Peubah Acak Bernoulli
Misalkan sebuah percobaan yang outcome-nya dapat
diklasifikasikan sebagai sukses dan gagal. Jika X=1 bila
outcome-nya berhasil dan X=0 bila outcome-nya gagal, maka fungsi masa peluang dari X adalah
P(0) = P(X=0) = 1-p
(2.1) P(1) = P (X=1) = p
dimana 0≤p≤1 adalah peluang keberhasilan
Peubah Acak Binomial
Misalkan dilakukan n percobaan yang bebas,
Masing – masing menghasilkan
outcome
berhasil dengan peluang p dan gagal dengan
peluang 1-p.
Jika X adalah banyaknya keberhasilan yang
terjadi dari n percobaan, maka X dikatakan
Peubah Acak Binomial
Contoh :
Lima koin yang setimbang dilemparkan. Jika outcome-nya diasumsikan bebas, temukan fungsi massa peluang dari banyaknya gambar yang muncul.
Suatu ujian terdiri atas 10 pertanyaan pilihan berganda, masing – masing dengan 4 kemungkinan jawaban dan hanya satu yang benar. Berapa peluang seorang yang menjawab hanya secara menebak – nebak saja
Peubah Acak Binomial
Fungsi massa peluang dari peubah acak
Binomial dengan parameter (n,p) adalah
i
n
i
p
p
i
n
i
p
(
1
)
Peubah Acak Poisson
Peubah Acak Poisson
Peubah acak Poisson dapat digunakan
sebagai pendekatan peubah acak
Peubah Acak Poisson
Beberapa contoh peubah acak yang mengikuti
hukum peluang Poisson
Banyaknya kesalahan cetak suatu halaman
dalan satu buku
Banyaknya orang dalam suatu populasi yang
hidup sampai 100 tahun
Banyaknya nomor telepon yang salah yang
Peubah Acak Poisson
Contoh :
Misalkan suatu mesin cetak membuat
kesalahan secara acak pada kertas cetak,
rata – rata 2 kesalahan tiap kertas. Hitung
peluang bahwa dalam satu kertas yang
Peubah Acak Geometrik
Misalkan percobaan yang bebas, masing – masing dengan peluang sukses adalah p, 0<p<1, dilakukan sampai
suatu sukses terjadi. Jika X adalah banyaknya percobaan yang diperlukan, maka
P ( X = n ) = (1-p)n-1p n = 1,2,…
Peubah acak X yang mempunyai fungsi massa peluang
Peubah Acak Geometrik
Hitunglah peluang bahwa seseorang yang
melemparkan sekeping uang logam yang
setimbang, memerlukan 4 lemparan sampai
diperoleh sisi gambar
Suatu keranjang yang terdiri dari N bola putih dan
M bola hitam. Bola diambil secara acak, sampai
bola hitam terambil. Diasumsikan setiap bola
yang terambil dikembalikan lagi sebelum
Peubah Acak Binom Negatif
Misalkan percobaan bebas, masing – masing
dengan peluang sukses p, 0<p<1, dilakukan
sampai diperoleh r sukses. Jika X adalah
banyaknya percobaan yang diperlukan, maka
Peubah acak yang fungsi massa peluangnya
mengikuti persamaan di atas dikatakan sebagai
peubah acak binom negatif dengan parameter
r n r p p r n n X
P
(1 )
1 1 )
Peubah Acak Binom Negatif
Hitunglah peluang seseorang yang
melemparkan tiga uang logam akan
Peubah Acak Binom Negatif
Seorang dokter anak ingin merekrut 5 pasang
suami istri yang mempunyai anak. Dia berharap
agar kelima pasangan tersebut bersedia
mengikutkan anak pertama mereka mengikuti
Peubah Acak Hipergeometrik
Misalkan bahwa sebuah contoh berukuran n diambil secara acak (tanpa pengembalian) dari suatu wadah yang berisi N bola, dimana Np
diantaranya berwarna putih dan N-Np berwarna hitam. Jika X adalah banyaknya bola putih yang terambil maka fungsi massa peluang dari X adalah
Peubah acak X yang mempunyai fungsi massa peluang seperti pada Persamaan di atas untuk suatu nilai n,N,dan p dikatakan peubah
n N k n Np N k Np k X
Peubah Acak Hipergeometrik
Suatu perusahaan mempunyai 20 doktor dengan 5
diantaranya adalah doktor terbaik di bidang
teknik. Suatu tim yang terdiri dari 10 orang akan
dibentuk untuk menyelesaikan suatu
permasalahn yang cukup berat. Berapa peluang
kelima doktor terbaik yang dimiliki oleh
Soal –soal
1.
Tabel berikut menampilkan fungsi sebaran
kumulatif dari peubah acak diskret. Tentukan
fungsi massa peluangnya
k
0 1 2 3 4 5
F(k) 0 0.1 0.3 0.7 0.8 1.0
3. Disebuah bagian kota, keperluan uang untuk membeli ganja dan sejenisnya ternyata melatarbelakangi 75% peristiwa pencurian yang terjadi. Berapa peluang
bahwa tepat 2 diantara 4 kasus pencurian berikutnya dilatarbelakangi oleh keperluan uang untuk membeli ganja?
4. Sebuah panitia yang terdiri dari 5 orang diambil secara acak dari 3 perempuan dan 5 laki – laki. Carilah
5. Hitunglah peluang bahwa seseorang yang
melemparkan sekeping uang logam yang
setimbang, memerlukan 4 lemparan sampai
diperoleh sisi gambar.
6. Rata – rata jumlah hari sekolah ditutup karena
salju selama musim dingin adalah 4. Berapa
peluang bahwa sekolah – sekolah di kota
7. Peluang penduduk di suatu kota mempunyai anjing diduga sebesar 0.3. Hitunglah peluang bahwa orang yang kesepuluh yang diambil secara acak untuk
diwawancarai dalam kota ini adalah orang kelima yang mempunyai anjing.
8. Seorang ilmuwan menginokulasikan beberapa tikus, satu demi satu dengan suatu bakteri penyakit sampai ia
9. Peluang bahwa seseorang siswa berhasil lolos tes
scoliosis adalah 0.004. Diantara 1875 siswa yang dites scoliosis, hitunglah peluang terdapat kurang dari 5
yang tidak berhasil lolos dari tes itu.
10. Misalkan bahwa secara rata – rata 1 diantara 1000 orang membuat kesalahan angka dalam melaporkan pajak pendapatannya. Bila 10000 formulir diambil
11. Misalkan bahwa mesin pesawat terbang bekerja tidak tergantung satu dengan lainnya dan peluang mesin itu rusak adalah 1/5.
Seandainya pesawat terbang selamat bila sekurang – kurangnya separuh dari jumlah mesinnya bekerja dengan baik, tentukan
mana yang berpeluang selamat lebih besar pesawat bermesin 4 atau pesawat bermesin 2?
12. Peluang seseorang sembuh dari suatu penyakit darah adalah 0.4. Bila 15 orang diketahui menderita penyakit ini, berapa peluang bahwa
sekurang – kurangnya 10 orang dapat sembuh ada 3 sampai 8 orang yang sembuh
13. Suatu ujian terdiri atas 15 pertanyaan pilihan berganda, masing – masing dengan 4 kemungkinan jawaban dan hanya satu yang benar. Berapa peluang seorang yang menjawab hanya secara menebak – nebak saja
memperoleh 5 sampai 10 jawaban yang benar?
15. Dari 12 peluru kendali, 5 diambil secara acak dan ditembakkan, bila diantara 12 peluru itu terdapat 3 peluru yang rusak sehingga macet bila ditembakkan, berapa peluang bahwa
kelima-limanya berhasil ditembakkan? Sebanyak-banyaknya 2 yang macet?
16. Misalkan peluangnya seseorang akan mempercayai suatu cerita mengenai hidup setelah mati adalah 0.8. Berapa peluang bahwa
Orang keenam yang mendengar cerita itu adalah yang keempat yang
mempercayainya?
Orang ketiga yang mendengar cerita itu adalah yang pertama yang
