SUKU BANYAK ( POLINOM)
A. PENGERTIAN SUKU BANYAK.
Bentuk 1 2 2
1 2 .... 2 1 0
n n n
n n n
a x a x a x a x a x a , dengan an 0 dan n {bil cacah. }
disebut dengan Suku banyak (Polinomial) dalam x berderajat n ( n adalah pangkat tertinggi dari x)
1 2 1
, , , ...,
n n n
a a a a disebut keofisien suku banyak dari masing-masing peubah (variable) x yang merupakan konstanta real dan an 0 , sedangkan a0 konstanta.
B. NILAI SUKU BANYAK
Suku banyak dapat ditulis sbg. fungsi f(x) = 1 2 2
1 2 .... 2 1 0
n n n
n n n
a x a x a x a x a x a
untuk mencari nilai suku banyak f(x) untuk x = k atau f(k) dapat ditentukan dengan cara substitusi atau dengan skema Horner.
a. Cara Substitusi.
Substitusikan x = k pada suku banyak f(x) = 1 2 2
1 2 .... 2 1 0 n n n n n n a x a x a x a x a x a Diperoleh f(k) = 1 2 2 1 2 .... 2 1 0 n n n n n n a k a k a k a k a k a
b. Cara Skema Horner.
Langkah skema horner sbb :
k a b c d ak ak2 +bk ak3 +bk2 +ck a ak + b ak2 +bk+c ak3 +bk2 +ck+d nilai dari f(k) Contoh :
Tentukan nilai dari suku banyak f(x) = 3 2
2 1 x x x untuk x = -2 a. Dengan substitusi F(-2) = 3 2 ( 2) 2( 2) ( 2) 1 19 b. Dengan Horner x=-2 1 -2 1 -1 1(-2) -4(-2) -18 1 -4 9 -19
Bab 15
C. PEMBAGIAN SUKU BANYAK
Jika suatu suku banyak f(x) berderaat n dibagi oleh suku banyak g(x) berderajat m , maka didapat suatu hasil bagi h(x) dan sisa pembagian S(x) .
f(x) dinamakan yang dibagi (deviden)
f(x) = h(x) .g(x) + S(x)
g(x) dinamakan pembagi (divisor)derajat dari h(x) adalah n-m dan derajat s(x) adalah m-1 Pembagian suku banyak lebih praktis dilakukan dengan cara Horner.
a. Pembagian suku banyak dengan (x-k) dan (ax+b).
Jika f(x) = 1 2 2
1 2 .... 2 1 0
n n n
n n n
a x a x a x a x a x a dibagi dengan (x-k) dan memberikan hasil bagi h(x) dan sisa pembagian S, dapat ditulis dalam persamaan :
f(x) = (x-k) h(x) + S
f(x) berderajat n dan pembagi (x-k) berderajat 1 , maka hasil bagi h(x) berderajat (n-1) dan sisa pembagiannya S adalah berderajat 0.
Nilai S dan koefisien dari h(x) dapat ditentukan dg. cara pembagian Horner untuk x = k
b. Pembagian suku banyak dengan (ax+b)
Jika f(x) = 1 2 2
1 2 .... 2 1 0
n n n
n n n
a x a x a x a x a x a dibagi dengan (ax + b) dan memberi hasil bagi h(x) serta sisa S, maka didapat persamaan :
1 ( )
( ) ( b) ( ) ( ) ( ) ( )h x
f x x h x s a x b h x S a x b S
a a a
Nilai S dan koefisien dari h(x) ditentukan dengan cara Horner untuk x = b a
c. Pembagian suku banyak dengan 2
, dengan a 0
ax bx c
Jika f(x) dibagi oleh suku banyak ax2
+ bx + c. Pembagian ini dapat diselesaikan dengan metode Horner jika dapat difaktorkan , dan diselesaikan dengan pembagian biasa jika tidak dapat difaktorkan.
a. Misalkan ax2
+ bx + c dapat ditulis sebagai a x( k1)(x k2),a 0
b. f(x) dibagi dengan x k1, m aka ( )f x (x k1) ( )g x s1
c. Hasil bagi g(x) dibagi lagi dengan x k2, m aka g ( )x (x k2) ( )h x s2
Jadi, ( )f x (x k1)[(x k2) ( )h x s2] s1 = (x k1)(x k2) ( )h x (x k s1) 2 s1 = a (x k1)(x k2)h x( ) (x k1)s2 s1 a = 2 2 1 2 1 ( ) (a x b x c)h x s x s s k a
dengan hasil bagi f(x) oleh 2
2 1 2 1
h (x )
ad alah d an sisan ya
a
Contoh : 3 2 2
(x x 2x 4) : (x x 2)
Hasil bagi h(x) dan sisanya S = ax +b 2 ( ) ( 2) ( ) ( 2)( 1) ( ) f x x x h x S x x h x ax b -2 1 -1 2 -4 -2 6 -16 1 -3 8 -20 = f(-2) 1 1 -1 2 -4 1 0 2 1 0 2 -2 = f(1) f(-2) = -2a + b = -20 f(1) = a + b = -2 -3a = -18 , a = 6 dan b = -8 Jadi sisa pembagiannya S = 6x – 8 Menentukan hasil bagi :
-2 1 -1 2 -4 -2 6 -16 1 1 -3 8 -20 1 -2 1 -2 6 Hasil pembagiannya h(x) = x - 2 d. Identitas.
Yang dimaksud dengan identitas dalam aljabar ialah dua buah bangun yang tidak sama bentuknya tetapi sama nilainya untuk setiap harga dari variabelnya.
Koefisien dari suku-suku yang sejenis pada ruas kiri dan kanan sama. Contoh : Carilah hasil bagi dan sisanya dari 4 3 2 2
(3x 3x 4x 5x 10) : (x x 2)
Pembagi D<0 ( tidak dapat difaktorkan)
4 3 2 2 2 3x 3x 4x 5x 10 x x 2(3x A x B) P x Q 4 3 2 4 3 2 3x 3x 4x 5x 10 3x (A 3)x (6 A B x) (2A B P x) Q 2B maka : A=2 , B = 0 , P = 1 , Q = -10
D. TEOREMA SISA( DALIL SISA)
1) Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k) , maka sisanya adalah f(k) 2) Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b), maka sisanya adalah f b
a
3) Jika suku banyak f(x) dibagi (x – a )(x – b ), sisanya adalah S x b f a( ) x a f b( )
E. TEOREMA FAKTOR
Jika pembagian oleh P(x)=x – a menghasilkan sisa = 0 maka F(x) = (x – a ) H(x) dan disimpulkan F(x) habis dibagi oeh P(x) dapat disimpulkan :
F(x) habis dibagi oleh P(x) (x – a ) disebut factor dari F(x) x = a disebut akar dari F(x) Menentukan akar-akar polynomial Bila koefisien = 0 , akar x = - 1
Bila koefisien genap = koefisien ganjil , akar x = - 1
Jika kedua kondisi diatas tidak memenuhi, maka dicari dari factor konstanta akhir an Sifat akar-akar polynomial
2 0 ax bx c maka 1 2 b x x a 1. 2 c x x a 3 2 0 ax bx cx d maka 1 2 3 b x x x a 1 2 1 3 2 3 . . c x x x x x x a 1 2 3 . . d x x x a 4 3 2 0 ax bx cx dx e maka 1 2 3 4 b x x x x a 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 . . c x x x x x x x x x x x x a 1 2 3 4 . . . e x x x x a
SOAL-SOAL LATIHAN SUKU BANYAK.
1. Nilai suku banyak f(x) = -x3 – 2x2 – 3x untuk x = 3 adalah… a.-36 b.-6 c.0 d.12 e.18
2. Jika f(x) = x3 – 5x2 + x dan g(x) = 2x + 3 sedang h(x) = f(x) g(x) maka… a.h(x) = 2x4 – 13x3 – 12x2 – 3x b.h(x) = 2x4 – 7x3 – 12x2 - 3x
c.h(x) = 2x4 – 13x3 – 12x2 + 3x d.h(x) = 2x4 – 7x3 – 13x2 + 3x e h(x) = 2x4 – 7x3 – 17x2 + 3x
3. Nilai suku banyak –2x4 +5x3 – 7x2 – 5x – 2 untuk x = -21 adalah… a.-0,75 b.-6,25 c.-5,25 d.-2 e.3
4. Jika x4 - 2x3 – 3x2 – x – 8 dibagi (x – 2) maka hasil bagi dan sisanya adalah. a.H(x) = x3 – 3x –7 dan S = -22 b.H(x) = x3 – 3x –10 dan S = -12 c.H(x) = x3 – 3x –2 dan S = -2 d.H(x) = x3 + 3x + 2 dan S = -12 e.H(x) = x3 + 3x + 2 dan S = -4
5. Jika x3 – 12x + a habis dibagi (x – 2) maka nilai a = … a.16 b.18 c.20 d.28 e.32
6. Jika f(x) = 6x3 + ax2 – 3x + b habis dibagi (2x – 1) dan bersisa 39 jika dibagi (x – 2); maka a dan b berturut-turut adalah…
a.-1 dan –1 b.-1 dan 1 c.1 dan –1 d.-1 dan 2 e.1 dan 2
a.-32 b.-16 c.-10 d.0 e.2
8. Suatu suku banyak, yaitu f(x), jika f(x) dibagi x2 –x – 2 mempunyai sisa 2x + 3, maka jika dibagi (x – 2) mempunyai sisa…
a.7 b.4 c.1 d.-1 e.-4
9. Jika (x –1) dan (2x +1) merupakan factor dari 6x3 - 7x2 + ax + b maka a dan b berturut-turut adalah…
a.-1 dan 2 b.0 dan1 c.-3 dan 4 d.-5 dan6 e.-2 dan 3
10. Jika 6x4 + 7x3 – 3x2 – 6x + 1 dibagi (3x –1), maka hasil bagi dan sisanya adalah… a. 6x3 + 9x2 – 6 dan –1 b. 6x3 + 9x2 – 6x dan 3
c. 2x3 + 3x2 – 2 dan 3 d. 2x3 + 3x2 – 2 dan –1 e. 2x3 + 3x2 – 2 dan –31
11. Bila x4 - 3x3 + px2 + qx + 8 habis dibagi (3x – 1), maka nilai p dan q berturut-turut adalah…
a.6;12 b.6;4 c.6;-12 d.3;9 e.3;3
12. Suku banyak f(x) bila dibagi (2x – 5) sisanya 17 dan bila dibagi (x + 3) sisanya 6.Jika suku banyak f(x) dibagi (2x2 + x – 15) bersisa…
a.-2x b.2x +12 c.-2x + 11 d.22x – 1 e.-22x + 13
13. Suku banyak f(x) bila dibagi (x2 – 9) bersisa (2x – 1), bila dibagi x2 – 7x + 6 bersisa 3x + 4, maka bila dibagi x2 – 4x + 3 bersisa…
a.x + 6 b.-x + 5 c.-3x + 3 d.-3x +4 e.-x + 8
14. Himpunan penyelesaian dari persamaan x4 + 4x3 + 2x2 – 4x – 3 = 0 adalah… a. 1,-1,3 b. -1,1,-3 c. -1,3 d. 1,-1,3,-3 e. -1,3,-3
15. Suku banyak f(x) dibagi (x + 1)(9x – 3) bersisa 2x – 5. Jika suku banyak itu dibagi 9X + ) maka sisanya…
a.-3 b.-7 c.-12 d.6 e.12
16. Bila x3 - 4x2 + 5x + p dan x2 + 3x – 2 dibagi (x+ 1) memberi sisa yang sama, maka nilai p sama dengan…
a.-6 b.-4 c.-2 d.4 e.6
17. Jika x3 - 4x2 + px + q habis dibagi x2 – 3x + 2 maka…
a.p = 5, q = 2 b.p = -5, q = 2 c.p = 2, q = -5 d.p = 5, q = -2 e.p = -2, q = 5
18. Jika x4 + 4x3 + 2x2 – 4x b dibagi x2 – 1 bersisa 6x + 5 maka… a.a = -1, b = 6 b.a = -1, b = -6 c.a = 1, b = 6d. d.a = 1, b = -6 e.a = -5, b = 6
19. Jika f(x) dibagi (x –1) sisanya 4 dan dibagi (x – 2) sisanya 5,maka jika f(x) dibagi (x2 – 3x + 2) sisanya…
a.x +3 b.x – 3 c.x + 2 d.x – 2 e.x + 1
20. Jika f(x) dibagi x2 – x sisanya 5x + 1, jika dibagi x2 + x sisanya 3x = 1, maka jika f(x) dibagi (x2 –1) sisanya…
a.-4x +2 b.4x + 2 c.2x + 4 d.2x – 4 e.8x + 2
21. Himpunan penyelesaian dari persamaan x3 - 3x2 - 10x + 24 = 0 adalah… a. 3,-2,4 b. -3,-2,4 c. 3,2,-4 d. -3,2,-4 e. -3,2,4
22. Garis singgung pada kurva y = 2x3 –2x + 1 yang dapat ditarik dari titik (0,-3) mempunyai gradien…
a.1 b.2 c.3 d.4 e.5
23. Jika x4 - 3x3 + px2 + qx + 8 habis dibagi (x2 – 3x + 2) maka nilai p dan q berturut-turut adalah…
a.6;10 b.6;12 c.6;-12 d.0;6 e.1;10
24. x5 - 4x4 - 3x3 +22x2 - 4x – 24 = 0 maka himpunan penyelesaiannya =…
a. -1,-2,2,3 b. -1,-2,4,3 c. -1,-2,2,4,3 d. -1,-2,2,-3,4 e. -1,-2,-3,2
25. Jika 2x4 - 8x3 +px2 + qx – 15 habis dibagi (x2 –2x – 3) maka… a.p = 2, q = 7 b.p = 2, q = 5 c.p = 5, q = 2 d.p = 7, q = 2 e.p = 7, q = 5
Kasih itu murah hati
Rela menderita
Soal – soal Suku banyak Ujian Nasional
1. Jika f(x) dibagi ( x – 2 ) sisanya 24, sedagkan jika f(x) dibagi dengan ( 2x – 3 ) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan ( x – 2 ) ( 2x – 3 ) sisanya adalah ….
a. 8x + 8 b.8x – 8 c.– 8x + 8 d.– 8x – 8 e.– 8x + 6 2. Sisa pembagian suku banyak ( x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1 ) oleh ( x2 – x – 2 ) adalah ….
a. –6x + 5 b.–6x – 5 c.6x + 5 d.6x – 5 e.6x – 6
3. Suatu suku banyak dibagi ( x – 5) sisanya 13, sedagkan jika dibagi dengan ( x – 1 ) sisanya 5 . Suku banyak tersebut jika dibagi dengan x2 – 6x + 5 sisanya adalah ….
a. 2x + 2 b.2x + 3 c.3x + 1 d.3x + 2 e.3x + 3
4. Diketahui ( x + 1 ) salah satu factor dari suku banyak f(x) = 2x4 – 2x3 + px2 – x – 2, salah satu factor
yang lain adalah ….
a. x – 2 b.x + 2 c.x – 1 d.x – 3 e.x + 3
5. Jika suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 – 3x2 + 5x + b dibagi oleh ( x2 – 1 ) memberi sisa 6x + 5, maka a.b
= ….
6. Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi ( x + 1) sisanya 8 dan dibagi ( x – 3 ) sisanya 4. Suku banyak q(x) jika dibagi dengan ( x + 1 ) bersisa –9 dan jika dibagi ( x – 3 ) sisanya 15 . Jika h(x) = f(x).q(x), maka sisa pembagian h(x) oleh x2 – 2x – 3 sisanya adalah ….
a. –x + 7 b.6x – 3 c.–6x – 21 d.11x – 13 e.33x – 39 7. Suku banyak 6x3 + 13x2 + qx + 12 mempunyai factor ( 3x – 1 ). Faktor linear yang lain adalah ….
a. 2x – 1 b.2x + 3 c.x – 4 d.x + 4 e.x + 2
8. Suku banyak P(x) = 3x3 – 4x2 – 6x + k habis dibagi ( x – 2 ). Sisa pembagian P(x) oleh x2 + 2x + 2
adalah ….
a. 20x + 24 b.20x – 16 c.32x + 24 d.8x + 24 e.–32x – 16
Kunci Jawaban Suku Banyak
