Soal OMITS SMA 2011 2013

(1)

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA Soal Babak Penyisihan OMITS 2007

1. Jika ∶ → dengan R bilangan real. Jika +1 = 3+ 1₃ maka nilai 5

adalah…

a. 5 5 b. 4 5 c. 3 5 d. 2 5 e. 5

2. Nilaidari

4 + 3.5 +1+ 1

7 ∞

=1

adalah…

a. 30 b. 35 c. 39 d. 40 e. 45

3. Sukubanyak 3 + 5 2+ −1 dan 4+ 2 3+ −1 2+ 3 + 5 jika dibagi

( + 2)akan mempunyai nilai yang sama, makanilaiaadalah…

a. 5 b. 4 c. -5 d. -4 e. 6

4. Jika ∶ = 2∶ 3, . = 3 dan × = 4, maka + bernilai …

a. 101

6 b.

103

6 c.

107

6 d.

109

6 e.

111 6

5. Suku banyak 1− + 2 − 3+⋯ − 17 dapat ditulis sebagai polynomial dalam

= 1 + . Koefisien 3adalah …. a. -3060

b. 3060

c. 2576 d. -2576

e. 238

1

6. Jika 2 + 2 −1 = 0, maka nilai 5−29 + 3adalah …

a. 3 b. -5 c. -9 d. 8 e. -7

7. Jika diketahui = 1−2 + 3−4 +⋯+ −1 −1. dimana = 1,2,3,… maka

17 + 23+ 50 adalah…

a. -2 b. -1 c. 0 d. 1 e. 2

8. Bilangan bulat ganjil positip disusun sebagai berikut

1

3 5

7 9 11

13 15 17 19 21 23 … … …

(2)

a. 140

9. Diketahui suatu fungsi

= ₂ −5

−5 + 6

maka tentukan semua nilai x yang memenuhi fungsi tersebut agar terdefinisi.

a. < 2 atau 3 < 5

b. 2 atau 3 x 5

c. 2 < < 3atau x 5

d. 2 3 atau x > 5

e. 2 atau x 5

10.Sebuah karung berisi tiga kotak, dimana kotak tersebut berisi kelereng merah,

kelereng hitam dan kelereng putih. Kotak pertama berisi 4 kelereng merah, 4 kelereng hitam, 3 kelereng putih. Kotak kedua berisi 5 kelereng merah, 2 kelereng hitam, 4 kelereng putih. Berapakah kemungkinan terambilnya kelereng putih?

a. 175

11.Dapatkan determinan dari matrix ini

log23 2513 cos 75

12.Penyelesaian yang bulat positif dari persamaan

1 + 3 + 5 +⋯+ (2 −1)

(3)

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA

a. 20 b. 30 c. 40 d. 50 e. 60

14.Jika 1/3+ −1/3 = 4, maka nilai +1adalah…

a. 32 b. 42 c. 52 d. 60 e. 62

15.Dari angka 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dibuat bilangan yang terdiri dari 4 angka berbeda. Peluang tersusun bilangan lebih dari 8000 dan habis dibagi 5 adalah…

a. 1 Ordinat titik singgung garis g pada kurva tersebut adalah…

a. -4 b. -12 c. -2 d. 2 e. 4

17.Daerah yang dibatasi = 2, garis + −2 = 0 dan sumbu y diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Volume benda putar yang terjadi adalah…

a. 2 2

18.P adalah titik pusat lingkaran luar segitiga ABC. Jikasin < = maka sin <

=…

19.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a. Jika titik P terletak pada perpanjangan AB sehingga PB = 2a dan titik Q pada perpanjangan FG sehingga QG =

a, maka PQ = …

a. 5 b.2 2 c. 7 d. 4 e. 3

20.Banyaknya himpunan penyelesaian yang real dari persamaan : + 2 + 3 +

(4)

A segitiga ABC = L dan sudut A = θ, maka luas segitiga BDE adalah…

A. 1

Nilaicos�pada gambar di samping adalah…

(5)

30.Turunan dari

(6)

32.Suatu data dengan rata – rata 16 dan jangkauan 6. Jika setiap nilai dalam data

dikalikan dengan p kemudian dikurangi dengan q didapat data baru dengan rata – rata 20 dan jangkauan 9. Nilai 2p + q adalah…

, maka y bernilai…

(7)

39.Pada dasar sebuah tong terdapat 3 buah keran. Dari keadaan penuh, dengan membuka keran pertama dan kedua saja tong itu dapat dikosongkan dalam waktu 70 menit, jika yang dibuka keran pertama dam ketiga saja tong itu kosong dalam waktu 64 menit, jika yang dibukakerankeduadanketiga, tong itukosongdalamwaktu 140 menit, jika keran itu dibuka bersama, tong dapat dikosongkan dalam waktu… menit.

a. 45 b. 50 c. 55 d. 60 e. 65

41.Pada barisan bilangan 4, x, y, 12 diketahui 3 suku pertama membentuk barisan geometri dan tiga suku terakhir membentuk barisan aritmatika. Nilaix + y =…

a. 0 atau 15

43.Volume maksimum kerucut yang terletak di dalam bola yang berjari –jari R adalah…

a. 32

47.Himpunan penyelesaian dari 3

(8)

e. 3

2

15 8

48.Sebuah parabola = 2 + 2 dilalui oleh dua garis singgung di titik A ( -2, 6 ) dan B (1,3). Berapa luas daerah yang dibatasi oleh busur AB, garis singgung di A dan garis singgung di B.

a. 7/8 b. 9/8 c. 5/4 d. 7/4 e. 9/4

49.Nilai dari determinan

51.Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaanlog3 3−3 + 2 log3 2 + 2

adalah…

a. -3 b. 3 c. 0 d. -1 e. 1

52.Dapatkan integral berikut, sin3 _cos5

a. sin + cos +

dan EH sebuahkubus ABCD.EFGH.Jika BP = 1/3 BC, FQ = 2/3 FG

dan ER = 2/3 EH, maka perbandingan luas irisan bidang melalui P,

Q, dan R dengan luas permukaan kubusa dalah…

A. 1 : 6

B. 8∶6

C. 10∶6

D. 8∶18

(9)

54. lim _→1 − − ₋₁ = 1

2,nilaia + badalah…

a. -1/8

b. 4

c. 1

d. 2

e. 3

55.Jika pengetahuan logika diperlukan atau pengetahuan aljabar diperlukan, maka semua orang akan belajar matematika. Pengetahuan logika diperlukan dan pengetahuan computer diperlukan. Jika l _{adalah pengetahuan logika,}_a_{adalah pengetahuan aljabar,} m matematika dan k adalah computer, maka apakah konklusi dari argumentasi di atas?

a. m

b. m v k

c. m ᴧ k

d. ᴧ ⟹

a

e. a

56.Diberikan bilangan bulat 1, 2, … , 30. Dalam berapa cara dapat dipilih 3 bilangan yang berbeda sehingga jumlah dari 3 bilangan tersebut habis dibagi 3?

a. 360 b. 100

0

c. 1250 d. 1360

e. 161

0 57.Jika diketahui expansi binomial adalah

+ = =0

−

Maka hitunglah jumlah koefisien suku – suku dalam + ?

a. 2 b. 2 c. 2 _d. 1

2

e. n

58.Tentukan persamaan bidang antara V//U : x – y + z = 1 serta melalui titik potong bidang V1= x – 3 = 0, V2= y – 4 = 0, dan V3= z = 0

a. − + −7 = 0

b. + + −7 = 0

c. + − −7 = 0

d. − − −7 = 0

e. + + + 7 = 0

(10)

a.

b.

c.

d. ⟹

e.

60.Berapa banyak cara semut dapat memakan gula dengan melintasi satuan – satuan panjang kawat tersebut dengan lintasan terpendek?

semut

gula

(11)

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA Soal Babak Semifinal OMITS 2007

1. Hubungan antara a dan b agar fungsi = sin + cos mempunyai nilai

stasioner di =�

3adalah …

a. =

b. 3 =

c. 3 = 3

d. 3 = 3

e. = 3

2. Untuk interval 0 < < 360°, nilai yang nantinya akan memenuhi persamaan

trigonometri 2 + 2 cos °− 2 sin ° = 2 3 cos 221

2° adalah… a. {7 ½ °, 367 ½ °}

b. {67 ½ °, 307 ½ °}

c. {7 ½ °, 307 ½ °}

d. {307 ½ °, 367 ½ °}

e. {67 ½ °, 367 ½ °}

3. 1, 2, 3 dan 4 adalah akar – akar dari persamaan : 4 + −5 3 −

+ 3 2− −1 + 2 = 0. Jika 1+ 2+ 3+ 4

1 2+ 2 3+ 3 4+ 4 1+ 2 4+ 1 3 < 0, maka

batas – batas nilai m adalah …

a. m < -3 atau -3< m <1

b. -3<m < 1 atau m >5

c. m < -3 atau 0< m <5

d. m < -3 atau m >5

e. m >5

4. Pada ∆ABC ditarik garis – garis bagi AD dan BE. Kedua garis bagi tersebut saling

berpotongan. Jika AB = 1, BC = 15 dan CA = 24, maka nilai adalah…

a. 4,5 b. 4 c. 3,5 d. 3 e. 2

5. Nilai dari satu bilangan asli ditulis secara berurutan ……

angka digit yang berada pada posisi adalah…

a. 8 b. 3 c. 7 d. 2 e. 5

6. Keliling suatu segitiga adalah p. Suatu titik q berada di dalam segitiga tersebut. Jika jumlah jarak dari titik q ketiga sisi segitiga adalah s, maka nilai adalah…

a. 2 3 b. 3 3 c. 3

(12)

7. Diketahui = 1 masing bersisa 1, 2, 3, 4 dan 5. Bilangan n terkecil adalah …

a. 40 b. 55 c. 60 d. 120 e. 140 merencanakan masuk jadi anggota koperasi tersebut tapi menundanya beberapa minggu dan kemudian mengetahui bahwa iuran telah naik. Berapakah peluang Pak Cokro terpilih jadi ketua?

a. 5/37 b. 6/37 c. 7/37 d. 8/37 e. 9/37

12. Sebagai kawat panjangnya 10 m dilengkungkan bentuk tutup terdiri empat persegi panjang dan setengah lingkaran, agar luas bangunan maksimum maka jari –jari lingkaran adalah…

(13)

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA adalah …

a. 16 dan 4

b. 2 dan 8

c. 2 dan 4

d. 8 dan 16

e. 4 dan 8

14.

Diketahui PA membentuk sudut ° dengan garis l, AB ┴ PA, A’ dan B’ masing – masing proyeksi dari titik – titik A dan B pada garis l. Jika PA = 4 satuan, AB = 3 satuan dan besar sudut berubah – ubah, maka selisih nilai terbesar dan terkecil dari BB’ adalah…

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

15. Dalam paradoks Zeno versi lain, Archiles mampu berlari sepuluh kali lebih cepat dibandingkan kura – kura, tetapi kura – kura tersebut melakukan start

meter di depannya. Menurut Zeno, Archilles tidak akan mampu mengejar kura –

kura karena ketika Archilles berlari 100 meter, kura – kura telah bergerak 10 meter di depannya, ketika Archiles berlari 10 meter, kura – kura telah bergerak 1 meter di depannya, dan seterusnya. Tugas anda adalah meyakinkan Zeno bahwa Archiles bisa mengejar kura – kura dan mengatakan kepadanya berapa meter tepatnya Archiles harus berlari untuk melakukan hal ini.

a. 1101

3 b. 110

1

9 c. 111

1

3 d. 111

1

9 e. 112

1 3

16. Diagram pada gambar di bawah ini mempresentasikan segitiga sama sisi dimana

(14)

17. Banyaknya penyelesaian dari 1 + 2 + 3 + 4 = 7 dengan adalah bilangan bulat non-negatif, adalah…

a. 110 b. 115 c. 120 d. 125 e. 130

18. Jika = {1,2,3,4,5,6,7} dan = { , , , }, maka banyaknya pemetaan surjektif dari A ke B adalah…

a. 8211 b. 8400 c. 8478 d. 8500 e. 8575

19. Perhatikan gambar di bawah ini. Jika mula – mula Maman berada pada tempat dengan koordinat (1,2) kemudian berpindah ke tempat (7,5), maka ada berapa cara Maman pindah ke tempat yang dimaksud? Perpindahan hanya boleh ke kanan dan ke atas.

20. Hitung pendekatan fraksional berikut

1 + 1

1 +_{1 +}1_⋯

a. 1+ 5

2 b.

2+3 5

4 c.

1+2 5

2 d.

1+2 5

4 e.

2+ 5 2

21. ₂1

+ ∞

=1 konvergen jika lim →∞ ada. Nilai dari deret itu adalah…

a. 7�

6

b. 9�

8

c. 10�

9

d. 11�

10

a. 62

b. 67

c. 79

d. 84

(15)

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

22. Besar jari – jari dan tinggi tabung dengan isi terbesar yang dibuat dalam bola berjari –jari R adalah…

a. = 2, =

23. Suatu cairan pembersih sedimen dituangkan melalui filter berbentuk kerucut. Diasumsikan ketinggian kerucut 16 m dan jari – jari dasar kerucut 4 m. Jika cairan mengalir keluar dari kerucut dengan laju 2 m3_{/menit, ketika ketinggian 8} m berapa cepat kedalaman cairan brubah ketika itu?

a. 0,64 m/menit

25. Segiempat mempunyai sudut bawah

pada sumbu x dan dua sudut atas pada

kurva = 16− 2. Jika panjang dari

(16)

d. = ₃66 B(0, -1). Berapakah volume benda putar yang terjadi?

(17)

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA 30.

ABCD adalah persegi dengan panjang sisinya 1 m. Busur lingkaran dengan pusat A, B, C, D terlihat seperti gambar luas daerah yang diarsir adalah…

a. 1 + 3 +1

3� 2 b. 1− 3 +1

3� 2

c. 1−2 3 +1

3� 2

d. 1 + 2 3−1

3� 2

e. 1−2 3−1

(18)

Soal Babak Penyisihan OMITS 2008

1. Banyak pembagi positif dari 2.520.000 adalah . . .

a.105 b. 140 c. 175 d. 210 e.245

2. Jari-jari masing-masing lingkaran adalah 5 cm. Tentukan panjang busur ketiga lingkaran tersebut . . .

a. 75 �cm

b. 175

2 �cm

c. 50 � cm d. 25 �cm

e. 75

2 �cm

3. Berapa banyak cara semut dapat memakan gula dengan melintasi satuan-satuan panjang kawat tersebut dengan lintasan terpendek?

a. 35 b. 31 c. 30 d. 27 e. 19

4. Invers dari = − −

+ − adalah . . .

a. ln + 2_{+ 1}

b. ln + 2−₁

c. 1

2ln +1 −1

d. 1

2ln 1+ 1−

e. ln 1+ 1+2

5. Suku banyak 1− + 2 − 3+…− 17 dapat ditulis sebagai polynomial dalam

= 1 + . Koefisien 3 adalah . . . a. -3060

b. 3060 c. 2576 d. -2576 e. 2381

6. Diketahui = 2+ + dan ≠ 0 . Jika , , 2 membentuk barisan aritmatika dan = 6 maka ₀1 = . . .

semut

(19)

a. 17

4

b. 21

4

c. 25

4

d. 13

4

e. 11

4

7. Jika untuk segitiga ABC diketahui : cos cos = sin sin

sin cos = cos sin maka segitiga ABC

adalah segitiga . . . a. Tumpul

b. Samakaki

c. Siku-siku tak samakaki d. Samakaki tak siku-siku e. Siku-siku dan samakaki

8. Parabola = 2 −4

9 + 1 memotong sumbu dititik (0, ) serta memotong sumbu

dititik , 0 dan ( , 0) . Jika , , membentuk barisan geometri yang jumlahnya 13 , maka = . . .

a. 1

27

b. 4

27

c. 1

9

d. 3

e. 1

9. Jumlah semua nilai yang memenuhi (2 2−6 + 4) 2−7 −60 = 1 adalah . . . a. 0

b. 2 c. 5 d. 7 e. 10

10. Jika ₁ dan ₂ memenuhi persamaan 2 log −1 = log 10, maka _{1 2}= . . . . .

a. 5 10

b. 4 10

c. 3 10

(20)

d. 2 10

(21)

15. Dapatkan nilai dari 3

19. Sebuah kerucut tegak tanpa alas diletakkan terbalik. Kedalam kerucut dimasukkan sebuah bola yang berdiameter 16 cm sehingga semua bagian bola masuk kedalam kerucut.

Kerucut dengan volume terkecil yang mungkin mempunyai ukuran tinggi . . . cm. a. 8 2

b. 8 3

c. 16 2

(22)

e. 32

20. Jika = + dan = 8 + 21 , maka + = . . .

a. 5 b. 2 c. 3 d. 8 e. 21

21. Jika = 0,333….. dan = 3 3 3 3… , maka log = . . .

a. 1

3

b. 1

c. 0

d. 3

e. 2

22. Jumlah dari koefisien 21 dan koefisien 17 dalam suku banyak 1 + 5+ 7 20 adalah . . . . .

a. 4560 b. 3420 c. 1140 d. 4650 e. 3240

23. Antara 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan. Bilangan ini bersama dengan bilangan semula membentuk sebuah deret hitung. Jumlah deret hitung adalah . . .

a. 952 b. 884 c. 880 d. 816 e. 768

24. Diberikan ₌₁ 3 = 13 + 23+…+ 3 . Jika = 100, maka hasil jumlahan tersebut adalah . . .

a. 6060 2

b. 5050 2

c. 6060 3

(23)

26. Ditentukan rasio deret geometri tak hingga adalah 7log(4 −1) . Jika deret ini mempunyai jumlah (konvergen), maka nilai yang memenuhi adalah . . .

a. 2

28. Jika tiga bilangan , , dan membentuk barisan geometri, maka −

(24)

29. Andaikan 30 siswa dalam suatu kelas mempunyai nilai ujian yang berbeda satu dengan yang lainnya dan setiap dua nilai yang berdekatan berbeda 0,3 . Jika nilai rata-rata 75 , maka nilai tertinggi adalah . . .

, makabatas-batas nilai

adalah . . .

31. Persamaan bola yang melalui titik T(3,2,3) serta memotong tegak lurus bola-bola B1 :

(25)

e. <−1 atau > 3

33. Misal = dengan = 4 ₊ 3_{+ 1}_untuk₀ ₂_{, dan} ₌ −1_{( )}_{. Berapakah nilai} ′₍₃₎_?

a. 33 b. 44 c. 55 d. 66 e. 77

34. Jika = 2 −₁_dan ₌ 9− 2

2₋₄ , maka domain dari ( + ) adalah . . .

a. −3 0 3 4, ∈

b. −3 −1, ∈

c. −3 < 0 3 < 4, ∈

d. −3 < 0 1 4, ∈

e. −3 −1 1 4, ∈

35. Semua bilangan genap positif dikelompokkan seperti berikut

(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20),... Bilangan yang terletak ditengah pada kelompok ke-15 adalah . . .

a. 170 b. 198 c. 226 d. 258 e. 290

36. Keliling suatu segitiga yang sisi-sisinya membentuk deret aritmatika adalah 12 cm. Jika sudut dihadapan sisi terpanjang adalah 120° , maka luas segitiga tersbut adalah . . .

a. 12

5 3

b. 12

7 3

c. 11

5 5

d. 13

15 3

e. 3

5 3

(26)

melakukan lemparan pertama pada urutan kedua. Tentukan peluang bahwa orang pertama

39. Sebuah talang air akan dibuat dari lembaran seng yang lebarnya atas tiga bagian yang sama, seperti terlihatpada gambar. Jika � menyatakan besar sudut dinding talang tersebut dengan bidang alasnya 0 <� <�

2 maka volume air yang tertampung paling banyak

adalah bila � sama dengan . . .

40. Pada segitiga ABC diberikan A1 pertengahan sisi AC, B1 pertengahan sisi BC, A2

pertengahan sisi A1C, B2 pertengahan sisi B1C , dan seterusnya. Sehingga didapat An

(27)

e. Tak hingga

41. Garis menyinggung parabola dititik dengan absis −1. Jika garis tegak lurus di ternyata melalui (0,0) maka adalah . . .

a. -2 b. -1 c. 0 d. 1 e. 2

42. Berbentuk apakah grafik dari persamaan berikut + 2 2− −3 2 = 4 + 6 −5

adalah . . . a.

b.

c.

d.

y

x

√18 -√18

y

x

√18

-√18

y

x

-√18

y

x

(28)

e.

43. Sebuah kantong memuat 3 koin, satu koin mempunyai muka pada kedua sisinya , sedang dua koin yang lainnya normal. Satu koin dipilih secara acak dari kantong dilempar 3 kali. Jika muka muncul 3 kali, berapa peluang bahwa itu berasal dari koin yang mempunyai 2

muka.

a. 1

12

b. 5

12

c. 4

5

d. 3

5

e. 2

5

44. Diketahui dua buah setengah lingkaran yang sama dan sebuah lingkaran yang saling bersinggungan dan terletak dalam sebuah siku empat (empat persegi panjang) seperti dalam gambar. Maka nilai r adalah . . .

a. 2

3

b. 1

3

c. 3

5

d. 2

5

e. 1

5

45. Nilai n yang memenuhi 4+6+ …+2( +1)

2 −3 = 5 + 4(0,2)

1_{+ 4(0,2)}3₊_…_{adalah . . .}

a. 2 dan 3 b. 2 dan 5 c. 2 dan 6 d. 3 dan 5 e. 3 dan 6

x

y

(29)

BAGIAN I. PILIHAN GANDA

1. Hasil kali sebarang bilangan rasional dengan sebarang bilangan irasional selalu merupakan anggota dari himpunan bilangan …

A. Bulat B. Asli C. Rasional D. Real E. Irasional

2. Adi dan Beni membersihkan rumah setiap 6 dan 9 hari sekali. Jika keduanya membersihkan rumah pertama kali secara bersamaan pada hari senin tanggal 7 Februari 2011, maka keduanya akan membersihkan rumah secara bersamaan untuk kedua kalinya pada hari senin tanggal …

A. 20 Maret 2011 B. 21 Maret 2011 C. 12 Juni 2011

D. 13 Juni 2011 E. 17 Oktober 2011

3.

Jika diketahui panjang = 20 cm, panjang = 5 cm, dan besar sudut = 75°, maka nilai dari tan∠ adalah …

A. 6− 2

16+ 6+ 2 B.

6+ 2

16+ 6− 2 C.

16+ 6− 2

6+ 2 D.

16+ 6+ 2

6− 2 E.

20+ 6− 2 6+ 2

4. Didefinisikan sebuah operasi bilangan ∗mengoperasikan 2 bilangan bulat dan dengan definisi

∗ = 2+ 2+

Jika ∗(2∗ ) = 57, maka jumlah semua bilangan bulat yang memenuhi adalah …

A. -5 B. -1 C. 0 D. 1 E. 5

A

C

(30)

5. Bentuk paling sederhana dari

49 + 2400

−1₄ 2+ 2+ 2+⋯

adalah …

A. 3− 2 B. 3 + 2 C. 5 + 2 6 D. 2

5+2 6 E.

1 5+2 6

6. Bilangan 2011! memiliki digit 0 di posisi paling belakang pada representasi desimalnya sebanyak …

A. 499 B. 500 C. 501 D. 502 E. 506

7. Dalam sebuah termasuk perguruan tinggi negeri, peluang Adi diterima 0,8, peluang Budi diterima 0,75, peluang Edi diterima 0,7, dan peluang Tedi diterima 0,6. Tentukan peluang paling sedikit 3 dari 4 siswa tersebut diterima di perguruan tinggi negeri !

A. 0,252 B. 0,486 C. 0,586 D. 0,638 E. 0,675

8. Sisa pembagian dari201120112011 oleh 14 adalah …

A. 2 B. 3 C. 5 D. 9 E. 11

9. Diberikan sebuah segitiga dengan = 4 cm dan = 5 cm. Titik berada pada ruas garis dengan = 2 cm dan = 3 cm. Panjang adalah …

A. 1

5 85 B.

2

5 85 C.

3

5 85 D.

4

5 85 E. 85

10.Diberikan sebuah himpunan garis-garis lurus ₁, 2,…, 2011 dengan ≠ untuk setiap ≠ . Jika ⊥ ₊₁ untuk setiap = 1, 2,…, 2010, maka himpunan garis-garis tersebut membagi bidang koordinat- menjadi … bagian.

A. 1.009.020 B. 1.011.030 C. 1.013.042 D. 1.017.072 E. 1.021.110

(31)

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7

12.Banyaknya bilangan 4 digit yang bersisa 2 jika dibagi oleh 3, bersisa 3 jika dibagi oleh 5, bersisa 5 jika dibagi oleh 7 dan bersisa 7 jika dibagi oleh 11 adalah …

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10

13.Sebuah polynomial monik ( ), berderajat 3, jika dibagi oleh + 1, + 2, dan −3

memberikan sisa yang sama yaitu 6. Jika semua koefisien dari ( ) merupakan bilangan bulat, maka banyaknya bilangan bulat yang menyebabkan ( ) merupakan bilangan prima adalah …

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

14.Jika bilangan-bilangan dari 1 sampai dengan 10 semua digitnya dijumlahkan, maka hasilnya adalah 46. Jika bilangan-bilangan dari 1 sampai dengan 2011 semua digitnya dijumlahkan, maka hasilnya adalah …

A. 27432 B. 27968 C. 28000 D. 28070 E. 28072

15.Diberikan sebuah trapezium dengan ∥ dan ∠ =∠ = 90°. Sebuah lingkaran dengan diameter menyinggung di titik . Jika panjang = 3 cm dan panjang = 8 cm maka luas trapesium adalah …

A. 30 B. 32 C. 100

3 D.

203

6 E. 36

16.Diberikan vektor-vektor

= 4 + 5 + 6

= 7 + 8 + 9

= 8 + 4 + 6

Nilai dari × ∙ adalah …

A. −18 B. −12 C. 0 D. 12 E. 18

17.Sebuah segitiga ABC memiliki panjang sisi = 3 cm, = 4 cm dan = 5 cm. Jarak antara pusat lingkaran dalam dan pusat lingkaran luar dari segitiga sama dengan … cm

A. 1

4 5 B.

1

3 5 C.

1

(32)

18.Banyaknya pasangan bilangan bulat positif ( , ) sedemikian sehingga , < 11 dan terdapat bilangan bulat dan sedemikian sehingga + = 5adalah …

A. 59 B. 60 C. 63 D. 64 E. 65

19.Nilai dari

cos5 1

0

adalah …

A. 6

15 B.

7

15 C.

8

15 D.

9

15 E.

10 15

20.Seutas tali sepanjang 2 meter dipotong menjadi 2 bagian. Salah satu bagian dibentuk menjadi sebuah lingkaran, sedangkan bagian yang lain dibentuk menjadi sebuah segitiga sama sisi. Agar total luas kedua bangun tersebut minimum, berapakah panjang tali yang dibentuk menjadi lingkaran?

A. � 3

9+� 3 B.

2� 3

9+� 3 C.

3� 3

9+� 3 D.

4� 3

9+� 3 E.

4� 3 18+� 3

21.Jika menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan dan menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan , maka nilai dari

12−₁ ₊ ₂2−₁ ₊ ₃2−₁ ₊ ₄2−₁ ₊⋯₊ ₂₀₁₀2 −₁

+ 20112−₁

adalah …

A. 1.011.030 B. 1.013.042 C. 2.022.060 D. 2.026.084 E. 2.030.112

22.Tentukan koefisien dari 3 pada polinomial

= 2+ + 1 11 !

A. 165 B. 176 C. 198 D. 245 E. 275

23.Misalkan menyatakan panjang garis singgung persekutuan dalam dan menyatakan panjang garis singgung persekutuan luar dari 2 buah lingkaran yaitu lingkaran 2 + 2 = 4 dan 2+ 2−8 −6 =−24. Tentukan nilai dari !

(33)

24.11 orang duduk melingkar di dalam sebuah forum. Adi, Beni, dan Cepi merupakan anggota dari forum tersebut. Jika Adi tidak mau duduk berdampingan dengan Beni maupun Cepi, banyaknya posisi duduk dari 11 orang tersebut adalah …

A. 9! B. 6∙9! C. 56∙8! D. 60∙8! E. 8∙9!

25.Sani dan 3 adiknya sedang mengamati kartu keluarga mereka dan menemukan fakta berikut

Umur Sani kurang dari 30 tahun

Umur Sani dan 3 adiknya membentuk barisan geometri dengan rasio tidak sama dengan

1.

Jika umur mereka merupakan bilangan bulat, berapakah jumlah terbesar dari umur mereka?

A. 40 B. 45 C. 54 D. 60 E. 65

26.Di dalam sebuah peti terdapat 4 buah kotak kardus berbeda yang masing-masing berisi 5 bola dengan perincian

Kotak1 : 2 bola merahdan 3 bola putih Kotak2 : 3 bola merahdan 2 bola putih Kotak3 : 4 bola merahdan 1 bola putih Kotak4 : 5 bola merah

Jika dimbil 1 bola dari masing-masing kotak, berapakah peluang terambilnya 3 bola merah dan 1 bola putih?

A. 58

125 B.

1

25 C.

4

25 D.

12

25 E.

16 25

27.Jumlah semua bilangan polindrom 5 digit yang semua digitnya ganjil adalah …

A. 6.720.000 B. 6.888.820 C. 6.900.820 D. 6.940.800 E. 6.944.375

28.Tentukan nilai minimum dari 2 +2+ 9₂+ 6₃+ 1₄ untuk ∈ ℝ !

A. −6 B. −5 C. −1 D. 1 E. 6

(34)

A. −1

30.Banyaknya pasangan bilangan bulat non negative ( 1, 2, 3) yang memenuhi

1 + 2 + 3 = 11

dan ₁ 5adalah …

A. 45 B. 55 C. 56 D. 57 E. 60

31.Banyaknya nilai dari dengan 0 � yang memenuhi persamaan

sin + sin 2 + sin 3 = 0

adalah …

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

32. ₁ dan ₂ merupakan akar-akar persamaan

2₊ 2 _{+ 1 = 0}

34.Berapakah nilai dari 2011

(35)

35.Di dalam sebuah kelas terdapat beberapa siswa sedemikian sehingga setiap siswa mengenal tepat setengah dari siswa lainnya. Banyaknya siswa pada kelas tersebut paling sedikit adalah …

A. 3 B. 5 C. 7 D. 11 E. 13

36.Jumlah semua bilangan bulat sedemikian sehingga 3 3_{+ 2} 2 _{+ 2 + 3}_juga

merupakan bilangan bulat adalah …

A. −2 B. −1 C. 0 D. 1 E. 2

37.Banyaknya solusi bulat dari system persamaan

+ + + = 1

−1= 24

adalah …

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. Tak berhingga

38.Sebuah jam pasir berbentuk kerucut terbalik dengan jari-jari 50 cm dan tinggi 80 cm. Jam tersebut menjatuhkan pasir dengan debit 1 cm3/detik. Berapakah kecepatan perubahan kedalaman pasir saat kedalaman pasirnya 10 cm? (dalam cm/detik)

A. 2500�

64 B.

64

2500� C.

36

2500� D.

2500�

36 E.

400 3�

39.Diberikan sebuah segi empat tali busur . Garis dan berpotongan di titik

yang terletak di luar lingkaran. Jika panjang = , maka nilai dari 2+ 2

∙ + ∙ =⋯

A. 1

2 B.

1

2 3 C. 1 D. 3 E. 2

40.Dalam sebuah permainan, Adi diminta menuliskan dua buah bilangan bulat. Pada setiap langkah, Adi diminta menghapus keduanya kemudian menggantinya dengan jumlah dan selisih keduanya. Setelah 1000 langkah, hasil kali dua bilangan yang dihasilkan tidak mungkin bernilai …

(36)

41.Suatu barisan bilangan = { }∞₌₁ didefinisikan sebagai

= 2 + + 1.

Jumlah 100 suku pertama dari barisan bilangan tersebut adalah …

A. 333.500 B. 334.500 C. 338.500 D. 343.500 E. 348.500

42.Misalkan , , dan merupakan bilangan real. Tentukan nilai terbesar dari sedemikian sehingga + + = 2 dan + + = 1 !

A. 0 B. 1

2 C.

3

4 D. 1 E.

4 3

43.Diberikan sebuah bilangan 4 digit. Bilangan tersebut jika dibaca dari belakang sama dengan 3 kali bilangan itu sendiri. Banyaknya bilangan yang memenuhi kondisi ini adalah …

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

44. , , dan merupakan bilangan real sedemikian sehingga

2₊ 2 _{= 144}

2 ₊ _{3 +} 2 _{= 25}

2₊ ₊ 2 _{= 169}

Nilai dari 3 + + 2 adalah …

A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 E. 180

45.Banyaknya himpunan bagian dari himpunan = {1, 2, 3,…, 11} sedemikian sehingga tidak memuat 7 bilangan berurutan adalah …

A. 1999 B. 2000 C. 2001 D. 2002 E. 2003

46.Tentukan banyaknya segitiga yang panjang setiap sisinya merupakan bilangan bulat dan panjang sisi terpanjangnya 100 satuan!

A. 4951 B. 5000 C. 9902 D. 10000 E. 10050

47.Banyaknya solusi positif dari system persamaan

(37)

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA 3 + 4 = 12 4+ 1 = 22

adalah …

A. 0 B. 1 C. 4 D. 8 E. Tak berhingga

48.Sisa pembagian 2010 −2 1006 + 1 oleh 2 −1adalah …

A. 0 B. 2 C. 2 D. −2 E. −2

49.Diberikan sebuah lingkaran dengan pusat dan jari-jari 6 cm. Sebuah garis melalui titik , yang terletak di luar lingkaran, menyinggung lingkaran di titik . dan titik titik pada lingkaran sedemikian sehingga = . Jika panjang = 6 cm dan titik , dan

segaris, maka panjang =… cm

A. 3 B. 2 3 C. 3 2 D. 3 3 E. 6

50.Sebuah lingkaran berpusat di titik dan berjari-jari 3 cm. Tali busur melewati titik . Tali busur memotong di titik . adalah titik pada sedemikian sehingga

⊥ . Jika panjang = 5 cm dan panjang = 2 cm, maka panjang =… cm

A. 6

5 B.

4

3 C.

3

2 D.

5

3 E. 2

BAGIAN II. ISIAN SINGKAT

1. Diberikan sebuah matriks = 1 0

2 2 . Nilai dari

2011 adalah …

2. Suatu fungsi dan memetakan himpunan bilangan asli pada bilangan bulat dengan

( ) dan ( ) masing-masing menyatakan hasil kali dan penjumlahan digit-digit dari .

Jika 0 < < 100, maka nilai maksimum dari ( )

( ) adalah …

3. Jika setiap 2 dari 3 persamaan kuadrat

2₋ 2 ₊ _{+ 1 = 0}

2₋ _{+ 1} ₊ _{= 0}

2₋₃ ₊ ₊ 2_{+ 2 = 0}

selalu memiliki tepat satu akar real yang sama, maka nilai dari adalah …

4. Diberikan suatu barisan bilangan ∞₌₁. Jika ₁ = 2, 2 = 3, dan +2 = 5 +1−6 .

(38)

5. Diberikan sebuah segienam beraturan ₁ dengan panjang sisi 1 cm. Untuk setiap bilangan asli yang lebih dari 1, merupakan segienam beraturan yang titik-titik sudutnya merupakan titik tengah sisi-sisi segienam beraturan ₋1. Tentukan nilai terkecil dari

sedemikian sehingga luas kurang dari 1

15 kali luas 1 !

6. Tentukan banyaknya bilangan 5 digit yang jumlah digit-digitnya samadengan 10 !

7. 4 pasang suami istri beserta anaknya masing-masing 1 orang hadir dalam sebuah jamuan makan. Jika mereka duduk melingkar, tentukan banyaknya posisi duduk mereka sehingga setiap anak duduk diapit oleh kedua orang tuanya !

8. Diberikan sebuah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 6 cm. Sebuah lingkaran dengan jari-jari 3 cm melewati titik dan . Lingkaran ini memotong sisi dan masing-masing di titik dan . Di dalam bidang dibuat sebuah lingkaran. Jari-jari lingkaran terpanjang yang bisa dibuat adalah … cm.

9. Banyaknya cara menyusun 7 benteng pada papan catur berukuran 8 × 8 sedemikian sehingga tidak ada benteng yang bisa saling memangsa adalah …

10.Diberikan sebuah segitiga dengan = 12 cm, = 13 cm dan ∠ = 90°. Sebuah lingkaran menyinggung sisi , perpanjangan garis dan perpanjangan garis

(39)

Soal Pilihan Ganda

1. Banyaknya pasangan bilangan bulat non negatif , , , , yang memenuhi :

+ + + + = 12

Dimana 3, 4, 5, 6, dan 7, adalah . . .

a. 2380 b. 2830 c. 3280 d. 3820 e. 8230

2. Jumlah semua bilangan bulat yang memenuhi bahwa ! memiliki tepat 2012 angka nol di belakang pada representasi desimalnya adalah . . .

a. 43.100 b. 43. 010 c. 41.300 d. 40.130 e. 40.310

3. Diberikan sebuah bilangan real x yang memenuhi persamaan :

= 1 + + 1922

4119 + 2 −

−2012 + 2012−

2012−

Jumlah 2012 digit pertama di sebelah kanan tanda koma dari nilai J adalah . . .

a. 5079 b. 5097 c. 7059 d. 9057 e. 9075

5. Di sebuah perpustakaan terdapat beberapa orang yang suka membaca buku. Pada hari selasa tanggal 31 Januari 2012 ada 5 orang yang datang meminjam buku secara bersamaan di perpustakaan daerah, mereka adalah Puput, Nadia, Dina, Dika dan Aulia. Jika Puput datang untuk meminjam buku ke perpustakaan setiap 2 hari sekali, nadia setiap 3 hari sekali, Dina setiap 5 hari sekali, Dika setiap 7 hari sekali dan Aulia setiap 11 hari sekali, maka mereka berlima akan meminjam buku secara bersamaan lagi pada hari selasa tanggal . . .

(40)

maka jumlah angka setiap barisnya adalah . . .

(catatan : persegi ajaib × hanya terisi oleh angka – angka dari 1 sampai 2)

a. 505 b. 671 c. 870 d. 1105 e. 1379

8. Diketahui Z = sin_�+ sin2_� + sin3_� + sin4_� + sin5_� + sin6_� , Jika = 1

12+

1 22+

1 32+

1

42+⋯ , berapakah Z?

a. 1 + 56+8 24

2 b. 1 +

60+16 24

2 c. 1 +

64+20 24 2

d. 1 + 60+16 24

3 e. 1 +

16+60 24 3

9. Tentukan , jika a dan b merupakan bilangan bulat yang memenuhi persamaan

12 2 2 + 28 2−108 = 3( 2 + 2012) !

a. 64

81 b.

125

243 c. 512

81 d. 343

128 e. 4

10. Diberikan sebuah himpunan = 1,2,3,…,4022 . Jika subhimpunan dari A yang

terdiri dari k elemen selalu memuat dua bilangan yang saling prima, maka nilai dari k yang memenuhi pernyataan tersebut adalah . . .

a. 2 b. 2012 c. 2013 d. 4022 e. 4023

11.

6− 6− 6− ⋯+ 12− 12− 12− ⋯+ 42− 42− 42− ⋯

+ 102− 102− 102− ⋯+ 506− 506− 506− ⋯+⋯

Diketahui lima suku awal dari sebuah deret diatas.

2012( 2012 ) =⋯

(41)

12. Jika menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan n, maka Banyaknya solusi real dari persamaan 4 2−40 + 51 = 0 adalah . . .

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

13. Diberikan sebuah segitiga , dengan = 5, = 12 dan = 13 . titik O dan M berturut – turut pada dan sedemikian sehingga membagi segitiga

menjadi dua bagian dengan luas yang sama. Panjang minimum adalah . . .

a. 2 b. 3 c. 2 2 d. 2 3 e. 3 2

14. Diketahui :

�= 3,141592…. ( )

∅= 1,618033…( )

= 0,577215…. ( )

= 2,718282…. ( )

Manakah diantara bilangan berikut yang mempunyai nilai terbesar ?

a. � b. � c. d. �∅ e. ∅

15. buah dadu dengan enam sisi dilempar satu persatu oleh Tomi, kemudian dia akan menghitung jumlah angka yang muncul.

Jika :

( ) = peluang jumlah ke − angka yang muncul adalah 5

( ) = peluang jumlah ke − angka yang muncul adalah 6

( ) = peluang jumlah ke − angka yang muncul adalah 7 Pernyataan di bawah ini yang bernilai tidak benar adalah . . .

a. 1 = (2)

b. 3 < (4)

c. 6 = (5)

d. 3 < (2)

e. 6 = (1)

16. Diberikan sebuah bilangan :

= 1.111.111.111.111.111.111 19 1 = 11.111.111.111

11 1

jika menyatakan banyaknya factor positif yang genap dari bilangan dan menyatakan banyaknya faktor positif yang ganjil dari bilangan , Maka nilai dari

+ adalah . . .

a. 1 b. 2 c. 4 d. 8 e. 16

17. Diketahui bahwa merupakan akar – akar persamaan kuadratik 2 −2 −1 = 0. Nilai dari 5 4+ 12 3 adalah . . .

a. 81 b. 100 c. 121 d. 144 e. 169

18. Di bawah ini merupakan suatu hubungan integrasi yang benar, kecuali . . .

(42)

b. csc� � =−ln csc� − cot� +

merupakan polinomial berderajat . . . a. Tidak ada yang memenuhi b. 1

c. 2 d. 3 e. 2 dan 3

22. Diketahui sebuah fungsi didefinisikan sebagai berikut :

(43)

25. Di pagi yang cerah, Meyta mencari banyaknya bilangan komposit dua digit yang habis dibagi oleh masing – masing digitnya. Banyaknya bilangan yang diperoleh Meyta adalah . . .

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

26. Bilangan pecahan 2012

619 dinyatakan dalam bentuk pecahan berlanjut (continued

fraction) adalah :

2012

619 = 0+

1

2+ 3

4+ 5

…+ 2011 2012

Jika _{2 +1} = ln lim _→∞ 1 +1 ,dengan bilangan bulat positif, maka nilai dari

0+ 1+ 2+ 3+ 4 +⋯+ 2012 adalah . . .

a. 1163 b. 1164 c. 1165 d. 1166 e. 1167

27. Sebuah fungsi didefinisikan sebagai berikut :

= (2012, )

= ( , 2012)

2_{( ) = ( ( ))}

3 _{= ( ( ( )))}

Dan seterusnya

Nilai dari 2012( (100)) adalah . . .

a. 1 b. 2 c. 4 d. 100 e. 2012

28. Bilangan 2012 merupakan bilangan yang dapat dibaca dari dua sisi yaitu atas dan bawah. Bilangan tersebut jika dibaca dari atas bernilai 2102 dan jika dibaca dari bawah bernilai 2012. Banyaknya bilangan 4 digit yang dapat dibaca dari dua sisi dan terbaca tetap sebagai bilangan 4 digit adalah . . .

a. 1296 b. 900 c. 625 d. 400 e. 300

29. Diberikan fungsi dan adalah bukan fungsi konstan, dapat diturunkan

(differensiabel), dan terdefinisi real pada (−∞, +∞). Setiap pasangan bilangan real x dan y memenuhi :

+ = − + = +

Jika ′(0) = 0 , maka nilai dari 2+ 2 adalah . . .

a. 0 b. 1 c. 2 d. 10 e. 12

30. Diberikan sebuah fungsi :

= log20123 sin 2012

4₊_{cos 2012} 4₋₂₍_{sin 2012} 6₊_{sin 2012} 6₎

(44)

Nilai dari 2013 (2012) adalah . . .

33. Berapakah digit terakhir dari :

201220112010 2009 + 201320122011 2010 + 201420132012 2011 + 201520142013 2012?

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

34. Ardo, Romdhoni, Ahmad, Aji dan Romi mengikuti pemilihan Presiden Republik

Indonesia secara independen bukan dari partai politik. Pada akhir perhitungan suara, yang mendapatkan suara tertinggi pertama akan menjadi Presiden dan yang

memperoleh suara tertinggi kedua menjadi wakilnya. Jika, Ardo mendapat suara 2012 lebih banyak dari Romdhoni dan 2056 lebih sedikit dari Ahmad . Romi menerima 2012 suara lebih sedikit dari Aji dan 2076 suara lebih banyak dari Romdhoni. Maka yang terpilih sebagai Presiden dan wakilnya adalah ...

a. Ardo dan Romi d. Aji dan Ahmad

b. Romi dan Romdhoni e. Ahmad dan Ardo c. Romdhoni dan Aji

35. Zakiyyah menggambar poligon 2012 sisi di sebuah kertas, kemudian Sulastri datang

(45)

a. −1

2 b. 0 c. 1 d. 5 e. 10

37. Diketahui 2012 buah titik pada suatu bidang dan tidak ada 3 titik yang segaris. Banyaknya garis lurus yang dapat ditarik melalui titik – titik tersebut adalah . . .

a. 1006 × 2011 b. 1006 × 2012 c. 2011 × 2011

d. 2012 × 2011 e. 2012 × 2012

38. Diberikan sebuah alfametik sebagai berikut:

+ + + =

Nilai dari + + + + + + + + =⋯

a. 35 b. 36 c. 37 d. 38 e. 39

39. Diketahui sistem persamaan sebagai berikut :

2 _{= 2} ₊_{− −} 2 _{= 1}₋ 2

Banyaknya nilai yang memenuhi persamaan diatas adalah . . .

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

43. dan merupakan bilangan real dan memenuhi persamaan :

(46)

Persamaan kuadrat yang akar – akarnya 32 5 −80 4 + 80 3 −40 2+ 10 −3 +

46. Yusti menuliskan lima bilangan secara acak a, b, c, d dan e. Dari kelima bilangan tersebut masing – masing besarnya tidak kurang dari 503 dan tidak lebih dari 2012. Sedangkan yuyun menuliskan lima bilangan yang merupakan kebalikan dari bilangan – bilangan Yusti secara acak juga yaitu 1,1,1,1 1 , kemudian yusti dan yuyun menjumlahkan masing – masing kelima bilangannya tersebut. Jika jumlah kelima bilangan yusti adalah I dan jumlah kelima bilangan yuyun adalah T, maka nilai maksimum dari × . Maka sama dengan . . .

47. Banyaknya Solusi bulat dari sistem di bawah ini adalah . . .

+ ₌ 12 + ₌ 3

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

48. Jumlah 6036 suku pertama dari sebuah deret geometri adalah 1141 dan jumlah 4024

suku pertama adalah 780, jumlah 2012 suku pertama adalah . . .

a. 340 b. 361 c. 380 d. 400 e. 484

49. Jika , , , , mewakili digit – digit suatu bilangan yang dituliskan dalam basis tertentu dan memenuhi :

(47)

1.

Diberikan sebuah alfametik : BELGIS x 6 = GISBEL.

Maka nilai dari SI + BELGIS + BELI + ES + LEGI adalah . . .

2.

Persamaan kuadrat dengan koeffisien bilangan bulat yang akar – akarnya cos 72° dan

cos 144°_{adalah . . .}

merupakan sebuah bilangan bulat, maka sama dengan . . .

5.

Bilangan positif yang memenuhi 2012 =

… 2012

2012 ,adalah . .

.

6.

Nilai maksimum dari perbandingan antara bilangan empat digit dan jumlah digit – digitnya adalah . . .

7.

Beberapa tim mengikuti turnamen sepak bola. Setiap tim bertemu tepat satu kali dengan tim lainnya. Pemenang setiap pertandingan memperoleh nilai 3, dan yang kalah 0. Untuk pertandingan yang berakhir seri, kedua tim memperoleh nilai masing – masing 1. Jika di akhir turnamen angka 2012 tidak pernah muncul pada setiap

perolehan poin total masing – masing tim, maka banyaknya tim yang mengikuti kompetisi sepak bola tersebut ada . . . tim

8.

Sebuah barisan didefinisikan bahwa suku – sukunya merupakan penjumlahan faktor – faktor dari suku sebelumnya kecuali dirinya sendiri. Ji ₁ = 2012, maka nila yang memenuh = pada barisan tersebut adalah . . .

(48)

2(tan 2� −tan�)

tan 2� = + −

(dengan = −1)

Jika0 � 2�dan �₁ �₂ , maka nilai dari cot�₁−csc�₂ adalah .

10.

Jika sebuah fungsi dinyatakan dalam bentuk :

+ 1 + + = + 2

(49)

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA Soal Babak Semifinal OMITS’12

Soal Isian Singkat

1. Jarak terdekat antara titik , dengan garis yang mempunyai persamaan + +

adalah…

2. Banyaknya bilangan prima yang mempunyai sifat jika angka terakhir dihapus maka bilangan yang diperoleh merupakan faktor dari bilangan semula adalah…

3. Banyaknya pembagi positif dari 1005010010005001 adalah…

4. 1

6. Bilangan tiga digit yang merupakan jumlah dari faktorial digit-digitnya adalah… 7. Pada 100000001 suku pertama dari barisan Fibonacci, terdapat suku yang berakhiran

paling sedikit angka nol, nilai dari adalah…

8. 1 + 4

2 − ₅1−2 + _{= 1 + 2}2 − +1

3_{+ 4 + 1 + log} 2_{+ 2} _{= 0}

Solusi dari persamaan di atas adalah…

9. Jika segiempat mempunyai luas dan + + = 16, maka nilai dari supaya mencapai maksimum adalah…

10.Diketahui , , merupakan digit-digit bilangan yang memenuhi + + +

+ −1 = 2012, tentukan bilangan tiga digit !

11. = 1 + 1000 + 1 + 999+ 2 1 + 998+⋯+ 1000

Jumlah semua koefisien dari ( ) adalah… 12.Tentukan nilai minimum dari :

log ₁ 2−

digambarkan bola luar dan jari-jarinya disebut . Volume tembereng bola yang terdapat antara bidang bola dan bidang adalah…

14.Banyaknya bilangan bulat positif yang tidak lebih dari 2012 dan memenuhi kondisi

× 2 + 1habis dibagi 3 adalah…

15.Diberikan merupakan suku ke - dari barisan Fibonacci, 1 = 2 = 1 dan +1 = + ₋₁.

Tentukan nilai dari :

1 2012₁ + 2 2012₂ + 3 2012₃ +⋯+ 2012 2012₂₀₁₂

16.Diberikan sebuah fungsi ( ) yang memenuhi tiga kondisi berikut ini untuk semua bilangan bulat positif :

a. ( ) adalah bilangan bulat positif

b. ( + 1) > ( )

c. = 3

(50)

17. 1

18.Diberikan sebuah persamaan fungsi tangga:

2012 = 2012 +

2012

Jika didefinisikan sebagai bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan dan terdapat bilangan bulat , maka nilai yang memenuhi sebanyak…

19.Jika =

1. Dalam sebuah permainan, meminta anda untuk memikirkan sebuah bilangan tiga digit di mana , , dan merepresentasikan digit dalam basis 10. Kemudian

meminta anda untuk memikirkan bilangan baru dengan bentuk

, , , dan dan menjumlahkan kelima bilangan baru tersebut. dapat menebak bilangan tiga digit yang anda pikirkan jika anda memberi tahu jumlah kelima bilangan baru tersebut. Jika jumlah kelima bilangan baru tadi adalah

3194 maka menebak bilangan tiga digit dengan benar. Berapakah bilangan tiga digit yang anda pikirkan?

2. Perhatikan fungsi Ackermann yang didefinisikan oleh beberapa fungsi berikut:

o _0, ₌ −₁

4. Diberikan untuk =

0 + −

(51)

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA Soal Babak Penyisihan 7th OMITS

SOAL PILIHAN GANDA

1) Sebuah barisan baru diperoleh dari barisan bilangan bulat positif 1, 2, 3, 4,… dengan menghilangkan bilangan kuadrat yang ada di dalam barisan tersebut. Suku ke-2013 dari barisan baru tersebut adalah ...

a. 2055 b. 2056 c. 2057 d. 2058 e. 2059

2) Persegi memiliki panjang sisi 5. Titik dan berada di luar persegi dengan

= = 3 dan = = 4. Panjang adalah ...

a. 6

b. 6 3

c. 7

d. 7 2

e. 7 3

3) Bilangan positif , , memenuhi persamaan = 1081 dan

log log + log log = 468. Tentukan log 2₊ _log 2₊ _log 2_.

a. 74 b. 75

c. 74 2 d. 75 2 e. 76

4) Nilai dari sin 18° dapat dinyatakan dalam bentuk + _{. Nilai dari} ₊ ₊ _{adalah ...} a. 5

b. 6

c. 7 d. 8

e. 9

5) = 9 × 99 × 999 × 9999 × 999…999 (2013 digit). Nilai dari mod 1000 adalah ... a. 891

(52)

c. 991 d. 199 e. 190

6) Diberikan persamaan 2 + 2 = 14 + 6 + 6, berapakah nilai maksimum yang mungkin dari 3 + 4 ?

a. 72 b. 73 c. 74 d. 75 e. 76

7) Jika , , (tidak perlu berbeda) dipilih secara acak dari himpunan 1, 2, 3, 4, 5 , berapakah peluang + adalah bilangan genap?

a. 2

5

b. 59

125

c. 62

125

d. 65

125

e. 3

5

8) Untuk setiap bilangan bulat positif , berlaku

= log8 , jika log8 adalah bilangan rasional 0

Maka, nilai dari 2013₌₁ adalah ... a. 555

b. 6 c. 55

3

d. 58

3

e. 585

9) Jika = 55 555, maka digit kelima dari akhir dari adalah ... a. 0

b. 1 c. 2 d. 5 e. 7

10)Berapa banyak pasangan bilangan bulat positif ( , ) yang memenuhi persamaan 3 −

2 = 1?

a. 3 b. 4 c. 9 d. 23 e. ∞

(53)

14)Diberikan sebuah fungsi

= 2 + 1 + −1

(54)

e. 1

8�(4− 6− 2)

16)Diberikan sebuah fungsi trigonometri sebagai berikut

= sin ; cos ;

Jika ∈ dan dalam derajat, maka 360=0 ( ) adalah ...

a. -1 b. -2 c. 0 d. 1

e. Tidak ada jawaban yang benar

17)Lingkaran berpusat di . Jika adalah titik yang diperoleh dari perpanjangan garis tengah sedemikian sehingga garis singgung pada lingkaran membentuk ∠ sebesar 10°. Maka ∠ sama dengan ...

a. 30°

b. 40°

c. 45°

d. 50°

e. 60°

18)Liyana menuliskan suatu bilangan yang terdiri dari 6 digit di papan tulis, tetapi kemudian Anas menghapus 2 buah angka 5 yang terdapat pada bilangan tersebut. Sehingga bilangan yang terbaca menjadi 2013. Berapa banyak bilangan dengan enam digit yang dapat Liyana tuliskan agar hal seperti di atas dapat terjadi?

a. 5 b. 10 c. 15 d. 20 e. 25

19)Garis dan sejajar dan berjarak 4 satuan. Misalkan memotong di titik diantara kedua garis. Jika = 4 dan = 12, berapa jauh titik dari garis ... a. 6

b. 5 c. 4 d. 3 e. 2

20)Pada gambar di samping diketahui persegi panjang, panjang = 6 cm, panjang

(55)

a. 3

b. 3 2

c. 3 3

d. 3 5

e. 3 7

21)Jika − � = , ≠0. Maka nilai dari 2

2 adalah ...

a. 1

2 + +

b. 1

4 − +

c. 1

2 − +

d. 1

2 − + +

e. 1

4 − + +

22)Suatu lingkaran 2+ 2−12 −2 + 21 = 0 merupakan persamaan dari suatu lingkaran setelah ditransformasikan dengan transformasi yang berkaitan dengan matriks

−₀1 ₋0₁ dan dilanjutkan dengan transformasi yang berkaitan dengan matriks 0 −1

1 0 .

Lingkaran asalnya adalah ...

a. 2+ 2+ 2 −12 + 21 = 0

b. 2+ 2−2 + 12 + 21 = 0

c. 2+ 2−12 + 2 −21 = 0

d. 2+ 2−12 −2 + 21 = 0

e. 2+ 2−12 + 12 + 21 = 0

23)Pada gambar disamping diketahui bahwa : = 1: 2 dan : = 4: 3. Maka perbandingan dengan adalah ...

a. 2 : 5 b. 3 : 7 c. 1 : 3 d. 2 : 6 e. 3 : 5

(56)

a. 1618 b. 2729 c. 3830 d. 4941 e. 5052

25)Berapakah nilai dari 1

(57)

30)Dalam sebuah perusahaan internasional, setiap pegawai memiliki kode masing-masing. Kode-kode tersebut terdiri dari sembilan digit. Sebuah kode dikatakan cantik jika ada tiga digit berurutan yang sama dengan tiga digit berurutan lainnya, misal adalah 123957123. Jika 54.321 buah kode cantik telah terpakai, maka jumlah kode cantik yg masih tersedia adalah ...

(58)

e. 45 (7891011...20122013) adalah ...

(59)

41)Dalam sebuah rumah, sepasang tikus dapat berkembang biak menjadi dua kali lipat dalam sehari. 75 % tikus akan mati ketika berumur tepat 5 hari, dan sisanya akan mati ketika berumur tepat 7 hari. Berapa banyak tikus yang masih hidup pada hari ke-13 jika pada hari pertama terdapat satu tikus.

a. 430 b. 676 c. 824 d. 1088

e. Tidak ada jawaban yang benar

(60)

a. 16 : 9 : 4 bilangan bulat. Panjang sisi adalah ...

a. 5 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1

47)Tentukan nilai dari

5 + 6 + 7 5 + 6− 7 5− 6 + 7 − 5 + 6 + 7 .

48)Tentukan nilai dari

(61)

b. 62 c. 74 d. 86 e. 98

50)Terdapat sembilan rumah berjejer dalam sebuah kampung. Misalkan rumah tersebut dilabeli dari A sampai I (tidak berurutan), maka :

 A berada di sebelah kiri B, B berada di sebelah kiri C  D berada di sebelah kiri E, E berada di sebelah kiri F  G berada di sebelah kiri A, A berada di sebelah kiri C  B berada di sebelah kiri D, D berada di sebelah kiri H  I berada di sebelah kiri C, C berada di sebelah kiri E

Banyaknya kemungkinan susunan deret rumah yang mungkin adalah ... a. 11

b. 22 c. 33 d. 44 e. 55

SOAL ISIAN SINGKAT

1) Temukan nilai > 0 jika , , adalah akar-akar dari persamaan

= 3−4 2+ 6 + ,

dan berlaku

1 = ₂ 1

+ 2+

1 2₊ 2+

1 2₊ 2.

2) Temukan bilangan bulat positif , , sehingga berlaku

+ + = 219 + 10080 + 12600 + 35280.

3) Diberikan sebuah deret dengan ₁ = 2 dan = −1

2

−2 untuk semua 3. Jika 2 dan 5 adalah bilangan bulat positif dan ₅ 2013, maka kemungkinan-kemungkinan untuk ₅ adalah?

4) Temukan sebuah fungi ( ) dengan domain bilangan bulat tak negatif sehingga berlaku

+ = +

untuk semua bilangan bulat tak negatif dan .

5) Tentukan pada akhir dari 107! terdapat berapa angka 0.

(62)

7) Ada berapa banyak bilangan 5 digit yang digit-digitnya diambil dari {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} jika digit-digit dari bilangan tersebut menunjukkan barisan tidak naik atau barisan tidak turun?

8) Jika setiap sisi kubus diwarnai dengan merah, kuning, hijau, biru, hitam, putih dan tidak ada warna yang sama pada setiap sisi, maka banyaknya kemungkinan pewarnaan yang berbeda adalah ...

9) Terdapat lima ekor kuda yang sedang mengikuti kontes pacuan kuda. Berapa banyak susunan urutan kuda-kuda tersebut melewati garis finish jika dimungkinkan kuda-kuda tersebut melewati garis finish bersamaan dengan kuda-kuda yang lain.

10)Nyatakan persamaan dibawah ini kedalam bentuk yang sesederhana mungkin.

1

(63)

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA Soal Babak Semifinal 7th OMITS

Isian Singkat

1) Dalam segitiga , = 2 + 3 dan ∠ = 60°. Temukan berapa besar ∠ dan ∠ . 2) Jika ( + 7) = 2013 ( ), maka ( ) yang memenuhi adalah ...

3) Diberikan

= 1

10000

=1 .

Tentukan .

4) Tentukan ada berapa banyak pasangan bilangan real ( , ) dengan 0 < , < 1

sehingga menyebabkan 3 + 7 dan 5 + keduanya bernilai bilangan bulat. 5) Nilai dan yang memenuhi 7 2+ 56 + 145 2013 2−8052 + 8113 =

2013 adalah ...

6) Temukan bilangan prima terkecil sehingga terdapat bilangan bulat yang mengakibatkan membagi 2+ 5 + 23.

7) Faktorkan 3+ 3+ 3 −3 ke dalam bentuk ( ) × ( ).

8) Segienam berada di dalam lingkaran, dengan = = = 2 dan

= = = 1. Jari-jari lingkaran tersebut adalah ...

9) Nyatakan

2 1−cot 22°

ke dalam bentuk − ( ). Dengan ( ) sebuah fungsi trigonometri.

10)Tentukan ada berapa banyak cara kita bisa menyusun sebuah persegi panjang dengan ukuran 66 × 62 dengan menggunakan persegi panjang berukuran 12 × 1.

11)Diberikan adalah bilangan bulat yang memenuhi

1 +1

2+

1

3+⋯+

1

23=23!.

Sisa dari jika dibagi oleh 13 adalah ...

12)Ada berapa banyak bilangan bulat pisitif 7 digit yang diambil dari 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dengan aturan terdapat satu digit yang muncul sekali dan terdapat tiga digit yang muncul dua kali? Contohnya adalah 4321234.

13)Tentukan ada berapa banyak penyelesaian bulat positif untuk

(64)

14)Berapa banyak cara kita bisa mendapatkan lima buah kartu yang mengandung

setidaknya satu buah kartu dari masing-masing jenis (diamond, heart, ...) dari 52 buah kartu remi standar.

15)Tentukan ada berapa banyak penyelesaian bilangan bulat , , , , yang memenuhi

2 ₌ ₊ ₋_{2 +} ₋₈_,

2 ₌ _{− −}₅ ₋ _{+ 2 + 2} ₋₆_,

2 ₌ _{+ 5 +} _{+ 4 + 3} ₋₁₆_,

2 _{= 2 + 2 +} _{+ 3 +} ₋₁₇_,

2 _{= 3 +} _{+ 3 +} ₊ ₋₈_.

16)27 unit kubus (25 diantaranya berwarna hitam dan 2 berwarna putih) dibentuk menjadi kubus berukuran 3 × 3 × 3. Ada berapa banyak macam kubus yang dapat dibedakan bisa dibentuk? (Dua kubus tidak dapat dibedakan jika salah satu dari kubus tersebut dapat dirotasikan hingga menjadi seperti kubus kedua. Contoh dari dua kubus yang tidak bisa dibedakan adalah seperti di bawah ini.)

17)Temukan nilai bilangan real yang memenuhi persamaan

5 1− + 1 + = 6 + 8 1− 2_.

18)Tentukan ada berapa banyak bilangan 10 digit dimana setiap digit dari 0 sampai 9 muncul dalam bilangan tersebut dan bilangan tersebut merupakan kelipatan dari 11111.

19)Diberikan adalah sebuah segitiga tumpul sebarang. Maka nilai dari persamaan di bawah ini adalah...

tan

2tan2+tan2tan2+tan2tan2

20)Diberikan

1 + tan 1° 1 + tan 2° … 1 + tan 45° = 2 .

Temukan nilai .

Uraian

1) Isilah setiap kotak dengan sebuah bilangan bulat positif sehingga memenuhi beberapa aturan dibawah ini :

 Setiap bilangan terdiri dari tiga digit dan jumlah digit-digitnya adalah 15. 0 tidak boleh menjadi digit pertama. Satu digit dari setiap bilangan telah diberikan dalam setiap kotak.

 Tidak boleh terdapat dua bilangan dalam dua kotak yang berbeda memiliki digit-digit yang sama. Sebagai contoh, tidak diperbolehkan untuk dua kotak yang berbeda memiliki bilangan 456 dan yang lainnya 645.

(65)

sama). Dan juga, kotak yang berada pada pangkal panah, harus lebih kecil dari pada kotak yang berada pada ujung panah.

2) Diberikan bilangan prima , dan ∞₌₀ adalah sebuah barisan bilangan bulat dengan

0 = 0, 1 = 1 dan

+2 = 2 +1 −

Untuk = 0,1,2,… . Temukan semua kemungkinan nilai jika -1 muncul dalam barisan tersebut.

3) Jika , , adalah bilangan tidak negatif, buktikan bahwa

2₋ 2_{+ 4} ₊ 2₋ 2 _{+ 4} ₊ 2₋ 2_{+ 4} _0.

4) Terdapat bilangan bulat positif yang terdiri dari 13 digit dan dapat dibagi oleh