P E L U A N G
A. Kaidah Pencacahan
3. Kombinasi
Kombinasi adalah pencacahan yang tidak memperhatikan urutan objek-objeknya. Jika suatu himpunan dengan n buah anggota (objek) akan disusun r objek tampa
memperhatikaN urutannya, maka banyaknya susunan tersebut dirumuskan :
r)! r!.(n
n! r
C
n
Sebagai contoh akan dihitung banyaknya susunan dua huruf dari huruf-huruf pada himpunan {a, b, c, d} tanpa memperhatikan urutannya
ab ac ad
bc bd 6 susunan cd
Jika masalah di atas diselesaikan dengan rumus, akan diperoleh: n = 4 dan r = 2
sehingga nCr =
r)! r!.(n
n!
=
)! 2 2!.(4
4!
= 2!.2!
4!
=
1 x 2 x 1 x 2
1 x 2 x 3 x 4
= 6
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh soal berikut ini :
01. Diketahui himpunan A = {p, q, r, s, t}. Berapa banyaknya cara mengambil dua huruf dari huruf-huruf pada himpunan A jika urutannya tidak diperhatikan ?
Jawab
Diketahui n = 5 dan r = 2 Maka : nCr =
r)! r!.(n
n!
2
5C = 2!.(5 2)!
5!
= 2!.3!
5!
=
3! x 1 x 2
02. Dari 7 orang calon peserta paduan suara akan dipilih 5 orang untuk mengikuti festival paduan suara tingkat sekolah. Tentukanlah banyaknya cara pemilihan tersebut ! Jawab
Diketahui n = 7 dan r = 5 Maka :
r C
n = r!.(n r)! n!
5
7C = 5!.(7 5)!
7!
= 5!.2!
7!
=
5! x 1 x 2
5! x 6 x 7
= 21 cara
03. Tentukanlah nilai r jika
r
6C = 2. 5Cr
Jawab
r
6C = 2. 5Cr
r)! r!.(6
6!
= 2. r!.(5 r)! 5!
r)! (6
5! x 6
= 2. (5 r)! 5!
r)! (6
6
= (5 r)! 2
6(5 – r)! = 2(6 – r)! 3(5 – r)! = (6 – r)(5 – r)! 3 = 6 – r
r = 3
04. Dari 20 orang anggota English Club SMAN “Maju Jaya” yang terdiri dari 10 pria dan 10 wanita akan dipilih tim yang terdiri dari 4 pria dan 2 wanita untuk mengikuti lomba debat bahasa Inggris mewakili sekolah mereka. Tentukanlah banyaknya cara pemilihan tersebut !
Jawab
Pria : n = 10 dan r = 4 maka
4
10C = 4!.6!
10! =
x.6! 1 x 2 x 3 x 4
6! x 7 x 8 x 9 x 10
= 210
Wanita : n = 10 dan r = 2 maka
2
10C = 2!.8!
10! =
x.8! 1 x 2
8! x 9 x 10
= 45
05. Dalam sebuah keranjang terdapat 6 kelereng hitam dan 4 kelereng putih. Jika diambil 5 kelereng dari dalam keranjang tersebut, tentukanlah banyaknya kejadian terambilnya 3 kelereng hitam dan 2 kelereng putih
Jawab
K. Hitam : n = 6 dan r = 3 maka
3
6C = 3!.3!
6! =
x.3! 1 x 2 x 3
3! x 4 x 5 x 6
= 20
K. Merah : n = 4 dan r = 2 maka
2
4C = 2!.2!
4! =
x.2! 1 x 2
2! x 3 x 4
= 6
Jadi banyaknya cara pemilihan tersebut = 20 x 6 = 120 cara
06. Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola kuning dan 4 bola hijau. Jika diambil dua bola dari dalam kotak tersebut, tentukanlah banyaknya kemungkinan terambilnya dua bola berwarna sama
Jawab
Terambilnya dua kelereng berwarna sama artinya Kuning-kuning atau hijau-hijau Banyaknya kemungkinan terambil dua bola kuning (kuning-kuning)
K. Kuning : n = 5 dan r = 2 maka
2
5C = 2!.3!
5! =
x.3! 1 x 2
3! x 4 x 5
= 10
K. Hijau : n = 4 dan r = 0 maka
0
4C = 4!.0!
4!
= 1
Jadi banyaknya cara pengambilan tersebut = 10 x 1 = 10 cara
Banyaknya kemungkinan terambil dua bola hijau (hijau-hijau)
K. Kuning : n = 5 dan r = 0 maka
0
5C = 5!.0!
5!
= 1
K. Hijau : n = 4 dan r = 2 maka
2
4C = 2!.2!
4! =
x.2! 1 x 2
2! x 3 x 4
= 6
Jadi banyaknya cara pengambilan tersebut = 1 x 6 = 6 cara Sehingga Banyak cara seluruhnya = 10 + 6 = 16 cara
Salah satu aplikasi dari aturan kombinasi adalah menentukan koefisien dari uraian bentuk (a + b)n. Namun bentuk ini dapat pula diuraikan dengan bantuan segitiga Pascal, yaitu
(a + b)0 ……… 1
(a + b)1 ……… 1 1
(a + b)2 ……… …. 1 2 1
(a + b)3 ………..……….1 3 3 1
(a + b)4 ……….. 1 4 6 4 1
Sehingga bentuk (a + b)3 dan (a + b)4 misalnya, dapat diuraikan menjadi : (a + b)3 = 1.a3.b0 + 3.a3–1.b0+1 + 3.a3–2.b0+2 + 1.a3–3.b0+3
= a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
(a + b)4 = 1.a4.b0 + 4.a4–1.b0+1 + 6.a4–2.b0+2 + 4.a4–3.b0+3 + .a4–4.b0+4 = a4 + 4.a3.b + 6. a2.b2 + 4.a.b3 + b4
Dengan menggunakan aturan kombinasi, uraian bentuk (a + b)n dapat ditentukan dengan rumus Binomial Newton, yaitu :
n
0 r
r r n r nC
.
a bn b) (a
Sehinga bentuk (a + b)3 dan (a + b)4 misalnya, dapat diuraikan sebagai berikut : (a + b)3 = 3C0.a3.b0 + 3C1..a3–1.b0+1 + 3C2.a3–2.b0+2 + 3C3.a3–3.b0+3
= (1).a3.b0 + (3).a3–1.b0+1 + (3).a3–2.b0+2 + (1).a3–3.b0+3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
(a + b)4 = 4C0.a4.b0 + 4C1.a4–1.b0+1 + 4C2.a4–2.b0+2 + 4C3.a4–3.b0+3 + 4C4.a4–4.b0+4
= (1).a4.b0 + (4).a4–1.b0+1 + (6).a4–2.b0+2 + (4).a4–3.b0+3 + (1).a4–4.b0+4 = a4 + 4.a3.b + 6. a2.b2 + 4.a.b3 + b4
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh soal berikut ini : 07. Uraikanlah bentuk (a + 2)4
Jawab
(a + 2)4 = 4C0.a4.20 + 4C1.a4–1.20+1 + 4C2.a4–2.20+2 + 4C3.a4–3.20+3 + 4C4.a4–4.20+4
= (1).a4.20 + (4).a3.21 + (6).a2.22 + (4).a1.23 + (1).a0.24 = (1).a4.(1) + (4).a3.(2) + (6).a2.(4) + (4).a1.(8) + (1).a0.(16) = a4 + 8.a3 + 24.a2 + 32.a + 16
08. Uraikanlah bentuk (2x – y)3 Jawab
(2x – y)3 = 3C0.(2x)3.y0 – 3C1.(2x)3–1.y0+1 + 3C2.(2x)3–2.20+2 – 3C3.(2x)3–3.y0+3
Sedangkan suku ke-p dari penguraian bentuk (a + b)n dapat ditentukan dengan rumus
C
pn1a
np1b
p1Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh soal berikut ini :
09. Tentukanlah suku ke 4 dari uraian bentuk (a + b)8 Jawab
(a + b)8 Maka n = 8 Suku ke 4 maka p = 4
Sehingga
C
pn1a
np1b
p1 = 8 1 4C
a
841b
41=
C
38a
5b
3= 3!.5!
8! 5 3
b
a
=
1.5! x 2 x 3
5! x 6 x 7 x
8
a
5b
3= 56
a
5b
310. Tentukanlah suku ke 6 dari uraian bentuk (2x – y)9 Jawab
(2x – y)9 Maka n = 9 Suku ke 6 maka p = 6
Sehingga
C
pn1a
np1b
p1 =C
691(2x)
961(
y)
61=
C
59(2x)
4(
y)
5=
5!.4! 9!
2
4x
4y
5=
1.5! x 2 x 3 x 4
5! x 6 x 7 x 8 x 9
(16).x
4y
5= –126.(16)
x
4y
5= –2016
x
4y
511. Salah satu suku dari penjabaran bentuk (a + 3b)6 adalah m.a4.b2. Tentukanlah nilai m Jawab
(a + 3b)6 Maka n = 6
Sehingga m.a4 b2 =
C
pn1a
np1(3b)
p1 24
b a m.
=
C
p61a
6p1(3b)
p1 24
b a m.
=
C
p61a
7p(3b)
p1 maka p – 1 = 2 p =32 4
b a
2 4
b a m.
=
C
26a
4(3b)
2 24
b a m.
=
2!.4!
6! 4 2 2
b
3
a
2 4
b a m.
=
x.4! 1 x 2
4! x 5 x
6
.
a
4b
29
2 4
b a m.
= 15(9)
a
4b
2 24
b a m.
= 135
a
4b
2Jadi m = 135
12. Tentukanlah koefisien suku yang memuat x3 dari uraian bentuk (x + 2)5 Jawab
(x + 2)5 Maka n = 5
Sehingga
C
pn1x
np12
p1 =C
p51x
5p12
p1=
C
p51x
6p2
p1 maka 6 – p = 3 p = 3 =C
351x
632
31=
C
25x
32
2= 2!.3!
5!
(4)
x
3=
3! x 1 x 2
3! x 4 x
5
.x
3(4)
= 10.(4)
x
3= 40
x
3