MASTER S DEGREE MATHEMATICS DEPARTMENT FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES SEPULUH NOPEMBER INSTITUTE OF TECHNOLOGY SURABAYA 2016

iii TESIS-SM 142501

ANALISA SISTEM DINAMIK DARI MODEL

MATEMATIKA REKOMBINASI ANTARA HIV DAN VIRUS HEPATITIS B

Aminatu Zuhriah 1214 201 010

DOSEN PEMBIMBING Dr. Hariyanto, M.Si.

Dr. Chairul Imron, M.I. Komp.

MASTER’S DEGREE

MATHEMATICS DEPARTMENT

FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES SEPULUH NOPEMBER INSTITUTE OF TECHNOLOGY SURABAYA

2016

iii THESIS-SM 142501

ANALYSIS OF DYNAMICAL SYSTEM IN THE RECOMBINATION MATHEMATICAL MODELS BETWEEN HIV AND HEPATITIS B VIRUS

Aminatu Zuhriah 1214 201 010 SUPERVISOR

Dr. Hariyanto, M.Si.

Dr. Chairul Imron, M.I. Komp.

MASTER’S DEGREE

MATHEMATICS DEPARTMENT

FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES SEPULUH NOPEMBER INSTITUTE OF TECHNOLOGY SURABAYA

2016

vii

ANALISA SISTEM DINAMIK DARI MODEL MATEMATIKA REKOMBINASI ANTARA HIV DAN

VIRUS HEPATITIS B

Nama Mahasiswa : Aminatu Zuhriah

NRP : 1214 2010 10

Dosen Pembimbing : 1.Dr. Hariyanto, M.Si.

: 2.Dr. Chairul imron, M.I. Komp.

ABSTRAK

HIV merupakan suatu virus yang menyerang sistem kekebalan tubuh manusia. Ketika HIV berkembang menjadi AIDS maka hal ini akan memudahkan tubuh terserang infeksi lain. Salah satu infeksi virus yang sering terjadi adalah virus Hepatitis B. Adanya dua infeksi virus dalam satu sel disebut dengan rekombinasi. Pada Tesis ini dikonstruksi model matematika tipe SEITR (Susceptible Exposed Infected Treatment Recovery) untuk menggambarkan pengaruh pemberian treatment yang berubah-ubah pada infeksi rekombinasi antara HIV dan virus Hepatitis B. Konstruksi model dibagi menjadi dua menurut urutan treatment yang dilakukan. Pada Model I urutan treatment yang diberikan adalah treatment HIV kemudian treatment Hepatitis B, sedangkan pada Model II urutan treatment diubah menjadi treatment Hepatits B kemudian treatment HIV. Pada model yang dikonstruksi dianalisa tentang titik kesetimbangan, bilangan reproduksi dasar dan menunjukkan bahwa model sistem bersifat well-posed. Selanjutnya dilakukan simulasi numerik dengan menggunakan data yang didapatkan dari RS dr. Soetomo, untuk mengetahui treatment yang sesuai pada infeksi rekombinasi antara HIV dan Virus Hepatitis B. Berdasarkan hasil simulasi, didapatkan bahwa urutan treatment yang sesuai terjadi pada Model II, yaitu treatment Hepatitis B kemudian treatment HIV.

Kata kunci : bilangan reproduksi dasar, model epidemi multiple infection, rekombinasi HIV dan Hepatitis B.

ix

ANALYSIS OF DYNAMICAL SYSTEM IN THE RECOMBINATION MATHEMATICAL MODELS

BETWEEN HIV AND HEPATITIS B VIRUS

Name : Aminatu Zuhriah

Student Identity Number : 1214 2010 10

Supervisor : 1.Dr. Hariyanto, M.Si.

2.Dr. Chairul imron, M.I. Komp.

ABSTRACT

HIV is a virus that attacks the human immune system. When HIV becomes AIDS, the body will easily get another infection. One infection that often occurs is Hepatitis B virus. Two viral infection in cells, we calls recombination. In this thesis, we construct two model of type SEIRT (Susceptible Exposed Infected Treatment Recovery) to describe the effect of changing treatment in recombination between HIV and Hepatitis B virus infection. In Model I, the sequence of treatment is HIV treatment and then Hepatitis B treatment, whereas in Model II the sequence treatment is Hepatitis B treatment and then HIV treatment. In these models, we analyze about the equilibrium point, the basic reproduction number and shows that the model system is well-posed. Furthermore, we perform numerical simulations using data from dr. Soetomo Hospital to find a suitable treatment in recombination between HIV infection and Hepatitis B virus. Based on the simulation, we get the sequence of suitable treatment for recombination between HIV and Hepatitis B virus infection are Model II, with the sequence treatment is Hepatitis B treatment and then HIV treatment.

Keywords : basic reproduction number, model epidemic multiple infection, recombination of HIV and Hepatitis B virus.

xiii

DAFTAR ISI

LEMBAR PENGESAHAN TESIS ... v

ABSTRAK ... vii

ABSTRACT ... ix

KATA PENGANTAR ... xi

DAFTAR ISI ... xiii

DAFTAR GAMBAR ... xv

DAFTAR TABEL ... xvii

DAFTAR SIMBOL ... xix

BAB 1 PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang... 1

1.2 Rumusan Masalah ... 3

1.3 Batasan Masalah ... 3

1.4 Tujuan Masalah ... 3

1.5 Manfaat Penelitian ... 4

BAB 2 KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI ... 5

2.1 Penelitian Terdahulu ... 5

2.2 Sistem Dinamik ... 6

2.3 Titik Kesetimbangan ... 7

2.4 Linierisasi ... 7

2.5 Bilangan Reproduksi Dasar ... 10

2.6 Eksistensi dan Ketunggalan ... 12

2.7 Pemetaan Aliran Kontinu ... 12

2.8 Metode Runga-Kutta Orde 4 ... 12

BAB 3 METODE PENELITIAN ... 15

3.1 Tahapan Penelitian ... 15

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN ... 21

4.1 Konstruksi Model I ... 22

4.2 Konstruksi Model II ... 33

4.3 Analisa Model I ... 40

xiv

4.4 Analisa Model II ... 84

4.5 Simulasi Numerik ... 109

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN ... 117

5.1 Kesimpulan ... 117

5.2 Saran ... 119

DAFTAR PUSTAKA ... 121 LAMPIRAN ... L1

Lampiran 1 Matriks 𝑉⁻¹ Model I ... L3 Lampiran 2 Matriks 𝐹𝑉⁻¹ Model I ... L13 Lampiran 3 Nilai Eigen Model I ... L15 Lampiran 4 Matriks 𝑉⁻¹ Model II ... L17 Lampiran 5 Matriks 𝐹𝑉⁻¹ Model II ... L29 Lampiran 6 Nilai Eigen Model II ... L31 Lampiran 7 Pembuktian 𝑉 Merupakan M-Matriks Non Singular ... L33 Lampiran 8 Data Jumlah Penderita HIV/AIDS, Hepatitis B

dan Rekombinasi Antara HIV dan Hepatitis B di

Rumah Sakit dr. Soetomo, Surabaya ... L43 Lampiran 9 Data Kelahiran dan Kematian ... L45 Lampiran 10 Menghitung Rate Transmisi ... L47 Lampiran 11 Keterangan Kelaikan Etik Penelitian ... L51 Lampiran 12 Listing Program ... L53

xvii

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 Nilai rate berdasarkan data ... 109 Tabel 4.2 Jumlah masing-masing subpopulasi berdasarkan data ... 111

xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 3.1 Cara penularan HIV ... 16

Gambar 3.2 Skema rentang waktu terjadinya infeksi oportunistik ... 17

Gambar 4.1 Laju perubahan subpopulasi Susceptible ... 23

Gambar 4.2 Laju perubahan subpopulasi Exposed ... 23

Gambar 4.3 Laju perubahan subpopulasi Infected HIV ... 24

Gambar 4.4 Laju perubahan subpopulasi Infected Hepatitis B ... 26

Gambar 4.5 Laju perubahan subpopulasi Infected AIDS ... 27

Gambar 4.6 Laju perubahan subpopulasi Infected rekombinasi HIV dan virus Hepatitis B ... 28

Gambar 4.7 Laju perubahan subpopulasi Treatment HIV ... 29

Gambar 4.8 Laju perubahan subpopulasi Treatment Hepatitis B ... 30

Gambar 4.9 Laju perubahan subpopulasi Recovery ... 31

Gambar 4.10 Diagram Kompartemen Model I dengan urutan treatment HIV kemudian treatment Hepatitis B ... 32

Gambar 4.11 Laju perubahan subpopulasi Infected rekombinasi HIV dan virus Hepatitis B ... 34

Gambar 4.12 Laju perubahan subpopulasi Treatment HIV ... 35

Gambar 4.13 Laju perubahan subpopulasi Treatment Hepatitis B ... 36

Gambar 4.14 Diagram Kompartemen Model II dengan urutan treatment Hepatitis B kemudian treatment HIV ... 37

Gambar 4.15 Skema perubahan status ... 52

Gambar 4.16 𝛽₁dan 𝛽₂ selama lima tahun ... 111

Gambar 4.17 Subpopulasi Susceptible ketika 𝑡 = 3000 ... 112

Gambar 4.18 (a) Subpopulasi Exsposed HIV ketika 𝑡 = 50, (b) Subpopulasi Exsposed Hepatitis B ketika 𝑡 = 50 ... 112

Gambar 4.19 (a) Subpopulasi infected HIV ketika 𝑡 = 50, (b) Subpopulasi infected Hepatitis B ketika 𝑡 = 50 ... 113

Gambar 4.20 (a) Subpopulasi Infected AIDS ketika 𝑡 = 50, (b) Subpopulasi Infected Rekombinasi HIV dan Virus Hepatitis B ketika 𝑡 = 50 ... 114

xvi

Gambar 4.21 (a) Subpopulasi treatment HIV ketika 𝑡 = 50,

(b) Subpopulasi treatment Hepatitis B ketika 𝑡 = 50 ... 115 Gambar 4.22 (a) Subpopulasi Recovery ketika 𝑡 = 5,

(b) Subpopulasi Recovery ketika 𝑡 = 800 ... 116

xix

DAFTAR SIMBOL

𝑆 = Banyaknya individu susceptible 𝐸₁ = Banyaknya individu exsposed HIV 𝐸₂ = Banyaknya individu exsposed Hepatitis B

𝐼₁ = Banyaknya individu yang terinfeksi HIV 𝐼₂ = Banyaknya individu yang terinfeksi Hepatitis B 𝐼₃ = Banyaknya individu yang terinfeksi AIDS

𝐼₄ = Banyaknya individu yang terinfeksi rekombinasi HIV dan Hepatitis B

𝑇₁ = Banyaknya individu yang di treatment HIV 𝐴 = Jumlah kelahiran

𝜇 = Rate kematian

𝛽 = Rate kontak antara individu susceptible dengan individu infected 𝛾_𝑖 = Rate individu exposed yang masuk kedalam subpopulasi infected,

dengan 𝑖 = 1,2

𝜃 = Rate perkembangan infeksi virus dari HIV ke AIDS 𝛼_𝑗 = Rate pengobatan, dengan 𝑗 = 1,2 ,3,4

𝜔_𝑖 = Rate kontak antara individu terinfeksi HIV dengan individu terinfeksi virus Hepatitis B, 𝑖 = 1,2

𝑐_𝑗 = Peluang individu mengalami perubahan kondisi yang lebih baik yang disebabkan karena treatmen dengan 𝑗 = 1,2,3,4

𝜓_𝑗 = Rate penyembuhan individu setelah treatment, dengan 𝑗 = 1,2,3,4

117

BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil dan pembahasan pada penulisan tesis ini, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.

1. Model matematika rekombinasi antara HIV dan virus Hepatitis B dibagi menjadi dua menurut treatment yang diberikan, yaitu Model I dan Model II.

Model I dengan urutan treatment HIV kemudian treatment Hepatitis B 𝑑𝑆

𝑑𝑡 = 𝐴 − (𝛽₁𝐼₁+ 𝛽₂𝐼₂+ 𝜇)𝑆 𝑑𝐸₁

𝑑𝑡 = 𝛽₁𝑆𝐼₁− (𝛾₁+ 𝜇 )𝐸₁ 𝑑𝐸₂

𝑑𝑡 = 𝛽₂𝑆𝐼₂− (𝛾₂+ 𝜇 )𝐸₂ 𝑑𝐼₁

𝑑𝑡 = 𝛾₁𝐸₁− (𝜃+𝛼₁+ 𝜇)𝐼₁+(1 − 𝑐₁)𝜓₁𝑇₁ 𝑑𝐼₂

𝑑𝑡 = 𝛾₂𝐸₂−(𝜔₁𝐼

3+ 𝛼₂+ 𝜇)𝐼₂+(1 − 𝑐₂)𝜓₂𝑇

2

𝑑𝐼₃

𝑑𝑡 = 𝜃𝐼₁−(𝜔₁𝐼

2+ 𝛼₂ + 𝜇)𝐼₃+(1 − 𝑐₃)𝜓₃𝑇

1

𝑑𝐼₄

𝑑𝑡 = 𝜔₁𝐼₂𝐼₃+ 𝜔₂𝐼₃𝐼₂− (𝛼₄+𝜇)𝐼₄+(1 − 𝑐₄)𝜓₄𝑇

1

𝑑𝑇₁

𝑑𝑡 = 𝛼₁𝐼₁+ 𝛼₃𝐼₃+ 𝛼₄𝐼₄−(1 − 𝑐₁)𝜓₁𝑇

1−(1 − 𝑐₃)𝜓₃𝑇₁−(1 − 𝑐₄)𝜓₄𝑇₁

−𝑐₄𝜓₄𝑇₁− 𝑐₁𝜓₁𝑇₁− 𝑐₃𝜓₃𝑇₁− 𝜇𝑇₁ 𝑑𝑇₂

𝑑𝑡 = 𝛼₂𝐼₂ − (1 − 𝑐₂)𝜓₂𝑇₂+𝑐₄𝜓₄𝑇

1− 𝜇𝑇₂ − 𝑐₂𝜓₂𝑇₂ 𝑑𝑅

𝑑𝑡 =𝑐₁𝜓₁𝑇₁+ 𝑐₃𝜓₃𝑇₁+ 𝑐₂𝜓₂𝑇₂− 𝜇𝑅

118

Model II dengan urutan treatment Hepatitis B kemudian treatment HIV

Kondisi awal yang diberikan yaitu sebagai berikut.

𝑆(0) = 𝑆₀, 𝐸₁(0) = 𝐸₁₍₀₎, 𝐸₂(0) = 𝐸₂₍₀₎, 𝐼₁(0) = 𝐼₁(0), 𝐼₂(0) = 𝐼₂₍₀₎, 𝐼₃(0) = 𝐼₃(0), 𝐼₄(0) = 𝐼₄₍₀₎, 𝑇₁(0) = 𝑇₁₍₀₎,𝑇₂(0) = 𝑇₂₍₀₎, 𝑅(0) = 𝑅₀, dengan komdisi batas

𝑡→∞lim𝑆(𝑡) = 𝑆_{𝑚𝑎𝑘𝑠}

𝜕²𝐼_𝑖

𝜕𝑥² < 0, 𝐼_𝑖 bergerak hanya sampai dengan 𝐿₁ dimana 𝑖 = 1,2,3,4.

2. Hasil simulasi yang didapatkan berdasarkan data menunjukkan bahwa jumlah subpopulasi susceptible semakin meningkat kemudian jumlah populasi akan stabil seiring dengan bertambahnya waktu. Selanjutnya jumlah subpopulasi infected dan treatment semakin menurun hingga mencapai nol seiring dengan

𝑑𝑆

𝑑𝑡 = 𝐴 − (𝛽₁𝐼₁+ 𝛽₂𝐼₂+ 𝜇)𝑆 𝑑𝐸₁

𝑑𝑡 = 𝛽₁𝑆𝐼₁− (𝛾₁+ 𝜇 )𝐸₁ 𝑑𝐸₂

𝑑𝑡 = 𝛽₂𝑆𝐼₂− (𝛾₂+ 𝜇 )𝐸₂ 𝑑𝐼₁

𝑑𝑡 = 𝛾₁𝐸₁− (𝜃+𝛼₁+ 𝜇)𝐼₁+(1 − 𝑐₁)𝜓₁𝑇₁ 𝑑𝐼₂

𝑑𝑡 = 𝛾₂𝐸₂−(𝜔₁𝐼₃+ 𝛼₂ + 𝜇)𝐼₂+(1 − 𝑐₂)𝜓₂𝑇

2

𝑑𝐼₃

𝑑𝑡 = 𝜃𝐼₁−(𝜔₂𝐼₂+ 𝛼₂+ 𝜇)𝐼₃+(1 − 𝑐₃)𝜓₃𝑇

1

𝑑𝐼₄

𝑑𝑡 =𝜔₁𝐼₃𝐼₂+ 𝜔₂𝐼₂𝐼₃− (𝛼₄+𝜇)𝐼₄+(1 − 𝑐₄)𝜓₄𝑇

2

𝑑𝑇₁

𝑑𝑡 = 𝛼₁𝐼₁+ 𝛼₃𝐼₃− 𝜇𝑇₁−(1 − 𝑐₁)𝜓₁𝑇

1−(1 − 𝑐₃)𝜓₃𝑇₁+ 𝑐₄𝜓₄𝑇₂− 𝑑𝑇₁

𝑑𝑡 =𝑐₁𝜓₁𝑇

1− 𝑐₃𝜓₃𝑇

1

𝑑𝑇₂

𝑑𝑡 = 𝛼₂𝐼₂+ 𝛼₄𝐼₄− 𝜇𝑇₂− (1 − 𝑐₂)𝜓₂𝑇₂−(1 − 𝑐₄)𝜓₄𝑇₂− 𝑐₄𝜓₄𝑇

2− 𝑑𝑇₂

𝑑𝑡 =𝑐₂𝜓₂𝑇₂ 𝑑𝑅

𝑑𝑡 = 𝑐₁𝜓₁𝑇₁+ 𝑐₃𝜓₃𝑇₁+ 𝑐₂𝜓₂𝑇₂− 𝜇𝑅

119

bertambahnya waktu. Jumlah subpopulasi recovery meningkat diawal waktu, kemudian jumlah subpopulasi tersebut menurun hingga mencapai nol seiring bertambahnya waktu.

3. Berdasarkan hasil simulasi yang dilakukan, pemberian treatment yang cocok untuk infeksi rekombinasi antara HIV dan virus Hepatitis B terjadi di Model II.

Urutan treatment pada Model II yaitu treatment Hepatitis B kemudian treatment HIV.

5.2 Saran

Konstruksi model dapat dikembangkan dengan menambahkan kontak antara individu infected HIV dengan individu infected Hepatitis B, sehingga terdapat dua infeksi rekombinasi.

120

121

DAFTAR PUSTAKA

Berman, A., Plemons, R.J. (1979), Nonnegative Matrices in The Mathematics Science, New York : Academic Press.

Boyce, W. E., DiPrima, R. C. (2009a), Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (Ninth ed.), United State of America: John Willey & Sons, Inc.

Burke, Donal S. (1997), Recombination in HIV: an Important Viral Evolution Strategy, Walter Read Army, Vol 3. No. 3.

Centers for Disease Control and Prevention (CDC). (2012a), An Introduction to applied Epidemiology and Biostatistics, USA:U.S. Department of Health and Human Services

Danaei, R., Akbarfam, A.J., Molaei, H. (2015), ODE modelling and Dynamical Stability of HBV/HIV co-infections, IJISET, Vol.2 Issue 5

Driessche, P. v., dan Wetmough, J. (2002a), Reproduction Numbers and Sub- Threshold Endemic Equilibria for Compartmental Models of Disease Transmission, Mathematical Biosciences, 180, 29-48.

Freedman, H.I., Ruan, dan S., Tang, M. (1994), Uniform Persistence and Flows Near a Closet Positevely Invariant Set. Journal of Dynamics and

Differential Equations, VoL 6, No.4

Haberman, R. (1997), Mathematical Models: an Introduction to Apllied Mathematics.New Jersey: Prentice-Hall

Hariyanto, Widodo,B., dan Budiantara, I Nyoman. (2015), Dynamic Analysis And Positive Solution a Model of Coalition Between H5N1 and H1N1-p Influenza in Indonesia, HIKARI, Vol. 9, no. 59, 2913 - 2924

Hetcote, H.W. (2000), The mathematics of infectious disease, SIAM Rev, 42, 599- 653.

http://www.wikipenyakit.com/wiki/Virus. diakses 30 september 2015 9:59

122

Kementrian Kesehatan Republik Indonesia. (2011), Panduan Nasional Tatalaksana Klinis Infeksi HIV dan Terapi Antiretroviral, Jakarta: Kementrian Kesehatan RI.

Korobeinikov, A. (2009b), Global Properties of SIR and SEIR Epidemic Models with Multiple Parallel Infectious Stages, Bulletin of Mathematical Biology, 71:75-83

Liu, J., dan Zhou, Y. (2009c), Global stability of an SIRS epidemic model with transport-related infection, Chaos Solitons & Fractals, 145-158.

Murray, J. D. (2002b), Mathematical Biology : I. An Introduction, Third Edition, New York Berlin Heidelberg: Springer-Verlag

Nagle, R.K., Staff, E.B., dan Snider, A.D.(2012), Fundamental of Diferential Equation and Boundary value Problems (sixth edition), New York: Pearson Education inc

Pangarapan, L.S.(2009d), Analisis Persoalan Optimasi Konveks Dua Tahap, Tesis, Sumatara Utara.

Phan, D dan Wodarz D. (2015b), Modelling multiple infection of cells by viruses:

Chalange and Insights. mathematical Biosciences, 264, 21-28.

Pollicot, M., Wang H., dan Weiss, H. (2012b), Extracting the time-dependent rate from infection data via solution of an inverse ODE problem, Biological Dynamics, Vol.6, No.2, 509-523

Sesatya, F. (2011), Spektrum klinis koinfeksi HIV dengan HBV dan HCV di RSUD Dr.Kariadi, UNDIP.,Semarang

Sharomi, O., Podder, C.N., dan Gummel A.B. (2008), Mathematical Analysis of the Transmission Dynamic of The HIV/TB Co-infection. in The Presence of Treatment, Mathematical Biosence and Engineering.Vol.5 No.1

BIODATA PENULIS

Penulis yang memiliki nama lengkap Aminatu Zuhriah lahir di Lampung, 13 September 1991.

Penulis telah menempuh pendidikan formal mulai dari SD Negeri 1 Sidoharjo, SMP Negeri 1 Kalianda, dan SMA Negeri 1 Kalianda. Setelah lulus dari SMA, penulis melanjutkan studi S1 di Jurusan Matematika Universitas Brawijaya Malang dan diterima sebagai mahasiswa angkatan 2009. Selama kuliah S1 diJurusan Matematika penulis mengambil Bidang Minat Riset Operasi dan Keuangan. Penulis melanjutkan studi S2 di Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya pada tahun 2014 dan mengambil Bidang Minat Pemodelan dan Simulasi. Untuk membentuk jaringan atau membutuhkan informasi yang berhubungan dengan Tesis ini, penulis dapat dihubungi melalui email aminatuzuhriah09@gmail.com