SUKU BANYAK ( POLINOM)
Skl 8 .Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema sisa atau teorema faktor
A. PENGERTIAN SUKU BANYAK.
Bentuk 1 2 2
1 2 .... 2 1 0
n n n
n n n
a x a x a x a x a xa , dengan an 0 dan n{bil cacah. }
disebut dengan Suku banyak (Polinomial) dalam x berderajat n ( n adalah pangkat tertinggi dari x)
1 2 1
, , ,...,
n n n
a a a a disebut keofisien suku banyak dari masing-masing peubah (variable) x yang merupakan konstanta real dan an 0 , sedangkan a konstanta. 0
B. NILAI SUKU BANYAK
Suku banyak dapat ditulis sbg. fungsi f(x) = 1 1 2 2 .... 2 2 1 0
n n n
n n n
a x a x a x a x a xa untuk mencari nilai suku banyak f(x) untuk x = k atau f(k) dapat ditentukan dengan cara substitusi atau dengan skema Horner.
a. Cara Substitusi.
Substitusikan x = k pada suku banyak f(x) =
1 2 2 1 2 .... 2 1 0 n n n n n n a x a x a x a x a xa Diperoleh f(k) = a kn na kn1 n1an2kn2....a k2 2a k1 a0 b. Cara Skema Horner.
Langkah skema horner sbb :
k a b c d
ak ak2+bk ak3+bk2+ck
a ak + b ak2+bk+c ak3+bk2+ck+d
nilai dari f(k) Contoh :
Tentukan nilai dari suku banyak f(x) = x32x2 x 1 untuk x = -2 a. Dengan substitusi
F(-2) = ( 2) 3 2( 2)2 ( 2) 1 19
b. Dengan Horner
x=-2 1 -2 1 -1
1(-2) -4(-2) -18
1 -4 9 -19
C. PEMBAGIAN SUKU BANYAK
Jika suatu suku banyak f(x) berderaat n dibagi oleh suku banyak g(x) berderajat m , maka didapat suatu hasil bagi h(x) dan sisa pembagian S(x) .
f(x) dinamakan yang dibagi (deviden)
f(x) = h(x) .g(x) + S(x)
g(x) dinamakan pembagi (divisor)derajat dari h(x) adalah n-m dan derajat s(x) adalah m-1
Pembagian suku banyak lebih praktis dilakukan dengan cara Horner. a. Pembagian suku banyak dengan (x-k) dan (ax+b).
Jika f(x) = a xn n an1xn1an2xn2....a x2 2a x1 a0 dibagi dengan (x-k) dan memberikan hasil bagi h(x) dan sisa pembagian S, dapat ditulis dalam persamaan : f(x) = (x-k) h(x) + S
f(x) berderajat n dan pembagi (x-k) berderajat 1 , maka hasil bagi h(x) berderajat (n-1) dan sisa pembagiannya S adalah berderajat 0.
Nilai S dan koefisien dari h(x) dapat ditentukan dg. cara pembagian Horner untuk x = k b. Pembagian suku banyak dengan (ax+b)
Jika f(x) = 1 2 2
1 2 .... 2 1 0
n n n
n n n
a x a x a x a x a xa dibagi dengan (ax + b) dan memberi hasil bagi h(x) serta sisa S, maka didapat persamaan :
1 ( )
( ) ( b) ( ) ( ) ( ) ( )h x
f x x h x s ax b h x S ax b S
a a a
Nilai S dan koefisien dari h(x) ditentukan dengan cara Horner untuk x = b a
c. Pembagian suku banyak dengan 2
, dengan a 0
ax bx c Jika f(x) dibagi oleh suku banyak ax2
+ bx + c. Pembagian ini dapat diselesaikan dengan metode Horner jika dapat difaktorkan , dan diselesaikan dengan pembagian biasa jika tidak dapat difaktorkan.
a. Misalkan ax2 + bx + c dapat ditulis sebagai a x k( 1)(x k 2),a0 b. f(x) dibagi dengan x k 1, maka ( )f x (x k g x1) ( )s1
c. Hasil bagi g(x) dibagi lagi dengan x k 2, maka g( )x (x k h x2) ( )s2 Jadi, ( )f x (x k1)[(x k h x 2) ( )s2]s1 = (x k 1)(x k h x 2) ( ) ( x k s1) 2s1 =a(x k1)(x k2)h x( ) (x k s1) 2 s1 a = 2 2 1 2 1 ( ) (ax bx c)h x s x s s k a
dengan hasil bagi f(x) oleh 2
2 1 2 1
h(x)
adalah dan sisanya
a
ax bx c s x s s k
Contoh : 3 2 2
(x x 2x4) : (x x 2)
Hasil bagi h(x) dan sisanya S = ax +b 2 ( ) ( 2) ( ) ( 2)( 1) ( ) f x x x h x S x x h x ax b -2 1 -1 2 -4 -2 6 -16 1 -3 8 -20 = f(-2) 1 1 -1 2 -4 1 0 2 1 0 2 -2 = f(1) f(-2) = -2a + b = -20 f(1) = a + b = -2 -3a = -18 , a = 6 dan b = -8 Jadi sisa pembagiannya S = 6x – 8 Menentukan hasil bagi :
-2 1 -1 2 -4 -2 6 -16 1 1 -3 8 -20 1 -2 1 -2 6 Hasil pembagiannya h(x) = x - 2 d. Identitas.
Yang dimaksud dengan identitas dalam aljabar ialah dua buah bangun yang tidak sama bentuknya tetapi sama nilainya untuk setiap harga dari variabelnya.
Koefisien dari suku-suku yang sejenis pada ruas kiri dan kanan sama.
Contoh : Carilah hasil bagi dan sisanya dari (3x43x34x25x10) : (x2 x 2)
Pembagi D<0 ( tidak dapat difaktorkan)
4 3 2 2 2 3x 3x 4x 5x10x x 2(3x AxB)Px Q 4 3 2 4 3 2 3x 3x 4x 5x103x (A3)x (6 A B x) (2A B P x Q) 2B maka : A=2 , B = 0 , P = 1 , Q = -10
D. TEOREMA SISA( DALIL SISA)
1) Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k) , maka sisanya adalah f(k) 2) Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b), maka sisanya adalah f b
a
3) Jika suku banyak f(x) dibagi (x – a )(x – b ), sisanya adalah S x b f a( ) x a f b( )
a b b a
E. TEOREMA FAKTOR
Jika pembagian oleh P(x)=x – a menghasilkan sisa = 0 maka F(x) = (x – a ) H(x) dan disimpulkan F(x) habis dibagi oeh P(x) dapat disimpulkan :
F(x) habis dibagi oleh P(x) (x – a ) disebut factor dari F(x) x = a disebut akar dari F(x) Menentukan akar-akar polynomial Bila
koefisien = 0 , akar x = - 1Bila
koefisien genap =
koefisien ganjil , akar x = - 1Jika kedua kondisi diatas tidak memenuhi, maka dicari dari factor konstanta akhir a n Sifat akar-akar polynomial
2 0 ax bx c maka x1 x2 b a x x1. 2 c a 3 2 0 ax bx cx d maka 1 2 3 b x x x a x x1. 2 x x1 3 x x2. 3 c a x x x1. .2 3 d a 4 3 2 0 ax bx cx dx e maka
1 2 3 4 b x x x x a x x1. 2 x x1 3 x x1. 4 x x2 3 x x2 4 x x3 4 c a x x x x1. . .2 3 4 e a
SOAL-SOAL LATIHAN SUKU BANYAK.
1. Nilai suku banyak f(x) = -x3 – 2x2 – 3x untuk x = 3 adalah…
a.-36 b.-6 c.0 d.12 e.18
2. Jika f(x) = x3 – 5x2 + x dan g(x) = 2x + 3 sedang h(x) = f(x) g(x) maka… a.h(x) = 2x4 – 13x3 – 12x2 – 3x b.h(x) = 2x4 – 7x3 – 12x2 - 3x
c.h(x) = 2x4 – 13x3 – 12x2 + 3x d.h(x) = 2x4 – 7x3 – 13x2 + 3x e h(x) = 2x4 – 7x3 – 17x2 + 3x
3. Nilai suku banyak –2x4 +5x3 – 7x2 – 5x – 2 untuk x = -21 adalah… a.-0,75 b.-6,25 c.-5,25 d.-2 e.3
4. Jika x4 - 2x3 – 3x2 – x – 8 dibagi (x – 2) maka hasil bagi dan sisanya adalah. a.H(x) = x3 – 3x –7 dan S = -22 b.H(x) = x3 – 3x –10 dan S = -12 c.H(x) = x3 – 3x –2 dan S = -2 d.H(x) = x3 + 3x + 2 dan S = -12 e.H(x) = x3 + 3x + 2 dan S = -4
5. Jika x3 – 12x + a habis dibagi (x – 2) maka nilai a = …
a.16 b.18 c.20 d.28 e.32
6. Jika f(x) = 6x3 + ax2 – 3x + b habis dibagi (2x – 1) dan bersisa 39 jika dibagi (x – 2); maka a dan b berturut-turut adalah…
a.-1 dan –1 b.-1 dan 1 c.1 dan –1 d.-1 dan 2 e.1 dan 2
7. Jika (x + 2) merupakan factor dari 2x3 + x2 + px – 8 maka nilai p adalah…
a.-32 b.-16 c.-10 d.0 e.2
8. Suatu suku banyak, yaitu f(x), jika f(x) dibagi x2 –x – 2 mempunyai sisa 2x + 3, maka jika dibagi (x – 2) mempunyai sisa…
a.7 b.4 c.1 d.-1 e.-4
9. Jika (x –1) dan (2x +1) merupakan factor dari 6x3 - 7x2 + ax + b maka a dan b berturut-turut adalah…
a.-1 dan 2 b.0 dan1 c.-3 dan 4 d.-5 dan6 e.-2 dan 3
10. Jika 6x4 + 7x3 – 3x2 – 6x + 1 dibagi (3x –1), maka hasil bagi dan sisanya adalah… a. 6x3 + 9x2 – 6 dan –1 b. 6x3 + 9x2 – 6x dan 3
c. 2x3 + 3x2 – 2 dan 3 d. 2x3 + 3x2 – 2 dan –1 e. 2x3 + 3x2 – 2 dan –31
11. Bila x4 - 3x3 + px2 + qx + 8 habis dibagi (3x – 1), maka nilai p dan q berturut-turut adalah…
a.6;12 b.6;4 c.6;-12 d.3;9 e.3;3
12. Suku banyak f(x) bila dibagi (2x – 5) sisanya 17 dan bila dibagi (x + 3) sisanya 6.Jika suku banyak f(x) dibagi (2x2 + x – 15) bersisa…
a.-2x b.2x +12 c.-2x + 11 d.22x – 1 e.-22x + 13
13. Suku banyak f(x) bila dibagi (x2 – 9) bersisa (2x – 1), bila dibagi x2 – 7x + 6 bersisa 3x + 4, maka bila dibagi x2 – 4x + 3 bersisa…
a.x + 6 b.-x + 5 c.-3x + 3 d.-3x +4 e.-x + 8
14. Himpunan penyelesaian dari persamaan x4 + 4x3 + 2x2 – 4x – 3 = 0 adalah… a.1,-1,3 b.-1,1,-3 c.-1,3 d.1,-1,3,-3 e.-1,3,-3
15. Suku banyak f(x) dibagi (x + 1)(9x – 3) bersisa 2x – 5. Jika suku banyak itu dibagi 9X + ) maka sisanya…
a.-3 b.-7 c.-12 d.6 e.12
16. Bila x3 - 4x2 + 5x + p dan x2 + 3x – 2 dibagi (x+ 1) memberi sisa yang sama, maka nilai p sama dengan…
a.-6 b.-4 c.-2 d.4 e.6
17. Jika x3 - 4x2 + px + q habis dibagi x2 – 3x + 2 maka…
a.p = 5, q = 2 b.p = -5, q = 2 c.p = 2, q = -5
d.p = 5, q = -2 e.p = -2, q = 5
18. Jika x4 + 4x3 + 2x2 – 4x b dibagi x2 – 1 bersisa 6x + 5 maka… a.a = -1, b = 6 b.a = -1, b = -6 c.a = 1, b = 6d. d.a = 1, b = -6 e.a = -5, b = 6
19. Jika f(x) dibagi (x –1) sisanya 4 dan dibagi (x – 2) sisanya 5,maka jika f(x) dibagi (x2 – 3x + 2) sisanya…
a.x +3 b.x – 3 c.x + 2 d.x – 2 e.x + 1
20. Jika f(x) dibagi x2 – x sisanya 5x + 1, jika dibagi x2 + x sisanya 3x = 1, maka jika f(x) dibagi (x2 –1) sisanya…
a.-4x +2 b.4x + 2 c.2x + 4 d.2x – 4 e.8x + 2
21. Himpunan penyelesaian dari persamaan x3 - 3x2 - 10x + 24 = 0 adalah… a.3,-2,4 b.-3,-2,4 c.3,2,-4 d.-3,2,-4 e.-3,2,4 22. Garis singgung pada kurva y = 2x3 –2x + 1 yang dapat ditarik dari titik (0,-3)
mempunyai gradien…
a.1 b.2 c.3 d.4 e.5
23. Jika x4 - 3x3 + px2 + qx + 8 habis dibagi (x2 – 3x + 2) maka nilai p dan q berturut-turut adalah…
24. x5 - 4x4 - 3x3 +22x2 - 4x – 24 = 0 maka himpunan penyelesaiannya =…
a.-1,-2,2,3 b.-1,-2,4,3 c.-1,-2,2,4,3 d.-1,-2,2,-3,4 e.-1,-2,-3,2
25. Jika 2x4 - 8x3 +px2 + qx – 15 habis dibagi (x2 –2x – 3) maka…
a.p = 2, q = 7 b.p = 2, q = 5 c.p = 5, q = 2
d.p = 7, q = 2 e.p = 7, q = 5
Kasih itu murah hati
Rela menderita
Soal – soal Suku banyak Ujian Nasional
1. Jika f(x) dibagi ( x – 2 ) sisanya 24, sedagkan jika f(x) dibagi dengan ( 2x – 3 ) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan ( x – 2 ) ( 2x – 3 ) sisanya adalah ….
a. 8x + 8 b.8x – 8 c.– 8x + 8 d.– 8x – 8 e.– 8x + 6 2. Sisa pembagian suku banyak ( x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1 ) oleh ( x2 – x – 2 ) adalah ….
a. –6x + 5 b.–6x – 5 c.6x + 5 d.6x – 5 e.6x – 6
3. Suatu suku banyak dibagi ( x – 5) sisanya 13, sedagkan jika dibagi dengan ( x – 1 ) sisanya 5 . Suku banyak tersebut jika dibagi dengan x2 – 6x + 5 sisanya adalah ….
a. 2x + 2 b.2x + 3 c.3x + 1 d.3x + 2 e.3x + 3
4. Diketahui ( x + 1 ) salah satu factor dari suku banyak f(x) = 2x4 – 2x3 + px2 – x – 2, salah satu
factor yang lain adalah ….
a. x – 2 b.x + 2 c.x – 1 d.x – 3 e.x + 3
5. Jika suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 – 3x2 + 5x + b dibagi oleh ( x2 – 1 ) memberi sisa 6x + 5, maka
a.b = ….
a. – 6 b.– 3 c.1 d.6 e.8
6. Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi ( x + 1) sisanya 8 dan dibagi ( x – 3 ) sisanya 4. Suku banyak q(x) jika dibagi dengan ( x + 1 ) bersisa –9 dan jika dibagi ( x – 3 ) sisanya 15 . Jika h(x) = f(x).q(x), maka sisa pembagian h(x) oleh x2 – 2x – 3 sisanya adalah ….
7. Suku banyak 6x3 + 13x2 + qx + 12 mempunyai factor ( 3x – 1 ). Faktor linear yang lain adalah ….
a. 2x – 1 b.2x + 3 c.x – 4 d.x + 4 e.x + 2
8. Suku banyak P(x) = 3x3 – 4x2 – 6x + k habis dibagi ( x – 2 ). Sisa pembagian P(x) oleh x2 + 2x + 2
adalah ….
a. 20x + 24 b.20x – 16 c.32x + 24 d.8x + 24 e.–32x – 16 unci Jawaban Suku Banyak
1. A 2. A 3.B 4.A 5.D 6.E 7.D 8.D
SOAL LATIHAN PERINDIKATOR
1. Diketahui suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 – 3x2 + 5x + b. Jika P(x) dibagi (x – 1) sisa 11, dibagi (x + 1) sisa –
1,
maka nilai (2a + b) = …
2. Diketahui suku banyak f(x) = ax3 + 2x2 + bx + 5, a ≠ 0 dibagi oleh (x + 1) sisanya 4 dan dibagi oleh (2x – 1)
sisanya juga 4. Nilai dari a + 2b adalah …
3. Sukubanyak 3x3 + 5x + ax + b jika dibagi (x + 1) mempunyai sisa 1 dan jika dibagi (x – 2) mempunyai
sisa 43.
Nilai dari a + b = ....
4. Suku banyak (2x3 + ax2 – bx + 3) dibagi oleh (x2 – 4) bersisa (x + 23). Nilai a + b = …
5. Diketahui (x – 2) adalah faktor suku banyak f(x) = 2x3 + ax2 + bx – 2. Jika f(x) dibagi (x + 3), maka sisa
pembagiannya adalah – 50. nilai (a + b) = …
6. Suku banyak 2x3 + ax2 + bx + 2 dibagi (x + 1) sisanya 6, dan dibagi (x – 2) sisanya 24. Nilai 2a – b = …
7. Diketahui (x – 2) dan (x – 1) adalah factor–faktor suku banyak P(x) = x3 + ax2 –13x + b. Jika akar–akar
persamaan suku banyak tersebut adalah x1, x2, x3, untuk x1> x2> x3 maka nilai x1 – x2 – x3 = …
8. Akar–akar persamaan x3 – x2 + ax + 72 = 0 adalah x1, x2, dan x3. Jika salah satu akarnya adalah 3 dan x1<
x2 < x3,
maka x1 – x2 – x3 = …
9. Faktor–faktor persamaan suku banyak x3 + px2 – 3x + q = 0 adalah (x + 2) dan (x – 3). Jika x1, x2, x3 adalah
akar–akar persamaan suku banyak tersebut, maka nilai x1 + x2 + x3 = ….
10. Suku banyak x4 – 2x3 – 3x – 7 dibagi dengan (x – 3)(x + 1), sisanya adalah …
11. Sisa pembagian suku banyak (x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1) oleh (x2 – x – 2) adalah …
12. Salah satu faktor suku banyak P(x) = x3 – 11x2 + 30x – 8 adalah …
13. Suku banyak 6x3 + 13x2 + qx + 12 mempunyai faktor (3x – 1). Faktor linear yang lain adalah…..
14. Suatu suku banyak F(x) dibagi (x – 2) sisanya 5 dan (x + 2) adalah faktor dari F(x). Jika F(x) dibagi x2 –
4, sisanya adalah …
15. Suku banyak f(x) dibagi 2x –1 sisanya 7 dan x2 + 2x – 3 adalah faktor dari f(x). Sisa pembagian f(x) oleh
2x2 + 5x – 3 adalah …
16. Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x + 2) adalah 4, jika suku banyak tersebut dibagi (2x – 1) sisanya 6. Sisa pembagian suku banyak tersebut oleh 2x2 + 3x – 2 adalah …
17. Suku banyak f(x) dibagi (x + 1) sisanya 10 dan jika dibagi (2x – 3) sisanya 5. Jika suku banyak f(x) dibagi (2x2 – x – 3), sisanya adalah …
18. Suku banyak f(x) = x3 + ax2 + bx – 6 habis dibagi oleh (x – 2) dan (x + 1). Jika f(x) dibagi (x + 2) maka
sisa dan hasil baginya adalah…..
19. Suku banyak f(x) jika dibagi (x – 1) bersisa 4 dan bila dibagi (x + 3) bersisa – 5. Suku banyak g(x) jika
dibagi (x – 1) bersisa 2 dan bila dibagi (x + 3) bersisa 4. Jika h(x) = f(x) g(x), maka sisa pembagian h(x) oleh (x2 + 2x – 3) adalah …
