Prosiding ISBN :

(1)

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012)

Yogyakarta, 29 Desember 2012 107

Penggunaan Metode Bayesian Subyektif dalam Pengkonstruksian Grafik Pengendali-c

Sekar Sukma Asmara^a, Adi Setiawan^b, Tundjung Mahatma^c

a Mahasiswa Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana

Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga, [email protected]

b Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana

c Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana

ABSTRAK

Metode Bayesian Subyektif dapat digunakan untuk melakukan estimasi titik berdasarkan pada sampel dan informasi priornya. Grafik pengendali memberikan gambaran mengenai perilaku sebuah proses. Grafik pengendali digunakan untuk mengidentifikasi apakah sebuah proses yang berjalan dalam kondisi terkendali atau tidak. Pada makalah ini dijelaskan penggunaan metode Bayesian subyektif dalam pengkonstruksian grafik pengendali-c.

Kata Kunci : bayesian subyektif, prior, grafik pengendali

ABSTRACT

Subjective Bayesian Method can be used for the point estimation based on the sample and its prior information. Control chart gives description about the performance of a process. It is also used to indicate whether a process is in controlled condition or not. The paper explains the usage of Subjective Bayesian Method in the construction of c-chart.

Key Words : subjective bayesian, prior, control chart

Pendahuluan

Konsumen mempunyai ekspektasi yang besar terhadap produk yang dibelinya.

Menurut Montgomery (1990), kualitas merupakan jaminan utama konsumen dalam memilih produk, oleh karena itu dalam setiap pembelian konsumen mengharapkan produk-produk yang bebas

dari cacat. Menurut Prawirosentono (2007), konsumen yang membeli produk berorientasi pada kualitas, pada umumnya mempunyai loyalitas produk yang besar dibandingkan dengan konsumen yang membeli produk berdasarkan harga, sehingga mereka akan selalu membeli produk tersebut (repurchase). Dengan

(2)

demikian kualitas menjadi kunci sebuah bisnis dalam menentukan keberhasilannya, karena produk yang berkualitas mempunyai daya saing tinggi dengan produk lain yang sejenis. Selain itu, peningkatan kualitas sering kali disertai dengan penurunan biaya produksi, karena dapat meminimalisasi produk-produk yang rusak. Namun dalam banyak proses produksi, terdapat banyak variabilitas sehingga diperlukan pengendalian proses statistik yaitu untuk menyingkirkan variabilitas dalam proses. Salah satu alat yang efektif untuk mengurangi variabilitas adalah grafik pengendali. Dalam penelitian ini, akan dikonstruksikan grafik pengendali-c ( -chart) dengan menggunakan metode Bayesian subyektif, sehingga dapat diidentifikasi apakah proses terkendali atau tidak. Hasil identifikasi tersebut digunakan sebagai acuan sebuah perusahaan mengambil tindakan dan perbaikan dalam pengendalian proses produksi.

Dasar Teori

Grafik pengendali adalah teknik pengendali proses pada jalur yang digunakan secara luas untuk pengendalian kualitas, yang dapat digunakan untuk

menaksir parameter suatu proses produksi, menentukan kemampuan proses, dan memberikan informasi yang berguna dalam meningkatkan proses itu (Montgomery, 1990 : 120).

Grafik pengendali terdiri dari nilai karakteristik kualitas, garis tengah (centerline) yang merupakan nilai rata-rata karakteristik kualitas, batas pengendali atas (upper control limit), dan batas pengendali bawah (lower control limit). Dengan demikian dapat diketahui apakah nilai karakteristik kualitas termasuk daerah yang diterima (accepted area) atau daerah ditolak (rejected area) seperti pada Gambar 1. Dalam statistik, untuk memperoleh tingkat kepercayaan sebesar , digunakan batas toleransi sebesar 3 kali deviasi standar.

Grafik Pengendali-c Klasik

Grafik pengendali-c mengganggap bahwa terjadinya ketidaksesuaian dalam sampel-sampel berukuran tetap dapat dimodelkan dengan distribusi Poisson, dengan fungsi probabilitas

(3)

Gambar 1. Diagram Shewhart

= banyaknya ketidaksesuaian, = parameter distribusi Poisson,

dengan mean dan variansi adalah parameter . Jika nilai standar tidak diberikan maka dapat ditaksir dengan banyak ketidaksesuaian rata-rata yang diamati , sehingga diperoleh batas-batas pengendali

(1)

(Montgomery 1990 : 169).

Grafik Pengendali-c dengan Metode Bayesian Subyektif

Banyaknya cacat atau tak sesuai yang terjadi dalam unit pemeriksaan

mengikuti distribusi Poisson dengan fungsi probabilitas

dan fungsi likelihood adalah

dengan .

Distribusi Gamma merupakan keluarga konjugat distribusi Poisson, sehingga fungsi kepadatan probabilitas

(4)

priornya berdistribusi Gamma dengan fungsi densitas

. Parameter dan pada distribusi prior yang dipilih, merepresentasikan penilaian subyektif peneliti. Salah satu metodenya adalah memilih prior berdistribusi Gamma . Dipilih paramater Gamma yang cocok dengan keyakinan prior berdasarkan mean dan deviasi standarnya adalah

dan

dengan

dan

(Darmanto). Oleh karena itu estimator Bayes sama dengan rata-rata ketidaksesuaian pada grafik pengendali-c klasik.

Distribusi posterior dihitung dengan mengalikan distribusi prior dengan fungsi likelihood distribusi sampelnya yaitu

Gamma

Estimator Bayes dapat digunakan sebagai sehingga

Batas dan dihitung sehingga

dan dipilih jarak minimum anatara dan dengan tingkat signifikansi .

Metode Penelitian

Untuk melukiskan grafik pengendali-c, data yang digunakan adalah data contoh banyaknya ketidaksesuaian dalam sampel papan untaian tercetak yang diambil dari studi literatur.

Hal pertama yang dilakukan dalam penelitian ini adalah melukiskan grafik pengendali-c klasik. Metode bayesian subyektif dapat digunakan untuk mengestimasi titik dalam hal ini batas- batas pengendali yang kemudian digunakan

(5)

untuk melukiskan grafik pengendali-c dengan prior Gamma dan prior Gamma dengan parameter dan yang cocok dengan keyakinan prior berdasarkan mean dan deviasi standarnya.

Hasil dan Pembahasan

Data contoh banyaknya ketidaksesuaian dalam sampel papan untaian tercetak digunakan pada grafik pengendali-c, seperti pada Tabel 1.

Tabel 1. Data Banyak Ketidaksesuaian dalam Sampel dengan 100 papan untaian

tercetak.

No. Sampel Banyaknya

Ketidaksesuaian

1 21

2 24

3 16

4 12

5 15

6 5

7 28

8 20

9 31

10 25

11 20

12 24

13 16

14 19

15 10

16 19

17 13

18 22

19 18

20 39

21 30

22 24

23 16

24 19

25 17

26 15

Grafik Pengendali-c Klasik

Untuk menentukan batas pengendali digunakan persamaan , oleh karena itu diperoleh

dengan demikian diperoleh grafik pengendali-c klasik pada Gambar 2.

Berdasarkan Gambar 2 diperoleh batas pengendali yang simetri dan terdapat 2 titik yang out of control.

Gambar 2. Grafik Pengendali-c Klasik

0 5 10 15 20 25

010203040

c-chart klasik

Nomor Sampel

Banyak Ketidaksesuaian

(6)

Grafik Pengendali-c dengan Metode Bayesian Subyektif

Berdasarkan data diperoleh bahwa

dan

Secara subyektif dipilih dan , dari persamaan diperoleh distribusi posterior

.

Untuk menentukan digunakan persamaan sehingga

dan ditentukan dan dengan persamaan dengan . Hasil perhitungan dengan menggunakan program R diperoleh

,

yang digunakan untuk melukiskan batas pengendali pada grafik pengendali-c, seperti pada Gambar 3. Berdasarkan

Gambar 3 terdapat 18 sampel yang out of control.

Gambar 3. Grafik Pengendali-c dengan Prior Gamma

Salah satu metode untuk memilih parameter dan , digunakan persamaan dan untuk membantu menentukan dan yaitu

dan

Dengan menggunakan persamaan dan diperoleh

0 5 10 15 20 25

010203040

c-chart Bayesian subyektif

Nomor Sampel

(7)

dan

Distribusi posterior ditentukan dengan menggunakan persamaan , sehingga diperoleh

.

Untuk menentukan digunakan persamaan sehingga

dan ditentukan dan dengan persamaan dengan . Hasil perhitungan dengan menggunakan program R diperoleh

,

yang digunakan untuk melukiskan batas pengendali pada grafik pengendali-c, seperti pada Gambar 4. Berdasarkan gambar di atas terdapat 18 sampel yang out of control.

Gambar 4. Grafik Pengendali-c dengan Prior Gamma

Studi simulasi dilakukan dengan cara membangkitkan sampel dengan ukuran besar (misalkan diambil

dari distribusi Poisson dengan parameter . Sampel tersebut digunakan dalam pengkonstruksian grafik pengendali-c klasik (Metode 1), grafik pengendali-c dengan prior Gamma (Metode 2), dan grafik pengendali-c dengan prior Gamma

(Metode 3). Oleh karena itu dapat ditentukan proporsi titik-titik sampel yang out of control. Hasil tersebut dinyatakan pada Tabel 2, Tabel 3, dan Tabel 4.

0 5 10 15 20 25

010203040

c-chart Bayesian subyektif

Nomor Sampel

(8)

Tabel 2. Tabel hasil rata-rata proporsi titik yang out of control untuk metode 1.

No. Metode 1

Tabel 3. Tabel hasil rata-rata proporsi titik yang out of control untuk metode 2

No. Metode 2

Tabel 4. Tabel hasil rata-rata proporsi titik yang out of control untuk metode 3.

No. Metode 3

Hasil proporsi titik yang out of control dari grafik pengendali-c klasik jauh berbeda dengan hasil proporsi titik yang out of control dari grafik pengendali-c dengan menggunakan metode Bayesian subyektif untuk dan yang dipilih.

Untuk dan yang lain akan diperoleh hasil proporsi titik-titik sampel yang out of control hampir sama.

Kesimpulan

Dalam bab sebelumnya telah dijelaskan penggunaan metode Bayesian subyektif dalam pengkonstruksian grafik pengendali-c, dengan prior berdistribusi Gamma. Dalam makalah ini dipilih secara subyektif distribusi prior Gamma dan

prior Gamma yang

cocok dengan keyakinan prior berdasarkan

(9)

mean dan deviasi standarnya. Distribusi posterior diperoleh dari distribusi sampel dan distribusi prior. Hasil proporsi titik yang out of control dari grafik pengendali-c klasik mendekati nilai yang diharapkan

yaitu . Sedangkan hasil

proporsi titik yang out of control dari grafik pengendali-c dengan metode Bayesian subyektif jauh dari nilai yang diharapkan.

Pustaka

Montgomery, D.C. 1990. Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik. Alih bahasa: Zanzawi Soejoeti.

Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada.

Prawirosentono, S. 2007. Filosofi Baru Tentang Manajemen Mutu Terpadu Abad 21, Edisi Kedua. Jakarta : Bumi Aksara.

Setiawan, A. 2012. Penggunaan Metode Bayesian Obyektif dalam Pembuatan Grafik Pengendali p-chart. Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan, dan Penerapan MIPA, UNY Yogyakarta

Web 1 :

Darmanto, Estimasi Parameter, Blog Statistika,

http://statistikanyadarmanto.lecture.u b.ac.id/materi-kuliah/