Soal dan Pembahasan Tryout Matematika Politeknik Statistika STIS Edunas

(1)

Soal dan Pembahasan Tryout Matematika Politeknik Statistika STIS Edunas

Tes Matematika

1. Parabola 𝑦 = 𝑥² − 6𝑥 + 8 digeser ke kana sejauh a satuan searah dengan sumbu-x dan digeser ke bawah sejauh 6a satuan. Jika parabola hasil pergeseran ini memotong sumbu-x di p dan q maka ¹

2(𝑝²+ 𝑞²) adalah…

A. 𝑎² − 12𝑎 + 10 B. 𝑎² + 12𝑎 − 10 C. 𝑎² + 12𝑎 + 10 D. −𝑎²+ 12𝑎 + 10 E. −𝑎²− 12𝑎 − 10 Jawaban: C

Pembahasan:

Parabola 𝑦 = 𝑥²− 6𝑥 + 8 ditranslasikan dengan [𝑎

6𝑎] menghasilkan 𝑦 + 6𝑎 = (𝑥 − 𝑎)²− 6 (𝑥 − 𝑎) + 8

𝑦 + 6𝑎 = 𝑥²− 2𝑎𝑥 + 𝑎²− 6𝑥 + 6𝑎 + 8 𝑦 = 𝑥² − (6 + 2𝑎)𝑥 + (8 + 𝑎²)

Perhatikan 𝑥²− (6 + 2𝑎)𝑥 + (8 + 𝑎²) = 0 mempunyai akar-akar 𝑥₁ dan 𝑥₂ 1

2(𝑥₁²+ 𝑥₁²) =1

2((𝑥₁+ 𝑥₂)²− 2𝑥₁𝑥₂)

=1

2((−6 − 2𝑎)²− 2(8 + 𝑎²))

= 𝑎²+ 12𝑎 + 10

2. Jika daerah yang digelapkan pada diagram ini merupakan daerah penyelesaian untuk program linear dengan fungsi sasaran f(x,y) = 2x + 2y, maka nilai maksimum f(x,y) adalah…

A. 6 B. 21 C. 30 D. 32

(2)

E. 42 Jawaban: C Pembahasan:

Fungsi sasaran adalah nilai maksimum 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 2𝑦 = 2(𝑥 + 𝑦)

Sistem persamaan:

𝑦 = 𝑥 3𝑥 − 5𝑦 = −15

3𝑥 + 4𝑦 = 12 }

Tips:

Memperhatikan fungsi sasaran yang diberikan, dipilih titik pojok yang nilai x + y paling besar, yaitu titik potong garis y = x dan 3x – 5y = -15. Kemudian subtitusikan y=x pada 3x – 5y = -15 diperoleh 𝑦 = 𝑥 = ¹⁵

2. Jadi nilai f(x,y) yaitu:

𝑓 (¹⁵

2 ,¹⁵

2) = 2𝑥 + 2𝑦 = 2 (¹⁵

2 +¹⁵

2)= 30 3. ∫ ^4𝑥

𝑥²+1 2

0 𝑑𝑥 =…

A. 2 ln 2 B. 5 ln 2 C. 3 ln 5 D. ln 25 E. ln 15 Jawaban: D Pembahasan:

𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙 𝑢 = 𝑥² + 1, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥, 𝑥 = 0 → 𝑢 = 1, 𝑥 = 2 → 𝑢 = 5 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎

∫ 4𝑥

𝑥²+ 1

2

0

𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑢

5

1

𝑑𝑢

2 ∫ 1 𝑢

5

1

𝑑𝑢 = 2 ln|𝑢|5 1

2[ln 5 − ln 1] = 2 ln 5 = ln 5² = ln 25 4. Nilai a yang memenuhi persamaan

log(𝑎²− 𝑥²)

log 𝑎 − log_𝑎(1 − (𝑥 𝑎)

2

) = 0 adalah…

A. -1 atau 1 B. -1 C. 1

D. -2 atau 2 E. 2

(3)

Jawaban: C Pembahasan:

Persamaan logaritma:

log(𝑎²− 𝑥²)

log 𝑎 − log (1 − (𝑥 𝑎)

2

) = 0 log( 𝑎²− 𝑥²) − log (𝑎² − 𝑥²

𝑎² ) = log 1

log( 𝑎²− 𝑥²) − log (𝑎²− 𝑥²) + log 𝑎² = log 1 log 𝑎² = log 1 ↔ 𝑎 = ±1

Karena pada persamaan log(𝑎²− 𝑥²)

log 𝑎 − log (1 − (𝑥 𝑎)

2

) = 0

Maka 𝑎 harus bernilai positif, 𝑎 > 0 sehimgga nilai 𝑎 = 1

5. Diketahui persamaan 𝑥³− 7 + 6 = 0. Jumlah dua akar persamaan yang paling minimum adalah…

A. -3 B. -2 C. 1 D. 2 E. 3 Jawaban: B Pembahasan:

Kemungkinan akar dari persamaan tersebut adalah faktor dari ±6 yaitu

±6, ±3, ±2, ±1. Coba substitusikan x = 1 → 1³− 7(1) + 6 = 0 → benar. Jadi x = 1 adalah salah satu akar dari 𝑥² − 7𝑥 + 6 = 0. Untuk mencari 2 akar tersebut dapat menggunakan cara Horner.

𝑥² + 𝑥 − 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = 0, jadi dua akar yang lain adalah x = -3 atau x = 2.

Jumlah dua akar paling minimum = -3 + 1 = -2.

6. f^-1(x) dan g^-1(x) menyatakan invers fungsi dari f(x) dan g(x). Jika h(x) = 2x + 1 dan fungsi (f O g O h)(x²) = 8x² + 2, maka nilai dari (g^-1O f^-1)(2) adalah…

A. −1 B. −¹

2

C. ¹

2

(4)

D. 1 E. 4 Jawaban: D Pembahasan:

Perhatikan bahwa fogoh (x²) = 8x²+ 2 karena h(x) = 2x +1, maka (fog) (2x²+ 1) = 8x²+ 2. Untuk mencari nilai g^-1o f^-1(2) = (fog)^-1(2), carilah nilai 2x²+ 1.

Jika 8x²+ 2 = 2, maka x =0 Nilai 2x²+ 1 = 2(0) + 1 = 1 Jadi g^-1o f^-1(2) = (fog)^-1(2) = 1

7. Fungsi kuadrat y = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 mempunyai nilai minimum -4 pada saat x = −¹

2. Jika fungsi kuadrat tersebut dibagi dengan (x+2), maka sisanya 21. Fungsi kuadrat tersebut adalah…

A. 𝑦 = −4𝑥²− 4𝑥 + 3 B. 𝑦 = 4𝑥²+ 4𝑥 − 3 C. 𝑦 = 4𝑥²− 4𝑥 − 3 D. 𝑦 = −4𝑥²+ 4𝑥 + 3 E. 𝑦 = −4𝑥²− 4𝑥 − 3 Jawaban: C

Pembahasan:

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐

− 𝑏 2𝑎 = 1

2 → 𝑎 = −𝑏

𝑓(𝑥) dibagi (x+2) bersisa 21, artinya f (-2) = 21 𝑓(−2) = 𝑎(−2)²+ 𝑏(−2) + 𝑐 = 21

4𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 = 21

Substitusikan a = -b diperoleh c = 21 + 6b

Lihat jawaban yang memenuhi a = -b dan c = 21 + 6b yaitu 𝑦 = 4𝑥²− 4𝑥 − 3 8. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 5^4x-3 + 25^3-2x < 30 adalah…

A. {𝑥 | 5 < 𝑥 < 25}

B. {𝑥 | 𝑥 < 25 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 > 25}

C. {𝑥 | −⁵

4 < 𝑥 < −1}

D. {𝑥 | 1 < 𝑥 <⁵

4} E. {𝑥 | 𝑥 < 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 >⁵

4} Jawaban: D

Pembahasan:

5^4x-3 + 25^3-2x < 30 5^4x-3 + 5^6-4x < 30 5^4𝑥

5³ + 5⁶

5^4𝑥 < 30

Misalkan 5^4𝑥 = 𝑝 maka

(5)

𝑝 5³+5⁶

𝑝 < 30

𝑝² − 30. 5³𝑝 + 5⁹ < 0 𝑝² − 6. 5⁴𝑝 + 5.5⁸ < 0 (𝑝 − 5. 5⁴)(𝑝 − 5⁴) < 0 𝑝 = 5⁵ atau 𝑝 = 5⁴ Diperoleh solusi 5⁴ < 5^4𝑥 < 5⁵ 4 < 4𝑥 < 5 1 < 𝑥 < 5/4

9. Bagilah bilangan 100 menjadi dua bagian sehingga seperempat dari bilangan yang pertama 11 lebih besarnya dari sepertiga bilangan yang kedua. Kedua bilangan tersebut adalah…

F. 24 dan 76 G. 22 dan 78 H. 28 dan 72 I. 20 dan 80 J. 26 dan 74 Jawaban: A Pembahasan:

Bagian pertama = a Bagian pertama = 100 – a 1

4𝑎 = 11 +1

3(100 − 𝑎) 3𝑎 = 132 + 400 − 4𝑎 7𝑎 = 532 → 𝑎 = 76

Jadi kedua bilangan tersebut adalah 76 dan 24

10. Jika antara Jakarta-Bogor berjarak 60 km. Agung berangkat dari Jakarta mengendarai mobil dengan kecepatan 60 km/jam. Agung berangkat pada pukul 08.30 pagi. Prasetyo berangkat dari Bogor ke Jakarta mengendarai motor dengan kecepatan 30 km/jam.

Prasetyo berangkat lebih awal 30 menit dari Agung. Keduanya akan bertemu pada pukul…

A. 08.45 B. 09.00 C. 09.15 D. 09.30 E. 10.00 Jawaban: B Pembahasan:

Setelah 30 menit, jarak yang ditempuh Prasetyo = 15 km

Pada pukul 8.30, Agung dan Prasetyo terpisah sejauh 60 – 15 = 45 km Kecepatan Agung 60 km/jam sedangkan Prasetyo 30km/jam

(6)

Misalkan dalam waktu t jam, jarak yang ditempuh Agung = x km, jarak yang ditempuh Prasetyo (45-x) km, maka:

𝑥

60= 45 − 𝑥 30

𝑥 = 90 − 2𝑥 → 𝑥 = 30

Sehingga t = 30/60 = ½ jam = 30 menit. Jadi keduanya akan bertemu pada pukul 8.30+30 = 9.00

11. Akar-akar persamaan dari 𝑥³ + 2𝑥²+ 3𝑥 + 4 = 0 adalah a,b,c. Nilai ¹

𝑎+¹

𝑏+¹

𝑐 dan 𝑎² + 𝑏²+ 𝑐² berturut-turut adalah…

A. ³

4 𝑑𝑎𝑛 − 2 B. −³

4 𝑑𝑎𝑛 − 2 C. ³

4 𝑑𝑎𝑛 2 D. 2 𝑑𝑎𝑛 −³

4

E. 2 𝑑𝑎𝑛 ³

4

Jawaban: B Pembahasan:

Persamaan:

𝑥³ + 2𝑥²+ 3𝑥 + 4 = 0 mempunyai akar { 𝛼 𝛽 𝛾 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = −2

Sehingga 𝛼𝛽 + 𝛽𝛾 + 𝛼𝛾 = 3 𝛼𝛽𝛾 = −4

1 𝛼+ 1

𝛽+1

𝛾 = 𝛼𝛽 + 𝛽𝛾 + 𝛼𝛾

𝛼𝛽𝛾 = − 3

4

𝛼²+ 𝛽²+ 𝛾² = (𝛼 + 𝛽 + 𝛾)²− 2(𝛼𝛽 + 𝛽𝛾 + 𝛼𝛾) = (−2)³− 2(3) = −2 12. Jika f(x) = 10^x dan g(x) = log₁₀𝑥² untuk x > 0, maka f^—1(g(x)) =…

A. log₁₀(log₁₀𝑥²) B. (log₁₀𝑥²)² C. 2 log 2𝑥

D. 2 log₁₀(log₁₀𝑥²) E. 2 (log₁₀𝑥²)² Jawaban: A Pembahasan:

Diketahui:

f(x) = 10^x dan g(x) = log₁₀𝑥² untuk x >0, akan dicari f^—1(x):

f(x) = y = 10^x x = log₁₀ 𝑦

f^—1(x) = log₁₀ 𝑥, maka:

(7)

f^—1(g(x)) = f^—1(log₁₀𝑥²) = log₁₀(log₁₀𝑥²) 13. ∫ 𝑒^2𝑥𝑑𝑥 = ⋯

A. −¹

2𝑒^2𝑥+ 𝐶 B. −¹

2𝑒^𝑥+ 𝐶 C. 𝑒^2𝑥+ 𝐶 D. ¹

2𝑒^2𝑥+ 𝐶 E. ¹

2𝑒^𝑥+ 𝐶 Jawaban: D Pembahasan:

Misal u = 2x maka ^𝑑𝑢

𝑑𝑥= 2 → 𝑑𝑥 = ¹

2𝑑𝑢

∫ 𝑒^2𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑒^𝑢1

2𝑑𝑢 = 1

2∫ 𝑒^𝑢𝑑𝑢 = 1

2𝑒^𝑢+ 𝑐 = 1

2𝑒^2𝑥+ 𝑐 14. Jika f(x) = 𝑥^𝑥², maka f’(2) adalah…

A. 64 (ln (2) + 1) B. 16 (2 ln (2) + 1) C. 32 (ln (2) + 1) D. 32 (2 ln (2) + 1) E. 16 (ln (2) + 2) Jawaban: D Pembahasan:

f(x) = 𝑥^𝑥² lnf(x) = ln 𝑥^𝑥² lnf(x) = 𝑥²ln x turunkan kedua ruas:

1

𝑓(𝑥) 𝑓^′(𝑥) = 2𝑥 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥².1 𝑥 𝑓^′(𝑥) = 𝑓(𝑥)(2𝑥 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥) 𝑓^′(𝑥) = 𝑥^𝑥²(2𝑥 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥)

𝑓^′(2) = 2²²(2(2) ln 2 + 2) = 32(2 ln 2 + 1)

(8)

15. Jika diameter lingkaran d cm, maka luas daerah yang digelapkan dalam gambar adalah…

A. 𝑑²(¹

2𝜋 − 1) B. 𝑑²𝜋

C. 𝑑²(¹

2𝜋 − 2) D. 𝑑²(𝜋 − 1) E. 𝑑²(2𝜋 − 1) Jawaban: A Pembahasan:

Perhatikan gambar lingkaran dengan diameter d cm berikut!

Luas arsiran = luas seperempat lingkaran – luas segitiga Luas arsiran = ¹

4𝜋 (^𝑑

2)² −¹

2(^𝑑

2)² = ¹

16𝜋𝑑²−¹

8𝑑² Jadi luas daerah yang ditanyakan pada soal adalah L = 8 x (¹

16𝜋𝑑²−¹

8𝑑²) = 𝑑²(¹

2𝜋 − 1) 16. Diketahui matriks A = [1 2

1 1] dan l = [1 0

0 1]. Jika (A – kl) adalah matriks yang singular, maka nilai k yang minimum adalah…

A. -3 B. -2 C. -1 D. 3 E. 2 Jawaban: C Pembahasan:

(9)

Matriks (A – kI) singular artinya det (A – kl) = 0

|[1 2

2 1] − [𝑘 0 0 𝑘]| = 0

|1 − 𝑘 2

2 1 − 𝑘| = 0 (1 − 𝑘)²− 4 = 0 (1 − 𝑘)² = 4 (1 − 𝑘) = ±2 k = -1 atau k = -3

17. Diketahui 𝑎, 𝑏, 𝑐 adalah vektor pada bidang, 𝑏 = 𝑖 − 2𝑗 + 2 𝑘, 𝑏 ⊥ 𝑐 dan p sudut yang dibentuk oleh 𝑎 dan 𝑐. Jika luas segitiga yang dibentuk oleh ujung-ujung vektor 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 adalah 6 satuan luas, cos p adalah…

A. ³

√5

B. ⁴

√5

C. ⁴

5

D. ³

5

E. 2√5 Jawaban: C Pembahasan:

Diketahui bahwa 𝑏̅ ⊥ 𝑐̅ maka luas segitiga:

𝐿 = 1 2|𝑏̅||𝑐̅|

6 = 1

2√1²+ (−2)²+ 2²|𝑐̅|

12 = 3|𝑐̅|

|𝑐̅| = 4 Diperoleh:

cos 𝛼 = |𝑐̅|

|𝑎̅|= |𝑐̅|

√|𝑏̅|² + |𝑐̅|²

= 4

√3² + 4² = 4 5

18. Diketahui persamaan kuadrat 𝑥²+ (𝑎 − 1)𝑥 − 2 = 0 memiliki akar-akar p dan q. Jika jumlah kuadrat kedua akar-akarnya sama dengan 5 dan a bilangan prima, maka a adalah…

A. 2

(10)

B. 3 C. 5 D. 7 E. 11 Jawaban: A

Persamaan kuadrat:

𝑥² + (𝑎 − 1)𝑥 − 2 = 0, a prima 𝑥₁² + 𝑥₂² = 5

(𝑥₁+ 𝑥₂)²− 2𝑥₁𝑥₂ = 5 (𝑎 − 1)²− 2(−2) = 5 (𝑎 − 1)² = 1

𝑎 − 1 = ±1 a = 0 atau a = 2

karena a merupakan bilangan prima maka nilai a yang memenuhi adalah 2 19. Penyelesaian dari pertidaksamaan ^𝑥

2−2𝑥−1

𝑥²+2𝑥+1 < 0 dan ^𝑥

𝑥−3> 0 adalah…

A. −√2 < 𝑥 < 3 B. 1 − √2 < 𝑥 < 0 C. −1 < 𝑥 < 1 + √2 D. 0 < 𝑥 < 1 + √2 E. 1 − √2 < 𝑥 < 1 + √2 Jawaban: B

Pembahasan:

Pertidaksamaan kuadrat:

𝑥² − 2𝑥 − 1 𝑥² + 2𝑥 + 1< 0

a) Mencari akar-akar dari 𝑥²− 2𝑥 − 1 𝑥_1,2 = −(−2) ± √(−2)²− 4.1. (−1)

2.1 =2 ± 2√2

2 𝑥₁ = 1 + √2 atau 𝑥₂ = 1 − √2

b) Mencari akar-akar dari 𝑥²+ 2𝑥 + 1 𝑥² + 2𝑥 + 1 = 0

(𝑥 + 1)² = 0 x = -1

penyelesaian dari:

(11)

adalah 1 − √2 < 𝑥 < 1 + √2 c) Pertidaksamaan kuadrat

𝑥

𝑥 − 3 < 0

Mempunyai penyelesaian x<0 atau x >3 Penyelesaian pertidaksamaan:

𝑥²−2𝑥−1

𝑥²+2𝑥+1< 0 dan ^𝑥

𝑥−3< 0 adalah {1 − √2 < 𝑥 < 0}

20. p dan q adalah akar-akar dari persamaan (5^x-2) (5^x-4) = log 1. Jika p > q maka nilai (¹

5)^{3𝑞−2𝑝}adalah…

A. −4 log₅2 B. − log₅2 C. log₅2 D. log₅25 E. −log₅25 Jawaban: D Pembahasan:

(5^x-2) (5^x-4) = log 1 5^x = 2 atau 5^x = 4

x = 𝑙𝑜𝑔₅ 2 atau x = 𝑙𝑜𝑔₅ 4

karena 𝑥₁ > 𝑥₂ maka 𝑥₁ = 𝑙𝑜𝑔₅ 4 dan 𝑥₂ = 𝑙𝑜𝑔₅ 2 sehingga (1

5)

3𝑞−2𝑝

= (1 5)

3(𝑙𝑜𝑔5 2 )−2(𝑙𝑜𝑔5 4)

= (5)^{−(3(𝑙𝑜𝑔}⁵^{2 )−2(𝑙𝑜𝑔}⁵⁴⁾⁾

= (5)^{2(𝑙𝑜𝑔}⁵^{4)−3(𝑙𝑜𝑔}⁵^{2 )} = (5)^{(𝑙𝑜𝑔}⁵⁴²^{)−(𝑙𝑜𝑔}⁵²³⁾

= (5)^{(𝑙𝑜𝑔}⁵⁴²^{)−(𝑙𝑜𝑔}⁵²³⁾= (5)^𝑙𝑜𝑔⁵

( 42)

( 23 )= (5)^𝑙𝑜𝑔⁵² = 2 = 𝑙𝑜𝑔₅ 25

21. Berikut ini adalah data penduduk suatu RT di Kelurahan Pondok Bambu tahun 1985.

Penduduk terbanyak terdapat pada kelompok umur 20-24 tahun Kelompok Umur

(tahun)

Jumlah Penduduk (orang)

(12)

0-4 5

5-9 15

10-14 18

15-19 …

20-24 ?

25-29 …

30-34 7

Jika modus umur penduduk = 19,5 + ²⁰

7 tahun, jumlah penduduk pada kelompok umur 15-19 tahun lebih banyak 6 orang dari kelompok umur sebelumnya dan jumlah penduduk kelompok umur 25-29 tahun lebih banyak 18 orang dari kelompok umur sesudahnya, maka jumlah penduduk pada kelompok umur modus adalah…

A. 25 B. 26 C. 27 D. 28 E. 29 Jawaban: D Pembahasan:

Data jumlah penduduk Kelompok Umur

(tahun)

Jumlah Penduduk (orang)

0-4 5

5-9 15

10-14 18

15-19 X

20-24 Y

25-29 Z

30-34 7

X = 18+6=24 Z= 7+18 = 25

Modus = 19,5 + ^𝑌−𝑋

(𝑌−𝑋)+(𝑌−𝑍)𝑥 5 19,5 +²⁰

7= 19,5 + ^𝑌−𝑋

(𝑌−𝑋)+(𝑌−𝑍)𝑥 5 (𝑌 − 24)𝑥5 = 20 → 𝑌 = 28

22. Rata-rata usia dari tiga sekawan yang telah lama bersahabat adalah 25 tahun, sedangkan median usianya adalah 18 tahun, dan jangkauan (range) usianya 15 tahun. Usia dari tiga sekawan yang paling tua adalah…

(13)

A. 40 B. 36 C. 35 D. 22 E. 21 Jawaban: B Pembahasan:

Misal usia tiga orang sekawan dari yang termuda: A, B, C 𝐴 + 𝐵 + 𝐶

3 = 25

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 75 Median = B = 18

Jangkauan = C – A = 15→ 𝐴 = 𝐶 − 15 sehingga 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 75

(𝐶 − 15) + 18 + 𝐶 = 75 2𝐶 = 72 → 𝐶 = 36

Jadi usia tertua adalah 36 tahun

23. x1, x2, …, xn adalah nilai-nilai pengukuran dari tinggi badan mahasiswa STIS tingkat 1 Tahun Akademik 2011/2012. Dari hasil pengukuran diperoleh rata-rata tinggi badan 168 cm, dengan jangkauan (range) 30 cm. Jika semua hasil pengukuran x1, x2, …, xn

dikalikan p dan ditambah q diperoleh nilai rata-rata tinggi badan yang baru sebesar 185 cm dengan jangkauan 40 cm, maka nilai p dan q berturut-turut adalah…

A. ⁴

3 𝑑𝑎𝑛 39 B. −⁴

3 𝑑𝑎𝑛 39 C. 39 𝑑𝑎𝑛 −⁴

3

D. −39 𝑑𝑎𝑛 −⁴

3

E. ⁴

3 𝑑𝑎𝑛 − 39 Jawaban: E Pembahasan:

a) Data tinggi badan: 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃ → 𝑥_𝑁 Rata-rata:

𝑥₁+ 𝑥₂+ 𝑥₃+ ⋯ + 𝑥_𝑁

𝑁 = 168

b) Data baru:

𝛼𝑥₁+ 𝛽𝛼𝑥₂+ 𝛽𝛼𝑥₃+ 𝛽 … 𝛼𝑥_𝑁+ 𝛽 Rata-rata:

(14)

𝛼(𝑥₁+ 𝑥₂+ 𝑥₃+ ⋯ + 𝑥_𝑁)

𝑁 + 𝛽 = 185

168𝛼 + 𝛽 = 185 𝛽 − 185 − 168𝛼 Jangkauan:

(𝛼𝑥_𝑁+ 𝛽) - ( 𝛼𝑥₁+ 𝛽) = 40 𝛼(𝑥_𝑁− 𝑥₁) = 40

30𝛼 = 40 → 𝛼 = ⁴

3 Sehingga 𝛽 = 185 − 168 (⁴

3) = −39

24. Misal A dan B adalah dua kejadian yang saling lepas (saling asing), di mana P(A)= ²

3

dan P(A^c ∩ B^c) = ¹

5. Nilai P(B) adalah…

A. ³

5

B. ²

5

C. ¹

15

D. ³

15

E. ²

15

Jawaban: E Pembahasan:

𝑃(𝐴) =2

3 𝑑𝑎𝑛 𝑃(𝐴^𝐶∩ 𝐵^𝐶) = 1 5

Karena A dan B dua kejadian saling lepas, maka:

𝑃(𝐴^𝐶∩ 𝐵^𝐶) =𝑛(𝐴^𝐶∩ 𝐵^𝐶) 𝑛(𝑠) = 1

5 𝑛(𝑆) − 𝑛(𝐴) − 𝑛(𝐵)

𝑛(𝑠) = 1

5 1 − 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐵) = 1

5 1 − 2

3− 𝑃(𝐵) = 1 5 𝑃(𝐵) = 2

15

25. Salah satu acara dalam pagelaran pentas seni kampus STIS akan menampilkan drama musikal modern dengan 3 orang pemain inti yang akan diseleksi oleh panitia. UKM kesenian telah mempunyai 5 orang calon potensial untuk pemain inti yang akan menjadi

(15)

pemeran utama dan 2 orang pemeran pendukung. Banyaknya cara yang bisa dipilih oleh panitia adalah…

A. 10 B. 20 C. 30 D. 50 E. 60 Jawaban: C Pembahasan:

Dari 5 orang akan dipilih 1 orang sebagai pemain utama dan 2 orang sebagai pemain pendukung. Banyak cara memilih:

𝐶₁⁵ 𝑥 𝐶₂⁴ = 5 𝑥 6 = 30

26. Madin adalah seorang pedagang gerobak dorong dengan modal Rp1.000.000,00 di pasar kebon sayur. Sehari-hari Madin menjual buah jeruk dan mangga, yang diperolehnya dari Pasar Jatinegara. Adapun kapasitas muatan gerobak dorong tersebut 120 kg. Keuntungan yang diperolehnya setiap hari sangat bervariasi, walaupun setiap hari dagangannya habis terjual.

Madin sangat menginginkan keuntungan yang sama tiap hari dengan nilai keuntungan yang paling besar. Harga jeruk dan mangga per kg di Pasar Jatinegara masing-masing Rp10.000,00 dan Rp7.500,00. Kemudian Madin menjual dengan harga Rp12.000,00 dan Rp10.000,00. Keuntungan maksimum diperoleh adalah…

A. Rp280.000,00 B. Rp285.000,00 C. Rp290.000,00 D. Rp295.000,00 E. Rp300.000,00 Jawaban: E Pembahasan:

Misal jumlah jeruk = x kg dan manga = y kg

10.000𝑥 + 7500𝑦 ≤ 1.000.000 ↔ 4𝑥 + 3𝑦 ≤ 400 𝑥 + 𝑦 ≤ 120

𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

𝑓(𝑥, 𝑦) = 2000𝑥 + 2500𝑦 maksimum 4𝑥 + 3𝑦 = 400

3𝑥 + 3𝑦 = 360 − 𝑥 = 40

y = 120 – 40 = 80

(16)

Uji titik pojok

f(100,0) = 2000(100) + 2500(0) = 200.000 f(0,120) = 2000(0) + 2500(120) = 300.000 f(40,80) = 2000(40) + 2500(80) = 280.000

Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp300.000,00.

27. Nilai minimum dari fungsi f(x,y) = 15 + 10y yang memenuhi syarat-syarat pertidaksamaan x + y ≥ 8 di mana x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah…

𝑥 + 𝑦 ≥ 8 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

f(x,y) = 15x + 10y (minimum) f(0,8) = 15(0)+ 10(8) = 80 f(8,0) = 15(8) + 10(0) = 120 jadi, nilai minimumnya adalah 80.

(17)

28. Nilai dari lim

𝑥→0 2𝑥²

1−cos²2𝑥 adalah…

A. 0 B. ¹

5

C. ²

5

D. ¹

2

E. ¹

4

Jawaban: D Pembahasan:

Perhatikan bahwa 1 − cos²2𝑥 = sin²2𝑥

𝑥→0lim

2𝑥²

1 − cos²2𝑥 = lim

𝑥→0

2𝑥²

sin²2𝑥 = 2 [lim

𝑥→0

𝑥 𝑠𝑖𝑛 2𝑥]

2

= 2 (1 2)

2

=1 2

29. Jika matriks Q adalah invers matriks P, matriks S adalah invers matriks R dan PQR = S, maka yang merupakan matriks (I) adalah…

A. P dan Q B. P dan R C. P dan S D. Q dan R E. R dan S Jawaban: E Pembahasan:

Matriks Q = P^-1 dan S = R^-1 Diketahui PQR = S

Substitusikan Q = P^-1 pada PQR = S diperoleh:

P(P^-1)R = S IR = S R = S

Jadi, R = S = R^-1 adalah matriks identitas 30. Nilai dari lim

𝑥→∞√(3𝑥 − 5)(𝑥 − 2) − √(3𝑥² − 1) adalah…

A. 3 − √3 B. 3 + √3 C. 1 −¹

6√3 D. 1 +¹

6√3 E. 3 −¹

6√3

(18)

𝑥→∞lim√(3𝑥 − 5)(𝑥 − 2) − √(3𝑥² − 1) 𝑥 √(3𝑥 − 5)(𝑥 − 2) + √(3𝑥²− 1)

√(3𝑥 − 5)(𝑥 − 2) + √(3𝑥²− 1)

= lim

𝑥→∞

(3𝑥 − 5)(𝑥 − 2) − (√3𝑥² − 1)²

√(3𝑥 − 5)(𝑥 − 2) + √(3𝑥²− 1)

= lim

𝑥→∞

(3𝑥²+ 𝑥 − 10) − (3𝑥²− 2𝑥√3 + 1)

√(3𝑥 − 5)(𝑥 − 2) + √(3𝑥²− 1)

= lim

𝑥→∞

(2√3 + 1)𝑥 − 11

√(3𝑥 − 5)(𝑥 − 2) + √(3𝑥²− 1)

= (2√3 + 1)

√3 + √3 = 1

6√3 + 1

31. Toha adalah seorang pengusaha layang-layang yang sehari-harinya bekerja dibantu oleh istri dan anaknya. Biaya total per bulan yang dikeluarkan untuk memproduksi x layang-layang dinyatakan dengan f(x) = 2𝑥² + 500𝑥 + 5000. Jika harga sebuah layang-layang Rp4.500,00 maka keuntungan maksimum yang diperoleh Toha adalah…

A. Rp1.987.000,00 B. Rp1.990.000,00 C. Rp1.992.000,00 D. Rp1.995.000,00 E. Rp2.000.000,00 Jawaban: D

Pembahasan:

Keuntungan layang-layang:

𝑔(𝑥) = 4500𝑥 − (2𝑥²+ 500𝑥 + 5000)

= −2𝑥²+ 4000𝑥 − 5000 Keuntungan maksimum saat 𝑔^′(𝑥) = 0 -4x + 4000 = 0

x = 1000

Jadi keuntungan maksimum:

𝑔(1000) = −2(1000)²+ 4000(1000) − 5000 = 1.995.000

32. Diketahui vektor p = <2, -1, 2>, dan vektor q = <4, 10, -8> dan (p + aq) tegak lurus pada vektor p. Nilai a adalah…

A. -2

(19)

B. -1 C. −¹

2

D. ¹

2

E. 1 Jawaban: D Pembahasan:

Diketahui vektor berikut:

𝑥₁ = [ 2

−1 2

] , 𝑥₂ = [ 4 10

−8 ] Vektor (𝑥₁+ 𝑎𝑥₂) tegak lurus dengan vector 𝑥₁

([

2

−1 2

] + 𝑎 [ 4 10

−8 ]) . [

2

−1 2

] = [

4𝑎 + 2 10𝑎 − 1

8𝑎 + 2 ] . [

2

−1 2

] = 0

2(4𝑎 + 2) + (−1)(10𝑎 − 1) + 2(−8𝑎 + 2) = 0

−18𝑎 + 9 = 0 → 𝑎 =1 2 33. Jika diketahui:

a + 3b +2d = 2010 6a + 2b = 2000 6c + 3d = 999

maka a + b + c + d =…

a+3b+2d = 2010

2a+6b+4d = 4020 …. (1) 6a+2b = 2000 … (2) 6c+3d = 999

8c+4d = 1332 … (3)

Persamaan (1), (2), (3) dijumlah 8(a+b+c+d) = 4020 + 2000 + 1332

(20)

8(a+b+c+d) = 7352 (a+b+c+d) = 919

34. Dari ketiga persamaan di bawah ini untuk x, y, z > 0 (x-1) (y-2) = 12

(y-2) (z-3) = 20 (z-3) (x-1) = 15

Maka nilai x + 2y +3z = … A. 18

B. 22 C. 48 D. 40 E. 42 Jawaban: D Pembahasan:

Misal x-1 = A; y - 2=B; z – 3 = C dengan x, y, z >0 𝐴𝐵 = 12 ↔ 𝐵 =12

𝐴 𝐵𝐶 = 20 ↔12

𝐴 𝑥 𝐶 = 20 ↔ 𝐶 =5𝐴 3 𝐶𝐴 = 15 ↔5𝐴

3 𝑥 𝐴 = 15 ↔ 𝐴 = ±3

Karena A = 3 maka B = 4 dan C = 5 sehingga x-A+1-4; y-B+2-6; z-C+3-8

jadi diperoleh:

x+2y+z = 4+2(6)+3(8) = 40 35. Bentuk sederhana dari ^𝑦

−1+𝑥𝑦⁻²

1−𝑥²𝑦⁻² adalah…

A. ¹

𝑦−𝑥

B. ¹

𝑦+𝑥

C. ¹

𝑥−𝑦

D. x – y E. x + y Jawaban: A Pembahasan:

𝑦⁻¹+𝑥𝑦⁻² 1−𝑥²𝑦⁻² 𝑥 ^𝑦²

𝑦² = ^𝑦+𝑥

𝑦²−𝑥² = ^𝑦+𝑥

(𝑦+𝑥)(𝑦−𝑥) = ¹

(𝑦−𝑥)

(21)

36. lim

𝑥→0

√1+𝑥−1 3√1+𝑥

−1 adalah…

A. 0 B. ¹

3

C. ²

3

D. 1 E. ³

2

Gunakan teorema L’Hopital

𝑥→0lim

√1 + 𝑥 − 1

√1 + 𝑥

3 − 1= lim

𝑥→0

(1 + 𝑥)^1/2− 1

(1 + 𝑥)^1/3− 1= lim

𝑥→0

1/2(1 + 𝑥)^1/2 1/3(1 + 𝑥)^1/3= 3

2

37. Diketahui prisma segilima beraturan ABCDE.FGHIJ. Jika panjang rusuk alas 6 cm dan tinggi prisma 10 cm, maka panjang diagonal AI adalah…

A. √100 + 144 sin²36 B. √144 + 100 sin²36 C. √100 + 144 sin 36 D. √144 + 100 cos 36 E. √100 + 144 cos 36 Jawaban: B

Pembahasan:

𝐴𝐷² = 𝐴𝐸²+ 𝐸𝐷²− 2 𝐴𝐸. 𝐸𝐷 𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐸𝐷

= 6² + 6²− 2 .6.6 cos 72°

= 72(1 − cos 72°)

= 72(2 𝑠𝑖𝑛²36°) = 144𝑠𝑖𝑛²36°

𝐴𝐼 = √𝐷𝐼²+ 𝐴𝐷² = √10² + 144𝑠𝑖𝑛²36°

38. Daerah R terletak di kuadran I yang dibatasi oleh parabola 𝑦 = 𝑥², parabola 𝑦 = 4𝑥², dan garis 𝑦 = 4. Volume benda putar yang terbentuk apabila R diputar terhadap sumbu y adalah…

A. 3𝜋 B. 4𝜋 C. 6𝜋 D. 8𝜋 E. ^8𝜋

3

Jawaban: C

(22)

Pembahasan:

𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑦 −1 4𝑦)

4

0

𝑑𝑦 = 𝜋 ∫ (3 4𝑦)

4

0

𝑑𝑦 = 𝜋 [3𝑦² 8 ]

0 4

= 6𝜋

39. Jika grafik suatu fungsi y = f(x) yang mendatar sesaat untuk x = 10 adalah sebagai berikut:

Grafik turunan dari f(x) di sekitar x = 10 mempunyai kurva…

A.

B.

C.

D.

(23)

E.

Perhatikan grafik f(x) berikut yang mendatar sesaat untuk x = 10. Untuk x<10, fungsi f(x) naik, artinya f’(x)>0 (di atas sumbu x). Untuk x = 10, fungsi f(x) stasioner, artinya f’(x)=0 (berada pada sumbu x). Untuk x>10, fungsi f(x) turun, artinya f’(x)<0 (di bawah sumbu x). Gambar f’(x) yang sesuai adalah grafik C.

40. Data di bawah ini menunjukkan sampel (contoh) wisatawan mancanegara (wisman) yang berkunjung ke Indonesia dalam suatu survei di Bandara Soekarno Hatta.

Pernyataan yang benar dari tiga ukuran statistik yang digunakan, yaitu rata-rata hitung, median, dan modus dari frekuensi kunjungan ke wisman di Indonesia adalah…

Jumlah Wisman

A. rata-rata hitung = median = modus B. rata-rata hitung = median

C. rata-rata hitung = modus D. modus = median

E. ketiga ukuran statistik tidak ada yang sama Jawaban: D

Pembahasan:

Berdasarkan grafik yang diberikan terlihat bahwa median = modus.

41. Sule berjalan kaki dengan kecepatan 4 km/jam. Setelah 20 km, Sule berlari sejauh 60 km dalam waktu 3 jam. Kecepatan rata-rata Sule adalah…

A. 12 km/jam B. 11 km/jam C. 10 km/jam D. 9 km/jam E. 8 km/jam Jawaban: C

(24)

Pembahasan:

Berjalan kaki:

v = 4 km/jam s = 20 km 𝑡 = 20 𝑘𝑚

4 𝑘𝑚/𝑗𝑎𝑚= 5 𝑗𝑎𝑚 Berlari:

s = 60 km/jam t = 3 jam

kecepatan rata-rata (saat berjalan dan berlari) 𝑣̅ =20 𝑘𝑚 + 60 𝑘𝑚

5 𝑗𝑎𝑚 + 3 𝑗𝑎𝑚 = 10 𝑘𝑚/𝑗𝑎𝑚

42. Gambar di bawah ini menunjukkan lalu lintas jalan raya yang menghubungkan kota A, B, C, dan D. Nyatakanlah dalam bentuk matriks, banyaknya jalan masing-masing kota!

A.

B.

C.

D.

E.

Jawaban: B

(25)

Pembahasan:

Perhatikan tabel yang menyatakan banyaknya jalan yang menghubungkan setiap kota berikut.

Kota A B C D

A 0 2 2 1

B 2 0 1 1

C 2 1 0 1

D 1 1 1 0

Berdasarkan tabel di atas dapat dibuat matriks yang bersesuaian:

[

0 2 2 1 2 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 0 ]

43. ∫ |𝑥 − 2 |₋₂² 𝑑𝑥 adalah…

|𝑥 − 2 | {𝑥 − 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ 2 2 − 𝑥, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 2 Sehingga:

∫ |𝑥 − 2 |

2

−2

𝑑𝑥 = ∫ (2 − 𝑥)

2

−2

𝑑𝑥 = [2𝑥 −1 2𝑥²]

−2 2

= [2(2) −¹

2(2)²] − [2(−2) −¹

2(−2)²]= 2 – (-6) = 8 44. Bentuk sederhana dari

1

√1 + √2+ 1

√2 + √3+ 1

√3 + √4+ ⋯ + 1

√39999 + √40000 adalah…

A. ¹

199

B. ¹

201

C. 199 D. 200 E. 201 Jawaban: C Pembahasan:

(26)

1

√1 + √2= 1

√1 + √2𝑥√1 − √2

√1 − √2=√1 − √2

−1 = −√1 + √2 1

√1 + √2+ 1

√2 + √3+ 1

√3 + √4+ ⋯ + 1

√39999 + √40000

= (−√1 + √2) + (−√2 + √3) + (−√3 + √4) + ⋯ + (−√39999 + √40000)

= −√1 + √40000 = −1 + 200 = 199

45. Volume benda putar yang terbentuk dari daerah R yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 1 − 𝑥² dan sumbu x yang diputar mengelilingi sumbu x adalah…

A. ¹⁵

16𝜋 B. ¹⁶

17𝜋 C. ¹⁶

15𝜋 D. ⁸

15𝜋 E. ⁸

17𝜋 Jawaban: C Pembahasan:

Volume benda putar:

𝑉 = 𝜋 ∫ (−𝑥²+ 1)²𝑑𝑥 = 𝜋 ∫ (𝑥⁴− 2𝑥²

1

−1

+ 1) 𝑑𝑥 = 𝜋 [1

5𝑥⁵ −2

3𝑥³+ 𝑥]

−1 1 1

−1

= 16𝜋 5

46. Lya mencoba menentukan tinggi hiasan patung Mickey Mouse pada puncak menara dengan cara mengukur sudut pandang dari suatu tempat sejauh x dari kaki menara.

Misalkan, sudut pandang 𝛼 dan 𝛽, maka tinggi patung itu adalah…

(27)

A. 𝑥(tan 𝛼 − tan 𝛽) B. 𝑥(tan 𝛽 − tan 𝛼) C. 𝑥(tan 𝛼 + tan 𝛽) D. 𝑥(tan 𝛼 + sin 𝛽) E. 𝑥(sin 𝛼 + sin 𝛽) Jawaban: B

Pembahasan:

tan 𝛼 =𝑦

𝑥 ↔ 𝑦 = 𝑥 tan 𝛼 tan 𝛽 =𝑧 + 𝑦

𝑥 ↔ 𝑧 + 𝑦 = 𝑥 tan 𝛽 Maka:

𝑧 = 𝑥 tan 𝛽 − 𝑦

𝑧 = 𝑥 tan 𝛽 − 𝑥 tan 𝛼 = 𝑥 (tan 𝛽 − tan 𝛼) 47. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

√ 1 16^2𝑥

4

> 32^2𝑥

4^9𝑥−16³√8^2𝑥 adalah…

A. -10 B. -8 C. 7 D. 8 E. 10 Jawaban: E Pembahasan:

Penyelesaian pertidaksamaan:

√ 1 16^2𝑥

4

> 32^2𝑥

4^9𝑥−16√8³ ^2𝑥 2^−2𝑥 > 2^10𝑥

2^18𝑥−322^2𝑥 2^−2𝑥 > 2^−6𝑥+32

(28)

−2𝑥 > −6𝑥 + 32 𝑥 > 8

48. Persamaan garis yang melalui titik potong 5x + 6y – 16 = 0 dan 10x – 3y -17 = 0 serta tegak lurus dengan AB, di mana A titik (1,2) dan B titik (3,6) adalah…

A. 2x + y – 4 = 0 B. 2x + y + 4 = 0 C. x + 2y + 4 = 0 D. x – 2y – 4 = 0 E. x + 2y - 4 = 0 Jawaban: E Pembahasan:

5x + 6y -16 = 0 |x2| 10x + 12y – 32 = 0 10x - 3y -17 = 0 |x1| 10x - 3y - 17 = 0 - 15y – 15 = 0 y = 1

5x + 6(1) -16 = 0 x = 2

jadi, titik potong kedua garis adalah (2,1). Gradien garis AB = ⁶⁻²

3−1= 2 gradien yang tegak lurus dengan AB = - ¹

2

persamaan garis dengan gradien - ¹

2 dan melalui titik (2,1) adalah y-1 = = - ¹

2(𝑥 − 2) 2y-2 = -x + 2 x+2y-4 = 0

49. Diketahui tiga pernyataan berikut:

X: Indonesia bukan anggota PBB Y: Vitamin A tidak larus dalam lemak Z: STIS adalah sekolah tinggi kedinasan

Pernyataan majemuk di bawah ini yang bernilai benar adalah…

A. (𝑋 ∨ ~𝑌) ∧ (~𝑌 ∧ ~𝑍) B. (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (~𝑌 ∧ 𝑍) C. (𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) D. (𝑋 ∨ ~𝑌) ∧ (~𝑌 ∧ 𝑍) E. (𝑍 ∨ 𝑌) → (~𝑋 ∧ ~𝑍) Jawaban: D

(29)

Pembahasan:

X = pernyataan salah Y = pernyataan salah Z = pernyataan benar

Kemudian uji pada pilihan yang diberikan:

(𝑋 ∨ ~𝑌) ∧ (~𝑌 ∧ 𝑍) = (𝑆 ∨ 𝐵) ∧ (𝑆 ∧ 𝐵) = 𝐵 ∨ 𝑆 = 𝐵 50. Jumlah akar-akar dari persamaan ^{√2𝑥−5−2}

√𝑥−3−1 = 1 adalah…

√2𝑥−5−2

√𝑥−3−1 = 1

√2𝑥 − 5 − 2 = √𝑥 − 3 − 1

√2𝑥 − 5 − √𝑥 − 3 = 1

Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh:

(2𝑥 − 5) + (𝑥 − 3) − 2√(2𝑥 − 5)(𝑥 − 3) = 1 3𝑥 − 9 = 2√(2𝑥 − 5)(𝑥 − 3)

Kuadratkan kedua ruas lagi sehingga diperoleh 𝑥² − 10𝑥 + 21 = 0

𝑥₁+ 𝑥₂ = 7 + 3 = 10

51. Sebuah kolam ikan berbentuk persegi panjang. Jika lebar kolam ditambah 10 m dan panjangnya ditambah 5 m, maka luas kolam ikan tersebut bertambah 350 m², tetapi jika lebarnya dikurangi 5 m dan panjangnya ditambah 10 m luasnya akan berkurang 25 m² luas kolam ikan semula adalah… m²

A. 150 B. 312 C. 322 D. 325 E. 462

(30)

Misalkan Panjang dan lebar kolam mula-mula adalah p dan l.

(p+5) (l+10) = pl + 350 10p + 5l = 300

l = 60 – 2p

(p+10) (l-5) = pl – 25 -5p+10l = 25

-p + 2l = 5

Substitusikan l = 60 – 2p pada -p+2l = 5 -p + 2 (60 – 2p) = 5

-5p + 120 = 5 -5p = -115 p = 23

l = 60 – 2(23) = 14

luas kolam mula-mula = 23 x 14 = 322 m²

52. Seorang petani sedang menyemprot tanaman padinya dengan obat serangga. Reaksi terhadap obat serangga tersebut t jam setelah disemprotkan pada tanaman padi, yang dinyatakan sebagai bilangan tak negatif yang sama dengan 15𝑡²− 𝑡³. Reaksi terkecil akan dicapai pada saat…

A. 25 jam sebelum reaksi habis B. 15 jam sebelum reaksi habis C. 10 jam sebelum reaksi habis D. 5 jam sebelum reaksi habis E. 0 jam sebelum reaksi habis Jawaban: B

Pembahasan:

𝑅 = 15 𝑡² − 𝑡³ ≥ 0 𝑡²(15 − 𝑡) ≥ 0 0 ≤ 𝑡 ≤ 15

Jadi reaksi terjadi pada selang waktu 0 ≤ 𝑡 ≤ 15

(31)

𝑅 = 15 𝑡² − 𝑡³ 𝑅^′= 30𝑡 − 3𝑡² = 0 𝑡(30 − 3𝑡) = 0 t = 0 atau t = 10

saat t=0 maka 𝑅 = 15 (0)²− 0³ = 0 (reaksi terkecil)

saat t=10 maka 𝑅 = 15 (10)²− 10³ = 500 (reaksi terbesar) Jadi reaksi (R) terkecil saat t=0 yaitu 15 jam sebelum reaksi habis

53. Jika di antara bilangan 4 dan 37 disisipkan 10 bilangan lainnya sehingga membentuk deret aritmetika maka jumlah 6 suku pertama adalah…

Barisan aritmatika dengan 𝑈₁ = 𝑎 = 4 𝑑𝑎𝑛 𝑈₁₂= 37

𝑈₁₂= 𝑎 + 11𝑏 = 37 ↔ 4 + 11𝑏 = 37 ↔ 𝑏 = 3 Maka jumlah 6 suku pertama:

𝑆_𝑛 =6

2[2(𝑎) + 5𝑏] = 3[2(4) + 5(3)] = 69 54. Nilai lim

𝑥→𝑦

tan 𝑥−tan 𝑦

1−^𝑥_𝑦+(1−^𝑥_𝑦) tan 𝑥 tan 𝑦 adalah…

A. −¹

𝑦

B. ¹

𝑦

C. 1 D. 𝑦 E. −𝑦 Jawaban: E Pembahasan:

𝑥→𝑦lim

tan 𝑥 − tan 𝑦 1 −𝑥

𝑦 + (1 − 𝑥

𝑦) tan 𝑥 tan 𝑦

(32)

= lim

𝑥→𝑦

tan 𝑥 − tan 𝑦 (1 −𝑥

𝑦) +(1 + tan 𝑥 tan 𝑦)

= lim

𝑥→𝑦

tan(𝑥 − 𝑦) (1 −𝑥

𝑦) +(1 + tan 𝑥 tan 𝑦)

= lim

𝑥→𝑦

tan(𝑥 − 𝑦) (𝑦 − 𝑥

𝑦 )

= lim

𝑥→𝑦

y tan(𝑥 − 𝑦)

−(𝑥 − 𝑦)

= lim

𝑥→𝑦(−𝑦) = −𝑦 55. Jika f(x) = ln √^2−𝑥

𝑥²

3 , maka turunan pertama f(x) terhadap x adalah…

A. ^𝑥

2 3 (2−𝑥)

1 3

B. ^𝑥

2 3

(2−𝑥)¹⁴

C. ^2(𝑥−1)

3𝑥(2−𝑥)

D. ^𝑥−4

3𝑥(2−𝑥)

E. ^𝑥+4

3𝑥(2−𝑥)

f(x) = ln √^2−𝑥

𝑥²

3 = ln(2𝑥⁻²− 𝑥⁻¹)^1/3 Turunan pertama f(x):

𝑓^′(𝑥) = 1

(2𝑥⁻²− 𝑥⁻¹)^1/3𝑥 1

3(2𝑥⁻²− 𝑥⁻¹)^−2/3𝑥 (−4𝑥⁻³+ 𝑥⁻²) 𝑓^′(𝑥) =(−4𝑥⁻³+ 𝑥⁻²)

3(2𝑥⁻²− 𝑥⁻¹) 𝑥 𝑥³

𝑥³ = 𝑥 − 4 3𝑥(2 − 𝑥)

56. Jika 𝑎²+ 𝑏² = 117, 𝑎 − 𝑏 = 3, dan a > 0 dan b > 0 maka ^𝑎

𝑏 adalah…

A. 4 B. ³

2

C. 1 D. ¹

2

E. ¹

3

(33)

Jawaban: B Pembahasan:

a – b = 3 a² + b²= 117 (𝑎 − 𝑏)² = 3² 𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏² = 9 117 − 2𝑎𝑏 = 9 2𝑎𝑏 = 108 𝑎𝑏 = 54 𝑏 =54

𝑎 , 𝑎 − 𝑏 = 3 𝑎 −54

𝑎 = 3,𝑎² − 54 𝑎 = 3 𝑎² − 3𝑎 − 54 = 0 (𝑎 + 6)(𝑎 − 9) = 0

Jadi, a = -6 atau a = 9, karena a > 0 maka a = 9, b = ⁵⁴

9 = 6 Sehingga ^𝑎

𝑏=⁹

6 =³

2

57. Seratus siswa dari SMA I dan SMA II Kota Batam mengikuti seleksi tes masuk STIS dengan skor rata-rata adalah 80. Banyaknya siswa SMA I yang mengikuti seleksi tersebut 50% lebih banyak dari siswa SMA II dan skor rata-rata siswa SMA I lebih tinggi 50% daro skor rata-rata siswa SMA II. Skor rata-rata SMA II adalah…

A. ⁹⁰⁰

15

B. ⁹⁰⁰

13

C. ⁸⁰⁰

15

D. ⁸⁰⁰

14

E. ⁸⁰⁰

13

𝑛 = 100; 𝑥 = 80; 𝑛₁ = 1,5𝑛₂; 𝑥₁ = 1,5 𝑥₂ Perhatikan bahwa:

𝑛 − 𝑛₁+ 𝑛₂ ↔ 100 − 1,5𝑛₂+ 𝑛₂ ↔ 𝑛₂ = 40 Maka 𝑛₁ = 100 − 40 = 60

(34)

𝑛. 𝑥̅ = 𝑛₁. 𝑥₁+ 𝑛₂. 𝑥₂ 100.80 = 60.1,5𝑥₂+ 40𝑥₂ 8000 = 130𝑥₂ ↔ 𝑥₂ =800

13

58. Banyak bilangan antara 0 dan 500 yang disusun dari angka lima adalah…

Bilangan antara 0 dan 500 yang memuat angka 5:

a) Bilangan satuan: hanya 1 bilangan, yaitu angka 5 b) Bilangan puluhan:

• Bilangan puluhan 5: 50, 51, …., 59 = 10 bilangan

• Bilangan satuan 5 (kecuali 55): 15, 25, …,95 = 8 bilangan c) Bilangan ratusan:

• Bilangan puluhan 5: 4 x 1 x 10 = 40

• Bilangan satuan 5 (puluhannya tidak boleh 5): 4 x 9 x 1 = 36

Jadi, banyaknya bilangan antara 0 dan 500 adalah 1 + 10 + 8 + 40 + 36 = 95 bilangan 59. ∫ 10𝑥₋₂² ⁴+ 3𝑥²+ 3 𝑑𝑥 = ⋯

A. -156 B. -78 C. 0 D. 78 E. 156 Jawaban: E Pembahasan:

Mengingat persamaan pada soal merupakan persamaan genap sehingga integral dapat diubah menjadi

∫ 10𝑥⁴+ 3𝑥²+ 3 𝑑𝑥 = 2 ∫ 10𝑥⁴+ 3𝑥²+ 3 𝑑𝑥

2

0 2

−2

2 [10

5 𝑥⁵+3

3𝑥³+ 3𝑥]2

0= 2[2𝑥⁵ + 𝑥³+ 3𝑥]2 0 2[(2.32 + 8 + 3.2) − 0] = 2(64 + 8 + 6) = 2(78) = 156

(35)

60. Yusron memiliki 10 ekor bebek betina dan 5 ekor bebek jantan. Dia akan menjual 5 ekor bebek yang dimiliki. Peluang bahwa bebek yang dijual 3 ekor bebek betina adalah…

A. ²⁰⁰

1001

B. ³⁰⁰

1001

C. ⁴⁰⁰

1001

D. ⁴⁰⁰

1000

E. ²⁰⁰

1000

Perhatikan bahwa:

𝐶₃¹⁰ = 10!

3! 7! = 120 𝐶₂⁵ = 5!

2! 3! = 10 𝐶₅¹⁵ = 15!

5! 10! = 3003 Maka:

𝑃(3𝐵, 2𝐽) = 𝐶₃¹⁰𝑥𝐶₂⁵

𝐶₅¹⁵ = 120𝑥10

3003 = 400 1001