Directory UMM :Journals:Journal_of_mathematics:VMJ:

“„Š517.98

Ž’…Ž…Œ€• …„‘’€‚‹…ˆŸ

€.„. €‹…Š‘€„Ž‚€ ˆ€. €.Œ€ŠŽ‚€

„‹ŸŒ€†Žˆ“…Œ›• Ž…€’ŽŽ‚

€. ƒ. Šãáà ¥¢, ‘. €. Œ «î£¨­

„«ï¬ ¦®à¨à㥬ë宯¥à â®à®¢,¤¥©áâ¢ãîé¨å¨§à¥è¥âª¨®£à ­¨ç¥­­ëå­¥¯à¥à뢭ëåä㭪権

¢à¥è¥â®ç­®­®à¬¨à®¢ ­­®¥¯à®áâà ­á⢮,ãáâ ­®¢«¥­ë¤¢¥â¥®à¥¬ë®¡¨­â¥£à «ì­®¬

¯à¥¤áâ ¢-«¥­¨¨,®¡®¡é î騥१ã«ìâ âë€. „.€«¥ªá ­¤à®¢ ¨€. €.Œ àª®¢ . „®ª § ­â ª¦¥¢ à¨ ­â

⥮६ë‘.“« ¬ ®à ¤®­®¢®á⨫©¡®à¥«¥¢áª®©¬¥àë­ ¯®«ì᪮¬¯à®áâà ­á⢥.

x 1. ‚¢¥¤¥­¨¥

 áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë© ª®¬¯ ªâ Q, ¯®­¨¬ ¥¬ë© ¢ ¤ ­­®© à ¡®â¥ ª ª

å ãá-¤®à䮢® ª®¬¯ ªâ­®¥â®¯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ãáâìC(Q) |¯à®áâà ­á⢮ ¢á¥å

­¥¯à¥à뢭ë夥©á⢨⥫ì­ëåä㭪権,®¯à¥¤¥«¥­­ëå­ Q¨rca(Q) |¯à®áâà ­á⢮

¢á¥å®£à ­¨ç¥­­ëåॣã«ïà­ëåáç¥â­® ¤¤¨â¨¢­ë嬥à,®¯à¥¤¥«¥­­ëå­ ¡®à¥«¥¢áª®©

- «£¥¡à¥Q.  ¯®¬­¨¬,çâ®à¥£ã«ïà­®áâ쬥àë ®§­ ç ¥â ¢®§¬®¦­®áâì¯à¨¡«¨¦¥­¨ï

¯à®¨§¢®«ì­ë姭 ç¥­¨©¬¥à륥§­ ç¥­¨ï¬¨­ § ¬ª­ãâë嬭®¦¥á⢠å. Š ª¨§¢¥áâ­®,

C(Q)| ¢¥ªâ®à­ ï à¥è¥âª ,   rca(Q) | ¯®à浪®¢® ¯®«­ ï ¢¥ªâ®à­ ï à¥è¥âª 

(®â­®-á¨â¥«ì­® ¯®â®ç¥ç­®£® 㯮à冷祭¨ï). ®«¥¥ ⮣®, ¥á«¨ á­ ¡¤¨âì C(Q) sup-­®à¬®©,  

­®à¬ã ¢ rca(Q) ®¯à¥¤¥«¨âì ä®à¬ã«®© kk:= jj(Q), £¤¥ jj | ¢ à¨ æ¨ï (¨«¨, çâ® â®

¦¥,¬®¤ã«ì)¬¥àë2rca(Q),â®í⨯à®áâà ­á⢠áâ ­®¢ïâáï¡ ­ å®¢ë¬¨à¥è¥âª ¬¨,

á¬.[8].

1.1. ’¥®à¥¬  ¨áá  | Œ àª®¢  | Š ªãâ ­¨. „«ï «î¡®£® «¨­¥©­®£®

­¥-¯à¥à뢭®£® ä㭪樮­ «  f 2 C(Q) 0

áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ ï ®£à ­¨ç¥­­ ï áç¥â­®

 ¤¤¨â¨¢­ ïॣã«ïà­ ï ¡®à¥«¥¢áª ï¬¥à 

f

:=2rca(Q) â ª ï, çâ®

f(x)= Z

Q

x(q)d(q) (x2C(Q)):

‘®®â¢¥âá⢨¥ f $

f

á«ã¦¨â«¨­¥©­®© ¨§®¬¥âਥ©¨à¥è¥â®ç­ë¬¨§®¬®à䨧¬®¬

¡ -­ å®¢ëå à¥è¥â®ª C(Q) 0

¨ rca (Q).

C„®ª § â¥«ìá⢮á¬.,­ ¯à¨¬¥à,¢ª­¨£ å.„ ­ä®à¤ ¨„¦.˜¢ àæ [7],.

• «-¬®è  [16],€. –  ­¥­ [52].B

‘ç¨â ¥âáï, çâ® ¯¥à¢®¥ ª®à४⭮¥¤®ª § â¥«ìá⢮ í⮩ â¥®à¥¬ë ¤«ï á«ãç ï Q =

[0; 1] ¤ « ”. ¨áá ¢ 1909 £®¤ã, ¯à¨ç¥¬ ®­, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ¯à¨¢¥¤¥­­®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¨,

¨á¯®«ì§®¢ «¨­â¥£à «¨¬ ­ |‘⨫âì¥á ¢¬¥á⮨­â¥£à « ‹¥¡¥£ . ‚á«ãç ¥

¯à®¨§-¢®«ì­®£®ª®¬¯ ªâ Q¤«ï¯®«®¦¨â¥«ì­ëåä㭪樮­ «®¢ã⢥ত¥­¨¥1.1ᮤ¥à¦¨âáï

c

¯®áãé¥áâ¢ã¢ à ¡®â¥€.€.Œ àª®¢  [15]1938 £®¤ ,å®âï®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¨­¥

¯à¨-¢®¤¨âáï. ®ç⨢㪠§ ­­®¬¢¨¤¥â¥®à¥¬ 1.1ãáâ ­®¢«¥­ ‘.Š ªãâ ­¨[26]¢1941£®¤ã.

Ž¤­ ª®á«¥¤ã¥â¯®¤ç¥àª­ãâì,çâ®á®¢à¥¬¥­­ ïä®à¬ â¥®à¥¬ë1.1, â ª¦¥à §«¨ç­ë¥

¥¥ ¢ à¨ ­âë,­ §ë¢ ¥¬ë¥ ç áâ®â¥®à¥¬ ¬¨¨áá  ®¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨,| ¤¥«®àãª

£®à §-¤®¡®«ì襣®ç¨á«  ¬ â¥¬ â¨ª®¢ (†.€¤ ¬ à,€.„.€«¥ªá ­¤à®¢,‘.  ­ å,ˆ. ¤®­,

‘. ‘ ªá, Œ. ”à¥è¥, . •¥««¨, ¨ ¤à.).  ­­îî ¨áâ®à¨î ⥮६됨áá  ®

¯à¥¤áâ ¢«¥-­¨¨á¬. ¢áâ â쥄¦.„. ƒà¥ï [25],  à §«¨ç­ë¥ á¯¥ªâë,®¡®¡é¥­¨ï ¨¯à¨«®¦¥­¨ï |

¢ ®¡§®à å „¦. ââ  [18] ¨.”. ‚¨«¥à [45]. Šà âª¨©¨áâ®à¨ç¥áª¨©ª®¬¬¥­â à¨©¯®

í⮬㠢®¯à®áã ¨¬¥¥âáï ¨ ¢ ª­¨£ å . „¨­ªã«ï­ã [22], „¦. „¨áâ¥«ï ¨ „¦. “«ï [21],

‡.‘¥¬ ¤¥­¨[44], .¤¢ à¤á  [17].

„«ï ­¥ª®¬¯ ªâ­®£® ¯à®áâà ­á⢠ Q ¢¬¥áâ® C(Q) à áᬠâਢ îâ

¯à®áâà ­áâ-¢® ®£à ­¨ç¥­­ëå ­¥¯à¥à뢭ëå ä㭪権 ­  Q, á­ ¡¦¥­­®¥ sup-­®à¬®© ¨

®¡®§­ ç ¥-¬®¥ ᨬ¢®«®¬ C

b

(Q). ¥à¢®¥ ®¯¨á ­¨¥ í«¥¬¥­â®¢ ¯à®áâà ­á⢠ C

b (Q)

0

¯à¨­ ¤«¥¦¨â

€.€. Œ àª®¢ã [15],ª®â®à멯ਢ«¥ª ¤«ï í⮩楫¨ª®­¥ç­®  ¤¤¨â¨¢­ë¥à¥£ã«ïà­ë¥

¬¥àë (¢­¥è­¨¥ ¯«®â­®áâ¨), ¯®áª®«ìªã ¤«ï ­¥ª®¬¯ ªâ­®£® Q ¬­®¦¥á⢠ rca(Q)

®ª -§ «®áì ­¥¤®áâ â®ç­ë¬¤«ï ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï «¨­¥©­ë宣࠭¨ç¥­­ëå ä㭪樮­ «®¢ ­ 

C

b

(Q). ‡ â¥¬€.„.€«¥ªá ­¤à®¢[1{3]à §¢¨«â¥®à¨îª®­¥ç­® ¤¤¨â¨¢­ëåॣã«ïà­ëå

¬¥à (§ à冷¢) ¨, ¢ ç áâ­®áâ¨, ¤ « ¯®«­®¥ ®¯¨á ­¨¥ ¯à®áâà ­á⢠ C

b (Q)

0

. ãáâìA(Q)

®¡®§­ ç ¥â  «£¥¡à㬭®¦¥áâ¢, ¯®à®¦¤¥­­ãîᮢ®ªã¯­®áâìî¢á¥å ®âªàëâëå ¬­®¦¥áâ¢

¢ Q,   ra(A(Q)) | ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ®£à ­¨ç¥­­ëå ª®­¥ç­®  ¤¤¨â¨¢­ëå ॣã«ïà­ëå

¬¥à,®¯à¥¤¥«¥­­ëå ­  «£¥¡à¥ A(Q).

1.2. ’¥®à¥¬  €«¥ªá ­¤à®¢  | Œ àª®¢ . ãáâì Q | ­®à¬ «ì­®¥

⮯®«®£¨-ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮. „«ï «î¡®£® «¨­¥©­®£® ­¥¯à¥à뢭®£® ä㭪樮­ «  f 2 C

b (Q)

0

áãé¥áâ¢ã¥â ¨¯à¨â®¬¥¤¨­á⢥­­ ï®£à ­¨ç¥­­ ïª®­¥ç­® ¤¤¨â¨¢­ ï ॣã«ïà­ ï

¬¥-à 

f

:=2ra (A(Q)) â ª ï, çâ®

f(x)= Z

Q

x(q)d(q) (x2C(Q)):

‘®®â¢¥âá⢨¥ f $

f

á«ã¦¨â«¨­¥©­®© ¨§®¬¥âਥ©¨à¥è¥â®ç­ë¬¨§®¬®à䨧¬®¬

¡ -­ å®¢ëå à¥è¥â®ª C

b (Q)

0

¨ra(A(Q)).

C „®ª § â¥«ìá⢮ ¤«ï ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå ä㭪樮­ «®¢, ¯à¨­¨¬ îé¨å ¥¤¨­¨ç­®¥

§­ ç¥­¨¥­  ⮦¤¥á⢥­­®© ¥¤¨­¨æ¥(á।­¨å§­ ç¥­¨© ­ Q), ¯®«ã祭® €.€.

Œ àª®-¢ë¬[15; ⥮६ 22]. Ž¡é¨©á«ãç © ᮤ¥à¦¨âáï ¢à¥§ã«ìâ â å€.„.€«¥ªá ­¤à®¢ [2;

⥮६ë1 ¨2]. B

1.3. ’¥®à¥¬  €«¥ªá ­¤à®¢ . „«ï¯à®¨§¢®«ì­®£® ⮯®«®£¨ç¥áª®£®

¯à®áâà ­áâ-¢  Q¨¬¥¥â ¬¥áâ®ý¡í஢᪨©þ¢ à¨ ­â ⥮६ë1.2, â.¥. ⥮६  1.2 ®áâ ¥âáï¢ á¨«¥,

¥á«¨ § ¬¥­¨âì  «£¥¡àã A(Q) ­   «£¥¡àã A

0

(Q), ¯®à®¦¤¥­­ãî ¢á¥¬¨ ä㭪樮­ «ì­®

®âªàëâ묨¬­®¦¥á⢠¬¨¢ Q.

C€.„.€«¥ªá ­¤à®¢[1{3]¨á¯®«ì§®¢ «¯à®áâà ­á⢠,­¥áª®«ìª®¡®«¥¥®¡é¨¥,祬

⮯®«®£¨ç¥áª¨¥. ‚ç áâ­®áâ¨,¢ ª ç¥á⢥ ᮢ®ªã¯­®á⨢á¥å ®âªàëâë嬭®¦¥áâ¢

¬®¦-­® à áᬠâਢ âì ä㭪樮­ «ì­® ®âªàëâë¥ ¬­®¦¥á⢠, ¤«ï ª®â®àëå  ªá¨®¬ 

­®à-¬ «ì­®á⨢믮«­ï¥âá⮬ â¨ç¥áª¨. ’¥¬á ¬ë¬,âॡ㥬®¥ï¢«ï¥âáïç áâ­ë¬

á«ã-ç ¥¬ [2; ⥮६ë1¨ 2]. B

’¥®à¥¬ã ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ¨áá  ¤«ï ¯®«®¦¨â¥«ì­®£® ®¯¥à â®à  á® §­ ç¥­¨ï¬¨ ¢

…. ¥àæ [19]. ‚ à¨ ­âë íâ¨å १ã«ìâ â®¢ ¯®«ã祭ë â ª¦¥ ¢ à ¡®â å ‡. ‹¨¯¥æª®£® [33,

36]. ‚ᥠ㯮¬ï­ãâë¥ à ¡®âë ᮤ¥à¦ âáï ¢ ªà㣥 ¨¤¥© €. €. Œ àª®¢  ¨ €. „.

€«¥ª-á ­¤à®¢  ¨, ¯® áãé¥áâ¢ã,  ¤ ¯â¨àãîâ à áá㦤¥­¨ï, ¨§¢¥áâ­ë¥ ¤«ï ᪠«ïà­®£® á«ãç ï.

à¨­æ¨¯¨ «ì­® ­®¢ë¥ ¨¤¥¨ ¯®ï¢¨«¨áì ¢ á¢ï§¨ á à ¡®â ¬¨ Œ.  ©â  [46{51]. Œ.  ©â

®¡-­ à㦨«, ¢ ç áâ­®áâ¨, çâ® § ¤ ç  ¯à®¤®«¦¥­¨ï ¬¥àë á® §­ ç¥­¨ï¬¨ ¢

K

-¯à®áâà ­á⢥

­¥ à §à¥è¨¬  ¬¥â®¤®¬ Š à â¥®¤®à¨, ¢ á¢ï§¨ á 祬 ®­ ¢¢¥« ¯®­ï⨥ ª¢ §¨à¥£ã«ïà­®©

¬¥àë. „à㣮© ¯®¤å®¤ ª § ¤ ç¥ ¯à®¤®«¦¥­¨ï ¬¥àë ­ è¥« ‘. •ãà ­  [27, 28].  §­ë¥

 á¯¥ªâë í⮣® ¦¥ ªà㣠 ¯à®¡«¥¬ ¨§ãç «¨ €. ƒ. Šãáà ¥¢ ¨ ‘. €. Œ «î£¨­ [10, 11],

’. ‚.  ­ç¥¯ £¥á ­ ¨ ˜. ‚.  ««¥¤ [37, 38], „. ”६«¨­ [23], . ¨ç ­ [40, 41] ¨ ¤à.

–¥«ì ­ áâ®ï饩 à ¡®âë | ¤®ª § âì â¥®à¥¬ë €. „. €«¥ªá ­¤à®¢  ¨ €. €.

Œ à-ª®¢  (⥮६ë 1.2 ¨ 1.3) ¤«ï ®¯¥à â®à®¢, ¤¥©áâ¢ãîé¨å ¢ à¥è¥â®ç­® ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥

¯à®áâà ­á⢠. ã¤¥¬ ¯à¨¤¥à¦¨¢ âìáï â¥à¬¨­®«®£¨¨ ¨ ®¡®§­ ç¥­¨© ¨§ ¬®­®£à ä¨© [5,

8, 9, 31].

x 2. ‚ᯮ¬®£ â¥«ì­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï

 ¯®¬­¨¬ ­¥ª®â®àë¥ ¯®­ïâ¨ï ¨ ä ªâë ¨§ ⥮ਨ ¢¥ªâ®à­ëå ¬¥à ¨ ⥮ਨ

à¥è¥-â®ç­® ­®à¬¨à®¢ ­­ëå ¯à®áâà ­áâ¢. ®¤à®¡­®á⨠¬®¦­® ­ ©â¨ ¢ [10] ¨ [31].

2.1.

ãáâì

A

| ¯à®¨§¢®«ì­ ï ¡ã«¥¢   «£¥¡à . Žâ®¡à ¦¥­¨¥

, ®¯à¥¤¥«¥­­®¥ ­ 

A

¨ ¤¥©áâ¢ãî饥 ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ¢¥ªâ®à­®¥ ¯à®áâà ­á⢮

Z

, ­ §ë¢ îâ (

ª®­¥ç­®  ¤-¤¨â¨¢­®© ¢¥ªâ®à­®©

)

¬¥à®©,

¥á«¨

(

a

1 _a

2

) =

(

a

1

) +

(

a

2

) ¤«ï «î¡®© ¯ àë

¤¨§ê-î­ªâ­ëå í«¥¬¥­â®¢

a 1

;a

2

2A

. ãáâì

Z

=

F

| ¢¥ªâ®à­ ï à¥è¥âª . Œ¥àã

:

A! F

­ §ë¢ îâ

®£à ­¨ç¥­­®©,

¥á«¨

(

A

) | ¯®à浪®¢® ®£à ­¨ç¥­­®¥ ¬­®¦¥á⢮ ¢

F

. ɇǬ

¦¥

(

a

)

>

0 ¤«ï ¢á¥å

a 2 A

, â®

¨¬¥­ãîâ

¯®«®¦¨â¥«ì­®©

. Ž¡®§­ ç¨¬ ᨬ¢®«®¬

ba(

A;F

)

,

ba

+

(

A;F

)

¯à®áâà ­á⢮ ¢á¥å ®£à ­¨ç¥­­ëå (¯®«®¦¨â¥«ì­ëå) ¢¥ªâ®à­ëå

¬¥à, ®¯à¥¤¥«¥­­ëå ­ 

A

¨ ¤¥©áâ¢ãîé¨å ¢

F

. Ÿá­®, çâ® ¯à®áâà ­á⢮ ba(

A;F

) á

®¯¥à æ¨ï¬¨, ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­ë¬¨ ¨§

F

A

, ¨ 㯮à冷祭­®¥ ª®­ãᮬ ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå ¬¥à

ba

+

(

A;F

), ¡ã¤¥â 㯮à冷祭­ë¬ ¢¥ªâ®à­ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬.

à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ®

Y

| à¥è¥â®ç­®-­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ­ ¤ ¢¥ªâ®à­®©

à¥è¥âª®©

F

¨ ¢®§ì¬¥¬ ¢¥ªâ®à­ãî ¬¥àã

:

A!Y

. …᫨ ¤«ï ­¥ª®â®à®© ¯®«®¦¨â¥«ì­®©

¬¥àë

:

A!F

¢ë¯®«­ï¥âáï ᮮ⭮襭¨¥

>

>

>

>

(

a

)

>

>

>

>6

(

a

) (

a2A

), â®

­ §®¢¥¬

¬ ¦®-à¨à㥬®© ¢¥ªâ®à­®© ¬¥à®©,

  ¬¥àã

|

¬ ¦®à ­â®©

¬¥àë

. Ž¡®§­ ç¨¬ ᨬ¢®«®¬

da(

A;Y

) ¢¥ªâ®à­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ¢á¥å ¬ ¦®à¨à㥬ëå ¢¥ªâ®à­ëå ¬¥à, ®¯à¥¤¥«¥­­ëå

­ 

A

¨ ¤¥©áâ¢ãîé¨å ¢

Y

. …᫨ áãé¥áâ¢ã¥â ­ ¨¬¥­ì訩 í«¥¬¥­â ¢ ¬­®¦¥á⢥ maj(

)

¢á¥å ¬ ¦®à ­â ¬¥àë

(®â­®á¨â¥«ì­® ¯®à浪 , ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­®£® ¨§ ba(

A;F

)), â® ¥£®

­ §ë¢ îâ

â®ç­®© ¬ ¦®à ­â®©

¨«¨, ०¥,

â®ç­®© ¤®¬¨­ ­â®©

¬¥àë

¨

®¡®§­ ç -îâ ᨬ¢®«®¬

> >

>

>

>

>

. Œ ¦®à¨à㥬ãî ¬¥à㠯ਭïâ® ­ §ë¢ âì â ª¦¥

¬¥à®© ®£à ­¨ç¥­­®©

¢¥ªâ®à­®© ¢ à¨ æ¨¨,

  â®ç­ãî ¬ ¦®à ­âã

>

>

>

>

>

>

| ¢¥ªâ®à­®© ¢ à¨ æ¨¥© ¬¥àë

.

ãáâì dca(

A;Y

) | ¯à®áâà ­á⢮ ¢á¥å áç¥â­®  ¤¤¨â¨¢­ëå ¬¥à, ¤¥©áâ¢ãîé¨å ¨§

A

¢

Y

. ‘ç¥â­ ï  ¤¤¨â¨¢­®áâì

2

da(

A;Y

) ®§­ ç ¥â, ª ª ®¡ëç­®, çâ® ¤«ï

¯®á«¥¤®¢ -⥫쭮á⨠¯®¯ à­® ¤¨§êî­ªâ­ëå í«¥¬¥­â®¢ (

a n

)

A

¢ë¯®«­ï¥âáï

1

_

k=1 !

=

bo

-lim

n!1

n

X

k=1

(

a

k

)

:

ãáâì

(

Y;F

)

|à¥è¥â®ç­®­®à¬¨à®¢ ­­®¥¯à®áâà ­á⢮­ ¤K-¯à®áâà ­á⢮¬F. Š ¦¤ ï ¬ ¦®à¨à㥬 ï ¢¥ªâ®à­ ï ¬¥à  2

da(

A;Y

)

¨¬¥¥â â®ç­ãî ¬ ¦®à ­âã

>

>

>

>

>

>

ª®â®àã¦­® ¢ëç¨á«¨â쯮ä®à¬ã«¥:

>

>

>

>

>

>

(

a

) = sup

n

X

k=1 >

>

>

>

(

a

k

)

>

>

>

>

:

a

1 ;:::;a

n

2A; a

k ^a

l

= 0(

k 6

=

l

)

;

n

_

k=1 a

k

=

a

:

C

‘¬. [31; 4.2.9 (1)].

B

2.2.

ãáâì

E

¨

F

| ¢¥ªâ®à­ë¥ à¥è¥âª¨,

X

¨

Y

| à¥è¥â®ç­® ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥

¯à®áâà ­á⢠ ­ ¤

E

¨

F

ᮮ⢥âá⢥­­®. ‚®§ì¬¥¬ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à

T

:

X ! Y

¨

¯®«®¦¨â¥«ì­ë© ®¯¥à â®à

S

:

E!F

. …᫨ ¢ë¯®«­¥­® ᮮ⭮襭¨¥

>

>

>

Tx >

>

>6

S ,

>

>

>

x >

>

>

(

x2X

)

;

â® ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ®

S¬ ¦®à¨àã¥â T

¨«¨, çâ®

S

ï¥âáï

¬ ¦®à ­â®©

®¯¥à â®à 

T

. ‚ í⮩ á¨âã æ¨¨ ®¯¥à â®à

T

­ §ë¢ îâ

¬ ¦®à¨à㥬ë¬.

ãáâì maj(

T

) ®¡®§­ ç ¥â

¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ¬ ¦®à ­â ®¯¥à â®à 

T

. Œ­®¦¥á⢮ ¢á¥å ¬ ¦®à¨à㥬ëå ®¯¥à â®à®¢

¨§

X

¢

Y

®¡®§­ ç ¥âáï ᨬ¢®«®¬

M

(

X;Y

), á«¥¤®¢ â¥«ì­®,

T 2M

(

X;Y

)

()

maj(

T

)

6

=

?:

…᫨ ¢ ¬­®¦¥á⢥ maj(

T

) ¨¬¥¥âáï ­ ¨¬¥­ì訩 í«¥¬¥­â ®â­®á¨â¥«ì­® ¯®à浪 ,

¨­-¤ãæ¨à®¢ ­­®£® ¨§

L

(

E;F

), â® ¥£® ­ §ë¢ îâ

â®ç­®© ¬ ¦®à ­â®©

¨«¨

­ ¨¬¥­ì襩 ¬ ¦®à ­â®©T

¨ ®¡®§­ ç îâ ᨬ¢®«®¬

>

>

>

T >

>

>

. ’®ç­ãî ¬ ¦®à ­âã ­ §ë¢ îâ ¥é¥

¬ ¦®-à ­â­®© ­®à¬®©

. …᫨ ¬ ¦®à¨àã¥¬ë© ®¯¥à â®à

T

:

X !Y

¨¬¥¥â â®ç­ãî ¬ ¦®à ­âã

>

>

>

T >

>

>

, â®

>

>

>

Tx >

>

>

6 >

>

>

T >

>

> ,

>

>

>

x >

>

>

(

x2X

)

:

(1) ‚á直© ¬ ¦®à¨àã¥¬ë© ®¯¥à â®à T 2 M

(

X;Y

)

br-­¥¯à¥à뢥­, â. ¥. ¥á-«¨ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì

(

x

n

)

X br-á室¨âáï ª x 2 X, â® ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì

(

Tx n

)

br-á室¨âáï ª Tx ¢ Y. Œ ¦®à¨àã¥¬ë© ®¯¥à â®à T

0

2 M

(

X 0

;Y

)

, § ¤ ­­ë© ­  br-¯«®â­®¬ ¯®¤¯à®áâà ­á⢥ X

0

X ¤®¯ã᪠¥â ¥¤¨­á⢥­­®¥ ¯à®¤®«¦¥­¨¥ ¤®

¬ ¦®à¨-à㥬®£® ®¯¥à â®à T

0

2M

(

X 0

;Y

)

áá®åà ­¥­¨¥¬¬ ¦®à ­âë. C

‘¬. [31; 4.1.1].

B

(2)…᫨ à¥è¥â®ç­®­®à¬¨à®¢ ­­®¥¯à®áâà ­á⢮X à §«®¦¨¬®,  ¢¥ªâ®à­ ï

à¥è¥âª  F ¯®à浪®¢® ¯®«­ , â® ª ¦¤ë© ¬ ¦®à¨àã¥¬ë© ®¯¥à â®à T

:

X ! Y ¨¬¥¥â â®ç­ã¦®à ­âã

>

>

>

T >

>

>

. à¨ í⮬¨¬¥î⬥áâ®ä®à¬ã«ë

>

>

>

T >

>

>

e

= sup

n

X

k=1 >

>

>

Tx

k >

>

>

:

x

1 ;:::;x

n 2X;

n

X

k=1 >

>

>

x

k >

>

>

=

e; n2N

(

e2E 0+

)

;

>

>

>

T >

>

>

e

= sup

f >

>

>

T >

>

>

e

0

:

e

0 2E

0+ ; e

0

6eg

(

e2E +

)

;

>

>

>

T >

>

>

e

=

>

>

>

T >

>

>

e +

, >

>

>

T >

>

>

e ,

(

2.3. ãáâì G | à áè¨à¥­­®¥ K

-¯à®áâà ­á⢮ á ¯®à浪®¢®© ¥¤¨­¨æ¥© 1,

  (Y;F) | ᥪ¢¥­æ¨ «ì­® bo- ¯®«­®¥ à¥è¥â®ç­® ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ­ ¤

K-¯à®áâà ­á⢮¬ F.  áᬮâਬ ¯®¤ «£¥¡àã A -¯®«­®© ¡ã«¥¢®©  «£¥¡àë G(1)

¥¤¨-­¨ç­ëå í«¥¬¥­â®¢ ¯à®áâà ­á⢠ G ¨ ª®­¥ç­®  ¤¤¨â¨¢­ãî ¬¥àã : A ! Y á â®ç­®©

¬®¦®à ­â®© >

>

>

>

>

>

: A ! F. Ž¡®§­ ç¨¬ ᨬ¢®«®¬ S(A) ¢¥ªâ®à­ãî ¯®¤à¥è¥âªã ¢ G,

á®áâ®ïéãî ¨§ ¢á¥å A-¯à®áâëå (ª®­¥ç­®§­ ç­ëå) í«¥¬¥­â®¢ G, â. ¥. x 2 S(A)

®§­ ç -¥â, ç⮨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ x = P

n

k=1

k e

k

,£¤¥

1 ;:::;

n

2 R ¯à®¨§¢®«ì­ë,  

e

1 ;:::;e

n

2A¯®¯ à­® ¤¨§êî­ªâ­ë. ®«®¦¨¬

I

(x):=

Z

xd:= n

X

k=1

k (e

k

) (x2S ,

A)

:

Ÿá­®,çâ®íâ ä®à¬ã« ª®à४⭮®¯à¥¤¥«ï¥â¬ ¦®à¨à㥬멮¯¥à â®àI

:S(A)!Y,

¯à¨ç¥¬

>

>

>

>

>

>

> Z

xd >

>

>

>

>

>

> 6

Z

jxjd >

>

>

>

>

> ,

x2S(A)

:

 áᬮâਬ£« ¢­ë©¨¤¥ «G(1),¯®à®¦¤¥­­ë©¥¤¨­¨æ¥©1,¨¢¢¥¤¥¬¢­¥¬­®à¬ã

kxk:=inff: jxj 61g. ’®£¤  G(1) | AM- ¯à®áâà ­á⢮. ãáâì C(A)| § ¬ëª ­¨¥

S(A) ¢ AM-¯à®áâà ­á⢥ G(1). Ž¯¥à â®à I

¤®¯ã᪠¥â ¥¤¨­á⢥­­®¥ ¬ ¦®à¨à㥬®¥

¯à®¤®«¦¥­¨¥­  C(A), ª®â®à®¥ ®¡®§­ ç¨¬ ⥬ ¦¥ ᨬ¢®«®¬. à¨í⮬ >

>

>

>I

>

>

>

>=I

|

| .

„«ïª ¦¤®£® ¬ ¦®à¨à㥬®£®®¯¥à â®à  T :C(A)! Y áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ ï

¬ ¦®à¨à㥬 ï ¬¥à :=

T

:A!Y â ª ï, çâ®

Tx= Z

xd ,

x2C(A)

:

‘®®â¢¥âá⢨¥ T 7!

T

®áãé¥á⢫ï¥â«¨­¥©­ã®¬¥âà¨î à¥è¥â®ç­®­®à¬¨à®¢ ­­ëå

¯à®áâà ­áâ¢M(C(A);Y) ¨ da(A;Y).

C‘¬. [31; 6.1.1]. B

2.4. ¨¦¥ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì â ª¦¥ â®â ç áâ­ë© á«ãç © á¨âã æ¨¨ 2.3, ª®£¤ 

¢ ª ç¥á⢥ à áè¨à¥­­®£® K-¯à®áâà ­á⢠ G 䨣ãà¨àã¥â ¢¥ªâ®à­ ï à¥è¥âª  R Q

¢á¥å

¢¥é¥á⢥­­ëåä㭪権,®¯à¥¤¥«¥­­ëå­ ­¥¯ãá⮬¬­®¦¥á⢥Q. ãáâìA| «£¥¡à 

¯®¤¬­®¦¥á⢠¬­®¦¥á⢠ Q, â. ¥. A P(Q). âã  «£¥¡à㬮¦­® ®â®¦¤¥á⢨âì á

¨§®-¬®àä­®©  «£¥¡à®© å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨åä㭪権 f1

A :=

A

: A2Ag,â ª çâ®S(A)|

¯à®áâà ­á⢮ ¢á¥å A-¯à®áâëåä㭪権 ­  Q. …᫨ f = P

n

k=1

k

A

k (A

1 ;:::;A

n 2A)

¨ 2da(A;Y), â® ¯®®¯à¥¤¥«¥­¨î

I

(f):=

Z

fd= n

X

k=1

k (A

k ):

ˆ­â¥£à « I

¬®¦­® ¯à®¤®«¦¨âì ­  ¯à®áâà ­á⢮ -á㬬¨à㥬ëå ä㭪権, á¬. [10,

31].

‡ ä¨ªá¨à㥬 á«¥¤ãî騥 ®¡®§­ ç¥­¨ï: Q | ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮; T :=

T

Q

, F := F

Q

¨ K := K

Q

| ᮮ⢥âá⢥­­® ᮢ®ªã¯­®á⨠®âªàëâëå, § ¬ª­ãâëå ¨

ª®¬¯ ªâ­ë寮¤¬­®¦¥áâ¢Q; C

b

(Q)|¯à®áâà ­á⢮¢á¥å ®£à ­¨ç¥­­ëå­¥¯à¥à뢭ëå

ä㭪権­ Q. „«ïᥬ¥©á⢠D¯®¤¬­®¦¥áâ¢Q®¡®§­ ç¨¬á¨¬¢®«®¬

0

(D)

(ᮮ⢥â-á⢥­­®, (D)) ­ ¨¬¥­ìèãî ¯®¤ «£¥¡àã (ᮮ⢥âá⢥­­®, ­ ¨¬¥­ìèãî - ¯®¤ «£¥¡àã)

¢P(Q),ᮤ¥à¦ éãîD. ‚í⮬á«ãç ¥¡ã¤¥¬£®¢®à¨âì,ª ª®¡ëç­®,çâ®

0

(D)

(1)

ãáâì

C 2A

.  áᬮâਬ ᥬ¥©á⢠ ¬­®¦¥áâ¢

K C

:=

fK 2K\A

:

K Cg

¨

F C

:=

fD 2 F \A

:

D Cg

, 㯮à冷祭­ë¥ ¯® ¢ª«î祭¨î. Œ¥àã

:

A ! Y

­ §ë¢ îâ

à ¤®­®¢®©

(¨«¨

ª¢ §¨à ¤®­®¢®©

), ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£®

C 2 A

(ᮮ⢥âá⢥­­®,

¤«ï ª ¦¤®£®

C2T \A

) ¢ë¯®«­ï¥âáï

(

C

) =

bo

-lim

f

(

K

) :

K 2K C

g

. Œ¥àã

:

A!Y

­ §ë¢ îâ

ॣã«ïà­®©

(¨«¨

ª¢ §¨à¥£ã«ïà­®©

), ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£®

C2A

(ᮮ⢥âá⢥­­®,

¤«ï ª ¦¤®£®

C2T \A

) ¢ë¯®«­ï¥âáï

(

C

) =

bo

-lim

f

(

D

) :

D2F C

g

.

Š ª ¢¨¤­®, ¢ á«ãç ¥ ª®¬¯ ªâ­®£®

Q

í⨠¤¢  ®¯à¥¤¥«¥­¨ï à ¢­®á¨«ì­ë.

(2) Œ¥à  2

da(

A;Y

)

¡ã¤¥â à ¤®­®¢®©

(

ॣã«ïà­®©

)

¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥,ª®£¤  à ¤®­®¢ 

(

ॣã«ïà­ 

)

¥¥ ¢¥ªâ®à­ ï ¢ à¨ æ¨ï

>

>

>

>

>

>

2

ba(

A;F

)

. C

‘¬. [31; ⥮६  6.2.2.].

B

€­ «®£¨ç­ë© १ã«ìâ â ¤«ï ᢮©á⢠ ª¢ §¨à ¤®­®¢®á⨠(ª¢ §¨à¥£ã«ïà­®áâ¨)

áã-é¥á⢥­­® á«®¦­¥¥ ¨ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® «¨èì ¯à¨ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ëå âॡ®¢ ­¨ïå.

(3)à¥¤¯®«®¦¨¬,ç⮬¥à 2

da(

A;Y

)

㤮¢«¥â¢®àï¥â®¤­®¬ã¨§á«¥¤ãîé¨å ãá«®¢¨©:

( )

 «£¥¡à A¯®à®¦¤ ¥âáï¢å®¤ï騬¨¢ ­¥¥§ ¬ª­ãâ묨¬­®¦¥á⢠¬¨,â.¥. A

=

0

(

F\A

)

;

(b)

áç¥â­® ¤¤¨â¨¢­ ¨ «£¥¡à  A- ¯®à®¦¤ ¥âáï¢å®¤ï騬¨¢­¥¥§ ¬ª­ãâ묨 ¬­®¦¥á⢠¬¨,â.¥. A

= (

F\A

)

.

’®£¤  ¬¥à  ª¢ §¨à ¤®­®¢ 

(

ª¢ §¨à¥£ã«ïà­ 

)

¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ ¥¥ ¢¥ªâ®à­ ï ¢ à¨ æ¨ï

>

>

>

>

>

>ª¢ §¨à ¤®­®¢ 

(

ª¢ §¨à¥£ã«ïà­ 

)

. C

‘¬. [10; ⥮६  2] ¨ [31; ⥮६  6.2.3.].

B

x 3. ”®à¬ã«¨à®¢ª  ®á­®¢­ëå १ã«ìâ â®¢

‡¤¥áì ¤ ¤¨¬ ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ १ã«ìâ â®¢ ® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ ¬ ¦®à¨à㥬ëå

®¯¥à -â®à®¢. „®ª § â¥«ìá⢠ ¯à¨¢®¤ïâáï ¢ á«¥¤ãî饬 ¯ à £à ä¥.

3.1.

ãáâì

E

| à áè¨à¥­­®¥

K

-¯à®áâà ­á⢮ á ¥¤¨­¨æ¥©

1

,  

L

| ¯®¤à¥è¥âª 

E

,

ᮤ¥à¦ é ï ¥¤¨­¨æã ¨ á®áâ®ïé ï ⮫쪮 ¨§ ®£à ­¨ç¥­­ëå í«¥¬¥­â®¢. —¥à¥§

E

(

1

)

®¡®-§­ ç ¥âáï ¯®«­ ï ¡ã«¥¢   «£¥¡à  ¢á¥å ¥¤¨­¨ç­ëå í«¥¬¥­â®¢

K

-¯à®áâà ­á⢠

E

. ‚

E

(

1

)

¢ë¤¥«ï¥âáï ¯®¤à¥è¥âª  ¢á¥å ᯥªâà «ì­ëå å à ªâ¥à¨á⨪

T

L

=

fe

x

:

2R; x 2Lg

¨

¯®¤à¥è¥âª 

F

L

=

f1,e x

:

2R; x 2Lg

. ‘¨¬¢®«®¬

T

L

(ᮮ⢥âá⢥­­®

F

L

)

®¡®§­ -ç ¥¬ â®ç­ë¥ ¢¥àå­¨¥ (­¨¦­¨¥) £à ­¨æë ¢á¥¢®§¬®¦­ëå ¯®¤¬­®¦¥á⢠¨§

T

L

(¨§

F

L

) ¨

­ §ë¢ ¥¬ í«¥¬¥­âë ¨§

T

L

®âªàëâ묨,   ¨§

F

L

| § ¬ª­ãâ묨. …᫨

E

| ᥬ¥©á⢮

í«¥¬¥­â®¢ ¨§

E

(

1

), â® ç¥à¥§

0

(

E

) ((

E

)) ®¡®§­ ç ¥âáï ­ ¨¬¥­ìè ï  «£¥¡à  (

- «-£¥¡à ), ¯®à®¦¤¥­­ ï

E

. ‚ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¢á¥£¤  ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ®

Y

| íâ®

bo

-¯®«­®¥

à¥è¥â®ç­® ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ á ­®à¬¨àãî騬

K

-¯à®áâà ­á⢮¬

F

.

3.2.

‚¥ªâ®à­ãî ¯®¤à¥è¥âªã

LE

­ §ë¢ îâ

à §¤¥«ïî饩

, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå

e 1

2

F

L

¨

e

2 2T

L

, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ­¥à ¢¥­áâ¢ã

e

1 6e

2

, áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥­â

x2L

â ª®©,

çâ®

e 1

6x6e

2

. “ª ¦¥¬ ¤¢  ¯à¨¬¥à  à §¤¥«ïîé¨å ¯®¤à¥è¥â®ª.

(1)

ãáâì

Q

| ­®à¬ «ì­®¥ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ®«®¦¨¬

E

=

R Q

| ¯à®áâà ­á⢮ ¢á¥å ¢¥é¥á⢥­­ëå ä㭪権 ­ 

Q

,  

L

=

C b

(

Q

) | ¯à®áâà ­á⢮ ¢á¥å

®£à ­¨ç¥­­ëå ­¥¯à¥à뢭ëå ä㭪権 ­ 

Q

. ’®£¤ 

L

ï¥âáï à §¤¥«ïî饩 ¢¥ªâ®à­®©

¯®¤à¥è¥âª®© ¢

E

.

(2)

ãáâì

L

ï¥âáï ¯®à浪®¢ë¬ ¨¤¥ «®¬ ¢á¥å ®£à ­¨ç¥­­ëå í«¥¬¥­â®¢ ¢

à áè¨à¥­­®¬

K

-¯à®áâà ­á⢥

E

. ’®£¤ 

T L

=

F

L

=

E

(

1

) ¨

L

âਢ¨ «ì­ë¬ ®¡à §®¬

ãáâì

F E

(

1

) ¨

A

:= (

F

). Œ¥àã

:

A ! Y

­ §®¢¥¬

F-ॣã«ïà­®©

, ¥á«¨

(

a

) =

bo

-lim

f

(

a

0

) :

a

0

2 F; a 0

6 ag

. ‘«¥¤ãî騩 १ã«ìâ â | ¢ à¨ ­â ⥮६ë

€. „. €«¥ªá ­¤à®¢  ¤«ï ¬ ¦®à¨à㥬ëå ®¯¥à â®à®¢.

3.3. ’¥®à¥¬ . ãáâì T

:

L ! Y | ¬ ¦®à¨àã¥¬ë© ®¯¥à â®à, § ¤ ­­ë© ­  à §-¤¥«ïî饩 ¯®¤à¥è¥âª¥L K-¯à®áâà ­á⢠ E. ’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ ï ª®­¥ç­®

 ¤¤¨â¨¢­ ï F

L

-ॣã«ïà­ ï ¬¥à 

:

A

(

F L

)

! Y, ¨¬¥îé ï ®£à ­¨ç¥­­ãªâ®à­ãî

¢ à¨ æ¨î,â ª ï, çâ®

Tx

=

Z

xd

(

x2L

)

:

‘®¯®áâ ¢«¥­¨¥ T $ ®áãé¥á⢫ï¥â «¨­¥©­ãî ¨§®¬¥âà¨î M

(

L;Y

)

¨ ¯à®áâà ­á⢠

dar(

A

(

F L

)

;Y

)

ॣã«ïà­ëå ª®­¥ç­®  ¤¤¨â¨¢­ë嬠¦®à¨à㥬ë嬥à. C

„®ª § â¥«ìá⢮ ¯à¨¢®¤¨âáï ­¨¦¥ ¢ 4.1{4.7.

B

ãáâì

A

(

Q

) ®¡®§­ ç ¥â  «£¥¡àã ¬­®¦¥áâ¢, ¯®à®¦¤¥­­ãî ᮢ®ªã¯­®áâìî

®âªàë-âëå ¬­®¦¥á⢠⮯®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠

Q

.

3.4. ’¥®à¥¬ .ãáâìQ|­®à¬ «ì­®¥â®¯®«®£¨ç¥áª®¥¯à®áâà ­á⢮,F |

­¥ª®â®-஥ K-¯à®áâà ­á⢮,   T

:

C b

(

Q

)

!F | ¯®«®¦¨â¥«ì­ë©®¯¥à â®à. ’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ ï ¯®«®¦¨â¥«ì­ ï ª®­¥ç­®  ¤¤¨â¨¢­ ï ॣã«ïà­ ï ¬¥à 

:

A

(

Q

)

! F â ª ï, çâ®

Tx

=

Z

Q

x

(

q

)

d

(

q

) (

x2C b

(

Q

))

:

‘®®â¢¥âá⢨¥ T $

T

á«ã¦¨â «¨­¥©­ë¬ ¨ ¯®à浪®¢ë¬ ¨§®¬®à䨧¬®¬ ¢¥ªâ®à­ëå

à¥è¥â®ª L

(

C

b

(

Q

)

;F

)

¨

bra(

A

(

Q

)

;F

)

. C

‘®£« á­® 3.2

L

:=

C

b

(

Q

) | à §¤¥«ïîé ï ¯®¤à¥è¥âª 

K

-¯à®áâà ­á⢠

E

=

R Q

.

®í⮬ã âॡ㥬®¥ á«¥¤ã¥â ¨§ ⥮६ë 3.4.

B

3.5.

 áᬮâਬ ¡í஢᪨© ¢ à¨ ­â ⥮६ë 3.2. „«ï í⮣® ­ã¦­ 

ᮮ⢥âáâ¢ãî-é ï ¬®¤¨ä¨ª æ¨ï ¯®­ïâ¨ï à §¤¥«ïî饩 ¯®¤à¥è¥âª¨. ‚¥ªâ®à­ãî ¯®¤à¥è¥âªã

LE

­ §ë¢ ¥¬

-

à §¤¥«ïî饩

, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå

e 1

2 F

L

,

e

2 2 T

L

, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å

­¥-à ¢¥­áâ¢ã

e 1

6 e

2

, áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥­â

x 2 L

â ª®©, çâ®

e 1

6 x 6 x

2

. à¨¬¥à®¬

-à §¤¥«ïî饩 à¥è¥âª¨ ï¥âáï ¯à®áâà ­á⢮

C

b

(

Q

), £¤¥

Q

| ¯à®¨§¢®«ì­®¥

⮯®«®-£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

3.6. ’¥®à¥¬ . ãáâì T

:

L ! Y ¬ ¦®à¨àã¥¬ë© ®¯¥à â®à, § ¤ ­­ë© ­  - à §¤¥«ïî饩 à¥è¥âª¥ L. ’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ ï ª®­¥ç­®  ¤¤¨â¨¢­ ï

F

L

-ॣã«ïà­ ï ¬¥à 

:

A

(

F

L

)

! Y, ¨¬¥îé ï ®£à ­¨ç¥­­ãî ¢ à¨ æ¨î, ¤«ï

ª®â®-ன á¯à ¢¥¤«¨¢®¨­â¥£à «ì­®¥¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥¨§ ⥮६ë3.2.

C

„®ª § â¥«ìá⢮  ­ «®£¨ç­® 3.2.

B

ãáâì

A

0

() ®¡®§­ ç ¥â  «£¥¡àã ¬­®¦¥áâ¢, ¯®à®¦¤¥­­ãî ᮢ®ªã¯­®áâìî

äã­ª-樮­ «ì­® ®âªàëâëå ¬­®¦¥á⢠⮯®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠ .

3.7. ’¥®à¥¬ . ãáâì Q | ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮, F |

­¥-ª®â®à®¥ K-¯à®áâà ­á⢮,   T

:

C b

(

Q

)

! F | ¯®à浪®¢® ®£à ­¨ç¥­­ë© ®¯¥à â®à. ’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ ï ®£à ­¨ç¥­­ ï ª®­¥ç­®  ¤¤¨â¨¢­ ï ॣã«ïà­ ï ¬¥à 

:=

T

:

A

0

(

Q

)

!F â ª ï, çâ® Tx

=

Z

Q

x

(

q

)

d

(

q

) (

x2C b

(

‘®®â¢¥âá⢨¥ T $ T á«ã¦¨â «¨­¥©­ë¬ ¨ ¯®à浪®¢ë¬ ¨§®¬®à䨧¬®¬ ¢¥ªâ®à­ëå à¥è¥â®ª L (C b

(Q);F) ¨ bra(A

0

(Q);F).

C ¥âà㤭® ¢¨¤¥âì, çâ® L := C

b

(Q) | -à §¤¥«ïîé ï ¯®¤à¥è¥âª  K

-¯à®áâ-à ­á⢠ E=R Q

. ®í⮬ã âॡ㥬®¥ á«¥¤ã¥â ¨§ ⥮६ë3.6. B

3.8. ’¥®à¥¬ã 3.4 ¤«ï ¯®«®¦¨â¥«ì­®£® T ãáâ ­®¢¨« . Šà¨á⨠­ [20],   § â¥¬

…. ¥àæ [19]. ¥ª®â®à®¥ ãâ®ç­¥­¨¥ í⮩ ⥮६ë ᮤ¥à¦¨âáï ¢ à ¡®â¥ ‡.

‹¨¯¥æª®-£® [36]. ’¥®à¥¬ã 3.7 ¯®«ã稫 ‡. ‹¨¯¥æª¨ ¢ [36]. Ž ¤à㣨å à §­®¢¨¤­®áâïå ⥮६ë

¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï⨯ ¨áá á¬. ….¥àæ[19],„¦.„¨á⥫쨄¦.“«ì[21],€.ƒ.Šãáà ¥¢

¨ ‘. €. Œ «î£¨­ [10], ’.  ­ç ¯ £¥á ­ ¨ ˜. ‚.  ««¥¤ [38], €. ‘¥¤  [43], .

”ãªá-è⥩­¥à¨‚. ‹ áª¨ [24],‘. •ãà ­  [27, 28].

x 4. „®ª § â¥«ìá⢮ ®á­®¢­®£® १ã«ìâ â 

Ž£à ­¨ç¨¬áï ¤®ª § â¥«ìá⢮¬ ⥮६ë 3.4. ’¥®à¥¬  3.6 ãáâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï

 ­ «®-£¨ç­®, ®áâ «ì­ë¥ä ªâ먧¯ à £à ä 3,ª ª¡ë«®®â¬¥ç¥­®¢¯à¥¤ë¤ã饬

¯ à £à -ä¥, ­¥¯®á।á⢥­­®á«¥¤ãî⨧ 㪠§ ­­ëå ⥮६.  ç­¥¬á ¯à®á⮣®

¢á¯®¬®£ â¥«ì-­®£®ã⢥ত¥­¨ï.

4.1. „«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® f 2 F

L

à áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮ (f):= fx 2 L : x >fg

á ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­ë¬ ¨§ L ¯®à浪®¬. Š ª ¢¨¤­®, (f) 䨫ìâàã¥âáï ¯® ã¡ë¢ ­¨î. „«ï

¯ àë í«¥¬¥­â®¢ f

1 ;f 2 2F L ¢¢¥¤¥¬¬­®¦¥á⢮ (f 1 ;f 2

):=f(x;x

1 ;x

2

)2(f

1 _f

2

)(f

1

)(f

2 ): x

1 +x 2 6xg á ¯®ª®®à¤¨­ â­ë¬ã¯®à冷祭¨¥¬. …᫨ f 1 ¨ f 2

¤¨§êî­ªâ­ë, â® ¬­®¦¥á⢮ (f

1 ;f

2

) 䨫ìâàã¥âáï ¢­¨§¨

ª®¨­¨æ¨- «ì­® ¢ := (f

1 _f

2

)(f

1

)(f

2

). ®á«¥¤­¥¥ ®§­ ç ¥â, çâ® ¤«ï «î¡®£® ' 2

áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© 2 , çâ® 6'.

C ã¦­® «¨èì ã¡¥¤¨âìáï ¢ á¯à ¢¥¤«¨¢®á⨠¯®á«¥¤­¥£® ã⢥ত¥­¨ï. ‚®§ì¬¥¬

(x;x

1 ;x

2

) 2 . ˆ§ ᢮©á⢠ ®â¤¥«¨¬®á⨠à¥è¥âª¨ L á«¥¤ã¥â áãé¥á⢮¢ ­¨¥ y 2 L

â ª®£®, çâ®f

1

6y 61,f

2

. ®«®¦¨¬ ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨îx 0

1 := x

1

^x^y, x 0

:=x ¨ x 0

2 :=

(x,x 0

1 )^x

2

. Š ª¢¨¤­®,âனª (x 0 ;x 0 1 ;x 0 2

)¢å®¤¨â¢ (f

1 ;f

2 )¨(x

0 ;x 0 1 ;x 0 2

)6(x;x

1 ;x

2 ),

ç⮨âॡ®¢ «®áì. B

4.2. ãáâì S : L ! F | ¯®«®¦¨â¥«ì­ë© ®¯¥à â®à. „«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® f 2 F

L

¯®«®¦¨¬

0 (f)=

^

fSx: f 6x; x2Lg:

’®£¤  ®â®¡à ¦¥­¨¥

0 : F

L

! F  ¤¤¨â¨¢­®, ¨ ¯à¨ f

1 ;f 2 2 F L , f 1 6 f 2 ¢ë¯®«­ï¥âáï ᢮©á⢮ ¯«®â­®á⨠0 (f 2 )= 0 (f 1 )+ _ f 0

(f): f 6f

2 ,f

1

; f 2F

L g:

C ¥¯®á।á⢥­­® ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï

0 ¢¨¤­®, çâ® 0 (f 1 _f 2 ) 6 0 (f 1 ) + 0 (f 2 ). ãáâì x 0

2 L, x 0

> f

1 _f

2

. ’®£¤  (x 0

;x 0

;x 0

) 2 ¨ ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á 4.1 ­ ©¤¥âáï

âனª (x;x

1 ;x

2

)2 (f

1 ;f

2

) â ª ï, çâ®(x 0

;x 0

;x 0

)>(x;x

1 ;x

2

). Žâá¢ë¢®¤¨¬ Sx 0

>

Sx>S(x

1

)+S(x

2 )> 0 (f 1 )+ 0 (f 2

„ «¥¥, ¯ãáâì

f 2F L

,

f 6f

2 ,f

1

¨

x

2

2L

,

f 2

6x

2

. ’ ª ª ª à¥è¥âª 

L

à §¤¥«ïî-é ï, â® áãé¥áâ¢ã¥â

y2L

, ¤«ï ª®â®à®£®

f 1

6y61,f 2T

L

. „«ï í«¥¬¥­â 

x

1

=

x

2 ^y

¡ã¤¥â

f 6x 2

,x

1

¨

Sx

2

=

S

(

x

2 ,x

1

) +

Sx

1 >

0

(

f

) +

0

(

f

1

)

:

®á«¥¤­¥¥ ­¥à ¢¥­á⢮ ¢ë¯®«­ï¥âáï ¤«ï «î¡®£®

x 2

2L

¯à¨

x 2

>f

2

, á«¥¤®¢ â¥«ì­®,

0

(

f 2

)

> 0

(

f

1

) +

0

(

f

) (

f 6f 2

,f

1

)

:

(

)

„ «¥¥, ¤«ï

x 1

2L

,

x 1

>f

1

¨ ç¨á«  0

<"<

1 ¯®« £ ¥¬

f

:= (

1,e

(1,"1,x

1 )

0

)

^f

2

. ’®£¤ 

f 6f

2 ,f

1

¨ ¤«ï «î¡®£®

x 2L

¯à¨

x >f

¢¥à­® (1

,"

)

,1

(

x

1

+

x

)

> f

2

. ’¥¬ á ¬ë¬

0

(

f

2

)

6

(1

,"

)

,1

(

Sx

1

+

Sx

). ®á«¥¤­¥¥ ­¥à ¢¥­á⢮ ¢ë¯®«­ï¥âáï ¤«ï ª ¦¤®£®

x2L

¯à¨

x>f

, áâ «® ¡ëâì,

0

(

f

2

)

6

(1

,"

)

,1

(

Sx

1

+

0

(

f

))

6

(1

,"

)

Sx 1

+

_ f 0

(

f

) :

f 6f 2

,f

1

; f 2Lg

:

®«ã祭­®¥ ­¥à ¢¥­á⢮ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¤«ï «î¡ëå

x 2

2L

¯à¨

x 2

>f

2

¨

">

0, ¯®í⮬ã

0

(

f 2

)

6 0

(

f

1

) +

_

f

0

(

f

) :

f 6f 2

,f

1

; f 2F

L g:

‘®¯®áâ ¢«ïï ¯®á«¥¤­¥¥ ­¥à ¢¥­á⢮ á (

), ¯®«ãç ¥¬ ᢮©á⢮ âॡ㥬®¥ ¯«®â­®áâ¨

0

.

B 4.3.”ã­ªæ¨ï 0

¤®¯ã᪠¥â¨¯à¨â®¬¥¤¨­á⢥­­®¥ ¤¤¨â¨¢­®¥F

L

-ॣã«ïà­®¥

¯à®-¤®«¦¥­¨¥ á ¬­®¦¥á⢠ F

L

­  ¢áî «£¥¡àãA

(

F L

) =

A

(

T L

)

.

C

â® ã⢥ত¥­¨¥ ¢ë¢®¤¨âáï ¨§ ᢮©á⢠ ¯«®â­®áâ¨. „«ï

e 2 A

(

F

L

) ¯®« £ ¥¬

¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î

(

e

):=

_

f

0

(

f

) :

f 2F L

; f 6eg:

‹¥£ª® ¯à®¢¥àï¥âáï, çâ® ¬­®¦¥á⢮

E

:=

fe2A

(

F L

) : (

8e 0

2A

(

F L

)

(

e 0

) =

(

e 0

^e

) +

(

e 0

ne

)

g

ï¥âáï ¯®¤ «£¥¡à®© ¢

A

(

F

L

), ᮤ¥à¦ é¥©

F

L

. ‡­ ç¨â,

E

=

A

(

F L

) ¨

ï¥âáï

 ¤¤¨â¨¢­®©

F

L

-ॣã«ïà­®© ¬¥à®© ­ 

A

(

F

L

).

B

4.4.”®à¬ã« 

0

(

f

):=

bo-

lim

fTx

:

x2

(

f

)

g®¯à¥¤¥«ï¥â ¤¤¨â¨¢­®¥®â®¡à ¦¥­¨¥

0

:

F

L

!Y,®¡« ¤ î饥᢮©á⢮¬ ¯«®â­®áâ¨

0

(

f

2

) =

0

(

f

1

) +

bo-

lim

f 0

(

f

) :

f 6f 2

,f

1

; f 2F

L g:

C

à¥¦¤¥ ¢á¥£® § ¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï «î¡®£®

f 2 F

L

á¥âì (

Tx

)

x2(f)

bo

-äã­¤ -¬¥­â «ì­ , â ª ª ª ¯à¨

x 1

;x

2

2

(

f

) á¯à ¢¥¤«¨¢ë ᮮ⭮襭¨ï

>

>

>

Tx

1 ,Tx

2 >

>

>

6S

(

jx 1

,x

2

j

)

6S

(

x 1

,x

1 ^x

2

) +

S

(

x

2 ,x 1 ^x 2

)

(o)

!

0

:

‚ ᨫã

bo,

¯®«­®âë

Y

¯à¥¤¥«

bo

-lim

fTx

:

x 2

(

f

)

g

áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ®â®¡à ¦¥­¨¥

0

f

1 ;f

2 2 F

L

¨ ¯®ª ¦¥¬, çâ®

0

(

f

1 _f

2

) =

0

(

f

1

) +

0

(

f

2

). ®«ì§ãïáì ã⢥ত¥­¨¥¬

¨ ®¡®§­ ç¥­¨ï¬¨ ¨§ 4.1, ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï

0

¢ë¢®¤¨¬:

> > > > 0

(

f 1 _f 2

)

, 0

(

f 1

)

, 0

(

f 2

)

> > > >

=

o

-lim

> > > >

T

(

x,x 1 ,x 2

)

> > >

>

: (

x;x

1 ;x

2

)

2

=

o

-lim

f >

>

>

>T

(

x,x 1 ,x 2

)

> > >

>

: (

x;x 1

;x

2

)

2

(

f

1 ;f

2

)

g

6o

-lim

fS

(

x,x 1

,x

2

) : (

x;x

1 ;x

2

)

2

(

f

1 ;f

2

)

g

=

o

-lim

fS

(

x,x 1

,x

2

) : (

x;x

1 ;x

2

)

2

g

=

(

f 1

_f

2

)

,

(

f

1

)

,

(

f

2

) = 0

;

®âªã¤  ¨ ¢¨¤­   ¤¤¨â¨¢­®áâì

0

.

®ª ¦¥¬, çâ® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ­¥à ¢¥­á⢮

> > > > 0

(

f 2

)

, 0

(

f 1

)

> > >

>6

(

f 2

,f

1

) (

f 1 ;f 2 2F L ; f 1 6f 2

)

:

(

)

„«ï í⮣® ¢¢¥¤¥¬ ¬­®¦¥á⢮

0

:=

f

(

x

1 ;x

2

)

2

(

f 1

)

(

f 2

) :

x

1 6 x

2

g

¨ § ¬¥â¨¬,

çâ® ®­® 䨫ìâàã¥âáï ¯® ã¡ë¢ ­¨î ¨ ª®¨­¨æ¨ «ì­® ¢ (

f 1

)

(

f

2

). ®«ì§ãïáì í⨬,

­ ¯¨è¥¬

> > > > 0

(

f 2

)

, 0

(

f 1

)

> > > >

=

o

-lim

f >

>

>

Tx

2 ,Tx

1 >

>

>

: (

x

1 ;x

2

)

2

(

f

1

)

(

f

2

)

g

=

o

-lim

f >

>

>

> T

(

x

2 ,x 1

)

> > >

>

: (

x 1 ;x 2

)

2 0

g6o

-lim

fS

(

x 2

,x

1

) : (

x 1 ;x 2

)

2 0 g

=

o

-lim

fS

(

x 2

,x

1

) : (

x

1 ;x

2

)

2

(

f

1

)

(

f

2

)

g

=

(

x 2

)

,

(

x 1

) =

(

x 2 ,x 1

)

:

’¥¯¥àì ¤®ª ¦¥¬ ᢮©á⢮ ¯«®â­®á⨠¤«ï ä㭪樨

0

. ãáâì

e2A

(

F L

) ¨

f 1 ;f 2 2 F L

,

f 1

6 e

,

f 2

6 e

. ’®£¤  ¨§ ®æ¥­ª¨

> > > > 0

(

f 1

)

, 0

(

f 2

)

> > > > 6

(

f

1 _f

2 ,f

1

) +

(

f 1 _ f 2 ,f

2

) ¢¨¤­ 

bo

-äã­¤ ¬¥­â «ì­®áâì á¥â¨

f 0

(

f

) :

f 2

(

f

)

g

, ¨ ¯®í⮬ã áãé¥áâ¢ã¥â

bo

-lim

f

0

(

f

) :

f 2F L

^eg

. ˆá¯®«ì§ãï ᢮©á⢮ ¯«®â­®áâ¨

¨  ¤¤¨â¨¢­®áâì

0

¬®¦¥¬

­ ¯¨á âì ¯à¨ «î¡ëå

f 1 ;f 2 2F L

,

f 1 6f

2

á«¥¤ãîéãî 楯®çªã ᮮ⭮襭¨©:

> > > > 0

(

f 2

)

, 0

(

f 1

)

,bo

-lim

f 0

(

f

) :

f 2F L

; f 6f

2 ,f 1 g > > > >

=

o

-lim

> > > > 0

(

f 2

)

, 0

(

f 1 _f

)

>

>

>

>

:

f 2F

L

; f 6f

2 ,f

1

6o

-lim

f

(

f 2

,f

1 _f

2

) :

f 2F

L

; f 6f

2 ,f

1 g

=

(

f 2

) =

(

f 1

)

, _

f

(

f

) :

f 2F L

; f 6f

2 ,f

1 g

= 0

;

çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.

B

4.5.”ã­ªæ¨ï

0

¤®¯ã᪠¥â¨¯à¨â®¬¥¤¨­á⢥­­®¥ ¤¤¨â¨¢­®¥F

L

- ॣã«ïà­®¥

¯à®-¤®«¦¥­¨¥á ¬­®¦¥á⢠ F

L

­ ¢áî  «£¥¡àãA

(

F L

) =

A

(

T L

)

. à¨ í⮬

(

e

) =

bo-

lim

f 0

(

f

) :

f 2F L

^eg

(

e2A

(

F L

))

:

C

â®â 䠪⠬®¦­® ¯à®¢¥à¨âì ­¥¯®á।á⢥­­® ¯® ⮩ ¦¥ á奬¥, çâ® ¨ ¤«ï

äã­ª-樨

, á¬., ­ ¯à¨¬¥à, [35; ⥮६  1]. ‡¤¥áì ¤ ¤¨¬ ¤à㣮¥ ¤®ª § â¥«ìá⢮. ˆ§ ᢮©á⢠

¯«®â­®á⨠¢ë⥪ ¥â, çâ® ¢¥«¨ç¨­ 

(

f 2

)

,

(

f

1

) § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â í«¥¬¥­â 

e

=

f

2 ,f 1

.

Žâá, ¢ ç áâ­®áâ¨, á«¥¤ã¥â ¬®¤ã«ïà­®¥ ⮦¤¥á⢮

0

(

f 1 _f

2

) +

0

(

f

1 ^f

2

) =

0

(

f

1

) +

0

(

f

2

) (

f 1 ;f 2 2F L

)

:

‘ãé¥á⢮¢ ­¨¥ ¥¤¨­á⢥­­®£®  ¤¤¨â¨¢­®£® ¯à®¤®«¦¥­¨ï ­  ¯®à®¦¤¥­­ãî  «£¥¡àã

A

(

F

4.6. ’¥®à¥¬ . ãáâìA| ¡ã«¥¢  «£¥¡à ,L |¯®¤à¥è¥âª ¢A,ᮤ¥à¦ é ï

0

¨ ¯®à®¦¤ îé ï A, â. ¥. A

=

A

(

L

)

. ãáâì

0

:

L ! G| ®â®¡à ¦¥­¨¥¨§ L ¢

ª®¬¬ãâ -⨢­ãî£à㯯ãG, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 à ¢¥­áâ¢ã

0

(0) = 0

¨¬®¤ã«ïà­®¬ã⮦¤¥áâ¢ã

0

(

a_b

) +

0

(

a^b

) =

0

(

a

) +

0

(

b

) (

a;b2L

)

:

’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­®¥  ¤¤¨â¨¢­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥

:

A

(

L

)

! G, ¯à®¤®«¦ î-饥

0 .

C

â®â १ã«ìâ â ãáâ ­®¢«¥­ ¢ à ¡®â¥ . ¥ââ¨á  [39], § â¥¬ ¯¥à¥®âªàë⠉.

Š¨-設᪨¬ [30]. ®«¥¥ ¯à®á⮥ ¤®ª § â¥«ìá⢮ ­ ©¤¥­® ‡. ‹¨¯¥æª¨¬ ¢ [32].

B

4.7.

Žáâ ¥âáï ãáâ ­®¢¨âì ¨­â¥£à «ì­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ®¯¥à â®à 

T

.

‚¯à¥¤¯®«®¦¥­¨ïå⥮६ë3.2¨¬¥¥â ¬¥á⮨­â¥£à «ì­®¥¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥

Tx

=

Z

xd

(

x2L

)

; £¤¥

:

A

(

F

L

)

! Y |  ¤¤¨â¨¢­®¥ F

L

- ॣã«ïà­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¥ ¢

á®®â-¢¥âá⢨¨á 4.4¨ 4.5.

C

ãáâì

x2L

¨

n2N

. ’ ª ª ª

x

®£à ­¨ç¥­­ë© í«¥¬¥­â, â® ®­ ¨¬¥¥â ª®­¥ç­ãî

­®à¬ã

kxk

= inf

f 2 R +

:

jxj 6 1g

. ®«®¦¨¬

k

:=

kkxk=n

,

k

=

,n;:::;n

. ˆ§

®â¤¥«¨¬®áâ¨

L

á«¥¤ã¥â áãé¥á⢮¢ ­¨¥

y k

2L

â ª¨å, çâ®

1,e

x

k 6y

k 6e

,x

,

k ,1

(

k

=

,n

+ 1

;:::;n

)

:

 áᬮâਬ í«¥¬¥­â

x

n

=

kxk

n

n

X

k=,n+1 y

k ,n1

!

:

‹¥£ª® ¯à®¢¥àï¥âáï, çâ®

jx,x n

j6

(

kxk=n

)

1

. Šà®¬¥ í⮣® á¯à ¢¥¤«¨¢ë ®æ¥­ª¨

>

>

>

> Ty

k

,

(

1,e x

k

)

>

>

>

>

=

o

-lim

f >

>

>

Ty

k ,Ty

>

>

>

:

y2L; 1,e x

k

6y6y

k g

6o

-lim

fS

(

y k

,y

) :

y2L; 1,e x

k

6y6y

k g

=

Sy k

,

(

1,e x

k

)

6

(

e

,x

,

k

)

,

(

1,e x

k

)

:

„ «¥¥, ¯®« £ ¥¬

z

n

=

kxk

n

n1, n

X

k=,n+1 e

x

k !

:

‚­®¢ì ¢ë¯®«­ï¥âáï ­¥à ¢¥­á⢮

jx,z n

j6

(

kxk=n

)

1

. ’¥¯¥àì ¬ë ¬®¦¥¬ ­ ¯¨á âì

>

>

>

>

>

>

> Tx

n ,

Z

z

n d

>

>

>

>

>

>

>

=

kxk

n >

>

>

>

>

>

>

>

>

> n

X

k=,n+1

Ty

k ,

,

1,e x

k

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

6 kxk

n n

X

k=,n+1

,

e ,x

,k ,1

, ,

1,e x

k

6 kxk

n n

X

k=,n+1

,

1,e x

k ,1

, ,

1,e x

k

6

(

1

)

kxk

=

S

(

1

)

kxk

Žâá ¢ë¢®¤¨¬

>

>

>

Tx,Tx

n >

>

>6

S(1) kxk

n ;

>

>

>

>

>

>

> Z

xd, Z

z

n d

>

>

>

>

>

>

> 6

>

>

>

>

>

>

(1) kxk

n

6(1) kxk

n

=S(1) kxk

n :

‘®¯®áâ ¢«ïïíâ® á¯à¥¤ë¤ã騬­¥à ¢¥­á⢮¬, § ª«îç ¥¬

>

>

>

>

>

>

> Tx,

Z

xd >

>

>

>

>

>

> 6

3kxk

n >

>

>

T >

>

>

(1):

‚¢¨¤ã¯à®¨§¢®«ì­®á⨠n, ¯®«ãç ¥¬ âॡ㥬®¥ ¨­â¥£à «ì­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥.B

x5. à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ à ¤®­®¢ë¬¨ ¬¥à ¬¨

5.1.€.€.Œ àª®¢[15; ⥮६ 16], § â¥¬€.„.€«¥ªá ­¤à®¢[2;x9,⥮६ë2¨

5]ãáâ ­®¢¨«¨,ç⮢á«ãç ¥ª®¬¯ ªâ­®£® ⮯®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠¢¥é¥á⢥­­ ï

ॣã«ïà­ ï ¬¥à  áç¥â­®  ¤¤¨â¨¢­  ­  ®¡« á⨠᢮¥£® § ¤ ­¨ï. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨

Q |ª®¬¯ ªâ,â® ¯à¥¤áâ ¢«ïî騥¬¥àë ¨§ ⥮६ë1.2áç¥â­®  ¤¤¨â¨¢­ë¨

ॣã«ïà-­ë, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¤®¯ã᪠î⨠¯à¨â®¬ ¥¤¨­á⢥­­®¥ ॣã«ïà­®¥ áç¥â­®  ¤¤¨â¨¢­®¥

¯à®¤®«¦¥­¨¥ ­  ¡®à¥«¥¢áªãî - «£¥¡àã. ’¥¬ á ¬ë¬, ⥮६  ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ¨áá  ¢

ä®à¬¥ 1.1¢ë⥪ ¥âª ª¨§ १ã«ìâ â®¢€.€. Œ àª®¢  [15] 1938 £®¤ , â ª¨ ¨§

१ã«ì-â â®¢€.„.€«¥ªá ­¤à®¢ [2]1941£®¤ . ‚⮦¥¢à¥¬ï,ª ª¯®ª § «€.„.€«¥ªá ­¤à®¢

[2;x9,⥮६ 5],¤«ï­®à¬ «ì­®£®â®¯®«®£¨ç¥áª®£®¯à®áâà ­áâ¢Qª« ááë

®£à ­¨ç¥­-­ëåáç¥â­® ¤¤¨â¨¢­ëåॣã«ïà­ë嬥à rca (Q)¨®£à ­¨ç¥­­ëå ª®­¥ç­®  ¤¤¨â¨¢­ëå

ॣã«ïà­ëå ¬¥à ra(Q) ᮢ¯ ¤ îâ ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤  Q | ª®¬¯ ªâ.

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ⥮६  ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ¨áá  ¢ ä®à¬¥ 1.1 ¨¬¥¥â ¬¥á⮠⮫쪮 ¤«ï

ª®¬¯ ªâ­ëå ¯à®áâà ­á⢠Q. ‘ç¥â­ ï  ¤¤¨â¨¢­®áâì à ¤®­®¢®© ¬¥àë ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨

¤«ï ¬¥à á® §­ ç¥­¨ï¬¨¢ à¥è¥â®ç­® ­®à¬¨à®¢ ­­ëå¯à®áâà ­á⢠å. ‘«¥¤ãî騥 ¤¢ 

ã⢥ত¥­¨ïãáâ ­®¢«¥­ë‘. €. Œ «î£¨­ë¬¢[12].

(1) …᫨ ¬ ¦®à¨à㥬 ï:A!Y à ¤®­®¢ ,â® ®­  - ¤¤¨â¨¢­ .

(2) …᫨¬ ¦®à¨à㥬 ï ¬¥à  :A!Y ª¢ §¨à ¤®­®¢ , â® ®£à ­¨ç¥­¨¥­ 

 «£¥¡àã

0 (F

X

\A) áç¥â­®  ¤¤¨â¨¢­®.

„à㣨¬ á«¥¤á⢨¥¬ 㯮¬ï­ãâëå à ¡®â €. €. Œ àª®¢  ¨ €. „. €«¥ªá ­¤à®¢ 

ï¢-«ï¥âáïâ®âä ªâ,ç⮤«ï¢¥é¥á⢥­­ëå ¬¥à­  ª®¬¯ ªâ¥á¢®©á⢠ࠤ®­®¢®á⨨

ª¢ -§¨à ¤®­®¢®á⨠ᮢ¯ ¤ îâ. „«ï¬¥à á® §­ ç¥­¨ï¬¨ ¢¢¥ªâ®à­®© à¥è¥âª¥ ¤¥«®®¡á⮨â

á«®¦­¥¥. ‚®¯à®á® ⮬,­ áª®«ìª® ª« á᪢ §¨à ¤®­®¢ë嬥à è¨à¥ª« áá à ¤®­®¢ëå

¬¥à,¯à¨­æ¨¯¨ «ì­®à¥è ¥âáï ¢á«¥¤ãî饬ã⢥ত¥­¨¨.

5.2. ’¥®à¥¬ . ãáâì Q | ¢¯®«­¥ ॣã«ïà­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ¨ ¤ ­  - «£¥¡à 

A = (F

Q

\ A). ãáâì ­  K-¯à®áâà ­á⢥ F ¢ë¯®«­ï¥âáï § ª®­ á« ¡®© (;

1)-¤¨áâਡã⨢­®áâ¨. ‚í⮬á«ãç ¥¬¥à 2dca(A;Y)ï¥âáïà ¤®­®¢®©(ॣã«ïà­®©)

⮣¤  ¨â®«ìª® ⮣¤ ,ª®£¤  ®­  ª¢ §¨à ¤®­®¢ (ª¢ §¨à¥£ã«ïà­ ).

C „®ª ¦¥¬, çâ® ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ãá«®¢¨© â¥®à¥¬ë ¨§ ª¢ §¨à ¤®­®¢®á⨠¬¥àë

á«¥¤ã¥â ¥¥ à ¤®­®¢®áâì. ˆ§ ⥮६ë 2.4(3) á«¥¤ã¥â ª¢ §¨à ¤®­®¢®áâì ¢¥ªâ®à­®©

¢ à¨ æ¨¨ = >

>

>

>

>

>

. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¤«ï«î¡®£® U 2T

Q

\A ¨¬¥¥¬

^

f >

>

>

>

>

>

(UnK):K 2K

’¥¬ ¡®«¥¥¤«ï «î¡®£®ä¨ªá¨à®¢ ­­®£®D2F

Q

\A¯®«ãç ¥¬

^

f >

>

>

>

>

>

(U \DnK\D):K2K

U g=0:

Ž¡®§­ ç¨¬ ç¥à¥§E ¬­®¦¥á⢮¢á¥å E 2A,¤«ï ª®â®àëå

^

f >

>

>

>

>

>

(EnK):K 2K

E

g=0: ()

Œë 㦥 ã¡¥¤¨«¨áì, çâ® A(F

Q

\A) E.  áᬮâਬ «î¡ãî ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì

(E

n )

1

n=1

í«¥¬¥­â®¢¨§ E ¨¤®ª ¦¥¬,çâ®E= 1

S

n=1 E

n

2E. „«ïí⮣® à áᬮâਬ«î¡ë¥

ª®¬¯ ªâ­ë¥¬­®¦¥á⢠K

n 2K

En

¨¯®«®¦¨¬h

Kn =

>

>

>

>

>

>

(E

n nK

n

). ãáâìC

n =E

n nK

n .

ˆ­¤ãªæ¨¥©¯®n «¥£ª® ¤®ª §ë¢ îâáﭥࠢ¥­á⢠

>

>

>

>

>

>

n

[

i=1 C

i

6 n

_

i=1 2

i+1

h

Ki :

ãáâìh= >

>

>

>

>

>

(E). „«ï«î¡®£®n2N à áᬮâਬ­ ¯à ¢«¥­­®áâìx

Kn =(2

n+1

h

Kn )^h

(K

n 2K

E

n

). Žç¥¢¨¤­®,­ ¯à ¢«¥­­®áâìx

K

n

®£à ­¨ç¥­ ¨ã¡ë¢ ¥â ª­ã«î. ˆ§®æ¥­ª¨

>

>

>

>

>

>

1

[

i=1 C

i

6 1

_

i=1 (2

i+1

h

K

i

^h)= 1

_

i=1 x

K

i :

¨ á« ¡®©(;1)-¤¨áâਡã⨢­®á⨯à®áâà ­á⢠F á«¥¤ã¥â,çâ®­ ¯à ¢«¥­­®áâì

>

>

>

>

>

>

En 1

[

n=1 K

n !

(K

n )2

1

Y

n=1 K

E

n !

â ª¦¥ áâ६¨âáï ª­ã«î. …᫨®¡®§­ ç¨âìç¥à¥§ K

(E) ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å áç¥â­ëå

®¡ê-¥¤¨­¥­¨©ª®¬¯ ªâ­ë寮¤¬­®¦¥áâ¢E,â® ¬ë¯®«ã稬

>

>

>

>

>

>

(E) = _

f >

>

>

>

>

>

(G): G2K

(E)\Ag:

’ ª ª ª ¬¥à  >

>

>

>

>

>

- ¤¤¨â¨¢­ , â® ¨§ ¯®á«¥¤­¥£® à ¢¥­á⢠ á«¥¤ã¥â à ¢¥­á⢮ ().

€­ «®£¨ç­ë¬®¡à §®¬¤®ª §ë¢ ¥âáï,çâ® 1

T

n=1 E

n

2E. ®í⮬㨧«¥¬¬ë®¬®­®â®­­®¬

ª« áᥠ¬ë¯®«ãç ¥¬à ¢¥­á⢮ E =(A(F

Q

\A))=A. ’¥®à¥¬ ¤®ª § ­ . B

— áâ® ¢®§­¨ª ¥â ­¥®¡å®¤¨¬®áâì ¢ ãáâ ­®¢«¥­¨¨ ¯à¨§­ ª®¢ à ¤®­®¢®á⨠¨

ª¢ §¨-à ¤®­®¢®á⨤ ­­®©¡®à¥«¥¢áª®© ¬¥àë.  ¯à¨¬¥à,á¯à ¢¥¤«¨¢®á«¥¤ãî饥®¡®¡é¥­¨¥

â¥®à¥¬ë ‘. “« ¬  ® ⮬, çâ® «î¡ ï ¡®à¥«¥¢áª ï ¬¥à  ­  ¯®«ì᪮¬ ¯à®áâà ­á⢥

à -¤®­®¢ .

5.3. ’¥®à¥¬ . ãáâì (Q;) | ¯®«ì᪮¥ ¯à®áâà ­á⢮ ¨ ­  F ¢ë¯®«­ï¥âáï § ª®­

á« ¡®© -¤¨áâਡã⨢­®áâ¨. ’®£¤  «î¡ ï ¡®à¥«¥¢áª ï ¬¥à  2 dca(B

Q

;Y) ï¥âáï

C’ ªª ª­ 

Q

¡®à¥«¥¢áª ï

- «£¥¡à  ᮢ¯ ¤ ¥â á¡í஢᪮©

- «£¥¡à®©,â® ¬¥à 

¡ã¤¥â ª¢ §¨à¥£ã«ïà­®©. ˆ§ ¯à¥¤ë¤ã饩 ⥮६ë á«¥¤ã¥â, çâ® ¬¥à 

ॣã«ïà­ . „«ï®¡®á­®¢ ­¨ï âॡ㥬®£®â¥¯¥àì ¤®áâ â®ç­®¯®ª § âì,çâ®

>

>

>

>

>

>

(

Q

)= _

f >

>

>

>

>

>

(

K

):

K

2K

Q

g

:

ãáâì (

x

k

)

k

2N

| áç¥â­®¥ ¯«®â­®¥ ¢

Q

¬­®¦¥á⢮ ¨ (

B

n

(

x

k

))

n;k

2N

|

¯®á«¥¤®¢ â¥«ì-­®áâì § ¬ª­ãâëå è à®¢, £¤¥ à ¤¨ãá ª ¦¤®£®

B

n

(

x

k

) à ¢¥­

n

,1

. „«ï «î¡®£®

n

2 N á¯à ¢¥¤«¨¢®à ¢¥­á⢮

Q

=

S

f

B

n

(

x

k

):

k

2Ng. „«ï 㤮¡á⢠ ¢¢¥¤¥¬®¡®§­ ç¥­¨¥

h

m;n

= >

>

>

>

>

>

x

n

m

[

k

=1

B

n

(

x

k

)

(

n;m

2N)

:

„«ï«î¡®©ä㭪樨

'

:N !N ¯®« £ ¥¬

K

'

= 1

\

n

=1

'

(

n

) [

k

=1

B

n

(

x

k

)

:

Œ­®¦¥á⢮

K

'

§ ¬ª­ã⮨¢¯®«­¥®£à ­¨ç¥­®,á«¥¤®¢ â¥«ì­®,ª®¬¯ ªâ­®. Šà®¬¥í⮣®

>

>

>

>

>

>

(

Q

n

K

'

)6 _

n

(

h

^2

n

h

n;'

(

n

)

)= _

n

h

0

n;'

(

n

)

;

£¤¥ ¯®«®¦¥­®

h

= >

>

>

>

>

>

(

Q

),

h

0

n;m

=

h

^2

n

h

n;m

. „«ï «î¡®£®

n

2N ¨¬¥¥¬

h

0

n;m

& 0 ¯à¨

m

!1. ‡­ ç¨â,

^

f >

>

>

>

>

>

(

Q

n

K

'

):

'

2N N

g=0

:

ç⮨ ¤®ª §ë¢ ¥â à ¤®­®¢®áâ쬥àë

.B

5.4. ’¥®à¨ï à ¤®­®¢ëå ¬¥à ¨§«®¦¥­  ¢ ¬®­®£à ä¨¨ ‹. ˜¢ àæ  [42].   ®á­®¢¥

¯®­ïâ¨ï à ¤®­®¢®© ¬¥àë à §¢¨¢ ¥âáï ⥮à¨ï ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¢ âà ªâ â¥ .

ãà¡ -ª¨ [4]. Š¢ §¨à¥£ã«ïà­ë¥ ¬¥àë ¢¢¥« Œ.  ©â ¢ [46]. ˆ¬ ¦¥ ¢¢¥¤¥­ë ª¢ §¨à ¤®­®¢ë

¬¥àë ¢ à ¡®â¥ [50], £¤¥ ®­¨ â ª¦¥ ­ §¢ ­ë ª¢ §¨à¥£ã«ïà­ë¬¨. ˆ¬¥­­® Œ.  ©â

®¡-­ à㦨« ¯à¨­æ¨¯¨ «ì­®¥ ®â«¨ç¨¥¬¥¦¤ã à ¤®­®¢ë¬¨ ¨ ª¢ §¨à ¤®­®¢ë¬¨ ¬¥à ¬¨¨

§­ ç¥­¨¥ í⮣® ®â«¨ç¨ï ¤«ï ¯à®¡«¥¬ë ¯à®¤®«¦¥­¨ï ¬¥à ¨ ®¯¥à â®à®¢ á®

§­ ç¥­¨ï-¬¨ ¢

K

-¯à®áâà ­á⢥, á¬. [46{50]. Š¢ §¨à ¤®­®¢ë ¬¥àë á® §­ ç¥­¨ï¬¨ ¢ à¥è¥â®ç­® ­®à¬¨à®¢ ­­ëå¯à®áâà ­á⢠娧ãç « ‘. €.Œ «î£¨­ [12{14].

‹¨â¥à âãà 

1. €«¥ªá ­¤à®¢ €.„.Additive setfunctionsinabstractspaces//Œ â. ᡮ୨ª (N.S.)|1940.|’.8,

¢ë¯.2.|‘.307{348.

2. €«¥ªá ­¤à®¢€.„.Additivesetfunctionsinabstractspaces. II,III//Œ â.ᡮ୨ª(N.S.)|1941.|

’.9,¢ë¯.3.|‘.563{628.

3. €«¥ªá ­¤à®¢ €.„.Additivesetfunctions inabstractspaces. IV//Œ â. ᡮ୨ª(N.S.)|1943.|

’.13,¢ë¯.2{3.|‘.169{243.

4. ãà¡ ª¨.ˆ­â¥£à¨à®¢ ­¨¥. Œ¥àë­ «®ª «ì­®ª®¬¯ ªâ­ëå¯à®áâà ­á⢠å,¯à®¤®«¦¥­¨¥¬¥àë,

¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥¬¥à,¬¥àë­ ®â¤¥«¨¬ëå¯à®áâà ­á⢠å.|Œ.:  ãª ,1977.|600á.

6. ‚ã«¨å . ‡. ‚¢¥¤¥­¨¥ ¢ ⥮à¨î ª®­ãᮢ ¢ ­®à¬¨à®¢ ­­ëå ¯à®áâà ­á⢠å.|Š «¨­¨­: ˆ§¤-¢®

Š «¨­¨­áª. £®á. ã­-â , 1977.|84 á.

7. „ ­ä®à¤ ., ˜¢ àæ „¦. ‹¨­¥©­ë¥ ®¯¥à â®àë. ’. 1: Ž¡é ï ⥮à¨ï.|Œ.: ˆ‹, 1962.|895 á.

8. Š ­â®à®¢¨ç ‹. ‚., €ª¨«®¢ ƒ. . ”㭪樮­ «ì­ë©  ­ «¨§.|Œ.:  ãª , 1984.|752 á.

9. Š ­â®à®¢¨ç ‹. ‚., ‚ã«¨å . ‡., ¨­áª¥à €. ƒ. ”㭪樮­ «ì­ë©  ­ «¨§ ¢ ¯®«ã㯮à冷祭­ëå

¯à®áâà ­á⢠å.|Œ.-‹.: ƒ®áâ¥å¨§¤ â, 1950.|548 á.

10. Šãáà ¥¢ €. ƒ., Œ «î£¨­ ‘. €. ¥ª®â®àë¥ ¢®¯à®áë ⥮ਨ ¢¥ªâ®à­ëå ¬¥à.|®¢®á¨¡¨àáª: ˆ§¤-¢®

ˆŒ ‘Ž € ‘‘‘, 1988.|190 á.

11. Šãáà ¥¢ €. ƒ., Œ «î£¨­ ‘. €. à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¨ ¯à®¥ªâ¨¢­ë© ¯à¥¤¥« ¢¥ªâ®à­ëå ¬¥à // ‚ ª­:

‘®¢à¥¬¥­­ë¥ ¯à®¡«¥¬ë £¥®¬¥âਨ ¨  ­ «¨§ .|®¢®á¨¡¨àáª:  ãª , 1989.|‘. 132{152.

12. Œ «î£¨­ ‘. €. Š¢ §¨à ¤®­®¢ë ¬¥àë // ‘¨¡. ¬ â. ¦ãà­.|1991.|’. 32, ü 5.|‘. 101{111.

13. Œ «î£¨­ ‘. €. à®¡«¥¬  ¬®¬¥­â®¢ ¢

K

-¯à®áâà ­á⢥ // ‘¨¡. ¬ â. ¦ãà­.|1993.|’. 34, ü 2,

110{120.

14. Œ «î£¨­ ‘. €. Ž «¨ä⨭£¥ ª¢ §¨à ¤®­®¢ëå ¬¥à // ‘¨¡. ¬ â. ¦ãà­.|2001.|’. 42, ü 2.|‘. 407{

413.

15. Œ àª®¢ €. €. On mean values and exterior densities // Œ â. á¡. (N.S.)|1938.|’. 4.|‘. 165{191.

16. • «¬®è . ’¥®à¨ï ¬¥àë. Œ.: ˆ‹, 1953.|291 c.

17. ¤¢ à¤á . ”㭪樮­ «ì­ë©  ­ «¨§. ’¥®à¨ï ¨ ¯à¨«®¦¥­¨ï.|Œ.: Œ¨à, 1969.|1071 á.

18. Batt J. Die Verallgemeinerungen des Darstellungssatzes von F. Riesz und ihre Anwendungen //

Jahres-ber. Deutsch. Math.-Verein.|1973.|Bd. 74.|S. 147{181.

19. Berz E. Verallgemeineung eines Satzes von F. Riesz // Manuscripta Math.|1970.|Bd. 2.|S. 285{

299.

20. Christian R. R. On order-preserving integration // Trans. Amer. Math. Soc.|1967.|V. 86.|P. 463{

485.

21. Diestel J., Uhl J. J. Vector measures.|Providence: Amer. Math. Soc.|1977. (Series Math. Surveys,

15.)

22. Dinculeanu N. Vector Measures.|Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1966.|432 p.

23. Fremlin D. H. A direct proof of the Matthes{Wright integral extension theorem // J. London Math.

Soc.|1975.|V. 11, No. 3.|P. 276{284.

24. Fuchssteiner B., Lusky W. Convex Cones.|Amsterdam ets.: North-Holland, 1981.

25. Gray J. D. The shaping of the Riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis //

Arch. Hist. Exact. Sci.|1984.|V. 31.|P. 127{187.

26. Kakutani S. Concrete representation of abstract (

M

)-space // Ann. Math.|1941.|V. 42.|P. 994{

1024.

27. Khurana S. S. Lattice-valued Borel measures // Rocky Mountain J. Math.|1976.|V. 6, No. 2.|

P. 377{382.

28. Khurana S. S. Lattice-valued Borel measures. II // Trans. Amer. Math. Soc.|1978.|V. 235, No. 2.|

P. 205{211.

29. Kirk R. B., Crenshaw J. A. A generalized topological measure theory // Trans. Amer. Math. Soc.|

1975.|V. 207.|P. 189{217.

30. Kisynski J. Remark on strongly additive set functions // Fund. Math.|1969.|V. 63.|P. 327{332.

31. Kusraev A. G. Dominated operators.|Dordrecht a. o.: Kluwer, 2000.|446 p.

32. Lipecki Z. On strongly additive set functions // Colloq. Math. 1971.|V. 22, ü 2.|P. 255{256.

33. Lipecki Z. Extensions of additive set functions with values in topological group // Bull. Acad. Polon.

Sci. Ser. Sci. Math., Astronom., Phys.|1974.|V. 12, No. 1.|P. 19{27.

34. Lipecki Z., Plachky D., Thomsen W. Extensions of positive operators and extreme points. I // Colloq.

Math.|1979.|V. 42.|P. 279{284.

35. Lipecki Z. Extention of tight set functions with values in a topological group // Bull. Acad. Polon.

Sci.|1974.|V. 22, No. 2.|P. 105{113.

36. Lipecki Z. Extension of vector-lattice homomorphisms revisited // Indag. Math. (N.S.)|1985.|

V. 47.|P. 229{233.

37. Lipecki Z. Riesz type representation theorems for positive operators // Math. Nachr.|1987.|

V. 131.|P. 351{356.

38. Panchapagesan T. V., Palled Sh. V. On vector lattice-valued measures. I // Math. Slovaca.|1983.|

V. 33, No. 3.|P. 269{292.

39. Panchapagesan T. V., Palled Sh. V. On vector lattice-valued measures. II // J. Austral. Math. Soc.

(Ser. A)|1986.|V. 40, No. 2.|P. 234{252.

40. Pettis B. J. On the extension of measures // Ann. Math.|1951.|V. 54.|P. 186{197.

41. Riecan B. An extension of the Daniel integration scheme // Mat. ^Cas.|1975.|V. 25, No. 3.|P. 211{

219.

43. Schwartz L. Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures.|London:

Ox-ford Univ. Press, 1983.|393 p.

44. Seda A. K. Integral representation of linear functionals on spaces sections // Proc. Amer. Math.

Soc.|1984.|V. 91, No. 4.|P. 549{555.

45. Semadeni Zb. Banach Spaces of Continuous Functions.|Warsaw: Polish Scientic Publishers, 1971.|

584.

46. Wheeler R. F. A survey of Baire measuresand strict topologies // Expositiones Math.|1984.|V. 1.|

P. 97{190.

47. Wright J. D. M. Stone algebra valued measures and integrals // Proc. London Math. Soc. Proc.|

1969.|V. 19, No. 3.|P. 107{122.

48. Wr