalam kecondongan untuk

B< −A E tetapi kecondongan menurun untuk B> −A E. Kebergantungan dari momen keempat pada kecondongan dan perbedaan sifat investor terhadap momen ketiga dan keempat, dihasilkan dari sikap ambigu terhadap kecondongan. Selanjutnya kebergantungan dan perbedaan itu tidak dapat menandai premi kecondongan sebelumnya dalam pasar modal.