DIMENSI TIGA
A. JARAK DALAM BANGUN RUANG
1. Jarak Antara 2 Buah Titik
Jarak titik A ke titik B adalah penghubung terpendek dari titik A ke titik B yakni panjang ruas garis AB.
Contoh 1
Diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Tentukan jarak : a. Titik A ke titik C
b. Titik A ke titik G Penyelesaian
a. Jarak titik A ke C adalah
cm ��= ��2+��2= 62+ 62= 72 = 6 2 b. Jarak titik A ke G adalah
cm ��= ��2+��2=
(6 2)
2+ 62= 108 = 6 32. Jarak Antara Titik Dan Garis
Jarak titik P ke garis g adalah suatu garis terpendek yang menghubungkan titik P garis g. Ruas garis terpendek tersebut diperoleh dengan menarik garis dari titik P tegak lurus terhadap garis g. Jadi, jarak titik P ke garis g adalah PP’.
Contoh 2
Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = 4 cm, AD = 3 cm dan AE = 5 cm. Tentukan jarak titik F ke garis :
Penyelesaian
a. Karena FB tegak lurus AB, maka jarak F ke AB adalah FB = 5 cm.
b. Karena FE tegak lurus DE, maka jarak F ke DE adalah FE = 4 cm.
c. Karena FG tegak lurus DG, maka jarak F ke DG adalah FG = 3 cm.
Contoh 3
Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 4 cm. Tentukan jarak titik F ke garis AC. Penyelesaian
Karena panjang rusuk 4 cm, maka AC = AF = FC = 4 2 cm
Sehingga segitiga AFC adalah segitiga samasisi.
��'=1
2��= 1
2× 4 2 = 2 2 ��
��'= ��2‒ (��')2 = (4 2)2‒(2 2)2
= 32‒8 = 24 = 2 6 cm
Jadi, jarak titik F ke garis AC adalah 2 6 cm.
Contoh 4
Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Tentukan jarak titik A ke garis CE. Penyelesaian
Karena panjang rusuk 6 cm, maka diagonal sisi AC = 6 2 cm dan diagonal ruang CE = 6 3 cm.
��' ∙ ��=�� ∙ �� ��'∙6 3 = 6∙6 2
��'=6∙6 2 6 3 ��'= 2 6
Jadi, jarak titik A ke garis CE adalah 2 6 cm.
3. Jarak Antara Titik Dan Bidang
Contoh 5
Panjang rusuk-rusuk balok ABCD.EFGH adalah AB = 4 cm, AD = 3 cm dan AE = 5 cm. Tentukan jarak titik F ke bidang :
a. ABCD b. ADHE c. CDHG Penyelesaian
a. Karena FB tegak lurus ABCD, maka jarak F ke bidang ABCD adalah FB = 5 cm.
b. Karena FE tegak lurus ADHE, maka jarak F ke bidang ADHE adalah FE = 4 cm.
c. Karena FG tegak lurus CDHG, maka jarak F ke bidang CDHG adalah FG = 3 cm.
Contoh 6
Panjang rusuk-rusuk balok ABCD.EFGH adalah AB = 4 cm, AD = 3 cm dan AE = 5 cm. Tentukan jarak titik B ke bidang ACGE.
Penyelesaian
Bidang ABCD adalah bidang yang melalui B dan tegak lurus terhadap AE (salah satu rusuk bidang ACGE).
Garis AC merupakan perpotongan bidang ACGE dengan bidang ABCD.
Sehingga d(B, ACGE) = d(B, AC).
��= 42+ 32= 5 ��
Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Tentukan jarak titik C ke bidang BDG. Penyelesaian
Bidang ACGE adalah bidang yang melalui titik C dan tegak lurus terhadap BD (salah satu garis pada BDG).
4. Jarak Antara Dua Garis Sejajar
Jika garis g sejajar h, maka jarak kedua garis tersebut dapat ditentukan oleh cara sbb:
a. Garis g dan h membentuk suatu bidang
b. Buat garis k yang memotong tegak lurus terhadap garis g dan h di titik A dan B.
c. Jarak AB adalah jarak garis g dan h.
5. Jarak Antara Dua Garis Bersilangan
Jika garis k bersilangan l, maka jarak k dan l menjadi jarak P danα :
a. Lukis bidang α yang melalui garis l dan sejajar garis k. b. Pilih titik P yang terletak pada garis k. Akibatnya, d(k, l)
= d(P, α).
6. Jarak Antara Dua Garis Bersilangan Tegak Lurus
Jika garis k dan l bersilangan tegak lurus, maka jarak antara k dengan l menjadi jarak antara P dengan l :
a. Lukis bidang α yang melalui garis l dan tegak lurus garis k.
b. Lukis titik P yakni titik potong garis k dan bidang
α. Akibatnya, d(k, l) = d(P, l).
Contoh 8
Panjang rusuk-rusuk balok ABCD.EFGH adalah AB = 10 cm, AD = 3 cm dan AE = 5 cm. Tentukan jarak antara garis BE dan CH.
Penyelesaian
Perhatikan bahwa garis BE dan CH berada pada satu bidang yaitu bidang BCHE.
g g’
h Contoh 9
Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 4 cm. Tentukan jarak garis CD dan AH. Penyelesaian
Bidang ABGH adalah bidang yang melalui garis AH dan sejajar CD.
Titik D terletak pada garis CD.
Akibatnya, d(CD, AH) = d(C, ABGH) = d(D, AH) = DD’
=1 2��=
1
2× 4 2 = 2 2 ��
Contoh 10
Panjang rusuk bidang empat beraturan D.ABC adalah 4 cm. Tentukan jarak rusuk AB dan CD. Penyelesaian
Bidang CDE adalah bidang yang melalui CD dan tegak lurus AB.
Titik E adalah titik potong garis AB dan bidang CDE. Akibatnya, d(AB, CD) = d(E, CD) = EE’.
��=��= 42‒22= 12 = 2 3 �� ��'= (2 3)2‒22= 8 = 2 2 ��
Jadi, jarak garis AB dan CD adalah 2 2 cm.
B. SUDUT DALAM BANGUN RUANG
Sudut pada bangun ruang adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh dua garis berpotongan.
1. Sudut Antara Dua Garis Bersilangan
Jika garis � dan h bersilangan maka sudut yang mewakili sudut antara garis � dan h adalah sudut yang dibentuk oleh suatu garis dengan garis h dimana garis tersebut sejajar dengan garis � dan memotong garis h.
Langkah-langkah melukis sudut sudut garis � dan h yang saling bersilangan.
1) Lukis garis �’ yang sejajar garis � dan memotong h. 2) Akibatnya, ∠(�,ℎ) =∠(�', ℎ)
Contoh 11
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Hitung besar sudut antara garis AH dan BC. Penyelesaian
A B
C D
E F
G H
(1) Garis BG adalah garis yang sejajar dengan garis AH dan memotong garis BC.
(2)∠(��,��) =∠(��,��) =�
Karena segitiga BGC segitiga siku-siku sama kaki, maka α = 45°.
Jadi, sudut antara garis AH dan BC adalah 45°.
Contoh 12
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Hitunglah besar sudut antara garis DG dan AC. Penyelesaian
A B
C D
E F
G H
α
(1) Garis AF adalah garis yang sejajar dengan garis DG dan memotong AC.
(2)∠(��, ��) =∠(��, ��) =�
Karena segitiga ACF segitiga sama sisi, maka α = 60°.
Jadi, sudut antara garis DG dan AC adalah 60°.
2. Sudut Antara Garis Dan Bidang
Proyeksi titik A pada bidang α adalah titik tembus garis yang tegak lurus dari titik A pada bidang α.
A
A’
A’ = proyeksi A pada bidang α AA’ = jarak titik A terhadap bidang α α = bidang proyeksi
α
B
C P
α P’
Q
Q’ α A
B
B’
(a) (b) (c)
Pada gambar (a) titik P’ dan Q’ berturut-turut merupakan proyeksi titik P dan Q pada bidang α. Sehingga ruas garis P’Q’ adalah proyeksi ruas garis PQ pada bidang α.
Pada gambar (b) proyeksi titik A pada bidang α adalah A dan proyeksi titik B pada bidang α adalah B’, sehingga proyeksi ruas garis AB pada bidang α adalah ruas garis AB’.
Pada gambar (c), ruas garis BC tegak lurus bidang α. Proyeksi titik B pada bidang α adalah C dan proyeksi titik C pada bidang α adalah C. Sehingga, proyeksi ruas garis BC pada bidang α adalah titik C.
Sudut antara garis � dan bidang � adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh garis � dan garis lain yang terletak pada bidang �. Agar sudut antara garis � dan bidang � terkecil, maka garis lain tersebut merupakan proyeksi garis � pada bidang �.
Proyeksi garis � pada bidang � adalah �’. Dengan demikian, sudut antara garis � dan bidang � sama dengan sudut antara garis � dengan g’. Ditulis, ∠(�,�) =∠(�,�')
v
g
g’
Langkah-langkah melukis sudut antara garis � dan bidang � adalah : (1) Lukis garis �’ yang merupakan proyeksi garis � pada bidang �. (2)∠(�,�) =∠(�,�')
Contoh 13
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Hitunglah sudut antara garis BG dan bidang ABCD.
Penyelesaian
(1) Garis BC merupakan proyeksi garis BG pada bidang ABCD.
(2)∠(��,����) =∠(��,��)
Jadi, sudut antara garis BG dan bidang ABCD adalah 45°.
A B
C D
E F
Contoh 14
Diketahui kubus ABCD.EFGH. hitunglah sudut antara garis AH dan bidang BDHF. Penyelesaian
(1) Garis TH adalah proyeksi garis AH pada bidang BDHF. (2)∠(��,����) =∠(��,��) =�
Jadi, sudut antara garis AH dan bidang BDHF adalah 30°. A B C
Diketahui limas T.ABCD dengan bidang alas ABCD berbentuk persegi panjang dengan AB = 12 cm, BC = 5 cm, dan TA = TB = TC = TD = 7 cm. Hitunglah sin∠(��,����).
(1) Garis OA adalah proyeksi garis TA pada bidang ABCD. (2)∠(��,����) =∠(��,��) =�
3. Sudut Antara Dua Bidang
Contoh 16
Diketahui kubus ABCD.EFGH. hitunglah besar sudut bidang ABGH dan ABCD. Penyelesaian
Jadi, sudut antara bidang ABGH dan ABCD adalah 45°.
A B
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Jika sudut bidang BDG dan ABCD adalah α, tentukan nilai tan α. Penyelesaian
(1) Garis BD merupakan perpotongan bidang BDG dan ABCD.
(2) Garis GT pada BDG dan garis CT pada bidang ABCD tegak lurus terhadap BD.
C. IRISAN BIDANG PADA BANGUN RUANG
Irisan antara bidang dengan bangun ruang adalah sebuah bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis potong antara bidang itu dengan bidang-bidang sisi dari bangun ruang yang bersangkutan, sedemikian sehingga irisan tersebut membagi bangun ruang menjadi dua bagian.
Sumbu afinitas adalah garis potong antara bidang irisan dengan bidang alas bangun ruang yang diirisnya. Sumbu afinitas terletak pada bidang irisan dan bidang alas.
Contoh 18
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik K pada rusuk AE sehingga panjang AK = 3 cm, titik L pada rusuk BF sehingga panjang BL = 1 cm. Bidang α melalui titik H, K, dan L. Gambarlah irisan antara bidang α dengan kubus ABCD.EFGH!
Penyelesaian
Garis HK, KL dan HK terletak pada bidang α.
Garis HK dan KL menembus bidang alas ABCD di titik P dan Q.
Garis CB memotong sumbu afinitas di titik R.
Garis RL memotong CG di titik M, sehingga garis LM adalah garis potong bidang α dengan bidang BCGF.
Garis HM merupakan garis potong bidang α dengan bidang sisi CDHG.
Contoh 19
Diketahui limas T.ABCD. Titik P pada TA sehingga AP : PT = 2 : 1. Titik Q pada BT sehingga BQ : QT = 1 : 2. Titik R pada rusuk CT sehingga CR : RT = 1 : 4. lukislah irisan bidang yang melalui titik P, Q, dan R dengan limas.
Penyelesaian
Garis PQ, QR dan PR terletak pada bidang irisan.
Garis PQ dan QR menembus bidang alas ABCD di titik M dan N.
Garis MN adalah sumbu afinitas.
Garis CD memotong sumbu afinitas di titik O.
Garis OR memotong TD di titik S, sehingga garis RS adalah garis potong bidang irisan dengan bidang TCD.
Garis PS merupakan garis potong bidang irisan dengan bidang sisi TAD.
