PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER

PERSAMAAN

DIFFERENSIAL LINIER

Persamaan Differensial Linier

Pengertian :

Suatu persamaan differensial orde satu dikatakan linier jika persamaan tersebut dapat dituliskan sbb:

𝑦^′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑟(𝑥) (1)

linier dalam y dan y’, dimana p dan r pada sisi kanan mungkin suatu fungsi dari x.

Jika sisi kanan r(x) = 0 untuk semua x dalam interval dimana kita

Lanjutan

• r(x)  0 , persamaan non homogen / heterogen.

Solusi pers. (1) dalam interval I dengan mengasumsikan bahwa p dan r adalah kontinyu dalam interval I. Untuk persamaan homogen :

𝑦^′ = − 𝑝 𝑥 𝑦 = 0 (2)

Dengan pemisahan variabel :

𝑑𝑦

𝑦 = −𝑝 𝑥 𝑑𝑥 jadi 𝑙𝑛 𝑦 = − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐^∗

Lanjutan

𝑦 𝑥 = 𝑐𝑒^{− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥} 𝑐 = ±𝑒^𝑐∗ bila 𝑦 <> 0

• Pada persamaan ini kita juga dapat mengambil nilai c = 0 dan mendapatkan persamaan trivial y = 0

Lanjutan

Persamaan (1) yang bersifat non homogen sekarang dapat diselesaikan:

𝑦^′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑟(𝑥) (py – r)dx + dy = 0, dimana persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk

Pdx + Qdy = 0 dimana P = py – r dan Q = 1.

Maka kita mendapatkan faktor pengintegrasi : ¹

𝐹 𝑑𝐹

𝑑𝑥 = 𝑝(𝑥)

Lanjutan

• Karena hanya tergantung pada x, persamaan (1) mempunyai faktor pengintegrasi F(x), yang mana kita mendapatkannya secara langsung dengan integrasi dan exponensiasi:

𝐹(𝑥) = 𝑒 ^𝑝𝑑𝑥

• Perkalian persamaan (1) dengan nilai F dan dengan mengobservasi hukum perkalian dari turunan memberikan :

𝑒 ^𝑝𝑑𝑥 𝑦^′ + 𝑝𝑦 = 𝑒 ^𝑝𝑑𝑥𝑦 ^′ = 𝑒 ^𝑝𝑑𝑥𝑟

Lanjutan

• Sekarang kita mengintegrasikan thd x

𝑒 ^𝑝𝑑𝑥𝑦 = 𝑒 ^𝑝𝑑𝑥𝑟𝑑𝑥 + 𝑐

• Jika 𝑝𝑑𝑥 =h maka penyelesaian untuk y adalah

𝑦 𝑥 = 𝑒^−ℎ 𝑒^ℎ𝑟𝑑𝑥 + 𝑐 , h= 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 (4)

Contoh

Selesaikan persamaan differensial linier berikut : 𝑦^′ − 𝑦 = 𝑒^2𝑥

Penyelesaian :

p = -1, 𝑟 = 𝑒^2𝑥, ℎ = 𝑝𝑑𝑥 = −𝑥

Dan dari persamaan (4) kita mendapatkan penyelesaian yang bersifat umum

𝑦 𝑥 = 𝑒^−ℎ 𝑒^ℎ𝑟𝑑𝑥 + 𝑐 , h= 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

𝑦 𝑥 = 𝑒^𝑥 𝑒^−𝑥𝑒^2𝑥𝑑𝑥 + 𝑐 = 𝑒^𝑥 𝑒^𝑥 + 𝑐 = 𝑐𝑒^𝑥 + 𝑒^2𝑥

Lanjutan

Alternatif lain, kita dapat mengalikan persamaan yang diberikan dengan 𝑒^ℎ = 𝑒^−𝑥, dengan mendapatkan

𝑦^′ − 𝑦 𝑒^−𝑥 = 𝑦𝑒^{−𝑥 ′} = 𝑒^2𝑥𝑒^−𝑥

Dan mengintegrasikan pada kedua sisinya, memperoleh hasil sama dengan hasil sebelumnya :

𝑦𝑒^−𝑥 = 𝑒^𝑥 + 𝑐 Sehingga

𝑦 = 𝑒^2𝑥 + 𝑐𝑒^𝑥

Contoh:

y‘ + y tan x = sin 2x Dimana y(0) = 1

Persamaan Differensial Orde Dua

PENDAHULUAN

PD2

Linier

Non Linier

Suatu persamaan differensial orde 2 dikatakan linier jika persamaan tsb dapat ditulis dalam bentuk :

𝑦^′′ + 𝑝 𝑥 𝑦^′ + 𝑞 𝑥 𝑦 = 𝑟(𝑥) (1)

Dan non linier jika persamaan tsb tidak ditulis dalam bentuk ini.

Persamaan (1) adalah linier pada fungsi yang tidak diketahui y dan turunannya, semetara p, q dan r pada sisi kanan dapat berupa suatu fungsi x

Lanjutan

Jika r(x) = 0 maka persamaan 1 menjadi

y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0 (2)  pers. homogen Fungsi p(x) dan q(x) disebut coefisien dari persamaan.

Contoh :

y’’ + 4y = e^-x sin x (1 – x²)y’’ -2xy’ + 6y = 0

PD2 non homogen, linier PD2 homogen linier

Penyelesaian PD2 (linier atau non linier) pada interval terbuka a < x

< b adalah suatu fungsi h(x) yang mempunyai turunan y’ = h’(x) dan y’’ = h’’(x) dan memenuhi persamaan differensial untuk semua x

dalam interval tersebut

Persamaan Homogen Linier

Contoh

• y = e^x dan y = e^-x adalah penyelesaian dari PD homogen linier y’’ – y = 0

• Untuk semua x karena untuk y = e^x kita mendapatkan (e^x)’’ – e^x = e^x – e^x =0 dan sama untuk y = e^-x.

• Bahkan kita dapat melanjutkan suatu tahap lanjutan yang penting. Kita dapat mengalikan e^x dan e^-x dengan konstanta turunan, katakan, -3 dan 8 ( atau suatu bilangan lain) dan kemudian melakukan

penjumlahan

Lanjutan

−3𝑒^𝑥+ 8𝑒^{−𝑥 ′′}− −3𝑒^𝑥+ 8𝑒^−𝑥 = −3𝑒^𝑥+ 8𝑒^−𝑥 − −3𝑒^𝑥+ 8𝑒^−𝑥 = 0 Dari contoh  untuk suatu PD2 linier homogen, kita selalu dapat memperoleh penyelesaian baru dari penyelesaian yang diketahui dengan perkalian dengan konstanta dan dengan penambahan.

Sehingga kita dapat mendapatkan penyelesaian selanjutnya dari solusi-solusi yang diberikan.

Dari y₁ (=e^x) dan y₂ (=e^-x) kita mendapatkan suatu fungsi dengan bentuk :

y = c₁y₁ + c₂y₂ (3)

dimana c₁ dan c₂ adalah konstanta sembarang.

Lanjutan

• Persamaan ini disebut kombinasi yang bersifat linier dari y₁ dan y₂.

• Dengan menggunakan konsep ini, sekarang kita dapat

memformulasikan hasil yang disarankan oleh contoh diatas  prinsip superposisi atau prinsip linieritas.

• Prinsip ini tidak berlaku untuk persamaan yang sifatnya tidak homogen linier atau persamaan yang sifatnya non linier

Permasalahan Nilai Awal - Penyelesaian Umum

• Untuk persamaan PD1, penyelesaian umum melibatkan satu konstanta sembarang c, dan dalam permasalahan nilai awal kita menggunakan kondisi awal y(x₀) = y₀ untuk mendapatkan

penyelesaian khusus (c mempunyai nilai tertentu).

• Untuk persamaan homogen orde 2, bentuk solusi umum :

y = c₁y₁ + c₂y₂ (4)

• Suatu kombinasi linier dari dua solusi yang melibatkan dua konstanta sembarang c₁, c₂. Suatu persoalan nilai awal terdiri dari persamaan (2) dan dua kondisi awal

y(x₀) = K₀, y’(x₀) = K₁ (5)

Lanjutan

Dengan memberikan nilai K₀ dan K₁ dari penyelesaian dan

turunanya (kemiringan dari kurva)pada x₀ yang sama dalam suatu interval yang ditentukan. Kita akan menggunakan persamaan (5) untuk mendapatkan dari Pers (4) suatu penyelesaian yang

khusus dari persamaan (2), dimana c₁ dan c₂ mempunyai nilai yang tertentu. Mari kita mengilustrasikan hal ini dengan suatu contoh yang sederhana, yang akan membantu kita untuk melihat bahwa kita harus memberikan suatu kondisi pada y₁ dan y₂ dalam persamaan (4).

Contoh

Selesaikan persoalan nilai awal:

y’’ – y = 0 y(0) = 5, y’(0) = 3

Penyelesaian Tahap 1. e^x dan e^-x adalah penyelesaian (contoh 1), y = c₁e^x + c₂e^-x  solusi umum

Penyelesaian tahap 2.

Dari kondisi awal, karena y’ = c₁e^x - c₂e^-x, kita mendapatkan : y(0) = c₁ + c₂ = 5

y’(0) = c₁ – c₂ = 3

Maka c₁ = 4 dan c₂ =1. Jawaban y = 4e^x + e^-x

Definisi

• Penyelesaian umum persamaan (y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0) pada

sebuah interval I adalah persamaan (y = c₁y₁ + c₂y₂) dengan y₁ dan y₂ bukan penyelesaian proporsional dari (2) pada interval I dan c₁, c₂ adalah konstanta sembarang. y₁ dan y₂ ini kemudian disebut suatu basis ( atau sistem dasar) dari persamaan (2) pada interval I.

• Penyelesaian khusus pada interval I diperoleh jika kita memberikan nilai yang spesifik pada c₁ dan c₂

• Seperti umumnya, y1 dan y2 dikatakan proporsional pada I jika : y₁ = ky₂ atau y₂ = ly₁

2.Persamaan Homogen dengan Koefisien Konstan

Suatu persamaan linier homogen

y’’ + ay’ + by = 0 (1)

mempunyai koefisien a dan b adalah konstan.

Persamaan ini mempunyai aplikasi yang penting, khusus hubungannya dengan getaran mekanik dan elektrik.

Dari PD1 linier, y’ + ky = 0 penyelesaiannya adalah y = e^-kx. Hal ini memberikan kepada kita ide untuk mencoba sebagai suatu penyelesaian dari (1) fungsi

𝑦 = 𝑒^𝜆𝑥 (2)

Lanjutan

Maka turunan I dan II

𝑦^′ = 𝜆𝑒^𝜆𝑥 dan 𝑦^′′ = 𝜆²𝑒^𝜆𝑥 Substitusi ke dalam persamaan (1)

𝜆² + 𝑎𝜆 + 𝑏 𝑒^𝜆𝑥 = 0

Maka persamaan (2) adalah suatu solusi dari persamaan (1), jika 𝜆 adalah suatu solusi dari persamaan kuadratik

𝜆²+ 𝑎𝜆 + 𝑏 = 0 (3)

Persamaan ini disebut persamaan karakteristik dari persamaan (1).

Akarnya adalah :

𝜆₁ = ¹₂ −𝑎 + 𝑎² − 4𝑏 𝜆₂= ¹₂ −𝑎 − 𝑎² − 4𝑏 (4) Penurunan kita menunjukan bahwa fungsi

𝑦₁ = 𝑒^𝜆1𝑥 dan 𝑦₂ = 𝑒^𝜆2𝑥 (5)

Adalah solusi dari persamaan (1). Kita harus menguji hasil ini dengan mensubtitusikan persamaan (5) kedalam persamaan (1)

Lanjutan

Secara langsung dari persamaan (4) kita melihat bahwa, dengan bergantung pada tanda deskriminan a² – 4b, kita mendapatkan beberapa kemungkinan :

• Case I : dua akar real jika a² – 4b > 0

• Case II: dua akar real kembar jika a² – 4b = 0

• Case III : akar komplek jika a² – 4b < 0

Thank you