DAFTAR PUSTAKA. Borrelli RL, Coleman CS Differential Equations: A Modelling Respective. New York: John Wiley & Sons, Inc.

DAFTAR PUSTAKA

Borrelli RL, Coleman CS. 1998. Differential Equations: A Modelling Respective.

New York: John Wiley & Sons, Inc.

Dougherty RD. 1990. Probability and Statistics for Engeneering, Computing, and

Physical Science. New Jersey.

Edelstein-Keshet L. 1988. Mathematical Models in Biology. New York: Random

House.

Edelstein-Keshet L, Watmough J, Grunbaum D. 1998. Do travelling band

solutions describe cohesive swarms? An investigation for migratory locusts. J

Math Biol 36: 515-549.

Kokasih PB. 2006. Komputasi Numerik Teori dan Aplikasi. Yogyakarta: Penerbit

Andi.

Okubo A. 1980. Diffusion and Ecological Problems: Mathematical Models. New

York: Springer-Verlag Berlin Heidelberg.

Riley K, Hobson M, Bence S. 2006. Mathenatical Methods for Physics and

Engineering. New York: Cambridge University Press.

43

Lampiran 1 Hubungan antara momen kedua dan ragam (persamaan (4.5))

2 2

( )

( , )

F t

x F x t dx

2 2

1

2

( , )

N

x

X

x X

X

F x t dx

N

2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 xF x t dx F x t dx x X F x t dx N X X N N N

2 ₀ 1

2

F

F

N V

X

X

N

N

2 2

2

N V

X

X

F

₂

N V

X

2

,

dengan

_X

F

1

_.

N

Lampiran 2

Pusat massa (persamaan (4.7))

Pusat massa diperoleh dari persamaan (3.43) dengan cara sebagai berikut:

2 2

(

)

F

F

D

w

v F

t

x

x

2 2

(

)

F

F

x

x D

w

v F

t

x

x

2 2

(

xF dx

)

x D

F

(

w

v F

)

dx

t

x

x

Misal u

x

dan

2 2

(

)

F

dv

D

w

v F

dx

x

x

sehingga du

dx dan

(

)

F

v

D

w

v F

x

.

udv

uv

vdu

t

(

)

(

)

.

F

F

xFdx

x D

w

v F

D

w

v F dx

t

x

x

Asumsi pendekatan kernel akan menjamin kecepatan w

v

pada batasan

.

Jika diasumsikan kepadatan kelompok dan derivatifnya

F

x

pada x

bernilai nol (lebih cepat dari pada 1 x ), maka

1

₍

₎

₍

₎

(

)

(

)

(

* )

(0) (

)

dF

F

F

x D

w

v F

D

w

v F dx

dt

x

x

F

F

x D

w

v F

D

dx w

Fdx

vFdx

x

x

F

F

x D

w

v F

D

dx wN

K

F Fdx

x

x

x D

w

v F

D (0)

dx wN

(

K

* )

F Fdx

.

1

₍

_{* )}

_,

dF

wN

K

F Fdx

dt

44

45

dengan N

Fdx

Sehingga dapat diperoleh

1

1

₍

_{* )}

F

d

w

K

F Fdx

dt

N

N

d X

w

1

(

K

* )

F Fdx

.

dt

N

46

Lampiran 3 Ragam sebaran (persamaan (4.8))

Ragam yang diperoleh dari persamaan (3.43) adalah:

2 2

(

)

F

F

D

w

v F

t

x

x

2 2 2 2

(

)

F

F

x

X

x

X

D

w

v F

t

x

x

2 2 2 2

(

)

.

F

x

X

Fdx

x

X

D

w

v F dx

t

x

x

Seperti cara sebelumnya dengan mengasumsikan

F x ,t

(

)

dan derivatifnya

bernilai nol pada saat

(lebih cepat dari

1

x

X

2

), maka diperoleh

2 2 2 2

(

)

F

x

X

Fdx

x

X

D

w

v F dx

t

x

x

Misal

u

x

X

2

x

2

2

xX

X

2

maka du

2 x

2 X dx

2 x

X dx

dan

2 2 ( )

F

dv

D

w

v F dx

x

x

sehingga

( )

.

F

v

D

w

v F

x

udv uv

vdu

t

2 2 ( ) 2 ( ) F x X Fdx x X D F t x F D F x X dx x

w

v

w

v

Misal u

x

X

maka du

dx

dan

dv

D

F

(

w

v F dx

)

x

sehingga

(

)

v

DF

w

v Fdx .

2 1 2 2 ( )

(

)

(

)

-d F N x X Fdx x X D F dt N x x X DF

w

v

w

v Fdx

DF

w

v F dx dx

47

2 ( ) ( ) 2 2

(

)

(

)

- 2

- 2

dNV t F x X D F dt x x X DF D

w

v

x

X

w

v F dx

Fdx

w

v F dx dx

2 ( ) ( )(0) 2 (0) 2 ( ) 2

(0)

2(0)

dNV t x X D dt x X D x X F D Fdx

w

v

w

v

dx

( )

2 x X ( ) F

dNV t

2 D

Fdx

w

v

dx

dt

Dengan pendefinisian N adalah suatu konstanta dan v

K * F diperoleh

(t)

2 x X ( ) F

dNV

2 DN

w

K * F

dx

dt

(t)

2 x X ( ) F

dV

2 D

w

K * F

dx

dt

N

Lampiran 4 Nilai konvolusi (persamaan (4.8))

Untuk mencari nilai pengintegralan dari persamaan (4.15), dapat dilakukan

dengan cara sebagai berikut:

i mencari

(

x

x F x dx

') ( ')

'

(1)

a Misalkan

u

x

x

'

maka

du

dx '

dan

dv

F x dx sehingga

( ')

'

( ')

'

v

F x dx .

udv uv

vdu

(

x

x F x dx

') ( ')

'

(

x

x

')

F x dx

( ')

'

F x dx dx

( ')

'

'.

(2)

b Untuk

mencari

F x dx dx

( ')

'

'

dengan

memisalkan

( ')

'

u

F x dx maka

du

F x ' dan

(

)

dv

dx sehingga

'

v

x

'.

udv uv

vdu

F x dx dx

( ')

'

'

x

'

F x dx

( ')

'

x F x dx

' ( ')

'.

(3)

Substitusi persamaan (2) dan (3) ke persamaan (1), sehingga diperoleh

(

x

x F x dx

') ( ')

'

(

x

x

')

F x dx

( ')

'

x

'

F x dx

( ')

'

x F x dx

' ( ')

'

(

x

x N

')

x N

'

F

₁

_x

F

1

_N

N

(

x

x F x dx

') ( ')

'

x

X N

,

(4)

dengan

F x dx

( ')

'

N

,

F

₁

xF x t dx dan

( , )

',

_X

F

1

N

.

48

49

ii mencari

3

(

x

x

')

F x dx

( ')

'

(5)

a

Untuk

mencari

(4)

dengan

memisalkan

u

(

x

x

')

3

maka

3(

)

2

du

x

x '

dx '

dan

dv

F x

(

x dx

')

'

sehingga

dan

( ')

'

v

F x

dx .

udv uv

vdu

3 3 2

'

'

'

'

'

' 3

'

'

'

'

(

x

x

)

F x

(

)

dx

(

x

x

)

F x

(

)

dx

(

x

x

)

F x

(

)

dx dx

3 3 2 2 ' ' ' ' 3 ' ' ' 6 ' ' ' ' 3 ' ' ' ' . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x F x dx x x N x F x x dx dx x x F x dx dx x F x dx dx

(6)

dengan

F x

(

'

)

dx

'

N

b Untuk

mencari

₃

_x

2

_{F x}

₍

_'

₎

_{dx dx}

_'

_'

_dengan

_memisalkan

( ')

'

u

F x

dx maka

du

F x ' dan

(

)

dv

dx sehingga dan

'

v

x .

'

udv uv

vdu

3

x

2

F x

(

'

)

dx dx

'

'

3

x

2

F x

(

'

)

dx

'

x

'

x F x

'

(

'

)

dx

'

3

x

2

F x

(

'

)

dx dx

'

'

3

x x N

2

'

3

x F

2 ₁

.

(7)

dengan

F x

(

'

)

dx

'

N

c Untuk

mencari

6

x

x

'

F x

(

'

)

dx dx

'

'

dengan

memisalkan

( ')

'

u

F x

dx

maka

du

F x '

(

)

dan

dv

x dx sehingga

'

'

2

1

( ') .

2

v

x

.

udv uv

vdu

2 2 1 1 6 ' ' ' ' 6 ' ' ' ' ' ' 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x F x dx dx x F x dx x x F x dx

50

6

1

'

2

1

₂

2

(

)

2

x

x

N

F

2 2

6

x

x

'

F x

(

'

)

dx dx

'

'

3

x x

(

'

)

N

3

xF

,

(8)

dengan

F x

(

'

)

dx

'

N dan

2 2

( ')

( ')

'.

F

x

F x

dx

d

Untuk

mencari

₃

₍

_x

_'

₎

2

_{F x}

₍

_'

₎

_{dx dx}

_'

_'

_dengan

_memisalkan

( ')

'

u

F x

dx

maka

du

F x '

(

)

dan

dv

( ')

x

2

dx sehingga

'

3

1

( ')

3

v

x

.

udv

uv

vdu

2

1

3

1

3

3

'

'

'

'

3

'

'

'

'

'

'

3

3

(

x

)

F x

(

)

dx dx

F x

(

)

dx

(

x

)

(

x

)

F x

(

)

dx

3

1

'

3

1

₃

3

(

x

)

N

3

F

2 3 3

3

(

x

'

)

F x

(

'

)

dx dx

'

'

(

x

'

)

N

F

,

(9)

dengan

F x dx

( ')

'

N dan

F

₃

( ')

x

3

F x dx .

( ')

'

Substitusi persamaan(6), (7), dan (8) ke persamaan(4), sehingga diperoleh

3 3 2 2 1 2 3 2 3

(

')

( ')

'

(

')

3

'

3

3 ( ')

3

( ')

x

x

F x dx

x

x

N

x x N

x F

x x

N

xF

x

N

F

_x

3

₃

_x

2

F

1

₃

_x

F

2

F

3

_N

N

N

N

_{(x x')}3_{F x dx( ') ' x}3 _{3x X}2 _{3x V X} 2 F3 _N N

(10)

dengan

F

1

_X

N

dan

2 2

F

V

X

N

51

Dari persamaan (3) dan (9) dapat diperoleh:

v

A

₂

B

₂

(

x

x F x dx

') ( ')

'

A

₄

B

₄

(

x

x

')

3

F x dx

( ')

'

a

b

a

b

1

_{6 6}

(

')

5

( ')

' ...

2

A

B

x

x

F x dx

a

b

v A₂ B₂ x X N A₄ B₄ x3 3x2X 3x V X2 F3 N. N a b a b

(11)

Lampiran 5 Nilai ragam dari persamaan (4.19)

( )

(

)

dV t

2

2 D

x

X

K * F Fdx

dt

N

( )

2 2

dV t

2

A

B

2 D

x

X

x

X N

Fdx

dt

N

a

b

( )

2 2 2

dV t

A

B

2 D

2

x

X

Fdx

dt

a

b

( )

2 2 2

dV t

B

A

1

2 D

2

N

x

X

Fdx

dt

b

a

N

( )

2 2

dV t

B

A

2 D

2

NV

.

dt

b

a

(5.12)

52

53

Lampiran 6 Prosedur simulasi model V

PDP Solusi PDP S1 S2 S3 m m=1 m=0 m=2 I risan Bola Silinder xmesh tmesh

a

x

b

0 f

t

t

t

pdefun c c>0 Eliptik c=0 Parabolik f (bentuk fluks) s (bentuk source) Syarat awal (icfun) Syarat batas (bcfun)

Fungsi sebaran normal

p q Kanan Kiri q=0

0

q

Kanan Kiri xr xl Hasil numerik S1 adalah sol=pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tmesh,options) S2 adalah sol=pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tmesh) S3 adalah sol=pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tmesh,options,p1,p2…) R G Difusi=DuDx Konvolusi=K*F Konveksi=w Integral komposit Simpson : tugas yang dilaksanakan

: alternatif yang tidak dilaksanakan

54

Lampiran 7 Prosedur penelitian

Fenomena belalang berkelompok Model I Sistem PDP GB Sistem tak berdimensi Pelinearan Nilai eigen Tidak ada solusi TB Model II Model III Sistem PDP GB Sistem tak berdimensi Pelinearan Nilai eigen Tidak ada solusi TB Sistem PDP GB Sistem tak berdimensi Pelinearan Nilai eigen Tidak ada solusi TB Model IV Sistem PDB Sistem berdimensi satu Titik tetap Tidak ada solusi TB Model V Sistem PDP GB Solusi numerik

Puncak kelompok tidak sesuai

Solusi analitik

Ada perluasan gangguan ketika difusi bernilai kecil

Terjadi TB secara tidak

murni

Keterangan:

Garis = menunjukkan proses pencarian model yang tepat

Garis

= menunjukkan proses pencarian solusi

55

Lampiran 8 Program untuk simulasi model V

function pdex4 m = 0;

xleft=0;

%xright=20;%Density kecil bergabung density besar xright=25;%Density kecil terpisah dari density besar %Populasi di tanah pada saat t=15

%xright=100;%Populasi di tanah pada saat t=250 nx=240;

tmin=0;

%tmax=10;%Density kecil bergabung density besar %Density kecil terpisah dari density besar tmax=15;%Populasi di tanah pada saat t=15

%tmax=250;%Populasi di tanah pada saat t=250 nt=10;

x=linspace(xleft,xright,nx); t=linspace(tmin,tmax,nt);

sol=pdepe(m,@pdex4pde,@pdex4ic,@pdex4bc,x,t);

%pdepe dimodifikasi terlebih dahulu agar dapat menerima parameter %tambahan "xx" dan "FF" pada fungsi pdepe4pde untuk keperluan %menghitung konvolusi K*F u1 = sol(:,:,1); u2 = sol(:,:,2); F=u2; figure; for k=1:nt subplot(nt,1,k); plot(x,KF(x,x,F(k,:))); end figure; waterfall(x,t,u1) xlabel('x') ylabel('t') axis tight; figure; waterfall(x,t,u2) xlabel('x') ylabel('t') axis tight; % --- function [c,f,s] = pdex4pde(x,t,u,DuDx,xx,FF)

%w = 1;%Density kecil bergabung density besar %Density kecil terpisah dari density besar w = 0.75;%Populasi di tanah pada saat t=15

%Populasi di tanah pada saat t=250 c = [1; 1];

f = [0; 0.1] .* DuDx-[0; (w+KF(x,xx,FF))].*u; R = 0.65;

56

s=[-R*u(1)+G*u(2); R*u(1)-G*u(2)];

% --- function u0 = pdex4ic(x)

u0 = [0; icmasuk(x)];%Density kecil bergabung density besar %Populasi di tanah pada saat t=15

%u0 = [0; ickeluar(x)];%Density kecil terpisah dari density besar %Populasi di tanah pada saat t=250

% --- function [pl,ql,pr,qr] = pdex4bc(xl,ul,xr,ur,t) pl = [ul(1)-0.65; ul(2)-0.25]; ql = [0; 0]; pr = [ur(1)-0.65; ur(2)-0.25]; qr = [0; 0]; % --- % --- function y = K(x) A = 4; a = 1; B = 0; b = 1; %A = 12; %a = 0.2; %B = 0.3; %b = 0.1; N0=4.0000e+008; y = x.*(((A/a^2)*exp(-(x/a).^2)-(B/b^2)*exp(-(x/b).^2))/N0); % --- % --- function q=KF(x,z,F) N=size(z,2); h=z(2)-z(1); q1=K(x-z(1))*F(1); qn=K(x-z(N))*F(N); qodd=0; for k=2:(N-1)/2 qodd=qodd+K(x-z(2*k+1)).*F(2*k+1); end qeven=0; for k=2:N/2 qeven=qeven+K(x-z(2*k)).*F(2*k); end q=h*[q1+qn+4*qodd+2*qeven]/3; % --- % --- function y = ic(x); mean1 = 7.5; varian1 = 13; param1 = 1/(sqrt(2*pi)*sqrt(varian1));

57

p1 = 1e9 * param1 * max(0,exp(-((x-mean1).^2)/(2*varian1))-exp(-((mean1)^2)/(2*varian1)));

mean2 = 0.8; varian2 = 2.2;

param2 = 1/(sqrt(2*pi)*sqrt(varian2));

p2 = 1e9 * param2 * max(0,exp(-((x-mean2).^2)/(2*varian2))-exp(-((mean2)^2)/(2*varian2))); y=max(p1,p2); % --- % --- function y = ic(x); mean1 = 16.5; varian1 = 13; param1 = 1/(sqrt(2*pi)*sqrt(varian1));

p1 = 1e9 * param1 * max(0,exp(-((x-mean1).^2)/(2*varian1))-exp(-((mean1)^2)/(2*varian1)));

mean2 = 0.5; varian2 = 2.2;

param2 = 1/(sqrt(2*pi)*sqrt(varian2));

p2 = 1e9 * param2 * max(0,exp(-((x-mean2).^2)/(2*varian2))-exp(-((mean2)^2)/(2*varian2)));