SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV), SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV), DAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT (SPLK)

(1)

1 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi SPLDV, SPLTP, dan SPLK SIMAK UI

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

(SPLDV), SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA

VARIABEL (SPLTV), DAN SISTEM PERSAMAAN

LINEAR KUADRAT (SPLK)

1. SIMAK UI Matematika Dasar 911, 2009

Diketahui sistem persamaan:

2 ₄ 18 5 18 2 8 6 ₃ 2 y x z y x y z x z x y z            

Nilai dari _y_ _x2_₂_{xz z}_ 2 _{adalah ....}

A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 E. 10 Solusi: [A] Misalnya a 2 x z   dan 6 2 b x y z    4....(1) 5 3 18....(2) 4 3....(3) y a y b a b      

 Persamaan (2) + 3  Persamaan (3) menghasilkan 5y12a27.... (4)

 Dari persamaan (1) dan persamaan (4) diperoleh 5y12 4



y



27 7y48 27 y 21₇ 3  y a 4 3 a 4 a 1 a_{x z}2_ 1 x z 2  4a b 3

(2)

2 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi SPLDV, SPLTP, dan SPLK SIMAK UI 4 1  b 3 b 1 6 1 2 b x y z     2x y z  6  2x y z  6 x y x z   6 x   3 2 6 x 1  x z 2 1 z 2 z 1 _{ }_y _x2_₂_{xz z}_ 2 _{ }₃ ₁2_{   }_{2 1 1 1}2 _{ }₃ ₀_₃

Jumlah x dan y dari solusi

 

x y, _{yang memenuhi sistem persamaan}

2 ₅ ₂ x y a x x y      adalah .... A. 12 B. 10 C. 6 D. 6 E. 10 Solusi: [B] 2 ₅ ₂ y  x a x  x y  x25x 



x a



2 x24x a  2 0

Diasumsikan sistem mempunyai satu solusi, sehingga

2 ₄ ₀ D b  ac





2 4    4 1 a 2 0 4  a 2 0 6 a  2 ₄ _{6 2 0} x  x   2 ₄ _{4 0} x  x 





2 2 0 x   2 x   2 6 8 y      2 8 10 x y     

Titik-titik

 

x y, _{yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear kuadrat}



3 2 21



3 6



0 x y x y x y         (1)



1, 1



(2)

 

1,1 (3)



 1, 5



(4)



1,5



Solusi: [D] I. 2 3 3 2 1 0 x y x y         II. 2 3 6 0 x y x y        

(3)

3 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi SPLDV, SPLTP, dan SPLK SIMAK UI Dari persamaan I diperoleh

3 2 3 2 1 0 y  x x y 





3x2 3 2 x  1 0 3x 6 4x 1 0 7x 7 1 x  3 2 1 1 y     Penyelesaiaanya adalah

 

1,1 Dari persamaan II diperoleh

3 2 6 0 y  x    x y 3 2 6 0 x x      3x 3   1 x  

 

3 2 1 5 y     Penyelesaiaanya adalah



1,5



Pernyataan yang benar adalah (2) dan (4). 4. SIMAK UI Matematika Dasar 951, 2009

Empat tahun yang lalu, jumlah umur kakak dan adiknya dalam sebuah keluarga adalah empat kali selisihnya. Sekarang umur kakak adalah 9

7 umur adiknya. Maka 10 tahun yang akan dating

umur kakak dan adiknya adalah ....

A. 17 dan19 B. 20dan18 C. 18dan 20 D. 19dan17 E. 21dan19 Solusi: [D]

Misalnya umur kakak dan adik masing-masing k dan a tahun.





4 4 4 4 4 k   a k  a 8 4 4 k a   k a 3k5a 8.... (1) 9 7 k a.... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh 3 9 5 8 7a a     27a35a 56   8a 56 a 7 9 7 9 7 k   

Sepuluh tahun yang akan datang umur kakak dan adiknya masing-masing 19 dan 17 tahun. 5. SIMAK UI Matematika Dasar 961, 2009

Banyaknya penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat

2 2 2 2 6 2 3 20 y x x y         adalah.... A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 Solusi: [A]

(4)

4 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi SPLDV, SPLTP, dan SPLK SIMAK UI 2 ₂ ₆ ₂ 2 ₃ 2 ₂₀ x  y  x  y 





2 2 2y 6 3y 20 2 3y 4y32 0



3y8



y4



0 8 ₄ 3 y   y 2 ₂ 8 ₆ 2 3 3 x   _{ }     (ditolak) atau

 

2 _{2 4} ₆ ₁₄ x      (ditolak) Jadi, banyak penyelesainya 0.

6. SIMAK UI Matematika IPA 924, 2009 Jika x, y, dan z memenuhi sistem persamaan

3 2 3 2 3 4 2 1 x y z x y z x y z           maka nilai 2x2y3z.... A. 8 B. 4 C. 2 D. 4 E. 8 Solusi: [B] 3x2y z 3....(1) 2x y 3z4.... (2) 2 1 x y  z  ....(3)

Persamaan (2) + Persamaan (3) menghasilkan

3x z 3.... (4)

Persamaan (1) – Persamaan (4) menghasilkan:

2y 0 0 y  0 2 3 4 y  x y  z 2x3z4 2x2y3z2x  2 0 3z2x3z4

7. SIMAK UI Matematika IPA 934, 2009 Jawab dari sistem persamaan

2 3 19 2 7 2 4 20 x y z x y z x y z           adalah ....

(1) ada jawab (2) jawab banyak (3) jawab tunggal (4) tidak ada jawab Solusi: [B] 2x y 3z19....(1) 2 7 x y  z .... (2) 2 4 20 x y z     ....(3)

Persamaan (1) + Persamaan (2) menghasilkan

3x5z26.... (4)

(5)

5 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi SPLDV, SPLTP, dan SPLK SIMAK UI 34 x  34 3 34 5 26 x    z 5z  76 76 5 z   76 34 2 7 5 y     _ _   152 17 27 5 5 y    

Pernyataan yang benar adalah (1) dan (3). 8. SIMAK UI Matematika IPA 944, 2009

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

2 7 3 10 x y y x x     

adalah





x y₁, ₁

 

, x y₂, ₂





. Nilai y1y2adalah....

A. 16 B. 2 C. 8 D. 12 E. 20 Solusi: [A] 2 7 3 10 x   y y x  x y



y7



23



y 7



10 y y214y49 3 y21 10 y216y60 0 y1y2 16

Jika x y 2zk, x2y z k, dan 2x y z  k, k 0, maka _x2__y2__z2_{jika dinyatakan}

dalam k adalah .... A. 2 16 k B. 3 2 16 k C. 4 2 17 k D. 3 2 8 k E. 2 2 3 k Solusi: [B] 2 x y  zk.... (1) 2 x y z k....(2) 2x y z  k.... (3)

Hasil penjumlahan ketiga persamaan tersebut adalah 4x4y4z3k

3 4

k x y z   .... (4)

Dari persamaan (1) dan (4) diperoleh 3 2 4 k k z z  4 k z 

Dari persamaan (2) dan (4) diperoleh 3

2

4 k k y y 

(6)

6 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi SPLDV, SPLTP, dan SPLK SIMAK UI 4

k y 

Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh 3 2 4 k x k  x 4 k x  2 2 2 ₂ 2 2 2 3 4 4 4 16 k k k k x y z          _{ } _{ } _{ }       

10. SIMAK UI Matematika Dasar 203, 2010 Diketahui sistem persamaan berikut.



3 2 21



3 6



0

x y

x y x y

 

     

Jika



x y1, 1



dan



x y2, 2



adalah penyelesaian dari system persamaan tersebut, maka nilai dari

1 1 2 2 .... x y x y  A. 6 B. 8 C. 4 D. 5 E. 6 Solusi: [E] I. 2 3 3 2 1 0 x y x y         II. 2 3 6 0 x y x y        

Dari persamaan I diperoleh

3 2 3 2 1 0 y  x x y 





3x2 3 2 x  1 0 3x 6 4x 1 0 7x 7 1 1 x  1 3 2 1 1 y    

Dari persamaan II diperoleh

3 2 6 0 y  x    x y 3 2 6 0 x x      3x 3   2 1 x  

 

2 3 2 1 5 y     1 1 2 2 1 1 1 5 6 x y x y     

Jumlah nilai x dan y yang merupakan bilangan bulat dari sistem persamaan berikut

2 2 2 3 1 0 2 4 2 0 x y x xy y x y          adalah .... A. 7 B. 1 C. 1 D. 3 E. 7 Solusi: [B] 2x3y 1 0 2 2 3 1 ₂ ₄ _{2 0} 2 2 y x   x xy y  x y 

(7)

7 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi SPLDV, SPLTP, dan SPLK SIMAK UI 2 2 3 1 3 1 ₂ 3 1 ₄ _{2 0} 2 2 2 2 2 2 y y _y _y y _y _ _  _{ } _  _ _{ } _ _ _{ }             1₄



9y26y 1

 

₂1 3y2y



2y21₂



  3y 1



4y 2 0 9y26y 1 6y22y8y26y 2 16y 8 0 7y218y 9 0



7y3



y3



0 y ₇3(ditolak)atauy3(diterima) 3 1 3 3 1 8 ₄ 2 2 2 2 2 y x           4 3 1 x y       

Zakiya membeli x tangkai bunga seharga y rupiah, dengan x dan y adalah bilangan bulat, y dalam ribuan (misalnya 2 adalah Rp2.000,00). Saat hendak meninggalkan toko, pramuniaganya berkata, “Jika Anda membeli lagi 18 tangkai bunga, saya akan menjualnya dengan harga 6 sehingga Anda hemat 0,6 per lusin tangkai bunga”. Nilai x dan y yang memenuhi kondisi ini adalah ....

A. x10,y4 C. x12,y4 E. x15,y5

B. x12,y3 D. x10,y3 Solusi: [B]

“Jika Anda membeli lagi 18 tangkai bunga, saya akan menjualnya dengan harga 6 sehingga Anda hemat 0,6 per lusin tangkai bunga”

6 0,6

18 12 y

xx 

Jadi, x12,y3

13. SIMAK UI Matematika Dasar 206, 2010 Jika sistem 2 3 3 1 x y k x ky     dan sistem 2 1 1 kx y x y  

   mempunyai satu penyelesaian yang sama, maka hasil kali semua nilai k yang memenuhi adalah ....

A. 3 2 B. 1 2 C. 1 D. 1 2  E. 3 2  Solusi: [B]

Perhatikan sistem persamaan II.

2 1 II. 1 kx y x y      1 kx y  1 y kx  _{.... (1)} 2 _1....(2) x   y

Dari persamaan (1) dan persamaan (2) diperoleh

2 ₁ ₁ x kx   2 ₀ x kx





0 x x k  0 x   x k

(8)

8 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi SPLDV, SPLTP, dan SPLK SIMAK UI 2 3 I. 3 1 x y k x ky     2 3 x   k x y k  k 2y3k y2k

Substitusikan x kdany2k ke persamaan 3x ky 1, sehingga diperoleh

 

3   k k 2k1 2 2k 3k 1 0

 

3   k k 2k1 1 2 1 2 k k  Solusi 2: [B]

Perhatikan system persamaan I: 2 3 I. 3 1 x y k x ky     2 3 x y k 3 2 ....(1) x k y 3x ky 1....(2)





3 3k2y ky1 9k6y ky 1



k6



y9k1 9 1 6 k y k    2 2 9 1 3 18 18 2 3 2 3 2 6 6 6 k k k k k x k k k k          _ _      

Penyelesaian dari sistem persamaan I adalah 3 2 2 9, 1

6 6 k k k k        _ _   .

Perhatikan sistem persamaan II.

2 1 II. 1 kx y x y      1 kx y  1 y kx  _{.... (1)} 2 _1....(2) x   y

2 ₁ ₁ x kx   2 ₀ x kx





0 x x k  0 x   x k

Penyelesaian dari sistem persamaan II adalah



_{0, 1 ;}_





_{  }_{k k}_, 2 ₁



(9)

9 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi SPLDV, SPLTP, dan SPLK SIMAK UI Jika x k, maka 3 2 2 6 k _k k  _{ }  , sehingga 2 2 3k   2 k 6k 2 4k 6k 2 0 1 2 2 1 4 2 k k   .

14. SIMAK UI Matematika Dasar 209, 2010 Jika diketahui 1 , 1 2 3 2 3 x y  y z    , maka nilai 2 2 2 _.... x y z xy yz xz   A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 E. 25 Solusi: [C] 2 2 1 1 2 2 3 7 4 3 x y  x y  xy   .... (1) 2 2 1 1 2 2 3 7 4 3 y z  y z  yz   .... (2) 1 1 2 3 2 3 x y y z       2 2 4 2 16 x z  x z  xz .... (3)

Penjumlahan persamaan (1), (2), dan (3) menghasilkan:

2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 16 7 4 3 7 4 3 x  y  z  xy xz yz     2 2 2 2x 2y 2z 2xy2xz2yz14 16 2 2 2 ₁₅ x y z xy xz yz  

15. SIMAK UI Matematika IPA 504, 2010 Jika memenuhi system persamaan berikut:



 





 





 



2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 5 9 4 1 2 4 2 1 1 2 1 2 3 6 2 1 1 2 z x y z x y z x y               

maka nilai dari



_x_₁

 

2_ _y_₂



2__z2__....

A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 E. 16 Solusi: [] Misalnya





2





2 2 1 1 1 , ,dan 1 2 a b c z x y      8a16b20c9.... (1) 8a4a2c1.... (2) 3a6b2c1.... (3)

Persamaan (1) + 10  Persamaan (2) menghasilkan 88a24b19.... (4)

Persamaan (2)  Persamaan (3) menghasilkan 5a10b0

2

(10)

10 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi SPLDV, SPLTP, dan SPLK SIMAK UI Dari persamaan (4) dan persamaan (5) diperoleh

 

88 2b 24b19 152b 19 1 8 b  .... (6)

Dari persamaan (5) dan (6) menghasilkan

1 1

2 2

8 4

a b  

Dari persamaan (3), (6), dan (7) diperoleh

1 1 3 6 2 1 4 8 c      12 4 2 1 8 8 c    1 4 c 



_x ₁

 

2 _y ₂



2 _z2 1 1 1 _{4 8 4 16} a b c           

16. SIMAK UI Matematika IPA 506, 2010

Dua mobil menempuh jarak 450 km. Kecepatan mobil kedua setiap jamnya 15 km lebih daripada kecepatan mobil pertama. Jika waktu perjalanan mobil kedua 1 jam lebih pendek dari waktu perjalanan mobil pertama, maka rata-rata kecepatan kedua mobil tersebut adalah .... (dalam km/jam)

A. 97,5 B. 92,5 C. 87,5 D. 85 E. 82,5 Solusi: [E]

Misalnya S = jarak tempuh, v1= Kecepatan mobil pertama, v2 = Kecepatan mobil kedua, t1=

waktu mobil pertama, t2= waktu mobil kedua.

v₂  v₁ 15dan t₂  t₁ 1 1 1 2 2 450 S v t v t ₁ 1 450 t v  .... (1) Selanjutnya,







1 1 1 15 1 1 v t  v  t  1 1 1 1 1 151 15 v t v t  v t  v115t115.... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh ₁ 1 450 15 15 v v    2 1 6750 151 v   v 2 1 151 6750 0 v  v  



v₁90



v₁75



0 v1  90 v175 v175v2  v1 15 75 15 90  

Jadi, rata-rata kecepatan kedua mobil tersebut adalah 1 2 75 90 _82,5

2 2

v v 

(11)

11 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi SPLDV, SPLTP, dan SPLK SIMAK UI 17. SIMAK UI Matematika IPA 507, 2010

Jumlah nilai-nilai x yang memenuhi sistem persamaan berikut.









2 2



2 15



315 x y x y       adalah.... A. 4 B. 3 C. 3 D. 4 E. 5 Solusi: [B]



x2



y 1



3 2 2 3 xy x  y  2 1 xy x  y 2xy2x4y2.... (1)



x2 2



y5



15 2xy5x4y10 15 2xy5x4y25.... (2)

Persamaan (1) – Persamaan (2) menghasilkan:

3x8y 23 3 23 8 x y  3 23 ₂ ₁ 8 x y  xy x  y 3 23 ₂ 3 23 ₁ 8 8 x x x_  _ x _  _     2 3x 23x8x6x46 8 2 3x 9x54 0 1 2 9₃ 3 x x    

18. SIMAK UI Matematika Dasar 211, 2011 Diketahui 2 3 12 2 3 6 48 a b c ab ac bc      _ _ _  , maka nilai a b c  .... A. 7 3 B. 8 3 C. 10 3 D. 22 3 E. 6 Solusi: [D] 2ab3ac6bc48





2ab3ac6bc4 a2b3c 2ab4a3ac12c6bc8b0













2a b2 3c a4 2 3b c4 0

Persamaan ini akan dipenuhi jika 2, 4,dan 4 3 b a c 4 22 4 2 3 3 a b c     

19. SIMAK UI Matematika Dasar 212, 2011 Diketahui 2 2 2 2



1



4022 x y z yz x y z          

 dengan x y z , , 0 anggota bilangan bulat positif. Nilai z yang memenuhi persamaan tersebut adalah ....

(12)

12 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi SPLDV, SPLTP, dan SPLK SIMAK UI A. 1 B. 2 C. 1005 D. 2010 E. 2011 Solusi: [D] [E] 4022 x y z   4022 x  y z





2 2 2 4022 2 1 x   y z x y z  yz



₄₀₂₂_{ }_{y z}



2__y2__z2_₂



_yz_₁



₄₀₂₂2__y2__z2_₈₀₄₄_y_₈₀₄₄_z_₂_{yz y}_ 2__z2_₂_yz_₂ ₄₀₂₂2_₂_y2_₂_z2_₈₀₄₄_y_₈₀₄₄_z_₂ ₂₀₁₁2_{ }₂ _y2__z2_₄₀₂₂_y_₄₀₂₂_z_₁ _y2_₄₀₂₂_y_₂₀₁₁2__z2_₄₀₂₂_z_₂₀₁₁2_₁



y2011

 

2 z 2011



2 1 y2011,z2010atauy2010,z2011 20. SIMAK UI Matematika Dasar 212, 2011

Sebuah keluarga mempunyai 5 orang anak. Anak tertua berumur 2 kali dari umur anak termuda, sedangkan 3 anak yang lainnya masing-masing berumur kurang 3 tahun dari anak tertua, lebih 4 tahun dari anak termuda, dan kurang 5 tahun dari anak tertua. Jika rata-rata umur mereka adalah 16 tahun, maka kuadrat dari selisih umur anak kedua dan anak ketiga adalah ....

A. 4 B. 6, 25 C. 9 D. 12, 25 E. 20, 25 Solusi: [D]

Misalnya umur pertama, ke dua, ketiga, ke empat, dan ke lima masing-masing a, b, c, d, dan e tahun.

Anak tertua berumur 2 kali dari umur anak termuda: a2e_{.... (1)}

Anak kedua berumur kurang 3 tahun dari anak tertua: b a 3.... (2) Anak ketiga berumur lebih 4 tahun dari anak termuda: c e 4.... (3) Anak ke empat berumur kurang 5 tahun dari anak tertua: d a 5.... (4) Jumlah semua persamaan adalah a b c d   2a3e4

Rata-rata umur mereka adalah 16 tahun

16 5 a b c d e     2 3 4 ₁₆ 5 a  e e  2a4e 4 80 2a4e84 2 42 a e .... (5)

Dari persamaan (1) dan (5) diperoleh

2e2e42 42 10,5 4 e   2 2 10,5 21 a e  

Anak kedua berumur kurang 3 tahun dari anak tertua: b 21 3 18  Anak ketiga berumur lebih 4 tahun dari anak termuda: c 10,5 4 14,5  kuadrat dari selisih umur anak kedua dan anak ketiga adalah



18 14,5



2 12, 25

Jika jumlah dua buah bilangan riil positif berbeda adalah P dan selisihnya adalah 2

n dari

(13)

13 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi SPLDV, SPLTP, dan SPLK SIMAK UI A.





2 1 Pn n  B.







2



2 1 P n n   C. 1 Pn n  D.







1



2 2 P n n   E.



2



1 P n n   Solusi: [B]

Misalnya bilangan-bilangan real tersebut adalah a dan b, dengan a b . a b P 

b P a  .... (1) a b 2b

n

  .... (2)

Dari persamaan (1) dan persamaan (2) diperoleh: a P a 2



P a



n     2a 2P P 2a n n    2n 2a P n



2



n n   _







2



2 1 P n a n   

22. SIMAK UI Matematika Dasar 221, 2012 Jika diketahui 2 2 2 2 18 756 a b c a b c a bc           _  , maka a .... A. 18 B. 12 C. 1 D. 12 E. 18 Solusi: [B] 2 2 2 ₇₅₆ a b c 





2





2 756 a b c   ab ac bc  

 

2





18 2 ab ac bc  756 216 ab ac bc   

Dari soal diketahui bahwa _a2 __bc_{, sehingga}

2 ₂₁₆ ab ac a   





216 a b c a   

 

18 216 a   12 a  

Apabila k x y, maka _k2_{ }_k ₁_{dan apabila}_k_{ }_{x y}_{, maka}_k2_{ }_k ₁_{, maka}_{x y}_{ }_....

(1) 1 1 5 22 (2) 1 2 (3) 1 1 ₅ 2 2 (4) 1 ₅ 2 Solusi: [B] 2 ₁ k  x y k  k



x y

 

2 x y



1 _x2__y2_₂_{xy x y}_{  }₁_{.... (1)} 2 ₁ k  x y k  k



x y

 

2 x y



1

(14)

14 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi SPLDV, SPLTP, dan SPLK SIMAK UI _x2__y2_₂_{xy x y}_{  }₁_{.... (2)}

Persamaan (1) – Persamaan (2) menghasilkan: 4xy2x0 2 2x



y 1



0 0 1 2 x  y _x_{ }₀ _x2__y2_₂_{xy x y}_{  }₁ _y2_{  }_y _{1 0} 1 1 4 1 1 5 2 2 2 y     Sehingga 1 1 5 2 2 x y   1 2 2 ₂ ₁ 2 y x y  xy x y   2 1 1 ₁ 4 2 x     x x 2 5 4 x  1 5 2 x   Sehingga 1 1 5 2 2 x y  

Jadi, pernyataan yang benar adalah (1) dan (3). 24. SIMAK UI Matematika Dasar 221, 2012

Diketahui bahwa _x2_₂_xy_₂_y2 _₁₃

dengan x dan y adalah bilangan bulat. Nilai x y yang mungkin dengan x 0dan y 0adalah ....

(1) 4 (2) 1 (3) 4 (4)1 Solusi: [D] 2 ₂ ₂ 2 ₁₃ x  xy y  2 ₂ 2 2 ₁₃ x  xy y y 



_{x y}_



2__y2 _₃2_₂2

Karena x dan y adalah bilangan bulat denganx 0dan y 0, sehingga yang memenuhi persamaan tersebut adalah x 1dan y 2.

Jadi, x y    1 2 1.

Pernyataan yang benar hanya pernyataan (4) saja. 25. SIMAK UI Matematika IPA 521, 2012

Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi system persamaan berikut.

2 ₃ 2 ₂ ₅ _{4 0} 2 4 x xy y x y x y         maka _x2__y2 __.... A. 6 B. 3 C. 0 D. 3 E. 6 Solusi: [D] 2 2 4 2 3 2 5 4 0 x  yx xy y  x y 

(15)



_{4 2}_ _y

 

2_{ }_{4 2}_{y y}



_₃_y2__{2 4 2}



_ _y



_₅_y_{ }_{4 0} 2 2 2 16 16 y4y 4y2y 3y  8 4y5y 4 0 2 9y 29y20 0



9y20



y 1



0 20_{(ditolak)atau} ₁ 9 y y 1 4 2 4 2 1 2 y   x y    2 2 ₂2 ₁2 ₃ x y   

Dikethaui x dan y adalah bilangan bulat yang memenuhi xy x y   33dan _{x y xy}2 _ 2_₁₆₂_.

Nilai x y _{adalah ....} A. 3 B. 6 C. 9 D. 11 E. 12 Solusi: [E] 33 xy x y    x y   33 xy.... (1) _{x y xy}2 _ 2_₁₆₂ xy x y







162.... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: xy



 33 xy



162

 

xy 233

 

xy 162 0



xy27



xy6



0 xy  27 xy 6 xy      27 x y 33 xy  33 27 6 x



 x 6



 27 _x2_₆_x__{27 0}_



x9



x3



0 x   9 x 3 y     x 6 9 6 3y       x 6 3 6 9 xy      6 x y 33 xy    33 6 27 x



 x 27



 6

_x2_₂₇_x_{ }_{6 0}_{(akar-akarnya tidak bulat)}

Sehingga x 9,y3ataux3,y 9

Jadi, x y    9 3 12atau x y   3 9 12 27. SIMAK UI Matematika Dasar 331, 2013

Diberikan sebuah sistem persamaan _x2__{xy y}_ 2 __{7 dan}_{x xy y}_ _{  }₁_{, maka}_{x y}_{ }_....

(1) 5 (2) 3 (3) 2 (4) 2 2 Solusi: [B] 1 x xy y    xy x y  1.... (1) 2 2 ₇ x xy y 

(16)



x y



23xy7.... (2)



x y



23



x y  1



7



x y



23



x y



10 0



x y 5



x y 2



0 x y     5 x y 2

Pernyataan yang benar adalah (1) dan (3). 28. SIMAK UI Matematika Dasar 332, 2013

Banyak pasangan bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut.









2 22 3



5 47



00 x y x y x y x y               adalah .... A. 2 B. 3 C. 4 D. 16 E. tak terhingga Solusi: [B]

Dari sistem persamaan tersebut dapat dijabarkan menjadi sistem persamaan berikut ini.

2 0 I. 2 0 x y x y          2 0 II. 2 5 7 0 x y x y      _ _{ }  3 4 0 III. 2 0 x y x y          3 4 0 IV. 2 5 7 0 x y x y         

Dari sistem persamaan I diperoleh penyelesaian:

 

0, 2 Dari sistem persamaan II diperoleh penyelesaian:



1,1



Dari sistem persamaan III diperoleh penyelesaian:

 

1,1 Dari sistem persamaan IV diperoleh penyelesaian: 13 29,

17 17

 

 

 

Jadi, banyak pasangan bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaantersebut adalah 3. 29. SIMAK UI Matematika Dasar 332, 2013

Diberikan sebuah sistem persamaan sebagai berikut. 2 4 12 4 2 22 6 x y z xy yz xz xyz           _  Dengan demikian, x y z  .... (1) 51 2 (2) 6 (3) 1 6 2 (4) 8 Solusi: [] 2 4 12....(1) 4 2 22....(2) 6....(3) x y z xy yz xz xyz       

Dari persamaan (1) diperoleh x4z12 2 ....(4) y Dari persamaan (3) diperoleh xz 6....(5)

y 

Dari persamaan (2), (4), dan (5) diperoleh

4 2 22

xy yz xz



x4z y



2xz22

(17)

17 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi SPLDV, SPLTP, dan SPLK SIMAK UI 2 6 12y 2y 2 22 y     2 3 6y y  6 11y 3 ₆ 2 ₁₁ _{6 0} y  y  y 



_y_₁





_y2_₅_y_₆



_₀



y1



y2



y3



0 1 2 3 y    y y

Substitusikan y    1 y 2 y 3 ke persamaan (4) dan (5) diperoleh 1 I. 4 10 6 y x z xz        _  2 II. 4 8 3 y x z xz        _  3 III. 4 6 2 y x z xz        _  Dari persamaan I diperoleh



10 4 z z



6 2 4z 10z 6 0 2 2z 5z 3 0



2z3



z 1



0 3 ₁ 2 z  z 4 6 x  x 4 1 3 61 2 2 x y z      atau x y z     6 1 1 8

Dari persamaan II diperoleh



8 4 z z



3 2 4z 8z 3 0



2z1 2



z3



0 1 3 2 2 z  z 6 2 x  x 6 2 1 81 2 2 x y z      atau 2 2 3 51 2 2 x y z      Dari persamaan III diperoleh



6 4 z z



2 2 4z 6z 2 0 2 2z 3z 1 0



2z1



z 1



0 1 1 2 z  z 4 2 x  x 4 3 1 71 2 2 x y z      atau x y z     2 3 1 6

Semua pernyataan adalah benar.

Untuk setiap x dan y anggota bilangan real berlaku sebuah sistem persamaan sebagai berikut.

2 2 2 3 4 x x y y xy        Nilai x y .... 1 1 6 11 6 1 5 6 1 5 6 0

(18)

18 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi SPLDV, SPLTP, dan SPLK SIMAK UI (1) 0 (2) 1 1 6 4 12 (3) 1 2 (4) 1 1 6 4 12 Solusi: [B] 4 y xy 4xy y 0



4 1



0 y x   1 0 4 y  x 2 2 0 2 3 0 y  x x   2 2x  x 0



2 1



0 x x   1 0 2 x  x Penyelesaiannya adalah

 

0,0 , 1,0 2      , sehingga 1 1 0 0 0dan 0 2 2 x y    x y    2 2 1 2 3 4 x  x x  y 2 2 1 1 2 3 4 4 y    _{ }    2 4 2 48y  2 1 24

y   (nilai y tidak real)

Pernyataan yang benar adalah (1) dan (3). 31. SIMAK UI Matematika Dasar 334, 2013

Perhatikan sistem persamaan linier berikut

7 5 2 20 5 8 11 13 15 10 50 x y z x y z x y z      _ _ _   _{ } _ 

Nilai dari 3x2y z _{adalah ....}

A. 33 B. 23 C. 19 D. 17 E. 13 Solusi: [D] 7 5 2 20....(1) 5 8 11 13....(2) 15 10 50....(3) x y z x y z x y z         

Persamaan (3)  (Persamaan (1) + Persamaan (2)) menghasilkan:









15x y 10z 7x5y2z5x8y11z 50 20 13

3x2y z 17

32. SIMAK UI Matematika Dasar 435, 2013 Diketahui sistem persamaan linear berikut.

13 11 700 1 x y mx y     _{ } 

Agar pasangan bilangan bulat

 

x y, _{memenuhi sistem persamaan linear tersebut, banyaknya} nilai m yang memenuhi adalah ....

(19)

19 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi SPLDV, SPLTP, dan SPLK SIMAK UI Solusi: [B]

13x11y700.... (1) mx y 1

11mx11y11.... (2)

Persamaan (1) + Persamaan (2) menghasilkan:



13 11 m x



711

x_{13 11}711_ _m

Agar x adalah bilangan bulat, maka haruslah



13 11m



adalah faktor dari 711. Faktor dari 711 adalah    1, 3, 9, 79, 237, 711  .

Nilai m yang menyebabkan x dan y bulat adalah 2 dan 6. Jadi, banyaknya nilai m yang memenuhi adalah 2.

Misalkan x 1dan y 3_{merupakan salah satu solusi dari sistem persamaan berikut.}



1



210 3 ax by a b c x cy a b            Nilai a b c  .... A. 2b B. 9 4 b  _C.5 9 4 b  _D.9 9 4 b  _E. 3 9 4 b   Solusi: [B]

Substitusikan x 1dan y 3ke persamaan ax by 2a b dan



c1



x cy 10 a 3b, sehingga diperoleh 1 3 2 a   b a b 2 a  b.... (1)



c    1 1



c 3 10 a 3b 1 3 10 3 c  c  a b 4c  9 a 3b 9 3 4 a b c   .... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh 9 2 3 9 5

4 4 b b b c     .... (3) Faktor dari 711 m 711 13 11 x m   700 13 11 x y  1  12 14 dan 11 11   x  711 ytidakbulat 3  10 16 dan 11 11   x  237 ytidakbulat 9  4 dan 2 11  _ x  79 y 157 79  92 6 dan 11  x  9 y 53 237  224_dan250 11 11 3 x   ytidakbulat 711  698_dan724 11 11 1 x   ytidakbulat

(20)

Jadi, 2 9 5 4 9 5 9

4 4 4

b b b b

a b c     b b       34. SIMAK UI Matematika IPA 133, 2013

Diketahui dua sistem persamaan linier berikut mempunyai solusi yang sama:

2 1 3 ax y b x y      _{ }  dan 2 2 2 3 3 x y a x y         

maka nilai a b adalah ....

A. 9 B. 5 C. 0 D. 5 E. 9

Solusi: [A]

Karena mempunyai solusi yang sama, maka solusi itu dapat ditentukan dari dua persamaan berikut ini.

3....(1) x y 

3 3....(2) x y

Persamaan (1) – Persamaan (2) menghasilkan

2y 0   0 y  0 3 x   3 x  Penyelesainnya adalah

 

3, 0

 

3, 0  2x y a22 _{2 3 0}_{  }_a2_₂ _{a }2 ₄ a  2

 

3, 0  ax2y b 1      2 3 2 0 b 1 b5ataub 7 Jadi, a b    2 5 3ataua b     2 7 9 35. SIMAK UI Matematika IPA 134, 2013

Berapakah nilai a sehingga solusi

 

x y, _{dari sistem persamaan}

2 2 2 1 3 2 2 7 5 x y a x y a a  _{  } _        memenuhi x y  3 0? A. a   1 3 C. a  1 3 E. a   3 B. a   1 3 D. a  1 3 Solusi: [] 2 2x y a 1     2 4x 2y 2a 2     .... (1) 2 3x2y2a 7a5.... (2)

Persamaan (1) – Persamaan (2) menghasilkan

7x 7a 7    

1 x a  .... (3)

(21)





2 4 a 1 2y 2a 2      2 _{1 2} ₂ 2 ₂ ₁ ya   a a  a 3 0 x y  



_a_₁



_a2_₂_a_{  }_{1 3 0}



 



2 1 1 3 0 a a  



a1



a  1 3 0

1. Jika



a 1



0, maka



a 1



2 3 0, pertidaksamaan ini dipenuhi oleh semua a bilangan real. 2. Jika



a 1



0, maka 



a 1



2 3 0atau



a 1



2 3 0, sehingga



a 1 3



a 1 3



0

1 3 a 1 3

     

36. SIMAK UI Matematika IPA 236, 2013 Jika diketahui sistem persamaan

2 2 3 1 y ax x y       

mempunyai dua pasang penyelesaian

 

x y, , syarat untuk nilai a adalah ....

A. 2 2 a 2 2 C. a 0 E. semua bilangan riil B. a 2 2 ataua2 2 D. a 2 2 Solusi: [B] 2 2 3 1 yax x y 





2 2 ₃ ₁ x  ax  2 2 2 ₆ _{9 1} x a x  ax 



₁__{a x}2



2_₆_ax_{ }_{8 0} 2 ₄ ₀ D b  ac

 

₆_a 2__{4 1}



__a2



_{8 0}_ 2 2 9a 8a  8 0 2 _{8 0} a  



a2 2



a2 2



0 2 2 atau 2 2 a  a

37. SIMAK UI Matematika Dasar Kode 1, 2014

Jumlah kuadrat tiga bilangan positif adalah 100. Salah satu bilangan adalah jumlah dari dua bilangan lainnya. Selisih antara dua bilangan terkecil adalah 3. Selisih dari pangkat tiga dua bilangan terkecil adalah....

A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 E. 150

Solusi: [E]

Misalnya ketiga bilangan tersebut adalah x, y, dan z, dengan x y z  .

2 2 2 ₁₀₀

x y z  .... (1) x y z.... (2)

3 y x  .... (3)

(22)

22 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi SPLDV, SPLTP, dan SPLK SIMAK UI Dari persamaan (2) diperoleh

x y z

2 2 ₂ 2

x y  xyz .... (4) Dari persamaan (3) diperoleh

3 y x 

2 2 ₂ ₉

x y  xy .... (5)

Jumlahkan persamaan (4) dan persamaan (5) diperoleh

2 2 2

2x 2y z 9

2 2 1 2 9

2 2

x y  z  .... (6)

2 2 1 9 ₁₀₀ 2z  2 z  2 _{9 2} 2 ₂₀₀ z   z  2 3z 191 2 191 3 z  .... (7)

2 2 191 ₁₀₀ 3 x y   2 2 109 3 x y  ....(8)

109 2 9 3  xy 109 82 2 9 3 3 xy    41 3 xy 









3 3 2 2 ₃ 109 41 ₁₅₀ 3 3 y x y x y xy x          _  _  

Jika

   

x y,  a b, adalah penyelesaian dari system persamaan

2 2 5 20 0 3 2 3 0 xy y x x y       

maka jumlah semua a b _{di mana a dan b bukan bilangan bulat adalah ....} A. 8

21

 C. 24

21 E. semua penyelesaian berupa pasangan bilangan bulat B. 4 21  D. 42 21 Solusi: [B] 3x2y 3 0 2 2 ₁ ₂ ₅ _{20 0} 3 x  y  xy y  x 

(23)

23 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi SPLDV, SPLTP, dan SPLK SIMAK UI 2 2 2 2 1 5 1 20 0 3 3 y_ y _ y  _ y _      2 2 4y 6y 3y 10y 15 60 0        2 7y 4y75 0 2 7y 4y75 0



7y25



y3



0 25 (diterima)atau 3(ditolak) 7 y  y 2 2 25 50 71 1 1 1 3 3 7 21 21 x  y   _ _      71 25 4 21 7 21 a b    

Diketahui selisih rusuk dari dua kubus adalah 5 dan selisih volumenya adalah 1385. Misalkan y menyatakan selisih dari kuadrat rusuk-rusuk kedua kubus tersebut dan z menyatakan kuadrat jumlah dari rusuk-rusuk kedua kubus tersebut, maka z y  5 ....

A. 95 B. 261 C. 271 D. 276 E. 361

Solusi: [C]

Misalnya panjang rusuk besar dan kecil masing-masing a dan b. Selisih rusuk dari dua kubus adalah 5:

5 a b  a b 5.... (1) Selisih volumenya: 3 3 ₁₃₈₅ a b 



_{a b a}_





2__{ab b}_ 2



_₁₃₈₅_{.... (2)}

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

  

₅ _b_₅

 

2_ _b_₅



_{b b}_ 2_₁₃₈₅     2 ₁₀ ₂₅ 2 ₅ 2 ₂₇₇ b  b b  b b  2 3b 15b252 0 2 ₅ _{84 0} b  b 



b12



b7



0

12(ditolak) atau 7(diterima)

b  b 5 7 5 12 a b     2 2 ₁₂2 ₇2 ₉₅ ya b   



 

2 _{12 7}



2 ₃₆₁ z a b    Jadi, z y  5 361 95 5 271  

40. SIMAK UI Matematika IPA Kode 1, 2015 Diberikan sistem persamaan

2 3 2 3 x y y y x x    

(24)

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. tak hingga Solusi: [D]

Sistem persamaan tersebut berbentuk simetri.

Misalnya solusi dari sistem persamaan tersebut adalah t, sehingga

2 3 t t t



₁ 2



₀ t  t t  2 0 1 0 t    t t 1 5 0 2 t  t 

Karena itu, solusinya

 

0,0 , 1 5 1, 5 , 1 5 1, 5

2 2 2 2

       

   

   

Banyaknya pasangan bilangan real

 

x y, yang memenuhi sistem di atas adalah 3.