Gelombang Datar Serbasama
Oleh :
2
Organisasi
Gelombang Datar Serbasama
• A. Pendahuluan
page 3
• B. Penurunan Persamaan Gelombang
page 5
• C. Persamaan Gelombang
page 13
• D. Vektor Poynting dan Peninjauan Daya
page 16
• E. Gelombang Datar Pada Ruang Hampa
page 21
• F. Gelombang Datar Pada Dielektrik Sempurna
page 24
• G. Propagasi Pada Konduktor Yang Baik
page 27
3
A. Pendahuluan
Gelombang
adalah suatu fenomena alamiah yang terjadi dalam dimensi ruang dan waktu. Gelombang dapat diperhatikan sebagai‘gangguan’ yang merambat dengan kecepatan tertentu.
Jika gangguan tersebut merambat ke satu arah, maka disebut sebagai gelombang 1-D.
Contohnya adalah gelombang datar ( plane wave ).
4
Pendahuluan
Gelombang EM yang dipancarkan suatu
sumber , akan merambat ke segala arah.
Jika jarak antara pengirim dan penerima sangat jauh ( d >> ), maka sumber akan
dapat dianggap sebagai sumber titik dan muka gelombang akan berbentuk suatu bidang datar.
Muka gelombang adalah titik-titik yang
memiliki fasa yang sama.
Amplitude medan pada bidang muka
gelombang untuk medium propagasi yang serbasama adalah bernilai sama pula, karena itu disebut sebagai gelombang uniform / serbasama
Hampir berbentuk bidang datar
5
B. Penurunan Persamaan Gelombang
Persamaan gelombang
dapat diturunkan dari persamaan Maxwell, dengan parameter yang berpengaruh terhadap persamaan gelombang adalah karakteristik medium perambatan.Pada penurunan persamaan gelombang, terlebih dahulu kita menurunkan persamaan gelombang untuk kasus yang paling umum, yaitu untuk medium perambatan berupa
dielektrik merugi. Selanjutnya pada medium perambatan yang lain , yaitu : udara
vakum, dieletrik tak merugi dan konduktor dipandang sebagai kasus khusus dengan memasukkan nilai-nilai karakteristik medium yang bersangkutan
Pada Dielektrik Merugi…
1
1
0
0
r r V
Sehingga persamaan Maxwell (bentuk fasor) yang berlaku untuk dielektrik merugi :s s
j
H
E
s sj
E
H
0
E
s
0
H
s
Perubahan E dan H sinusoidal ,
dengan pertimbangan bahwa perubahan periodik lain spt segitiga, persegi dsb dapat didekati dengan pendekatan Fourier
6
Penurunan Persamaan Gelombang
s s
j
H
E
H
s
j
E
s
E
s
0
H
s
0
Keempat persamaan di atas kemudian menjadi dasar bagi penurunan fungsi waktu real yang menjelaskan perambatan gelombang datar dalam medium dielektrik merugi.
s 2 s sE
E
E
0 EsDari identitas vektor
s 2 s
E
E
S sj
H
E
s s j E H
s sj
j
E
E
Dari pers. Maxwell I
Didapatkan Persamaan Diferensial Vektor Gelombang Helmholtz, sbb : s
s 2E
j
j
E
7
Penurunan Persamaan Gelombang
s s 2E
j
j
E
2 s s 2E
E
Dimana , Atau dapat dituliskan sbb : 2 = j ( + j) disebut sebagai Konstanta propagasiKemudian, dengan uraian bahwa :
z 2 zs 2 2 zs 2 2 zs 2 y 2 ys 2 2 ys 2 2 ys 2 x 2 xs 2 2 xs 2 2 xs 2 s 2 aˆ z E y E x E aˆ z E y E x E aˆ z E y E x E E
Komponen x Komponen y Komponen z
Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial yang rumit, sehingga akan diambil sub kasus pemisalan :
0
0
z ys zs yE
E
E
E
8
Penurunan Persamaan Gelombang
s s 2E
j
j
E
0
0
z ys zs yE
E
E
E
s 2 xs 2 2 xs 2 2 xs 2 s 2E
j
j
z
E
y
E
x
E
E
Masih cukup rumit. Kemudian dengan menganggap bahwa E
tidak berubah terhadap x dan y , didapatkan persamaan diferensial biasa sbb :
xs 2 xs 2E
j
j
z
E
xs 2 2 xs 2E
z
E
atau9
Penurunan Persamaan Gelombang
xs xs E z E 2 2 2
Solusi
persamaan diferensial dapat dituliskan :z
0
x
xs
E
e
E
dimana, 2 = j ( + j) = + j = Konstanta propagasiPersamaan bentuk waktu untuk medan listrik, dapat dituliskan :
x t j z j 0 xe
e
aˆ
E
Re
)
t
(
E
x
z
0
x
e
cos
t
z
aˆ
E
)
t
(
E
Ingat kembali perubahan dari bentuk fasor ke bentuk waktu !!
j
1
j
j
j
j
propagasi
konstanta
10
Penurunan Persamaan Gelombang
s s
j
H
E
ys 0 y xs xs z y xH
j
aˆ
z
E
0
0
E
z
y
x
aˆ
aˆ
aˆ
y xs 0 ysaˆ
z
E
j
1
H
y z 0 xaˆ
z
t
cos
e
E
H
j
1
1
j
j
H
E
intrinsik
impedansi
y x11
Penurunan Persamaan Gelombang
Loss Tangent
Didefinisikan suatu besaran yang menyatakan besar kecilnya kerugian dan akan dipakai untuk mengambil nilai-nilai pendekatan engineering , yaitu Loss tangent
tan
Loss tangent adalah perbandingan antara rapat arus konduksi terhadap rapat arus pergeseranNilai-Nilai Pendekatan
Untuk
0
,
1
j
1
2
12
Penurunan Persamaan Gelombang
E
H
P
Arah perambatan gelombangPerhatikan kembali persamaan-persamaan yang sudah kita dapatkan,
x z 0 xe
cos
t
z
aˆ
E
)
t
(
E
x0 z
yaˆ
z
t
cos
e
E
t
H
Tampak bahwa E dan H saling tegak lurus dan keduanya tegak lurus pula terhadap arah perambatan gelombang. Gelombang seperti ini disebut
sebagai gelombang Transverse Electro Magnetic (TEM).
13
C. Persamaan Gelombang
x
z
xo
e
t
z
a
E
E
cos
ˆ
Persamaan umum gelombang berjalan
Amplituda medan
= konstanta redaman (neper/meter)
= konstanta fasa (radian/meter)
Tanda ( - ) berarti gelombang merambat ke arah
sumbu-z positif.
Jika ( + ) berarti gelombang merambat ke arah
sumbu-z negatif Gelombang bergetar searah sumbu-x
meter
Volt
= + j = Konstanta Propagasi14
Persamaan Gelombang
Soal : Tuliskan persamaan gelombang intensitas medan magnet yang berjalan ke arah
sumbu-x negatif , dan bergetar searah sumbu-z. Diketahui amplitudo gelombang adalah 100 (A/m), konstanta propagasi = 2 + j0,5, dan frekuensi 1 MHz
m
A
aˆ
x
5
,
0
t
10
2
cos
e
100
H
2
x
6
z
Amplitudo = 100 (A/m)Konstanta redaman = 2 (Np/m), merambat ke
sumbu-x negatif Konstanta fasa = 2 (radian/m), merambat ke sumbu-x negatif Frekuensi = 1 MHz = 106 Hertz Bergetar searah sumbu-z Jawab :
15
D. Vektor Poynting dan Peninjauan Daya
Teorema daya
untuk gelombang elektromagnetik mula-mula dikembangkan dari postulat (hipotesa terhadap persamaan Maxwell) oleh John H Poynting tahun 1884.t
D
J
H
Kedua ruas dikalikan dengan E
t D E E J H E Dengan Identitas vektor
t
D
E
E
J
E
H
H
E
Dengan substitusi, t B E H B D E
t
H
H
t
E
E
E
J
H
E
2
H
2
E
t
E
J
H
E
2 2
2 E t t E E 2 2 H t t H H 2 16
Vektor Poynting dan
Peninjauan Daya
2
H
2
E
t
E
J
H
E
2 2
Kedua ruas diintegrasikan terhadap seluruh volume
dV
2
H
2
E
t
dV
E
J
dV
H
E
V 2 2 V V
Dengan Teorema Divergensi , didapatkan :
dV
2
H
2
E
t
dV
E
J
dS
H
E
V 2 2 V S
Ruas kiri : Tanda (-) menunjukkan
penyerapan/disipasi daya total pada volume tersebut. Jika ada sumber yang mengeluarkan daya pada volume tersebut, digunakan tanda (+)
Ruas kanan :
Integrasi suku pertama menunjukkan disipasi ohmik
Integrasi suku kedua adalah energi total yang disebabkan/ tersimpan dalam medan listrik dan medan magnetik pada volume tersebut,
kemudian turunan
parsial terhadap waktu menyatakan daya
17
Didefinisikan
Vektor Poynting =
E
H
P
Arah perambatan gelombangP
E
H
P
y y x x zz
aˆ
E
aˆ
H
aˆ
P
E
H
Vektor Poynting dan
Peninjauan Daya
18
Vektor Poynting dan
Peninjauan Daya
Peninjauan Daya ...
Misalkan :
x z 0 xe
cos
t
z
aˆ
E
)
t
(
E
x0 z
yaˆ
z
t
cos
e
E
t
H
Maka,
z z 2 2 0 x z z 2 2 0 xaˆ
z
2
t
2
cos
cos
e
2
E
aˆ
z
t
cos
z
t
cos
e
E
H
E
P
2m
Watt
2m
Watt
19
Vektor Poynting dan
Peninjauan Daya
Daya Rata-Rata ...
e
cos
2
E
dt
P
T
1
P
2 z 2 0 x T 0 z av , z• Terjadi redaman kerapatan daya seharga
• Impedansi intrinsik menimbulkan faktor cos yang juga menentukan kerapatan daya
z 2
e
20
E. Gelombang Datar Dalam Ruang Hampa
Untuk ruang hampa :
)
m
/
F
(
10
.
854
,
8
m
/
H
10
.
4
12 0 7 0
0
0
• Bentuk umum pada
dielektrik merugi,
Pada ruang hampa,
s s
j
H
E
s sj
E
H
0
E
s
0
H
s
s 0 sj
H
E
s 0 sj
E
H
0
E
s
0
H
s
• Persamaan gelombang Helmholtz
s s 2E
j
j
E
2 0 0 s s 2E
E
Gelombang Datar Dalam Ruang Hampa
• Persamaan medan listrik
Pada ruang hampa,
x z 0 xe
cos
t
z
aˆ
E
)
t
(
E
x0
yaˆ
z
t
cos
377
E
t
H
x 0 xcos
t
z
aˆ
E
)
t
(
E
x0 z
yaˆ
z
t
cos
e
E
t
H
• Persamaan medan magnet • Konstanta propagasi
j 1 j j j 0 0j
0
• Impedansi intrinsik j 1 1 j j o 0 00
377
22
Gelombang Datar Dalam Ruang Hampa
• Bentuk Gelombang
Pada ruang hampa,
• Kecepatan gelombang
m
dt
10
.
3
v
8 • Vektor Poynting
z z 2 2 0x
e
cos
cos
2
t
2
z
aˆ
2
E
P
z 2 2 0 xaˆ
z
t
cos
377
E
P
• Daya rata-rata
e
cos
2
E
dt
P
T
1
P
2 z 2 0 x T 0 z av , z377
E
2
1
P
2 0 x av , z
r r 810
.
3
1
v
E H P23
F. Gelombang Datar Pada Dielektrik Sempurna
Untuk dielektrik sempurna :
0
0
Dielektrik sempurnan memiliki sifat dan karakteristik yang hampir sama dengan udara vakum1
1
r r
• Bentuk umum pada
dielektrik merugi,
Pada dielektrik sempurna
s s
j
H
E
s sj
E
H
0
E
s
0
H
s
s sj
H
E
s sj
E
H
0
E
s
0
H
s
• Persamaan gelombang Helmholtz
s s 2E
j
j
E
s 2 s 2E
E
Gelombang Datar Pada Dielektrik Sempurna
• Persamaan medan listrik
Pada dielektrik sempurna
x z 0 xe
cos
t
z
aˆ
E
)
t
(
E
y r r 0 xaˆ
z
t
cos
377
E
t
H
x 0 xcos
t
z
aˆ
E
)
t
(
E
x0 z
yaˆ
z
t
cos
e
E
t
H
• Persamaan medan magnet • Konstanta propagasi
j 1 j j j
0
j
• Impedansi intrinsik j 1 1 j j r r377
25 • Bentuk Gelombang
Pada dielektrik sempurna
E H P • Kecepatan gelombang r r 8
10
.
3
1
v
• Vektor Poynting
z z 2 2 0 xaˆ
z
2
t
2
cos
cos
e
2
E
P
z 2 r r 2 0 xcos
t
z
aˆ
377
E
P
• Daya rata-rata
e
cos
2
E
dt
P
T
1
P
2 z 2 0 x T 0 z av , z r r 2 0 x av , z377
E
2
1
P
Gelombang Datar Pada Dielektrik Sempurna
r r 8
10
.
3
v
26
G. Propagasi Pada Konduktor Yang Baik
Pada konduktor yang baik :
1
1
r r
0
1
Pada konduktor yang baik
• Konstanta propagasi
j 1 j j j
f
j
f
• Impedansi intrinsik j 1 1 j j o45
2
1
j
1
Cobalah menurunkan sendiri !
Didefinisikan “
Skin Depth”
1
1
f
1
27
Propagasi Pada Konduktor Yang Baik
• Persamaan medan listrik
x z 0 xe
cos
t
z
aˆ
E
)
t
(
E
t
E
x0e
zcos
t
z
aˆ
yH
• Persamaan medan magnet
Pada konduktor yang baik
x z 0 xe
cos
t
z
aˆ
E
)
t
(
E
z
y 0 x.
e
cos
t
z
4
aˆ
E
2
t
H
Pada konduktor yang baik, intensitas medan magnet tertinggal (lagging) sebesar 45o (1/8
siklus) terhadap intensitas medan listrik
Pada umumnya, propagasi gelombang pada konduktor yang baik digunakan untuk
analisis karakteristik suatu saluran transmisi / kabel. Pada konduktor yang baik, kerapatan arus perpindahan dapat diabaikan terhadap kerapatan arus konduksi, sehingga kerapatan arus total dapat dikaitkan dengan medan listrik sbb :
E
(
t
)
E
e
cos
t
z
)
t
(
J
x x x0 z28
Propagasi Pada Konduktor Yang Baik
• Vektor Poynting
z z 2 2 0x
e
cos
cos
2
t
2
z
aˆ
2
E
P
• Daya rata-rata
e
cos
2
E
dt
P
T
1
P
2 z 2 0 x T 0 z av , zPada konduktor yang baik
z z 2 2 0 x
aˆ
4
z
2
t
2
cos
4
cos
e
E
2
P
z 2 2 0 x av , zE
e
4
1
P
2 0 x ERumusan diatas menunjukkan bahwa rapat daya pada bidang z = adalah sebesar e-2 ,
atau sebesar 0,135 kali dari rapat daya pada permukaan konduktor ( z = 0 ).
29
H. Polarisasi Gelombang
Polarisasi
adalah sifat GEM yang menjelaskan arah dan amplitudo vektor intensitas medan listrik (E) sebagai fungsi waktu pada bidang yang tegak lurus terhadap arah perambatannya. Macam-macam polarisasi : Linear,33
Polarisasi Gelombang
Kasus paling umum :
Polarisasi Eliptik
Terjadi untuk a, b, c, sembarang
.Parameter-parameter pada polarisasi eliptik adalah :
a. Major Axis ( 2 x OA )
E E E E 2E E cos 2 2 1 OA x2 y2 x4 y4 x2 y2 b. Minor Axis ( 2 x OB )
E E E E 2E E cos 2 2 1 OB x2 y2 x4 y4 x2 y2 c. Tilt angle ( ) cos E E E E 2 arctan 2 1 2 y 2 x y xd. Axial Ratio (AR )
OB
OA
axis
Minor
axis
Major
AR
2 1E
E
dan
n
2
n = 0, + 1, + 2, …dst
35
Polarisasi Gelombang
Polarisasi Sirkular
Polarisasi sirkular
terjadi untuk :2 1
E
E
dan
n
2
n = 0, + 1, + 2, …dst
36
Polarisasi Gelombang
Arah Polarisasi
Perputaran
t
,
z
k
f
E
Definisi klasik Definisi IRE Definisi Umum (IEEE) Searah jam (CW) GEM mendekat atau Berlawanan jam (CCW) GEM menjauh Putar Kanan (Right Hand) RH Putar Kiri (Left Hand) LH Putar Kiri (Left Hand) LH Searah jam (CW) GEM menjauh atau Berlawanan jam (CCW) GEM mendekat Putar Kiri (Left Hand) LH Putar Kanan (Right Hand) RH Putar Kanan (Right Hand) RHPolarisasi dapat ditinjau terhadap referensi tertentu, misalnya terhadap bumi, lantai
pesawat, dsb. Bahkan terhadap polarisasi lain. • Polarisasi vertikal , E tegaklurus leferensi
• Polarisasi horisontal, E sejajar bidang referensi
• Polarisasi Silang ( cross polarization ), E tegaklurus terhadap E referensi • Polarisasi Sejajar ( co-polarization ), E sejajar terhadap E referensi