GRAF
Graf adalah struktur diskrit yang terdiri dari kumpulan simpul dan kumpulan sisi yang menghubungkan simpul-simpul ini tersebut.
Jenis-jenis graf :
Jenis Sisi Sisi ganda
diperbolehkan?
Gelang diperbolehkan?
Graf sederhana Tidak berarah Tidak Tidak
Graf ganda Tidak berarah Ya Tidak
Graf semu Tidak berarah Ya Ya
Graf berarah sederhana Berarah Tidak Tidak
Graf berarah ganda Berarah Ya Ya
Graf campuran Berarah & tidak berarah Ya Ya
Terminologi graf dan beberapa jenis graf khusus Terminologi pada graf tak berarah :
Definisi 1 : Dua simpul 𝑢 dan 𝑣 pada suatu graf tak berarah 𝐺 disebut bersebelahan (bertetangga) jika 𝑢 dan 𝑣 adalah titik ujung dari suatu sisi 𝑒 dari 𝐺 . Sisi 𝑒 yang demikian disebut bersisian dengan simpul 𝑢 dan 𝑣, dan dikatakan e menghubungkan 𝑢 dan 𝑣.
Definisi 2 : Himpunan dari semua simpul dari graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) yang bersebelahan dengan 𝑣, disebut lingkungan dari 𝑣. Jika 𝐴 ⊂ 𝑉 , notasi 𝑁(𝐴) , berarti himpunan dari semua simpul di 𝐺 yang bersebelahan dengan paling tidak satu simpul di A, jadi 𝑁(𝐴) = ⋃𝑣∈𝐴 N(𝑣)
Definisi 3 : Derajat dari suatu simpul pada graf tak berarah adalah banyaknya sisi yang bersisian dengannya, kecuali untuk loop pada simpul tersebut menyumbang 2 kali untuk derajat simpul tersebut. Derajat dari sisi 𝑣 dinotasikan dengan 𝑑𝑒𝑔(𝑣)
Teorema 1 (Teorema Berjabatan Tangan) : Misal graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf tak berarah dengan 𝑚 sisi. Maka 2𝑚 = ∑𝑣∈𝑉deg(𝑣) ( catat bahwa teorema ini berlaku termasuk jika ada sisi ganda maupun loop )
Teorema 2 : Graf tak berarah memiliki sebanyak genap simpul yang berderajat ganjil Terminologi pada graf berarah :
Definisi 4 : Jika (𝑢, 𝑣) adalah sisi dari graf berarah 𝐺 , 𝑢 dikatakan bersebelahan ke 𝑣 dan 𝑣 dikatakan bersebelahan dari 𝑢 . Simpul 𝑢 dikatakan simpul awal dari sisi (𝑢, 𝑣) dan 𝑣 dikatakan simpul akhir dari sisi (𝑢, 𝑣) . Pada suatu loop, simpul awal dan simpul akhir nya sama
Definisi 5 : Pada graf dengan sisi berarah, derajat masuk dari simpul 𝑣 dinotasikan dengan 𝑑𝑒𝑔−(𝑣) adalah banyaknya sisi dengan simpul akhir 𝑣 dan derajat keluar dari simpul 𝑣 dinotasikan dengan 𝑑𝑒𝑔+(𝑣) adalah banyaknya sisi dengan simpul awal 𝑣. Catat bahwa loop
menyumbangkan satu pada derajat suatu simpul, masing-masing untuk derajat masuk dan derajat keluar
Teorema 3 : Misal graf 𝐺 = 𝑉, 𝐸 adalah graf berarah . Maka ∑𝑣∈𝑉deg-(𝑣) = ∑𝑣∈𝑉deg+(𝑣) =|E|
Beberapa Graf Sederhana Istimewa : Graf lengkap Kn
Graf lengkap pada 𝑛 simpul, dinotasikan dengan 𝐾𝑛 adalah graf sederhana yang memiliki tepat satu sisi pada setiap pasangan simpul yang berbeda.
Jika pada suatu graf sederhana terdapat satu pasang simpul berbeda yang dihubungkan oleh suatu sisi dikatakan graf tersebut tidak lengkap
Graf Siklis Cn
Graf Roda Wn
Graf roda diperoleh jika kita menambahkan satu simpul pada graf siklis dan menghubungkan simpul tambahan tersebut dengan setiap simpul pada graf siklus
Graf n-kubus Qn
Hiperkubus berdimensi-𝑛 dinyatakan 𝑄𝑛 adalah graf yang simpulnya merepresentasikan 2 𝑛 bit string dengan panjang 𝑛. Dua simpul bersebelahan jika dan hanya jika bit string yang mereka representasikan berbeda dalam tepat satu posisi bit.
Graf Bipartit
Definisi 6 : Suatu graf sederhana dikatakan bipartit jika himpunan simpul 𝑉 dapat di partisi menjadi dua himpunan yang tidak beririsan 𝑉1 dan 𝑉2 sedemikian sehingga setiap sisi pada graf menghubungkan simpul dalam 𝑉1 dengan simpul dalam 𝑉2 ( demikian sehingga tidak ada sisi pada G yang menghubungkan dua simpul dalam 𝑉1 atau dua simpul dalam 𝑉2 ). Jika hal ini dipenuhi kita katakan pasangan (𝑉1, 𝑉2) suatu bipartisi dari himpunan simpul 𝑉
Teorema 4 : Suatu graf sederhana adalah bipartit jika dan hanya jika mungkin untuk mengaitkan satu dari dua warna yang berbeda pada setiap simpul dari graf sedemikian sehingga tidak terdapat dua simpul yang bersebelahan dikaitkan dengan warna yang sama Graf Bipartit Lengkap Km,n
Graf bipartit lengkap 𝐾𝑚,𝑛 adalah suatu graf yang memiliki himpunan simpul yang dipartisi menjadi dua himpunan bagian dengan 𝑚 dan 𝑛 simpul demikian sehingga terdapat sisi yang menghubungkan setiap pasangan simpul dari kedua himpunan bagian
Graf Baru dari Graf yang Lama
Definisi 7 : Suatu graf bagian graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf 𝐻 =(𝑊, 𝐹) dengan 𝑊 ⊆ 𝑉 dan 𝐹 ⊆ 𝐸.
𝐻 dikatakan graf bagian sejati dari 𝐺 jika 𝐻 ≠ G
Definisi 8 : Misal 𝐺 = (𝑉, 𝐸) graf sederhana. Graf bagian yang diinduksi oleh himpunan 𝑊 dengan 𝑊 ⊆ 𝑉 adalah graf (𝑊, 𝐹) dengan setiap sisi pada 𝐹 termuat dalam 𝐸 jika dan hanya jika kedua titik ujungnya ada di W
Membuang dan Menambah sisi Suatu Graf
Diberikan graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) dan sisi 𝑒 ∈ 𝐸 , kita dapat menghasilkan graf bagian dari 𝐺 dengan membuang 𝑒 . Graf bagian yang dihasilkan, ditulis dengan 𝐺 − 𝑒 , memiliki himpunan simpul yang sama dengan 𝑉 pada 𝐺 dan himpunan sisi 𝐸 – {𝑒} . Sehingga 𝐺 − 𝑒 = (𝑉, 𝐸 – {𝑒} )
Jika 𝐸′ adalah himpunan bagian dari 𝐸, kita dapat menghasilkan graf bagian dari 𝐺 dengan membuang sisi-sisi pada 𝐸′ dari graf. Graf yang dihasilkan memiliki himpunan simpul yang sama dengan 𝑉 pada 𝐺. Himpunan sisinya adalah 𝐸 − 𝐸′
Kita juga dapat menambahkan suatu sisi 𝑒 untuk menambahkan graf yang lebih besar jika sisi ini menghubungkan dua simpul pada 𝐺. Kita notasikan 𝐺 + 𝑒 sebagai graf baru yang dihasilkan dengan menambahkan sisi baru 𝑒 menghubungkan dua simpul yang sebelumnya tidak bersisian pada graf 𝐺 , sehingga 𝐺 − 𝑒 = (𝑉, 𝐸 ∪ {𝑒} )
Kontraksi Sisi
Terkadang ketika kita membuang sisi dari suatu graf , kita tidak ingin meninggalkan titik ujung sebagai simpul-simpul yang terpisah pada graf bagian baru yang dihasilkan. Dalam kasus ini kita bisa melakukan kontraksi sisi dengan cara :
• Membuang sisi dengan titik ujung 𝑢 dan 𝑣
• Menggabungkan 𝑢 dan 𝑣 menjadi satu simpul 𝑤
• Setiap sisi dengan 𝑢 dan 𝑣 sebagai titik ujung diganti dengan sisi dengan 𝑤 sebagai suatu titik ujung dan titik ujung yang keduanya tetap sama
Sehingga kontraksi sisi 𝑒 dengan titik ujung 𝑢 dan 𝑣 pada graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) menghasilkan graf 𝐺′ = (𝑉′, 𝐸′) , yang bukan merupakan graf bagian dari 𝐺, dengan 𝑉 ′ = 𝑉 − 𝑢, 𝑣 ∪ 𝑤 dan 𝐸′
adalah sisi-sisi di 𝐸 yang tidak memiliki 𝑢 atau 𝑣 sebagi titik ujung dan diganti dengan sisi yang menghubungkan 𝑤 dengan setiap lingkungan dari 𝑢 atau 𝑣 di 𝑉
Membuang simpul dari Graf
Jika kita membuang simpul 𝑣 dan semua sisi yang bersisian dengan 𝑣 dari graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸), kita menghasilkan graf bagian yang baru , yang dinotasikan dengan 𝐺 − 𝑣. Perhatikan bahwa 𝐺 − 𝑣 = (𝑉 – {𝑣} , 𝐸′), dimana 𝐸′ adalah himpunan dari sisi-sisi di 𝐺 yang tidak bersisian dengan 𝑣 .
Jika V′ adalah himpunan bagian dari 𝑉, kita dapat menghasilkan graf bagian dari 𝐺 dengan membuang simpul-simpul pada V′ dari graf 𝐺 . Graf yang dihasilkan memiliki himpunan simpul 𝑉 − 𝑉′ dan himpunan sisinya adalah 𝐸′ dengan 𝐸′ adalah himpunan dari sisi-sisi di 𝐺 yang tidak bersisian dengan simpul pada 𝑉′
Definisi 9 : Gabungan dari graf sederhana 𝐺1 = (𝑉1, 𝐸1) dan 𝐺2 = (𝑉2 ∪ 𝐸2) adalah suatu graf sederhana dengan himpunan simpul 𝑉1 ∪ 𝑉2 dan himpunan sisi 𝐸1 ∪ 𝐸2 , dinotasikan dengan 𝐺1 ∪ 𝐺2
Penyajian Graf dan Graf Isomorfisma Daftar Ajasensi
Salah satu cara untuk menyajikan graf yang tidak memiliki sisi ganda adalah dengan mendaftar semua sisi dari graf. Cara lain untuk menyajikan graf tanpa sisi ganda adalah dengan menggunakan daftar ajasensi , yang menunjukkan simpul-simpul yang bersebelahan untuk setiap simpul pada graf.
Contoh
Matrik Ajasensi
Menyajikan graf dengan daftar sisi-sisinya atau daftar ajasensi dapat rumit jika terdapat sangat banyak sisi dari graf. Untuk memudahkan komputasi, graf seringkali disajikan menggunakan matriks. Dua tipe matrik yang sering digunakan akan kita bahas di sini. Satu berdasarkan simpul yang bersebelahan dan satu berdasarkan pada kebersisian garis dan simpul
Misal 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf sederhan dengan 𝑉 = 𝑛 . Misal sebarang daftar simpul dari 𝐺 adalah 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, … 𝑣𝑛. Matrik ajasensi 𝑨 ( atau 𝑨𝐺 ) dari 𝐺 bersesuaian dengan dafatar simpul, adalah matrik satu-nol yang berukuran 𝑛 × 𝑛 adalah 1 sebagai entri (𝑖,𝑗) jika 𝑣𝑖 dan 𝑣𝑗
bersebelahan dan 0 sebagai entri (𝑖,𝑗) jika 𝑣𝑖 dan 𝑣𝑗 tidak bersebelahan.
Jika 𝑨 = [𝒂𝒊𝒋] matrik ajasensi, maka 𝑎𝑖𝑗 = {1 jika {vi , vj} adalah sisi pada G 0 jika lainnya
Matrik ajasensi dari suatu graf sederhana bergantung pada bagaimana pemilihan penyusunan simpul. Karena ada 𝑛! banyaknya susunan dari 𝑛 unsur, maka berarti ada 𝑛!
banyaknya matrik ajasensi yang berbeda
Matrik ajasensi graf sederhana adalah matrik simetri, karena 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , karena kedua entri adalah 1 jika 𝑣𝑖 dan 𝑣𝑗 adalah bersebelahan dan 0 jika tidak bersebelahan. Karena graf sederhana tidak memiliki gelang maka 𝑎𝑖𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 adalah 0
Matriks ajasensi dapat juga digunakan untuk menyajikan graf tak berarah dengan gelang dan sisi ganda. Gelang dengan simpul 𝑣𝑖 dinyatakan dengan 1 pada posisi ke (𝑖, 𝑖) dari matrik ajasensi.
Daftar Ajasensi
Simpul Simpul-Simpul yang Bersebelahan
a b, c, e
b a
c a, e, d
d c, e
e a, c, d
Jika terdapat sisi ganda yang mengaitkan beberapa pasangan simpul 𝑣𝑖 dan 𝑣𝑗 atau gelang ganda pada simpul yang sama, matriks ajasensi bukan lagi matriks satu-nol , entri ke (𝑖,𝑗) dari matriks ajasensi adalah banyaknya sisi yang berkaitan dengan {𝑣𝑖 , 𝑣𝑗} .
Semua matriks tak berarah, termasuk graf ganda dan graf semu adalah matrik ajasensi yang simetri
Misal 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf berarah sederhana dengan |V| = 𝑛 . Misal sebarang daftar simpul dari 𝐺 adalah 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, … 𝑣𝑛. Matrik ajasensi 𝑨 ( atau 𝑨𝐺 ) dari 𝐺 bersesuaian dengan daftar simpul, adalah matrik satu-nol yang berukuran 𝑛 × 𝑛 adalah 1 sebagai entri (𝑖,𝑗) jika ada sisi dari 𝑣𝑖 ke 𝑣𝑗 dan 0 sebagai entri (𝑖,𝑗) jika 𝑣𝑖 dan 𝑣𝑗 tidak dikaitkan.
Jika A=|𝑎𝑖𝑗| matrik ajasensi, maka 𝑎𝑖𝑗 = {1 jika {vi , vj} adalah sisi pada vi ke vj pada G 0 jika lainnya
Matrik ajasensi graf berarah tidak harus simetri, karena tidak harus ada sisi dari 𝑣𝑗 ke 𝑣𝑖 jika ada sisi dari 𝑣𝑖 ke 𝑣𝑗
Matriks ajasensi dapat digunakan untuk menyatakan graf berarah ganda. Matrik yang demikian bukan matriks satu-nol karena ada sisi ganda yang memiliki arah yang sama dalam menghubungkan dua simpul.
Pada matriks ajasensi untuk graf berarah ganda, 𝑎𝑖𝑗 adalah banyaknya sisi yang berkaitan dengan (𝑣𝑖 , 𝑣j)
Kelebihan dan kekurangan menggunakan daftar ajasensi dan matriks ajasensi
Jika suatu matriks sederhana memiliki sedikit sisi, disebut sebagai jarang, biasanya lebih dipilih daftar ajasensi untuk digunakan daripada matrik ajasensi dalam menyajikan graf.
Sebagai contoh , jika setiap simpul memiliki derajat melebihi 𝑐, dengan 𝑐 kurang dari suatu 𝑛, maka setiap daftar ajasensi memuat 𝑐 atau kurang banyaknya simpul. Sehingga tidak melebihi 𝑐𝑛 item dalam daftar ajasensi. Pada sisi yang lain, matrik ajasensi untuk graf memiliki 𝑛2 entri.
Matrik ajasensi dari graf yang jarang disebut sebagai matrik jarang. yakni suatu matrik dengan sedikit entri tak nolnya.
Sekarang misalnya suatu graf sederhana adalah rapat , yakni memuat banyak sisi, graf yang demikian memiliki lebih dari separuh kemungkinan sisi. Dalam kasus ini, lebih dipilih menggunakan matrik ajasensi untuk menyajikan graf daripada menggunakan daftar ajasensi.
Untuk melihat hal ini bandingkan kerumitan untuk menentukan kemungkinan sisi {𝑣𝑖 , 𝑣𝑗} yang ada.
Dengan menggunakan ajasensi matrik, kita dapat menentukan apakah suatu sisi ada dengan melihat entri ke (𝑖,𝑗) pada matrik. Entri adalah satu jika memuat sisi dan 0 jika lainnya.
Akibatnya jika akan membuat perbandingan pada matrik-matrik padat, kita membandingkan entri 0, untuk melihat apakah sisinya ada. Di sisi lain jika kita menggunakan daftar ajasensi untuk menyajikan graf, kita membutuhkan pencarian daftar simpul yang bersebelahan untuk melihat apakah adanya sisi. Ini bisa membutuhkan sebanyak Θ(|V|) perbandingan jika sisinya banyak.
Matrik Insiden
Cara lainnya yang biasa untuk menyajikan graf adalah dengan menggunkan matrik insiden.
Misal 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf tak berarah. Misal 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, … 𝑣𝑛 sebarang daftar simpul dari 𝐺 dan 𝑒1, 𝑒2, 𝑒, … 𝑒𝑚 sebarang daftar sisi dari 𝐺. Maka matrik insiden yang bersesuaian dengan urutan anggota 𝑉 dan 𝐸 adalah matrik 𝑀 – [𝑚𝑖𝑗] yang berukuran 𝑛 × 𝑚 dimana 𝑚𝑖𝑗=1 jika sisi 𝑒𝑗 bersisian dengan simpul 𝑣𝑖 dan 0 lainnya
M𝑖𝑗 = {1 𝑗𝑖𝑘𝑎 sisi ej bersisian dengan simpul G 0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
Matrik insiden dapat digunakan untuk menyatakan sisi ganda dan loop. Sisi ganda dinyatakan dalam matrik insiden menggunakan kolom dengan entri yang sama, karena sisi- sisi ini adalah bersebelahan dengan pasangan simpul yang sama. Gelang disajikan dengan menggunakan kolom yang pasti sama dengan 1, bersesuaian dengan simpul yang bersisian dengan loop
Isomorfisma Graf
Definisi 1 : Graf sederhana 𝐺1 = (𝑉1, 𝐸1) dan 𝐺2 = (𝑉2, 𝐸2) adalah isomorfik jika ada fungsi satu ke satu dan pada dari 𝑉1 ke 𝑉2 dengan sifat bahwa 𝑎 dan 𝑏 bersebelahan di 𝐺1 jika dan hanya jika 𝑓(𝑎) dan 𝑓(𝑏) bersebelahan di 𝐺2, untuk semua 𝑎 dan 𝑏 di 𝑉1. Fungsi yang demikian disebut isomorfisma. Dua graf yang tidak isomorfik disebut nonisomorfik
Menentukan apakah dua graf isomorfik
Seringkali sulit untuk menentukan apakah dua graf isomorfik. Terdapat 𝑛! kemungkinan korespondensi satu-satu diantara dua himpunan simpul yang beranggotakan 𝑛 simpul.
Dengan demikian mengecek setiap korespondensi untuk melihat apakah mengawetkan kebersebelahan atau tidak menjadi tidak praktis jika 𝑛 besar
Terkadang tidak sulit untuk menentukan apakah dua graf tidak isomorfik. Khususnya kita dapat menunjukkan dua graf tidak isomorfik jika kita menemukan suatu sifat yang hanya dimiliki oleh satu dari dua graf, yang seharusnya diawetkan jika ada isomorfisma dari kedua graf.
• Karena pada dua graf yang isomorfik terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan simpul dari kedua graf , maka banyaknya simpul dan banyaknya sisi dari kedua graf akan sama ( isomorfisma mengawetkan banyaknya simpul dan banyaknya sisi)
• Karena pada dua graf yang isomorfik setiap pasang simpul 𝑢 dan 𝑣 bersebelahan jika dan hanya jika 𝑓(𝑢) dan 𝑓(𝑣) bersebelahan , maka kedua graf akan memiliki sama banyaknya simpul pada setiap derajatnya ( isomorfisma mengawetkan derajat dari simpul )
Sifat yang diawetkan oleh isomorfisma graf dikatakan invarian graf.
Jika terdapat invariant graf dari ketiga invariant di atas tidak dipenuhi maka dua graf tidak isomorfik, tapi jika ketiga invarian graf di atas dipenuhi belum tentu dua graf isomorfik
Kemampuan Terhubung Lintasan
Definisi 1 : Misal 𝑛 bilangan bulat non negatif dan 𝐺 graf tak berarah. Suatu lintasan dengan panjang 𝑛 dari 𝑢 ke 𝑣 adalah barisan 𝑛 sisi-sisi 𝑒1,𝑒2, … ,𝑒𝑛 dari 𝐺 di mana terdapat barisan simpul-simpul 𝑢 = 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥𝑛 = 𝑣 sedemikian sehingga setiap 𝑒𝑖 , untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 memiliki titik ujung-titik ujung 𝑥𝑖−1 dan 𝑥𝑖. Jika 𝐺 graf sederhana, kita menyatakan lintasan dengan barisan simpul 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥𝑛 (karena mendaftar simpul-simpul ini menentukan lintasan secara unik). Suatu lintasan adalah sirkuit jika dimulai dan diakhiri dengan simpul yang sama, yakni 𝑢 = 𝑣 dan panjang lintasannya lebih dari 0. Lintasan atau sirkuit dikatakan melalui simpul-simpul 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥𝑛−1 atau dilewati sisi-sisi 𝑒1,𝑒2, … ,𝑒𝑛 Lintasan atau sirkuit adalah sederhana jika tidak memuat sisi yang sama lebih dari satu kali
Definisi 2 : Misal 𝑛 bilangan bulat non negatif dan 𝐺 graf berarah. Suatu lintasan dengan panjang 𝑛 dari 𝑢 ke 𝑣 adalah barisan 𝑛 sisi-sisi 𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛 dari 𝐺 di mana setiap 𝑒𝑖 , untuk 𝑖=1,2, … , 𝑛 berkaitan secara berturut-turut dengan (𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖) dengan 𝑥0 = 𝑢 dan 𝑥𝑛 = 𝑣. Jika tidak ada sisi ganda pada graf berarah, lintasan dinyatakan dengan simpul 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥𝑛. Lintasan dengan panjang lebih dari 0 yang dimulai dan diakhiri dengann simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus. Lintasan atau sirkuit dikatakan sederhana jika tidak memuat sisi yang sama lebih dari satu kali
Keterhubungan pada Graf Tak Berarah
Definisi 3 : Suatu graf tak berarah disebut terhubung jika terdapat lintasan diantara setiap pasang dari simpul yang berbeda. Suatu graf tak berarah yang tidak terhubung disebut takterhubung. Kita membuat graf menjadi takterhubung dengan membuang simpul atau sisi atau keduanya untuk menghasilkan suatu graf bagian yang tak terhubung.
Teorema 1 : Terdapat lintasan sederhana diantara setiap pasang simpul yang berbeda pada suatu graf tak berarah yang terhubung.
Komponen Terhubung
Komponen terhubung dari suatu graf 𝐺 adalah suatu graf bagian terhubung dari 𝐺 yang bukan graf bagian sejati dari graf bagian terhubung lainnya dari 𝐺. Komponen terhubung
dari suatu graf 𝐺 adalah graf bagian terhubung maksimal dari 𝐺. Suatu graf 𝐺 yang tidak terhubung memiliki dua atau lebih komponen terhubung yang saling lepas (tidak beririsan) dan memiliki 𝐺 sebagai gabungannya
Contoh :
Kemampuan terhubung Simpul
Tidak semua graf memiliki simpul potong. Sebagai contoh, graf lengkap 𝐾𝑛 dengan 𝑛 ≥ 3 tidak memiliki simpul potong. Jika suatu simpul dan semua sisi yang bersisian dengannya dibuang dari 𝐾𝑛 tetap akan menghasilkan graf lengkap, yakni graf 𝐾𝑛−1, yang masih terhubung
Graf terhubung tanpa simpul potong disebut graf yang tidak dapat dipisahkan dan dapat dipikirkan sebagai lebih terhubung. Kita dapat memperluas istilah ini dengan mendefinisikan ukuran yang lebih halus untuk menunjukkan keterhubungan graf berdasarkan minimum banyaknya simpul yang harus dibuang agar diperoleh graf tak terhubung.
Himpunan bagian 𝑉′ dari himpunan simpul 𝑉 dari graf 𝐺 =(𝑉, 𝐸) adalah potongan simpul atau himpunan pemisah jika 𝐺 − 𝑉 ′ takterhubung. Setiap graf terhubung kecuali graf lengkap memiliki potongan simpul.
Kemampuan terhubung simpul dari graf tak lengkap, dinotasikan dengan 𝜅(𝐺), adalah minimum dari banyak simpul dalam potongan simpul
Jika 𝐺 adalah graf lengkap, maka 𝐺 tidak memiliki potongan simpul, karena membuang sebarang himpunan bagian dari himpunan simpul dan semua sisi yang bersisian dengannya masih menyisakan graf lengkap. Akibatnya, kita tidak mendefinisikan 𝜅(𝐺) jika 𝐺 graf lengkap. Sebagai gantinya kita menetapkan 𝜅(𝐾𝑛) = 𝑛 − 1 banyaknya simpul yang harus dibuang untuk menghasilkan graf dengan simpul tunggal.
Konsekuensinya, untuk setiap graf 𝐺, 𝜅(𝐺) adalah minimum banyaknya simpul yang dapat dibuang dari 𝐺 untuk membuat 𝐺 jadi takterhubung atau menghasilkan graf dengan simpul tunggal. Kita punyai 0 ≤ 𝜅(𝐺) ≤ 𝑛 − 1 jika 𝐺 memiliki 𝑛 simpul dengan 𝜅(𝐺) = 0 jika 𝐺 takterhubung atau 𝐺 = 𝐾1 dan 𝜅(𝐺) = 𝑛 − 1 jika 𝐺 graf lengkap
Semakin besar 𝜅(𝐺) , kita anggap semakin terhubung 𝐺. Graf tak terhubung dan 𝐾1 memiliki 𝜅(𝐺) = 0, graf terhubung dengan simpul potong dan 𝐾2 memiliki 𝜅(𝐺) = 1, graf terhubung tanpa simpul potong yang dapat menjadi tak terhubung dengan membuang dua simpul dan 𝐾3 memiliki 𝜅(𝐺) = 2 dan seterusnya.
Kita katakan suatu graf adalah terhubung-𝒌 (terhubung simpul−𝒌 ) jika 𝜅(𝐺) ≥ 𝑘 . Graf 𝐺 adalah terhubung-1 jika terhubung dan bukan graf yang memuat simpul tunggal ; terhubung-2 jika tidak dapat dipisahkan dan memiliki paling tidak 3 simpul. Catat bahwa jika 𝐺 adalah terhubung-𝑘 maka 𝐺 adalah terhubung-𝑗 untuk semua 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘
Kemampuan terhubung Sisi
Kita juga dapat mengukur kemampuan terhubung dari suatu graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) dalam istilah minimum banyaknya sisi yang dapat dibuang untuk menjadikan 𝐺 takterhubung. Jika suatu graf memiliki sisi potong, maka kita hanya membutuhkan membuangnya untuk menjadikan 𝐺 takterhubung.
Jika 𝐺 tidak memiliki sisi potong kita mencari himpunan terkecil dari sisi yang dapat dibuang untuk menjadikan 𝐺 takterhubung. Himpunan sisi 𝐸′ disebut potongan sisi dari 𝐸 jika graf bagian 𝐺 − 𝐸′ tak terhubung. Kemampuan terhubung sisi dari suatu graf 𝐺, dinyatakan dengan 𝜆(𝐺) adalah minimum banyak sisi dalam suatu potongan sisi dari 𝐺.
𝜆(𝐺) didefinisikan pada semua graf terhubung dengan lebih dari satu sisi karena selalu mungkin untuk membuat suatu graf menjadi tak terhubung dengan membuang sisi yang bersisian dengan suatu simpul. Catat bahwa 𝜆(𝐺) = 0 jika 𝐺 takterhubung atau jika 𝐺 adalah graf yang terdiri dari simpul tunggal. Jika 𝐺 adalah graf dengan 𝑛 simpul, maka 0≤𝜆(𝐺)≤𝑛−1.
𝜆(𝐺) = 𝑛 − 1 jika 𝐺 = 𝐾𝑛 , pernyataan tersebut ekivalen dengan 𝜆(𝐺) ≤ 𝑛 − 2 jika 𝐺 bukan graf lengkap
Ketaksamaan untuk Kemampuan Terhubung Simpul dan Kemampuan terhubung Sisi Jika graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf terhubung tak lengkap dengan paling kurang tiga simpul, minimum derajat simpul dari 𝐺 adalah batas atas dari 𝜅(𝐺) dan 𝜆(𝐺) , yakni 𝜅(𝐺)≤min𝑣∈𝑉deg(𝑣) dan λ(𝐺)≤min𝑣∈𝑉deg(𝑣). Untuk melihat hal ini perhatikan bahwa penghapusan semua lingkungan dari suatu simpul dengan derajat minimum akan membuat 𝐺 menjadi graf tak terhubung dan penghapusan semua sisi yang memiliki simpul dengan derajat minimum sebagai titik ujung akan membuat 𝐺 menjadi graf takterhubung . Dapat ditunjukkan bahwa 𝜅(𝐺) ≤ 𝜆(𝐺) jika 𝐺 graf terhubung tak lengkap. Catat bahwa 𝜅(𝐾𝑛)=𝜆(𝐾𝑛)=min𝑣∈𝑉 deg(𝑣) = n − 1 jika 𝑛 bilangan bulat positif dan 𝜅(𝐺)=𝜆(𝐺)=0 jika 𝐺 graf takterhubung.
Proposisi 1 : Jika 𝐺 graf terhubung tak lengkap, maka dapat dibuang simpul-simpul untuk membuat 𝐺 menjadi takterhubung
Proposisi 2 : jika 𝐺 graf terhubung dengan 𝑛 simpul, maka a) 𝜅(𝐺) = 𝑛 − 1 jika dan hanya jika 𝐺 = 𝐾𝑛
b) 𝜆(𝐺) = 𝑛 − 1 jika dan hanya jika 𝐺 = 𝐾𝑛
Proposisi 3 : Jika 𝐺 graf , maka 𝜅(𝐺) ≤ 𝜆(𝐺) Keterhubungan pada Graf Berarah
Definisi 4 : Suatu graf berarah adalah terhubung kuat jika terdapat lintasan dari 𝑎 ke 𝑏 dan dari 𝑏 ke 𝑎 jika 𝑎 dan 𝑏 adalah simpul dari graf
Definisi 5 : Suatu graf berarah adalah terhubung lemah jika terdapat lintasan dari 𝑎 ke 𝑏 jika jika dipandang sebagai graf tak berarah
Lintasan dan Isomorfisma
Ada beberapa cara lintasan dan sirkuit dapat menentukan apakah dua graf isomorfik.
Sebagai contoh , eksistensi dari suatu sirkuit sederhana dengan panjang tertentu adalah suatu invarian yang berguna yang dapat digunakan untuk menunjukkan dua graf adalah isomorfik. Sebagai tambahan, lintasan dapat digunakan untuk menyusun pemetaan yang mungkin merupakan suatu isomorfisma
Suatu invarian isomorfik yang berguna untuk graf sederhana adalah eksistensi dari sirkuit sederhana dengan panjang 𝑘 , dimana 𝑘 adalah bilangan bulat positif yang lebih dari 2 Menghitung Lintasan diantara Dua Simpul
Teorema 2 : Misal 𝐺 adalah graf dengan matriks ajasensi 𝐴 yang bersesuaian dengan urutan simpul dari graf 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, … 𝑣𝑛 (dengan sisi tak berarah atau berarah, sisi ganda dan gelang diperbolehkan). Banyaknya lintasan yang berbeda dengan panjang 𝑟 dari 𝑣𝑖 ke 𝑣𝑗 dengan 𝑟 bilangan bulat positif sama dengan entri (𝑖,𝑗) dari 𝐴r
